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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Aplicações – Semana 08
Temas abordados : Extremos de funções
Seções do livro: 4.1
1) Suponha que, na construção de uma barraca com vista frontal na forma de um triângulo
isósceles de altura h, as laterais devem ser feitas a partir de uma lona com 6 m de
comprimento e 3 m de largura, conforme ilustra a figura.
(a) Determine o comprimento b da base do
triângulo em função da altura h.
(b) Use o item anterior para expressar o volume
V (h) da barraca em função de h.
(c) Determine h de forma que o volume V (h)
seja máximo, justificando a sua resposta.
3m
3m
b
h
2) Uma caixa deve ser feita a partir de uma folha de papelão retangular cujos lados não
paralelos medem 16 e 30 cent́ımetros. Isso será feito cortando-se, em cada vértice do
papelão, um quadrado de x > 0 cent́ımetros de comprimento e dobrando-se os lados,
conforme mostra a figura abaixo.
(a) Obtenha o volume total da caixinha, V (x), em função do comprimento x dos qua-
drados cortados.
(b) Determine os pontos cŕıticos de V .
(c) Determine o volume máximo que a caixinha pode alcançar.
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3) Suponha que uma viga retangular, de largura x e altura y, deva ser cortada de um cilindro
de seção circular de raio a, como ilustra a figura abaixo. A resistência R dessa viga é
diretamente proporcional ao produto de sua largura x pelo quadrado de sua altura y.
Indique por K a constante de proporcionalidade e observe que a altura y = y(x) pode ser
obtida a partir da largura x, e portanto a resistência R = R(x) pode ser expressa apenas
em função da largura da viga x, onde x varia de 0 até o diâmetro 2a do cilindro circular.
(a) Obtenha a expressão de y = y(x) em termos de x.
(b) Obtenha a expressão da resistência R = R(x) como
função de x.
(c) Calcule os pontos cŕıticos de R(x) no domı́nio (0, 2a).
(d) Calcule o valor máximo da resistência que pode ser
obtido entre as vigas cortadas do cilindro.
x
y
4) Uma refinaria de petróleo está em A, na margem norte de um rio reto que tem L = 4 km
de largura. Um oleoduto deve ligar a refinaria a um tanque de armazenamento, localizado
em B ,na margem sul do rio, D = 6 km a leste da refinaria. O custo de construção do
oleoduto é R$ 3 × 105/km sobre a terra, até um ponto P na margem norte do rio e R$
5× 105/km sob o rio até o tanque.
(a) Para cada x ∈ [0, 6], denote por C(x) o custo, em
centenas de milhares de reais, para fazer a ligação.
Determine a expressão de C(x).
(d) Calcule os pontos cŕıticos de C em (0, 6).
(c) Qual o custo mı́nimo para a construção do oleoduto?
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Gabarito
1. (a) b = 2
√
9− h2
(b) V (h) = 3h
√
9− h2
(c) h = 3/
√
2
2. (a) V (x) = x(16− 2x)(30− 2x), x ∈ (0, 8)
(b) x = 10/3
(c) V (10/3) = 19600/27
3. (a) y(x) =
√
4a2 − x2
(b) R(x) = K(4a2x− x3)
(c) x = 2a/
√
3
(d) 16a3
√
3 · (K/9)
4. (a) C(x) = 3x+ 5
√
16 + (6− x)2, x ∈ [0, 6]
(b) x = 3
(c) C(3) = 34, que corresponde a 3,4 milhões de reais
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