Sistemas de equaçõesde 1o Grau

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Fundamentos Tecnológicos
Sistemas de equações 
de 1º Grau
Exercícios Resolvidos
Sistemas de Equações
3x3
Exercício1
 Resolva o seguinte sistema:
ቐ
3𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
−𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 2
1º) Colocando os termos da Eq. 1 em evidência temos:
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟒
−𝒚 = 𝟒 − 𝟑𝒙
−𝒚 = 𝟒 − 𝟑𝒙 . −𝟏
𝒚 = −𝟒 + 𝟑𝒙
𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟒 Eq.4
Eq.1
Eq.2
Eq.3
Exercício1
2º) Substituindo Eq.4 na Eq. 2 temos:
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟏
𝟐𝒙 + 𝟐 𝟑𝒙 − 𝟒 − 𝟐𝒛 = −𝟏
𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟖 − 𝟐𝒛 = −𝟏
𝟖𝒙 − 𝟐𝒛 − 𝟖 = −𝟏
𝟖𝒙 − 𝟐𝒛 = −𝟏 + 𝟖
𝟖𝒙 − 𝟐𝒛 = 𝟕
𝟖𝒙 − 𝟐𝒛 = 𝟕 Eq.5
3º) Substituindo Eq.4 na Eq. 3 temos:
−𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟐
−𝒙 − 𝟑 𝟑𝒙 − 𝟒 + 𝟑𝒛 =2
−𝒙 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟐 + 𝟑𝒛 =2
−𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝒛 = 𝟐 − 𝟏𝟐
−𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝒛 = −𝟏𝟎 Eq.6
Exercício 1
 Montando um novo sistema com Eq.5 e Eq.6 temos:
1º) Isolando o termo anterior tem-se:
൜
8𝑥 − 2𝑧 = 7 . (3)
−10𝑥 + 3𝑧 = −10 . (2)
4𝑥 = 1
𝑥 =
1
4
𝑥 =
1
4
+
24𝑥 − 6𝑧 = 21
−20𝑥 + 3𝑧 = −20
4𝑥 = 1
ቊ
24𝑥 − 6𝑧 = 21
−20𝑥 + 6𝑧 = −20
Exercício 1
2º) Substituindo 𝑥 =
1
4
, na Eq.5 tem-se:
8𝑥 − 2𝑧 = 7
−2𝑧 = 7 − 8𝑥
−2𝑧 = 7 − 8 ×
1
4
−2𝑧 = 7 −
8
4
−2𝑧 = 7 − 2
−2𝑧 = 5
𝑧 =
5
−2
𝑧 = −
5
2
Exercício 1
3º) Substituindo 𝑥 =
1
4
, na Eq. 4 tem-se:
𝑦 = 3𝑥 − 4
𝑦 = 3 ×
1
4
− 4
𝑦 =
−13
4
𝑦 = −
13
4
Exercício 1
Portanto temos que:
𝑆 =
1
4
,−
13
4
,−
5
2
Exercício2
 Resolva o seguinte sistema:
ቐ
−𝑦 + 2𝑥 − 6𝑧 = 2
−4𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 = 4
−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 3
1º) Reorganizando as equações temos:
Eq.1
Eq.2
Eq.3
ቐ
2𝑥 − 𝑦 − 6𝑧 = 2
2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 4
−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 3
Exercício2
2º) Colocando os termos da Eq. 3 em evidência temos:
−𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑
−𝒙 = 𝟑 −𝟑𝒚 − 𝟐𝒛
−𝒙 = 𝟑 − 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 −𝟏
𝒙 = −𝟑 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛
𝒙 = 𝟑 − 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 Eq.4
3º) Substituindo Eq.4 na Eq. 2 temos:
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟒
𝟐 −𝟑 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟑𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟒
−𝟔 + 𝟔𝒚 + 𝟒𝒛 − 𝟑𝒛 − 𝟒𝒛 = 𝟒
𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟒
𝟑𝒚 = 𝟒 + 𝟔
𝟑𝒚 = 𝟏𝟎
𝒚 =
𝟏𝟎
𝟑
𝒚 =
𝟏𝟎
𝟑
Exercício1
4º) Substituindo Eq.4 na Eq. 1 temos:
𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟐
𝟐 −𝟑 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟐
−𝟔 + 𝟔𝒚 + 𝟒𝒛 − 𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟐
−𝟔 + 𝟔𝒚 + 𝟒𝒛 − 𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟐
−𝟔 + 𝟓𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟐
𝟓𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟐 + 𝟔
𝟓𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟖
𝟓𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟖 Eq.5
Exercício1
5º) Substituindo 𝒚 =
𝟏𝟎
𝟑
na Eq. 5 tem-se:
−𝟐𝒛 = 𝟖 − 𝟓𝒚
−𝟐𝒛 = 𝟖 − 𝟓 ×
𝟏𝟎
𝟑
−𝟐𝒛 = 𝟖 −
𝟓𝟎
𝟑
−𝟐𝒛 =
𝟐𝟒 − 𝟓𝟎
𝟑
−𝟐𝒛 =
−𝟐𝟔
𝟑
𝒛 =
−𝟐𝟔
𝟑
−𝟐
=
−𝟐𝟔
𝟑
× −
𝟏
𝟐
= −
𝟐𝟔
𝟔
= −
𝟏𝟑
𝟑
𝒛 =
𝟏𝟑
𝟑
Exercício2
6º) Substituindo 𝒚 =
𝟏𝟎
𝟑
e 𝒛 =
𝟏𝟑
𝟑
na Eq. 4 tem-se:
𝒙 = −𝟑 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛
𝒙 = −𝟑 + 𝟑 ×
𝟏𝟎
𝟑
+ 𝟐 ×
𝟏𝟑
𝟑
𝒙 = −𝟑 +
𝟑𝟎
𝟑
+
𝟐𝟔
𝟑
𝒙 =
−𝟗+𝟑𝟎+𝟐𝟔
𝟑
=
𝟓𝟔−𝟗
𝟑
=
𝟒𝟕
𝟑
𝒙 =
𝟒𝟕
𝟑
𝒙 =
𝟒𝟕
𝟑
Exercício 2
Portanto temos que:
𝑆 =
47
3
,
10
3
,
13
3
Exercícios – Desafio
 Qual é o valor da corrente e da tensão no resistor de 4 para o
circuito mostrado abaixo sendo as seguintes equações de malha.
ቐ
2𝐼1 − 𝐼2 = −2
−𝐼1 + 6𝐼2 − 3𝐼3 = 4
−3𝐼2 + 7𝐼3 = 5
Exercício3
 Dado o sistema:
1º) Colocando os termos da Eq. 1 em evidência temos:
𝟐𝑰𝟏 − 𝑰𝟐 = −𝟐
−𝑰𝟐 = −𝟐 − 𝟐𝑰𝟏
−𝑰𝟐 = −𝟐 − 𝟐𝑰𝟏. −𝟏
𝑰𝟐 = 𝟐 + 𝟐𝑰𝟏 Eq.4
Eq.1
Eq.2
Eq.3
ቐ
2𝐼1 − 𝐼2 = −2
−𝐼1 + 6𝐼2 − 3𝐼3 = 4
−3𝐼2 + 7𝐼3 = 5
Exercício3
3º) Substituindo Eq.4 na Eq. 2 temos:
−𝑰𝟏 + 𝟔𝑰𝟐 − 𝟑𝑰𝟑 = 𝟒
−𝑰𝟏 + 𝟔 𝟐 + 𝟐𝑰𝟏 − 𝟑𝑰𝟑 = 𝟒
−𝑰𝟏 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐𝑰𝟏 − 𝟑𝑰𝟑 = 𝟒
𝟏𝟏𝑰𝟏 − 𝟑𝑰𝟑 = 𝟒 − 𝟏𝟐
𝟏𝟏𝑰𝟏 − 𝟑𝑰𝟑 = −𝟖
𝟏𝟏𝑰𝟏 − 𝟑𝑰𝟑 = −𝟖 Eq.5
4º) Substituindo Eq.4 na Eq. 3 temos:
−𝟑𝑰𝟐 + 𝟕𝑰𝟑 = 𝟓
−𝟑(𝟐 + 𝟐𝑰𝟏) + 𝟕𝑰𝟑 = 𝟓
−𝟔 − 𝟔𝑰𝟏 + 𝟕𝑰𝟑 = 𝟓
−𝟔𝑰𝟏 + 𝟕𝑰𝟑 = 𝟓 + 𝟔
−𝟔𝑰𝟏 + 𝟕𝑰𝟑 = 𝟏𝟏
−𝟔𝑰𝟏 + 𝟕𝑰𝟑 = 𝟏𝟏 Eq.6
Exercício 3
 Montando um novo sistema com Eq.5 e Eq.6 temos:
1º) Isolando o termo anterior tem-se:
൜
11𝐼1 − 3𝐼3 = −8 . (6)
−6𝐼1 + 7𝐼3 = 11 . (11)
59𝐼3 = 73
𝐼3 =
73
59
= 1,24
𝐼3 = 1,24𝐴
+ 66𝐼1 − 18𝐼3 = −48
−66𝐼1 + 77𝐼3 = 121
59𝐼3 = 73
ቊ
66𝐼1 − 18𝐼3 = −48
−66𝐼1 + 77𝐼3 = 121
Exercício 3
2º) Substituindo 𝐼3= 1,24𝐴 , na Eq.6 tem-se:
𝑰𝟐 = +𝟕𝑰𝟑 = 𝟓
−𝟔𝑰𝟏 = 𝟏𝟏 − 𝟕𝑰𝟑
−𝟔𝑰𝟏 = 𝟏𝟏 − 𝟕. 𝟏, 𝟐𝟒
−𝟔𝑰𝟏 = 𝟏𝟏 − 𝟖, 𝟔𝟖
−6𝐼1 = 2,32
𝐼1 =
2,32
−6
= −0,39
𝐼1 = −0,39𝐴
Exercício 3
3º) Substituindo 𝐼1= −0,39𝐴 , na Eq. 4 tem-se:
𝑰𝟐 = 𝟐 + 𝟐𝑰𝟏
𝑰𝟐 = 𝟐 + 𝟐. (−𝟎, 𝟑𝟗)
𝑰𝟐 = 𝟐 − 𝟎, 𝟕𝟖
𝑰𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟐
𝑰𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟐𝑨
Exercício 1
Portanto temos que:
Calculando a tensão sobre o resistor de 4Ω
𝑽 = 𝑹 . 𝑰𝟑
𝑽 = 𝟒 . 𝟏, 𝟐𝟒
𝑽 = 𝟒 , 𝟗𝟔𝑽
𝑆 = −0.39, 1.22, 1.24
Fim das resoluções