Gabarito FIS191-Prova 3-PER

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NOME: _________________GABARITO________________ 
Formulário 
𝜔2 = 𝜔0
2 + 2𝛼(𝜃 − 𝜃0) 𝐼 = ∫ 𝑟
2 𝑑𝑚 𝑆 = 𝑟𝜃 𝐼𝑃 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑
2 
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +
1
2
𝛼𝑡2 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 𝑣 = 𝜔𝑟 𝑎 = 𝛼𝑟 
�⃗�𝑅 = ∑ �⃗�𝑒𝑥 =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
 �⃗�𝑅 =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 𝐽 = ∫ �⃗�𝑅𝑑𝑡
𝑡𝑓
𝑡𝑖
 �⃗⃗� = �⃗�𝐴 + �⃗�𝐵 + ⋯ 
𝐽 = �⃗�𝑚𝑒𝑑(𝑡2 − 𝑡1) 𝐽 = �⃗�2 − �⃗�1 �⃗� = 𝑚�⃗� 𝐾 =
1
2
𝐼𝜔2 
 
QUESTÃO 1: Uma peça mecânica possui massa igual a 𝑀 = 5,62 kg e gira 
em torno do eixo que passa por 𝑃, conforme representado na figura. 
O momento de inércia, em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, 
paralelo ao eixo que passa por 𝑃, é 𝐼CM = 0,42 kgm
2. A energia cinética 
da peça é 𝐾 = 8,46 J. Determine a velocidade angular 𝜔 dessa peça. 
𝐾 =
1
2
𝐼𝑃𝜔
2 =
1
2
(𝐼CM + 𝑀𝑑
2)𝜔2 ∴ 𝜔 = √
2𝐾
𝐼CM + 𝑀𝑑2
 = √
2 × 8,46
0,42 + 5,62 × (0,15)2
 (rad/s) 
𝜔 = √
16,92
0,42 + 0,12645
 = √
16,92
0,54645
 = √30,96349 = 5,56448 ≅ 5,56 (rad/s) 
QUESTÃO 2: Um patinador, cuja massa é 𝑀 = 60,0 kg, está inicialmente em repouso sobre um lago 
congelado, sem atrito, e está segurando uma rocha, cuja massa é 𝑚 = 8,0 kg. Para sair do repouso, o 
patinador atira a rocha com velocidade �⃗� = (−8,9𝑖 + 6,5𝑗)(m/s), sendo o eixo positivo de 𝑥 apontando 
da esquerda para a direita e o eixo positivo de 𝑦 apontando para cima. Calcule o tempo que o patinador 
levará para percorrer 6,0 m, a partir de sua posição de repouso. 
O lançamento da pedra se deu no plano 𝑥𝑦, perpendicular à superfície de gelo. 
O momento linear total não se conserva, devido à força externa impulsiva (força normal), no sentido 
positivo do eixo 𝑦, que o piso exerce sobre o patinador, durante a impulsão mútua. O momento linear em 
𝑥 se conserva, logo, 
𝑝𝑥i = 0 = 𝑝𝑥f = 𝑚𝑣𝑥 + 𝑀𝑉𝑥 ∴ 𝑉𝑥 = −
𝑚
𝑀
𝑣𝑥 = −
8
60
(−8,9) = +1,18667 m/s ≅ 1,2 m/s 
Cálculo do tempo decorrido no percurso dos 𝑑 = 6,0 m, no sentido positivo do eixo 𝑥, oposto ao 
movimento da pedra: 
𝑡 =
𝑑
|𝑉𝑥|
=
𝑀
𝑚
𝑑
|𝑣𝑥|
=
60
8
6
8,9
= 5,05618 s ≅ 5,1 s 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
3a PROVA DE FIS 191 – 2020 – PER – 12/12/20 
 
 
 
PER – 12/9/2019 
QUESTÃO 3: Para o mesmo enunciado da questão anterior: a) Determine o módulo do vetor impulso que 
o patinador imprime sobre a rocha. b) O vetor impulso aponta no sentido do movimento da rocha ou no 
sentido do movimento do patinador? 
a) 𝐽P/R = ∆𝑝 = 𝑚(�⃗� − �⃗�0) = 𝑚�⃗� = 8(−8,9𝑖 + 6,5𝑗)) = −71,2 𝑖̂ + 52 𝑗̂ ≅ (−71 𝑖̂ + 52 𝑗̂) 𝑁. 𝑠 
|𝐽𝑃/𝑅| = 88,006 N. s ≅ 88,0 N. s 
b) O vetor 𝐽P/R tem o mesmo sentido da velocidade �⃗� da rocha. 
QUESTÃO 4: Um sistema, constituído por uma mola ideal comprimida entre dois blocos de massas 𝑀 e 𝑚, 
encontra-se em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. A mola não está presa aos blocos, 
estes apenas a comprimem. Em seguida, o sistema é liberado e a mola cai sobre a mesa após se expandir. 
O bloco de maior massa (𝑀) adquire velocidade de módulo 𝑉, no sentido positivo do eixo 𝑥. Determine, 
em função dos dados (𝑀, 𝑚 e 𝑉) que se fizerem necessários, a energia potencial armazenada na mola 
quando estava comprimida? 
Determinação do módulo da velocidade 𝑣 do bloco de massa 𝑚: 
𝑝xi = 0 = 𝑝xf = 𝑚(𝑣𝑥𝑓) + 𝑀𝑉𝑥𝑓 = 0 ⟹ 𝑣𝑥 = −
𝑀𝑉𝑥
𝑚
 ⟹ |𝑣𝑥| =
𝑀|𝑉𝑥|
𝑚
 
|𝑣𝑥| = 𝑣 𝑒 |𝑉𝑥| = 𝑉 ⟹ 𝑣 =
𝑀
𝑚
𝑉 
Como a força elástica é conservativa, temos 
𝐸i = 𝐸f ⟹ 𝐾i + 𝑈g i + 𝑈el i = 𝐾f + 𝑈g f + 𝑈el f 
𝐾i = 0 , 𝑈g i = 𝑈g f , 𝑈el i = ?, 𝑈el f = 0 , 𝐾f =
1
2
(𝑚𝑣2 + 𝑀𝑉2) = ? 
𝐸i = 𝐸f ⟹ 𝑈el i = 𝐾f =
1
2
𝑚 (
𝑀2
𝑚2
) 𝑉2 +
1
2
𝑀𝑉2 =
1
2
[
𝑀(𝑚 + 𝑀)
𝑚
] 𝑉2 ⟹ 𝑼𝐞𝐥 𝐢 =
𝟏
𝟐
[
𝑴(𝒎 + 𝑴)
𝒎
] 𝑽𝟐 
QUESTÃO 5: Seja um poste (que pode ser considerado uma haste fina) de 
massa 𝑀 e comprimento 𝐿. Inicialmente o poste está em repouso e posicio-
nado na vertical, apoiado sobre uma superfície horizontal. A estrutura, con-
tudo, começa a tombar, girando em torno de sua base, que, por sua vez, não 
desliza sobre a superfície (vide figura). Determine, em função de 𝑀, 𝐿 e 𝑔, o 
módulo da velocidade angular 𝜔 do poste imediatamente antes de sua extre-
midade superior finalmente alcançar o solo. 
Como não há dissipação de energia, 𝐸i = 𝐸f, logo, 
𝐸i = 𝐾i + 𝑈g i = 0 + 𝑀𝑔
𝐿
2
 
𝐸f = 𝐾f + 𝑈g f =
1
2
[𝐼piso]𝜔
2 + 0 
𝑀𝑔
𝐿
2
=
1
2
(
𝑀𝐿2
3
) 𝜔2 ⟹ 𝑔 =
𝐿
3
𝜔2 ⟹ 𝝎 = √
𝟑𝒈
𝑳
 
 
QUESTÃO 6: Uma polia, situada a uma altura 𝐿 acima do piso, é formada por um eixo cilíndrico de 
comprimento 𝑑 e raio 𝑟, ladeado por dois discos de massa 𝑀 e raio 𝑅, fixos ao eixo. A polia (o próprio 
eixo/cilindro) é fixada a dois suportes laterais presos ao teto, que lhe permite girar sem atrito. Um fio ideal 
é enrolado no eixo e tem em suas extremidades dois objetos A e B, de massas 𝑚A e 𝑚B, com 𝑚A > 𝑚B, 
situados em alturas diferentes em relação ao piso, conforme representado na figura. Se o sistema é 
abandonado a partir do repouso, determine o módulo das velocidades dos blocos imediatamente antes de 
o bloco A atingir o piso. De sua resposta em função dos dados (𝑚A, 𝑚B, 𝑚, 𝑀, ℎ, 𝐻, 𝐿, 𝑅, 𝑟, 𝑑 e 𝑔) que se 
fizerem necessários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐸i = 𝐾i + 𝑈g i = 0 + (𝑚 + 2𝑀)𝑔𝐿 + 𝑚B𝑔𝐻 + 𝑚A𝑔ℎ = 𝐸f 
𝐸f = 𝐾f + 𝑈g f =
1
2
𝑚B𝑣
2 +
1
2
(𝐼𝑚 + 2𝐼𝑀)𝜔
2 +
1
2
𝑚A𝑣
2 + (𝑚 + 2𝑀)𝑔𝐿 + 𝑚B𝑔(𝐻 + ℎ) + 0 
𝐸i = 𝐸f =
1
2
[𝑚A + 𝑚B]𝑣
2 +
1
2
(
𝑚𝑟2
2
+ 2
𝑀𝑅2
2
)
𝑣2
𝑟2
+ (𝑚 + 2𝑀)𝑔𝐿 + 𝑚B𝑔(𝐻 + ℎ) 
1
2
[𝑚A + 𝑚B +
𝑚
2
+ 𝑀 (
𝑅
𝑟
)
2
] 𝑣2 + (𝑚 + 2𝑀)𝑔𝐿 + 𝑚B𝑔(𝐻 + ℎ) = (𝑚 + 2𝑀)𝑔𝐿 + 𝑚B𝑔𝐻 + 𝑚A𝑔ℎ 
1
2
[𝑚A + 𝑚B +
𝑚
2
+ 𝑀 (
𝑅
𝑟
)
2
] 𝑣2 + 𝑚B𝑔ℎ = 𝑚A𝑔ℎ 
𝒗 = √
𝟐(𝒎𝐀 − 𝒎𝐁)𝒈𝒉
𝒎𝐀 + 𝒎𝐁 +
𝒎
𝟐
+ 𝑴 (
𝑹
𝒓
)
𝟐