Ponto, reta e plano

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INTRODUÇÃO A GEOMETRIA PLANA
PONTO, RETA E PLANO
O estudo da geometria está repleto de definições. Estas definições estabelecem propriedades, conceitos e entidades muito importantes. Porém, existem noções primitivas que dispensam o uso de definições, dentre elas, os conceitos de ponto, reta e plano. Podemos intuitivamente identificar essas entidades apenas com uma experiência observacional. As noções apresentadas neste artigo terão como base o espaço tridimensional.
Ponto
Um ponto, propriamente dito, é uma entidade que é caracterizada pelos seguintes postulados:
· O ponto não tem dimensão. Ele pode ser, por exemplo, um toque da caneta no papel. Representamos pontos no espaço sempre com letras maiúsculas (A, B, P, M...),exemplo:
· Por um ponto no espaço, passam infinitas retas.
· Todo ponto que pertence a uma reta divide-a em duas semirretas, das quais o ponto é a origem.
Reta
A reta também possui postulados:
· Uma reta não tem origem e nem extremidade. É representada sempre por letras minúsculas (r, s, t, u, ...)
· Uma reta é ilimitada e infinita, logo não é possível determinar o seu comprimento.
· Uma reta é um conjunto de infinitos pontos.
· Dois pontos distintos determinam ou individualizam uma reta.
Quando escolhemos como referência um ponto numa reta , ela fica dividida em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos recebe o nome de semirreta ou raio.
Plano
Outro conceito primitivo que é caracterizado pelos seus postulados.
· Um plano pode ser formado por 3 pontos não colineares. É representado por letras gregas minúsculas (α,β,γ,...).
· Ou por uma reta e um ponto fora dela. Não se esqueça que lidamos com o espaço, então este postulado é possível.
· Um plano pode ser formado por duas retas concorrentes.
· Ou também por duas retas paralelas distintas.
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. 
As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes
Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
	AB e BC
são consecutivos
	MN e NP
são consecutivos
	EF e GH
não são consecutivos
	
	
	
Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
	AB e CD
são colineares
	MN e NP
são colineares
	EF e FG
não são colineares
	
	
	
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares
Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.
Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
Ponto Médio de um segmento
M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM~MB. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
Retas paralelas
Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto em comum. Se as retas são coincidentes ("a mesma reta") elas são paralelas.
É usual a notação a||b, para indicar que as retas a e b são paralelas.
Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorrência ocorre no cruzamento das retas (ruas).
Retas perpendiculares
Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação ab para indicar que as retas a e b são perpendiculares.
EXERCÍCIOS:
1) Observe a figura e responda:
 
a) Quantas semi-retas o ponto A determina?
b) Qual a origem da semi-reta AR ?
c) Qual a origem da semi-reta AR ?
2) Observe a figura e identifique:
a) Os segmentos que se encontram em A na figura:
b) Cada segmento encontrado na figura:
c) O ponto de intersecção de AD e CD :
3) Observe a figura e responda:
a) A reta tem origem?
b) A semi-reta tem origem?
c) O segmento tem origem?
d) A reta tem extremidade?
e) O segmento tem extremidade?
f) A semi-reta tem extremidade?
4) Observe a figura e classifique os pares de retas em paralelas ou congruente:
a) a e b
b) a e c
c) d e b
d) b e c
e) c e d
5) A medida de um segmento é o dobro da medida do outro. Qual é a medida de cada segmento, se a soma das medidas dos dois segmentos é 15 cm?