slide aula 1 calculo III

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Cálculo Diferencial 
e Integral III
Integrais Múltiplas
Contextualização
Fonte: Leonardo Sá/Agência Senado
https://www.flickr.com/photos/agenciasenad
o/50511516602/ (acesso em 21 jun. 2022)
Conhecimentos prévios
• Vetores:
Vetor gradiente:
Produto escalar:
• Algumas integrais imediatas:
• Técnicas de integração:
• Integrais duplas.
Mudança de variável:
Integração por partes:
Conteúdos
• Equação geral de plano
• Equação de plano tangente
• Integrais múltiplas
• Integrais triplas em regiões retangulares
• Integrais triplas em regiões gerais
• Momentos e centros de massa
• Área de superfície
Equação geral de 
plano
Equação geral de plano
Sejam um ponto fixado do plano e 
um vetor normal ao plano. 
pertence ao plano se o vetor
for ortogonal a , ou seja, se .
Produto escalar
Equação geral: , com 
Equação do plano tangente a uma superfície em :
Gradiente:
Exemplo
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de 
em :
• Vetor normal:
• Equação:
Integrais triplas
Integral tripla
Seja , onde 
Integral tripla de sobre o domínio :
, , →
∗ ∗ ∗
se o limite existir.
A integral tripla para função contínua.
Teorema de Fubini
Se é contínua na caixa retangular então
(Cálculo por integrações sucessivas)
Seis ordens diferentes 
para calcular uma 
integral tripla
Técnicas e 
resultados das 
integrais definidas
Cálculo de 
integrais triplas
Cálculo de integrais triplas
Cálculo como integrais iteradas
• Uso das técnicas de integração associadas à integrais definidas
• Diferentes possibilidades para o cálculo (ordens)
Exemplo: 
Possibilidades para o cálculo da integral 
de :
 
 
 
Cálculo pela primeira possibilidade:
 
Portanto,
 
Estudo da cúpula do 
Congresso Nacional
Estudando a cúpula do Congresso Nacional
Imagine que você e sua equipe terão que substituir alguns 
pedaços de concreto de algumas paredes da cúpula maior do 
Congresso Nacional, a qual possui um formato geométrico não 
regular. 
Fonte: BUENO, FREZZA, 2016, p.9.
Para não desperdiçar material, tempo e demanda de mão de 
obra, você deverá fazer um teste em apenas um espaço 
tridimensional desta região, o qual se aproxima muito de um 
paralelepípedo, com uma função em coordenadas cartesianas.
Após terminar os seus esboços a respeito desta tarefa, você 
concluiu que a região contemplará uma integral tripla e será 
indicada por:
pode ser considerado um paralelepípedo retângulo 
Como podemos determinar o volume dessa região?
Fonte: BUENO, FREZZA, 2016, p.21.
Volume do paralelepípedo:
Fonte: BUENO, FREZZA, 2016, p.21.
Integral tripla e o 
estudo da região
Atividade
Deseja-se calcular a integral tripla da função
na região:
Quais são as possibilidades de cálculo para a 
integral tripla apresentada?
Integrais triplas 
em regiões gerais
Tipos de regiões
Tipo I Tipo II Tipo III
Fonte: STEWART, 2016, v.2, p.923-925.
Exemplo
Calcule , onde é o tetraedro limitado pelos planos 
, , e .
Fonte: STEWART, 2016, v.2, p.924
Estudo de dois gráficos:
• Representação da região (tridimensional)
• Representação da região , que corresponde à projeção de 
sobre um dos planos coordenados , ou (bidimensional)
Exemplo:
Fonte: STEWART, 2016, v.2, p.924.
Variação de : avaliar 
Fonte: STEWART, 2016, v.2, p.924.
Projeção 
em 
Variações de e : 
avaliar 
Como
então
Logo, 
Momentos e centros 
de massa
Massa e volume
Função densidade de um sólido que ocupa uma região 
em um ponto 
Massa: 
Volume:
Momentos
Em relação ao plano coordenado : 
Em relação ao plano coordenado : 
Em relação ao plano coordenado : 
Centro de massa
Ponto de coordenadas tal que
Densidade constante: 
centroide do sólido
Momentos de inércia
Em relação ao eixo coordenado : 
Em relação ao eixo coordenado : 
Em relação ao eixo coordenado : 
Área de superfície
Superfície parametrizada
Superfície parametrizada em é uma aplicação 
Fonte: STEWART, 2016, v.2, p.992.
Exemplo:
Parametrização de:
Fonte: STEWART, 2016, v.2, p.992.
Área de superfície
Fonte: BUENO, FREZZA, 2016, p.50.
Vetores tangentes:
Área de superfície:
Área de superfície e o 
Congresso Nacional
Área de superfície e o Congresso Nacional
Durante a reforma do Congresso Nacional, deseja-se fazer uma
pintura nova em algumas regiões das cúpulas, as quais se
assemelham com paraboloides, o que requer conhecer a área
para determinar o gasto com tinta.
Considere que o trabalho de pintura terá início
em uma superfície de representação algébrica
, com e medidas dadas
em metros.
Determine a área dessa superfície e calcule o
volume de tinta que será utilizado,
considerando que o rendimento seja de
.
Parametrização da superfície: 
Vetores tangentes:
Produto vetorial:
Logo,
Cálculo da área da superfície:
então
Limites de integração:
Em coordenadas polares: 
 
Em coordenadas polares temos e , com:
Além disso,
Portanto,
Logo,
𝟐
𝟐
𝟎
/
Assim, a área é de aproximadamente 36,18 m2.
Substituição
Como o rendimento da tinta é de 
então o volume de tinta necessário é:
Estudo da região de 
integração
Atividade
Suponha que durante a resolução de um 
problema sobre volumes e centros de massa 
seja necessário calcular uma integral tripla 
sobre a região limitada pelo paraboloide 
e pelo plano .
Descreva a região de integração como sendo 
do tipo 1 e tipo 3.
Fonte: ROGAWSKI, 2009, v.2, p.887.
Recapitulando
Recapitulando
Nesta aula estudamos:
Equação geral do plano: 
Equação geral do plano tangente: 
Integrais triplas em regiões retangulares:
Teorema 
de Fubini
Volume: Massa:
Cálculo de momentos e centros de massa
Integrais em regiões gerais (tipos I, II e III)