6_SistemasLTI

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Sinais e Sistemas
Renato Dourado Maia
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros
Fundação Educacional Montes Claros
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Introdução
( )x t ( )y t
( )h t
[ ]x n [ ]y n
[ ]h n
( ), [ ]h t h n
Resposta do sistema quando a entrada é um 
impulso unitário, .
( ), [ ]t n 
A Resposta ao Impulso caracteriza um sistema LTI: dada uma 
entrada x, pode-se, conhecendo-se h, determinar-se y. Esse 
método é denominado Convolução.
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Sinais Discretos e Soma de Impulsos
 Seja o seguinte sinal:
,
,
[ ] 
0
,
0,
2
1
1
 
2
5
n
n
x n
caso c
n
ontrário



 






O sinal pode ser escrito como uma soma de impulsos?
1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x n       SIM!!!
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Sinais Discretos e Soma de Impulsos
1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x n       
Tempo (n)
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Sinais Discretos e Soma de Impulsos
 Todo sinal discreto limitado pode ser escrito co-
mo uma soma ponderada de impulsos unitários
deslocados no tempo:
[ ] [ ] [ ]
k
x n x k n k


 
Impulso Deslocado
Peso
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Lembrando...
 Linearidade:
Sistema
1( )x t 1( )y t
Sistema
2 ( )x t 2 ( )y t
1[ ]x n 1[ ]y n 2[ ]x n 2[ ]y n
Sistema
1 2( ) ( )a bx t x t 1 2( ) ( )a by t y t
1 2[ ] [ ]a bx n x n 1 2[ ] [ ]a by n y n
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Lembrando...
 Invariância no Tempo:
TempoTempo
Entrada Saída
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Somatório de Convolução
 Retomando o exemplo:
1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x n       
1 2 3[ ] [ ] [ ] [ ]y n y n y n y n  
1 1
2 2
2 3
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ 2] [ 2] [ ]1
[ 2] 2 [ 5] [ ] [ ]5
1x n n y n h n
x n n y n h n
x n n y n h n



  
     
 

  
Considerando a LINEARIDADE e a INVARIÂNCIA NO TEMPO:
[ ] [ ] [1 [2 5] ]1 2y n h n h n h n  
A saída é uma soma ponderada das saídas devidas a cada 
entrada, ou seja, um somatório de respostas ao 
impulso deslocadas e ponderadas!
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Somatório de Convolução
 Generalizando para qualquer sinal discreto limita-
do:
[ ] [ ] [ ]
k
x n x k n k


 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k
y n x k h n k x n h n h n x n


     
Somatório de Convolução
Sinal Discreto Limitado
UM SISTEMA LTI É COMPLETAMENTE CARACTERIZADO POR SUA 
RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO!!!
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Reflexão
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TempoTempo
Entrada Entrada
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Somatório de Convolução - Resumo
[ ]x n [ ]y n
[ ]h n
[ ]n [ ]h n
[ ]h n
[ ]n k  [ ]h n k
[ ]h n
[ ] [ ]x k n k  [ ] [ ]x k h n k
[ ]h n
[ ] [ ]
k
x k h n k


 [ ] [ ]
k
x k h n k


[ ]h n
[ ]x n
[ ]h n [ ] [ ]
k
x k h n k



Definição de
Invariância no Tempo
Linearidade
Linearidade
Definição de
[ ]h n
[ ]n
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Somatório de Convolução
,
,
[ ] 
0
,
0,
2
1
1
 
2
5
n
n
x n
caso c
n
ontrário



 






0,
[ ] [ ] , 0.6
00,

  

n
n
na
h n a u n com a
n
Exemplo
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Somatório de Convolução
Entrada Saída
Tempo Tempo
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Somatório de Convolução
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k k
y n x k h n k x n k h k
 
 
    
[0] [ ] [ ]
k
y x k h k


  [ ] [ ] [1 1]
k
y x k h k


   [ ] [ ] [ ] ..2 2 .
k
y x k h k


 
O que acontece para cada valor de n, se imaginarmos os 
sinais em função da variável k?
Vejamos uma animação em Java para compreendermos a
segunda interpretação do somatório de convolução: rebate, desloca, 
multiplica e soma...
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Somatório de Convolução
Exemplo – O Mesmo 
,
,
[ ] 
0
,
0,
2
1
1
 
2
5
n
n
x n
caso c
n
ontrário



 






0,
[ ] [ ] , 0.6
00,

  

n
n
na
h n a u n com a
n
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Somatório de Convolução
 Vamos observar graficamente a resolução do e-
xemplo utilizando a interpretação rebate, deslo-
ca, multiplica e soma.
Script: M_6_SistemasLTIProg1.m
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Somatório de Convolução
Tempo
Rebate
Desloca
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n = -5
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n = -4
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n = -3
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n = -2
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n = -1
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n = 0
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n = 1
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n = 3
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n = 4
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n = 7
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n = 19
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n = 20
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Resumindo...
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Educational Matlab GUIs
 Demos sobre Processamento de Sinais: Convolu-
ção, Série de Fourier, Transformadas, etc...
http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html
(Acesso em 19/08/2011)
 Ainda há tempo? Vamos brincar um pouco com a
Discrete Convolution Demo! 
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia11/09/2012
Novidade
O ENUNCIADO DO SEGUNDO TRABALHO 
JÁ ESTÁDISPONÍVEL NA PÁGINA DA 
DISCIPLINA!
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