Análise de Sinais e Sistemas

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Indaial – 2021
Análise de sinAis e 
sistemAs
Prof.a Julia Grasiela Busarello Wolff
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Prof.a Julia Grasiela Busarello Wolff
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
W855a
Wolff, Julia Grasiela Busarello
Análise de sinais e sistemas. / Julia Grasiela Busarello Wolff. – 
Indaial: UNIASSELVI, 2021.
179 p.; il.
ISBN 978-65-5663-446-3
ISBN Digital 978-65-5663-447-0
1. Sinais e sistemas. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo 
da Vinci.
 
CDD 620
ApresentAção
Caro acadêmico, bem-vindo à disciplina de Análise de Sinais e 
Sistemas!
Nesta disciplina, estudaremos os aspectos relacionados aos sinais e 
aos sistemas elétricos, que são o ramo da engenharia elétrica responsável 
pelo desenvolvimento das telecomunicações e do processamento digital de 
sinais (PDS). Por esse motivo, estudaremos os seguintes assuntos: conceitos 
básicos de sinais; tipos de sinais; seu tratamento matemático, através das 
transformadas de Laplace e de Fourier; unidades de medição; sistemas; tipos 
de sistemas; convolução; filtros; aplicações de sinais; sistemas etc. Como 
leitura complementar, incluímos aplicações práticas dos sinais nas mais 
variadas áreas da ciência e da tecnologia.
Para realmente dominar um assunto, você precisa de dedicação. 
Leia os conteúdos do livro didático e da trilha de aprendizagem; ainda, 
procure ler materiais adicionais em sites confiáveis e nas bibliotecas virtuais 
disponibilizadas pela UNIASSELVI; por fim, assistir a vídeos, que o 
ajudarão a concluir esta etapa. Ao longo das unidades, são sugeridos vídeos 
para complementação dos assuntos. Resolva uma quantidade razoável de 
exercícios matemáticos relacionados aos sinais e aos sistemas, pois isso 
também auxilia no pleno desenvolvimento do domínio dos temas.
Este livro foi escrito especialmente para você, aluno da EaD. É 
destinado a um curso universitário de engenharia elétrica, entretanto, 
pode ser utilizado, também, como um referencial inicial para profissionais 
industriais interessados na compreensão de sinais e na elaboração 
de projetos de telecomunicações. Para o perfeito entendimento dos 
assuntos abordados neste curso, é importante que você já tenha algum 
entendimento acerca dos circuitos elétricos, cálculos diferencial e integral, 
eletromagnetismo e eletrônica.
Prof.a Julia Grasiela Busarello Wolff
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
sumário
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS ............................................................................................... 1
TÓPICO 1 — SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO 
TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS .................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 ABORDAGEM ...................................................................................................................................... 3
3 SINAIS ................................................................................................................................................... 6
3.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS ................................................................................................. 10
4 OPERAÇÕES COM SINAIS ............................................................................................................ 12
5 ANALISADOR DE ESPECTRO ...................................................................................................... 17
6 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE ................................................................... 18
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 19
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 20
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS 
DISCRETOS NO TEMPO ................................................................................................................... 25 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 25
2 SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO .................................................................................................. 26
2.1 SINAIS REAIS E COMPLEXOS .................................................................................................. 26
2.2 SINAIS DETERMINÍSTICOS ...................................................................................................... 26
2.3 SINAIS ALEATÓRIOS .................................................................................................................. 27
2.4 SINAIS PARES ............................................................................................................................... 28
2.5 SINAIS ÍMPARES ......................................................................................................................... 28
2.6 SINAIS PERIÓDICOS ................................................................................................................... 29
2.7 SINAIS NÃO PERIÓDICOS ........................................................................................................ 30
2.8 SINAIS DE ENERGIA .................................................................................................................. 31
2.9 SINAIS DE POTÊNCIA ............................................................................................................... 31
2.10 SINAIS LIMITADOS NO TEMPO ............................................................................................ 33
2.11 SINAIS CAUSAIS....................................................................................................................... 33
2.12 SINAIS NÃO CAUSAIS ............................................................................................................. 33
2.13 SINAIS ANTICAUSAIS ............................................................................................................. 33
2.14 SINAIS FISICAMENTE REALIZÁVEIS .................................................................................. 34
2.15 SINAIS ESPECIAIS DE TEMPO CONTÍNUO ....................................................................... 34
3 FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO .................................................................................................... 34
4 FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO OU DELTA DE DIRAC ....................................................... 35
5 FUNÇÃO RAMPA ............................................................................................................................. 35
6 EXPONENCIAL COMPLEXA ......................................................................................................... 36
7 SINAIS DE TEMPO DISCRETO .................................................................................................... 37
7.1 SEQUÊNCIA DEGRAU UNITÁRIO DISCRETA ..................................................................... 37
7.2 SEQUÊNCIA IMPULSO UNITÁRIO OU DELTA DE DIRAC DISCRETA .......................... 38
7.3 FUNÇÃO RAMPA DISCRETA ................................................................................................... 39
8 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS COMPLEXAS ......................................................................... 39
8.1 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS COMPLEXAS GERAIS ...................................................... 40
9 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS REAIS ....................................................................................... 41
10 SEQUÊNCIAS SENOIDAIS .......................................................................................................... 41
11 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE ................................................................. 43
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 45
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 46
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS CLASSIFICAÇÕES ...................................... 49
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 49
2 SISTEMAS .......................................................................................................................................... 50
2.1 SISTEMAS LINEARES ................................................................................................................. 50
2.2 SISTEMAS NÃO LINEARES....................................................................................................... 50
2.3 SISTEMAS INVARIANTES NO TEMPO ................................................................................... 50
2.4 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO ....................................................................................... 51
2.5 SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO (SLIT’s) ............................................ 51
2.6 SISTEMAS COM MEMÓRIA ...................................................................................................... 51
2.7 SISTEMAS SEM MEMÓRIA ....................................................................................................... 51
2.8 SISTEMAS INVERTÍVEIS ............................................................................................................ 52
2.9 SISTEMAS NÃO INVERTÍVEIS ................................................................................................. 52
2.10 SISTEMAS CAUSAIS ................................................................................................................. 52
2.11 SISTEMAS ESTÁVEIS ................................................................................................................ 52
2.12 SISTEMAS INSTÁVEIS .............................................................................................................. 53
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 54
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 63
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 64
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 65
UNIDADE 2 — TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SINAIS DE TEMPO 
CONTÍNUO (SINAIS PERIÓDICOS) ................................................................ 67
TÓPICO 1 — TRANSFORMADA DE LAPLACE E PROPRIEDADES DAS 
TRANSFORMADAS DE LAPLACE ........................................................................ 69
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 69
2 ABORDAGEM .................................................................................................................................... 69
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................................................. 72
4 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................................ 74
5 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA (RDC) ........................................................................................ 77
6 POLOS E ZEROS DE X(s) ................................................................................................................. 78
7 PROPRIEDADES DA RDC.............................................................................................................. 80
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 82
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 83
TÓPICO 2 — TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE....................................................... 85
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 85
2 EXPLICAÇÃO ..................................................................................................................................... 85
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA ............................................................................. 87
4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS......................................................................................... 87
5 COMPLETAR QUADRADO ........................................................................................................... 94
6 INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO ................................................................................................... 95
7 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE ................................................................... 98
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 100
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 102
TÓPICO 3 — PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS E O TEOREMA DE NYQUIST .... 103
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 103
2 DISCUSSÃO .....................................................................................................................................104
3 AMOSTRAGEM E TEOREMA DE NYQUIST .......................................................................... 106
4 AMOSTRAGEM COM TREM DE IMPULSOS ......................................................................... 110
5 AMOSTRAGEM COM RETENTOR DE ORDEM ZERO (ZERO ORDER HOLD)............ 111
6 AMOSTRAGEM COM RETENTOR DE PRIMEIRA ORDEM (INTERPOLAÇÃO 
LINEAR) ............................................................................................................................................ 113
7 QUANTIZAÇÃO ............................................................................................................................. 114
8 PROCESSAMENTO EM TEMPO DISCRETO DE SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO ..... 116
9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS NO OCTAVE .............................................................................. 119
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 121
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 123
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 124
REFERÊNCIA ...................................................................................................................................... 125
UNIDADE 3 — TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO 
CONTÍNUO E SINAIS DISCRETOS NO TEMPO ........................................ 127
TÓPICO 1 — TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO 
CONTÍNUO (SINAIS PERIÓDICOS) ................................................................... 129 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 129
2 SÉRIE DE FOURIER ........................................................................................................................ 131
2.1 SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER ............................................................................ 131
3 SIMETRIAS ...................................................................................................................................... 138
4 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES ......................................................... 144
5 CONTEÚDO DE POTÊNCIA DE UM SINAL PERIÓDICO .................................................. 146
6 SÉRIE EXPONENCIAL (COMPLEXA) DE FOURIER .............................................................. 147
7 REPRESENTAÇÃO EM SCILAB OU NO OCTAVE ................................................................. 151
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 152
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 153
TÓPICO 2 — TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DISCRETOS NO 
TEMPO (SINAIS APERIÓDICOS) ........................................................................ 155
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 155
2 TRANSFORMADA DE FOURIER ............................................................................................... 156
2.1 DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER ........................................................... 157
2.2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER .................................................... 161
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 163
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 164
TÓPICO 3 — FILTROS PARA SINAIS .......................................................................................... 165
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 165
2 FILTROS ATIVOS ........................................................................................................................... 167
3 FILTROS PASSIVOS ....................................................................................................................... 168
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 172
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 176
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 178
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 179
1
UNIDADE 1 — 
SINAIS E SISTEMAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender os conceitos de sinais e de sistemas e as suas diversas 
aplicações na engenharia;
• utilizar ferramentas matemáticas para a análise de sinais e sistemas;
• analisar e diferenciar sinais e sistemas no domínio do tempo e no domínio 
da frequência (contínuo e discreto);
• aplicar técnicas de análises de sinais e sistemas para problemas de 
engenharia elétrica (sistemas de potência, controle, instrumentação, 
processamento de sinais, automação, eletrônica etc.);
•	 classificar	sinais	e	efetuar	as	análises	temporal	e	espectral;
• usar o Scilab para compreensão e simulação de sinais e sistemas;
• obter a resposta no domínio do tempo e no domínio da frequência, de 
sinais, analiticamente e através de simulações.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS 
NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
TÓPICO 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E 
DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
TÓPICO 3 – ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS CLASSIFICAÇÕES
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS 
NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
1 INTRODUÇÃO
Prezado acadêmico, você já percebeu que a maioria dos estímulos ao seu 
redor é representado por sinais elétricos?
 
Os sinais elétricos e os sistemas estão presentes na nossa vida cotidiana. 
Não	 obstante,	 deparamo-nos	 com	 sinais	 de	 criptografia	 em	 aplicativos	 de	
celulares, sinais de radares e sonares, sinais de eletrocardiograma (ECG) em 
atividades físicas ou em exames de rotina etc.
Os conceitos e a teoria de sinais e sistemas são necessários em quase todos 
os	 campos	 da	 engenharia	 elétrica	 e,	 também,	 em	muitas	 disciplinas	 científicas	 de	
outras engenharias. Eles formam a base para estudos mais avançados em áreas, como 
comunicação, processamento de sinais, telecomunicações e sistemas de controle.
2 ABORDAGEM
As telecomunicações representam um ramo da engenharia elétrica 
que atua com os satélites, as redes telefônicas, as emissoras de rádio, internet, 
televisão, radares, sonares etc. 
A	 palavra	 telecomunicação	 inclui	 o	 prefixo	 grego	 tele,	 que	 significa	
“distância”, ou “longe”. O objetivo das telecomunicações é realizar o projeto, o 
controle, a implementação e a gestão dos diversos sistemas de comunicações. 
Outro objetivo das telecomunicações é realizar a comunicação a distância entre 
as pessoas.
A Figura 1 mostrará um conjunto de antenas e demais equipamentos 
utilizados nas telecomunicações.
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
4
FIGURA 1 – ANTENAS
FONTE: Wikipedia (2020b,s.p.)
Telecomunicação é uma designação genérica das comunicações a longa 
distância que abrange a transmissão, a emissão ou a recepção de sinais, sons ou mensagens 
por fio, rádio, eletricidade, meios ópticos ou qualquer outro processo eletromagnético.
NOTA
Os	satélites	artificiais	de	comunicação	monitoram	o	nosso	dia	a	dia.	São	
conceituados como corpos construídos pelos homens e colocados em órbita ao 
redor da Terra ou de qualquer outro corpo celeste. Ao longo da história, já foram 
efetuados milhares de lançamentos desses corpos ao espaço, mas a maioria já está 
desativada. A Figura 2 mostrará um satélite de defesa da NASA.
FIGURA 2 – SATÉLITES NO ESPAÇO
FONTE: Defesa Net (2019, s.p.)
Para que as informações sejam transmitidas em um sistema de 
comunicação, é necessário transformá-las em sinais elétricos. Esses sinais são 
variações de tensões elétricas no decorrer do tempo e podem ser de dois tipos: 
analógicos ou digitais.
TÓPICO 1 — SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
5
GRÁFICO 1 – REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL ANALÓGICO AO LONGO DO TEMPO
FONTE: Embarcados (2017, s.p.)
Os sinais digitais possuem uma quantidade limitada de valores e são 
representados	por	dois	níveis.	Assim,	o	sinal	digital	é	definido	para	instantes	de	
tempo	e	o	conjunto	de	valores	que	pode	assumir	é	finito.	São	representados	por	
dois níveis lógicos, zero ou um. A digitalização converte o sinal analógico, por 
exemplo, a voz de um locutor em uma série de uns e zeros (EMBARCADOS, 
2017).	O	Gráfico	2	mostrará	um	sinal	digital.
GRÁFICO 2 – REPRESENTAÇÃO EM NÍVEIS LÓGICOS DE UM SINAL DIGITAL
FONTE: Embarcados (2017, s.p.)
Os sinais analógicos são contínuos em tempo e em amplitude. Assim, 
dado qualquer valor real de tempo t, o valor de amplitude x(t) pode tomar 
qualquer valor numérico contido em um intervalo contínuo de números reais 
(FARIA, 2010). Contudo, lembre-se: todo sinal analógico é contínuo, porém, nem 
todo	sinal	contínuo	é	analógico.	O	Gráfico	1	mostrará	a	representação	de	um	sinal	
analógico no tempo.
De forma geral, os sinais traduzem a evolução de uma grandeza ao longo 
do tempo ou do espaço. 
Nosso objetivo, nesta unidade, é apresentar os conceitos básicos dos 
sinais de tempo contínuo e de tempo discreto, nos domínios do tempo e de 
frequência. Vamos iniciar?!
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
6
3 SINAIS
O universo que abrange os sinais elétricos é fascinante. A irradiância 
estelar	de	um	conjunto	de	estrelas	pode	ser	representada	por	um	conjunto	finito	
de sinais de tempo contínuo. O campo magnético de estrelas e quasares, o campo 
elétrico no caso das anãs brancas, a temperatura espectral e a taxa de decréscimo 
de	massa	 também	 são	 exemplos	 de	 sinais	 e	 sistemas.	O	Gráfico	 3	mostrará	 a	
temperatura da superfície de algumas estrelas versus a taxa de luminosidade 
delas em relação ao Sol.
O Sol, por exemplo, tem o campo magnético continuamente monitorado 
por uma sonda chamada de Copérnico (GALILEU, 2019). Essa sonda monitora 
a atividade eletromagnética do som para prever manchas solares, que podem 
interferir nas comunicações da Terra.
GRÁFICO 3 – CARACTERÍSTICAS DAS PRINCIPAIS ESTRELAS
FONTE: UFRGS (2020a, s.p.)
TÓPICO 1 — SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
7
Os sinais elétricos podem ser conceituados de várias formas, dentre elas, 
é possível citar as mais conhecidas na literatura: “Um sinal é uma função que 
representa uma quantidade ou uma variável física e contém informações sobre 
o comportamento ou a natureza do fenômeno” (HSU, 2004, p. 15). Com isso, 
podemos dizer que os sinais podem representar diversas particularidades dos 
sistemas biológicos, ou seja, o monitoramento da temperatura de um paciente, a 
medição das pressões sistólica e diastólica, um espectrograma de canto ou fala, 
sistemas auditivos, o funcionamento do sistema nervoso etc. A Figura 3 mostrará o 
processo de sinapse de um neurônio e os seus dendritos.
FIGURA 3 – ATIVIDADE NEURONAL
FONTE: Toda Matéria (2020, s.p.)
A	 importância	 do	 estudo	 dos	 sinais	 se	 justifica	 através	 dos	 avanços	
tecnológicos que dispomos atualmente: GPS; lançamento do ônibus espacial da 
NASA; sensoriamento remoto; imagens geofísicas; acompanhamento, em tempo 
real, das atividades de um vulcão etc.
O sensoriamento remoto é um processo no qual uma estação remota 
capta informações de um objeto sem estar em contato físico com ele. Através 
das medições dos campos eletromagnéticos vizinhos ao objeto, são adquiridas 
as informações na estação remota. Essas aquisições de medições podem ser 
ativas ou passivas. São chamadas de medições ativas quando se ilumina o objeto 
com	um	campo	(sinal)	bem	definido	e	se	processa	o	p	eco	(sinal	retornado)	do	
objeto. As medições passivas são obtidas ouvindo o campo (sinal) que é emitido 
naturalmente pelo objeto e processado (HAYKIN; VAN VEEN, 2001).
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
8
Acompanhe as atividades vulcânicas do Monte Santa Helena em https://www.
apolo11.com/vulcameras.php.
DICAS
Outro conceito menciona que os sinais e os sistemas abrangem os 
processamentos analógico e digital de sinais, ideias no centro da comunicação e 
medições modernas.
Um sinal é um conjunto de dados ou informações. São exemplos de sinais:
• sinal de telefone;
• sinal de voz;
• sinal de televisão;
• sinal de internet;
• correio eletrônico;
• registros do índice Bovespa ao longo de um dia etc.
Matematicamente, um sinal é representado por uma função de 
uma ou mais variáveis. A função de uma variável, como x(t), chamamos de 
sinal unidimensional; a função de duas variáveis, como x(t,s), chama-se 
sinal bidimensional; a função de três variáveis, x(t,s,z), denomina-se sinal 
tridimensional, e assim por diante. Sinais multidimensionais são extensões 
dos sinais unidimensionais, isto é, uma sequência multidimensional de valores 
numéricos ordenados em todas as dimensões (FARIA, 2010).
Um sinal de voz é representado por uma amplitude de tensão em 
função do tempo, e é um exemplo de sinal unidimensional. Um trecho de vídeo 
é representado pela variação de parâmetros de cor em função do tempo e da 
posição na tela, um exemplo de um sinal bidimensional.
Na área médica, por exemplo, a análise de um sinal resultante de um 
exame de eletrocardiograma (ECG) ou eletroencefalograma (EEG) pode indicar 
se o paciente possui alguma anomalia cardíaca ou na atividade elétrica cerebral. 
A Figura 4 mostrará um sinal de eletroencefalograma (EEG).
TÓPICO 1 — SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
9
FIGURA 4 – SINAIS DE ELETROENCEFALOGRAMA
FONTE: Mundim, Cardeal e Campos (2020, s.p.)
Os sinais apresentam importante função na natureza. Abelhas 
africanizadas (ou "assassinas") e domésticas são quase idênticas em tamanho e 
aparência, e uma das maneiras de diferenciá-las é com a ajuda de um microscópio. 
No entanto, descobriu-se que elas batem as asas em frequências diferentes, e, 
consequentemente, geram sinais diferentes. Esses sinais detectados podem 
ser	utilizados	para	 identificar	as	abelhas	assassinas	e	controlar	a	disseminação	
(HAYKIN; VAN VEEN, 2001).
Um submarino emite um sinal acústico próprio, dependendo da rotação 
dos propulsores e vibração dos motores. Esse sinal pode ser utilizado na detecção 
submarina (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010).
A seguir, apresentaremos os tipos de sinais mais importantes na 
engenharia elétrica. Vamos conhecê-los?!
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
10
3.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS
Os	sinais	são	classificados	em	sinais	de	tempo	contínuo	e	sinais	de	tempo	
discreto.
Um sinal de tempo contínuo é representado por x(t). Um sinal é de tempo 
contínuo se a sua variável t for contínua, ou seja, t ∈ ℝ. A maioria dos sinais físicos 
é contínua, como a posição e a velocidade de um corpo, a fala ou a música captada 
por um microfone, tensão ou corrente em um circuito elétrico etc. (MARQUES, 
2010). A seguir, visualizaremos a representação de um sinalde tempo contínuo.
GRÁFICO 4 – SINAL DE TEMPO CONTÍNUO
FONTE: Marques (2010, p. 9)
Um sinal contínuo pode apresentar descontinuidades, portanto, não se 
confunda com o conceito de continuidade de uma função.
NOTA
Um	sinal	de	 tempo	discreto	está	definido	apenas	em	 instantes	 isolados	
de tempo. Consequentemente, um sinal de tempo discreto pode ser descrito 
por uma sequência de números. Os sinais de tempo discreto são representados 
pela	 notação	 n[x],	 em	 que	 “n”	 só	 está	 definido	 para	 números	 inteiros.	 Cada	
um dos elementos do sinal x é chamado de amostra. A seguir, mostraremos a 
representação de um sinal de tempo discreto.
TÓPICO 1 — SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
11
GRÁFICO 5 – SINAL DE TEMPO DISCRETO
FONTE: Marques (2010, p. 9)
Nos sinais discretos, o eixo da amplitude é contínuo, mas o eixo referente 
ao tempo é discreto. Ao contrário dos sinais de tempo contínuo, as medições da 
quantidade	estão	disponíveis	apenas	em	tempos	específicos	(FARIA,	2010).
Um sinal de tempo discreto pode ser uma sequência de comprimento 
finito	 ou	 infinito.	Um	 sinal	 de	 comprimento	 finito	 definido	 no	 intervalo	N1	 ≤	
n	 ≤	N2	 tem	 comprimento	 ou	duração:	N	 =	N2 – N1 + 1. Ou seja, dado o sinal 
discreto	 x	 [n],	 no	 intervalo	 1	 ≤	 n	 ≤	 10,	 seu	 comprimento	 ou	 duração	 será:	 
N	=	10	–	1	+	1	∴ N	=	10.
Dentre	as	sequências	de	comprimento	infinito,	destacamos	as	sequências	
chamadas	 causais,	 definidas	 somente	 para	 n	 ≥	 0,	 e	 as	 sequências	 anticausais,	
definidas	para	n	<	0	(EISENCRAFT,	2006).
Só os sinais discretos podem ser armazenados e processados em 
computadores digitais.
NOTA
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
12
Da mesma forma, os sinais podem ser divididos em sinais analógicos ou 
sinais digitais, conforme mencionamos na introdução deste tópico. Entretanto, há 
outras	classificações	de	sinais:
• sinais reais complexos;
• sinais determinísticos;
• sinais aleatórios;
• sinais pares;
• sinais ímpares;
• sinais periódicos;
• sinais não periódicos;
• sinais de energia;
• sinais de potência;
• sinais causais;
• sinais não causais;
• sinais anticausais.
Há, também, os sinais especiais, determinados por funções:
• função degrau unitário;
• função impulso unitário;
• sinais exponenciais complexos gerais;
• sinais exponenciais complexos;
• sinais exponenciais reais;
• sinais senoidais.
No	 Tópico	 2,	 estudaremos	 cada	 um	 desses	 sinais,	 suas	 definições,	
características e representações.
4 OPERAÇÕES COM SINAIS
Estudaremos algumas operações matemáticas com sinais:
 
• Adição e subtração.
• Multiplicação por um escalar.
• Deslocamento temporal.
• Escalamento temporal.
• Reversão temporal.
• Operações combinadas.
O Quadro 1 mostrará as diversas operações matemáticas com sinais.
TÓPICO 1 — SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
13
QUADRO 1 – OPERAÇÕES COM SINAIS
FONTE: Adaptado de Vasconcelos (2011)
Adição e subtração
Amplificação	e	atenuação
Deslocamento no tempo
Reversão
Multiplicação (modulação)
Convolução
Produto interno (escalar)
Correlação
•	 Multiplicação	 por	 um	 escalar	 (c):	 Dado	 um	 sinal	 x(t),	 modifica-se	 a	 sua	
amplitude,	obtendo-se	um	novo	sinal	x(t)	 =	 c.x(t).	 Se	o	escalar	 c	>	1,	o	 sinal	
é	 amplificado,	 e,	 se	o	 escalar	 c	 estiver	 entre	 zero	 e	um,	ou	 seja,	 0	 <	 c	 <	 1,	 o	
sinal é atenuado. A seguir, mostraremos alguns exemplos de sinais de tempo 
contínuo multiplicados por escalares. Note que a amplitude dos sinais muda. 
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
14
GRÁFICO 6 – OPERAÇÃO COM SINAIS - MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
FONTE: Faria (2010, p. 22)
• Deslocamento temporal: No deslocamento temporal, o sinal sofre um atraso ou 
avanço. A seguir, observaremos um sinal (a), seu atraso (b) e seu avanço (c).
GRÁFICO 7 – OPERAÇÕES COM SINAIS - DESLOCAMENTO TEMPORAL
FONTE: Arndt (2020, p. 32)
TÓPICO 1 — SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
15
No item (b), observa-se que o atraso corresponde a um deslocamento de 
T segundos para a direita do sinal x(t). Já no item (c), o avanço corresponde a um 
deslocamento de T segundos para a esquerda do sinal x(t).
• Escalonamento temporal: A compressão ou expansão do sinal x(t) no tempo é 
chamada	de	escalonamento	temporal.	Um	sinal	comprimido	por	um	fator	a	=	
3,	por	exemplo,	é	representado	por	x(t)	=	x(at)	=	x(3t).	Já	um	sinal	expandido	
por	um	fator	a	=	3	 ,	por	exemplo,	é	dado	por:	x(t)	=	x(t/3).	Mostraremos	um	
exemplo	do	sinal	comprimido	e	expandido	por	um	fator	a	=	2.
GRÁFICO 8 – OPERAÇÕES COM SINAIS - ESCALONAMENTO TEMPORAL
FONTE: Arndt (2020, p. 33)
• Reversão temporal: A reversão temporal consiste em uma rotação de 180°, do 
sinal	x(t),	em	torno	do	eixo	vertical.	A	reversão	temporal	é	dada	por:	x(t)	=	x(−t).	
A seguir, será possível perceber um sinal e a sua reversão temporal.
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
16
GRÁFICO 9 – OPERAÇÕES COM SINAIS - REVERSÃO TEMPORAL
FONTE: Arndt (2020, p. 35)
• Operações combinadas: Pode-se utilizar operações mais complexas através da 
combinação das operações até aqui estudadas. Uma operação combinada é 
representada	por	x(t)	=	x(at	−	b).	Essa	operação	pode	ser	realizada	de	duas	formas:
◦	 Desloca-se	x(t)	de	“b”,	resultando	em	x(t	−	b).	Desloca-se	x(t	−	b)	pelo	fator	
“a”,	o	que	gera	x(at	−	b).
◦	 Escalona-se	x(t)	pelo	fator	“a”,	gerando	x(at).	Desloca-se	temporalmente	de	
“b/a”,	ou	seja,	substitui-se	“t”	por	“t	−	(b/a)”	para	se	obter	x[a(t	−	b/a)],	o	que	
gera	x(at	−	b).
Na prática, o analisador de espectro é o equipamento que mostra os sinais 
na tela e os trata no domínio da frequência.
TÓPICO 1 — SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO E APLICAÇÕES DOS SINAIS
17
5 ANALISADOR DE ESPECTRO
O analisador de espectros é um instrumento utilizado para a análise de 
sinais alternados no domínio da frequência. Possui certa semelhança com um 
osciloscópio, uma vez que o resultado da medida é apresentado em uma tela, 
tendo a amplitude na vertical e a frequência na horizontal. 
Um analisador de espectros é, essencialmente, um receptor de rádio 
passivo,	com	uma	interface	gráfica	(display)	para	a	análise	e	a	medida	do	sinal	
no domínio da frequência. Os analisadores de espectros indicam, geralmente, a 
informação contida no sinal de forma direta, como a tensão, a potência, o período 
e a frequência. A Figura 5 mostrará um analisador de espectro de frequências.
FIGURA 5 – ANALISADOR DE ESPECTRO
FONTE: Keysight (2020, s.p.)
A análise espectral de um sinal fornece informação adicional difícil de ser 
obtida em uma análise temporal (osciloscópio). As escalas vertical (amplitude) e 
horizontal (frequência) de um analisador de espectros são, em geral, logarítmicas, 
o que facilita a leitura de sinais de baixa amplitude. Ao analisarmos um sinal 
senoidal	 levemente	 distorcido	 em	 função	 do	 tempo,	 dificilmente,	 percebemos	
essa imperfeição. Na análise no domínio da frequência, pequenas distorções e 
imperfeições (que geram componentes de frequência diferentes) são facilmente 
identificadas,	pois	cada	componente	de	frequência	é	visualizado	separadamente.	
A amplitude pode ser diretamente lida em dB (unidade mais usual em sistemas 
de comunicação) e, na escala horizontal, um amplo espectro de frequências pode 
ser visualizado simultaneamente.
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
18
6 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE
O	 Scilab	 é	 um	 software	 científico	 livre	 para	 computação	 numérica	
semelhante ao Matlab (software comercial), que fornece um poderoso ambiente 
computacional	aberto	para	aplicações	científicas.	
Foi desenvolvido desde 1990 pelos pesquisadores do INRIA (Institut 
National de Recherche en Informatique et en Automatique) e do ENPC (École Nationale 
des Ponts et Chaussées) e, então, pelo Consórcio Scilab, desde maio de 2003. Esse 
software é distribuído gratuitamente na internet desde 1994 (UFRGS, 2020b). Ele é 
amplamente utilizado em indústriase em ambientes acadêmicos para simulação 
nas áreas de ciências e engenharias. Por ser um software livre, iremos utilizá-lo 
nesta disciplina para simular as sequências discretas. Você pode baixá-lo no site: 
https://www.scilab.org/download/6.1.0.
No	Scilab,	podemos	representar	uma	sequência	discreta	de	duração	finita	
por um vetor linha (coluna). Contudo, esse vetor não tem nenhuma informação 
de referência acerca da posição n de casa amostra. Por esse motivo, a correta 
representação de uma sequência discreta x[n] necessita de dois vetores, ou seja, 
um vetor para representar as amostras e um outro vetor para representar a 
posição delas.
1° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLEZ, 2020): Considere a 
seguinte	sequência	ou	sinal	discreto:	x[n]	=	{-3,	-2,	-1,	0, 1, 2, 3}. A seta indica que 
a	amostra	está	na	posição	n	=	0.	Os	vetores	x	e	n	podem	ser	definidos	no	Scilab	da	
seguinte forma:
>>	n	=	[-3,	-2,	-1,	0,	1	,2,	3];
>>	x	=	[-3,	-2,	-1,	0,	1	,2,	3].
O vetor n deve ter sete posições, assim como tem o vetor x.
O	gráfico	da	sequência	discreta	é	traçado	através	do	seguinte	comando:
>>	stem	(n,x).
19
Neste tópico, você aprendeu que:
• Os sinais são funções que representam uma quantidade ou variável física e 
contêm informações do comportamento do fenômeno físico.
• Um exemplo de sinal é a tensão no capacitor ou a corrente no resistor em um 
circuito resistivo capacitivo (RC).
 
• Outros exemplos de sinais são: nível de glicose, nível de colesterol, batimentos 
cardíacos, pressão sanguínea, temperatura, índice da bolsa de valores, índice 
de rentabilidade de uma conta bancária etc.
• Os tipos de sinais são de tempo contínuo, de tempo discreto, analógicos, 
digitais, sinais reais complexos, sinais determinísticos e aleatórios, sinais pares 
e ímpares, sinais periódicos e não periódicos, sinais de energia e de potência.
•	 Um	sinal	contínuo	no	tempo	é	aquele	especificado	em	todos	os	valores	de	tempo.
•	 Um	sinal	discreto	no	tempo	é	aquele	especificado	apenas	em	alguns	instantes	
de tempo.
• Um sinal analógico é aquele cujos valores de amplitude podem assumir 
infinitos	valores	dentro	de	uma	faixa	contínua.
• Um sinal digital é aquele cujo valores de amplitude podem assumir apenas 
alguns valores.
• Os sistemas são entidades que manipulam um ou mais sinais para realizar 
uma função, gerando outros sinais.
• Os sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT’s) são sistemas que 
possuem as propriedades de linearidade e de invariância no tempo. Eles são 
totalmente caracterizados pela resposta do sistema a um impulso unitário: 
δ(n)	→	h(n)	δ(t)	→ h(t). Ou seja, a resposta ao impulso caracteriza completamente 
o SLIT.
• Os tipos de sistemas são de tempo contínuo e de tempo discreto, causais e 
não causais, com memória e sem memória, lineares e não lineares, variantes e 
invariantes no tempo, estáveis e com realimentação.
• As operações com sinais são: multiplicação por um escalar, deslocamento 
temporal, escalamento temporal, reversão temporal e operações combinadas. 
Elas designam um papel importante na manipulação dos sinais na engenharia 
e nas telecomunicações.
RESUMO DO TÓPICO 1
20
1	 Um	 sinal	 é	 formalmente	 definido	 como	 uma	 função	 de	 uma	 ou	 mais	
variáveis, a qual veicula informações da natureza de um fenômeno 
físico. Quando a função depende de uma única variável, diz-se que 
o sinal é _________________________. Um sinal de fala é um sinal 
_______________________, cuja amplitude varia com o tempo, dependendo 
da palavra falada e de quem a fala. Quando a função depende de duas 
ou mais variáveis, diz-se que o sinal é ____________________________. 
Uma imagem é um exemplo de um sinal ________________________, 
com as coordenadas horizontal e vertical da imagem representando as 
_______ dimensões. Com base nesse contexto, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) unidimensional, unidimensional, multidimensional, multidimensional, duas.
b) ( ) bidimensional, bidimensional, multidimensional, multidimensional, duas.
c) ( ) tridimensional, tridimensional, multidimensional, multidimensional, duas.
d) ( ) multidimensional, multidimensional, bidimensional, tridimensional, duas.
2 Um sinal pode ser entendido como uma função de uma ou mais variáveis 
independentes, cuja variação representa o comportamento de algum 
fenômeno	físico.	Se	nos	restringirmos,	mais	especificamente,	à	Engenharia	
Elétrica, pode-se, em geral, entender um sinal como uma grandeza, cuja 
variação em função do tempo é usada para representar o comportamento 
de um fenômeno de interesse para alguma das suas áreas de especialização. 
Exemplos de sinais podem ser encontrados nas mais diversas áreas, 
como telefonia, automação e controle, geração e transmissão de energia, 
processamento de áudio, voz e imagens etc.
FONTE: Adaptado de CARVALHO, J.; GURJÃO, E.; VELOSO, L. Introdução à análise de sinais 
e sistemas. São Paulo: Elsevier, 2017. 280p.
Com base no exposto e considerando os sinais e sistemas, marque V para as 
sentenças verdadeiras e F para as sentenças falsas:
I- Um sinal par é invariante a um rebatimento em torno do eixo vertical. 
Contrariamente, um sinal é dito ímpar quando sofre uma inversão de 
sinal como resultado do rebatimento em torno do eixo vertical.
II-	 Um	sinal	é	classificado	como	sinal	de	potência	quando	possui	potência	
média	infinita	e	energia	total	finita.
III- O sinal degrau unitário, no tempo contínuo, é um sinal designado por u(t) 
e vale zero quando o tempo é superior a um e vale um negativo quando o 
tempo é inferior a zero.
IV- Os sinais seno e cosseno, muito utilizados na análise de sinais, constituem 
exemplos bem conhecidos de sinal par e sinal ímpar, respectivamente.
V-	 Um	sistema	é	dito	 sem	memória	 se	a	 saída	no	 tempo	n	=	n0	depender	
apenas	da	entrada	nesse	mesmo	tempo	n	=n0.	Ainda,	um	sistema	é	linear	
se, e apenas se, for considerado simultaneamente aditivo e homogêneo.
AUTOATIVIDADE
21
Agora, assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – F – V – V.
b) ( ) V – V – F – V – F.
c) ( ) F – F – F – V – F.
d) ( ) F – V – F – F – V.
3 Os sinais, de uma forma ou de outra, constituem ingrediente básico da nossa 
vida diária. Por exemplo, uma forma comum de comunicação humana se 
desenvolve com o uso de sinais da fala, seja na conversação pessoal ou por 
um canal telefônico. Outra forma comum de comunicação é visual por 
natureza, com os sinais assumindo a forma de imagens de pessoas ou objetos 
que nos cercam. Há, também, o correio eletrônico pela internet. A internet 
constitui um poderoso meio para pesquisar informações de interesse geral, 
publicidade, educação e jogos. Em um sistema de comunicação, o sinal de 
entrada poderia ser um sinal de fala ou dados de computador. O sistema 
em si é composto pela combinação de um transmissor, canal e receptor, e o 
sinal de saída é uma estimativa do sinal da mensagem original. Um sistema 
é um dispositivo que produz transformações nos sinais.
FONTE: Adaptado de HAYKIN, S.; VEEN, B. V. Sinais e sistemas. São Paulo: Bookman, 2001. 
p. 21-22.
Com base nessa contextualização, analise as assertivas a seguir:
I- Os batimentos cardíacos de um paciente permitem, ao médico, monitorar 
a sua pressão sanguínea e a temperatura, diagnosticar a presença ou 
não de doenças. Essas quantidades representam sinais que transmitem 
informações ao médico acerca do estado de saúde do paciente.
II-	 Ao	 ouvirmos	 a	 previsão	 do	 tempo	 no	 rádio,	 ouvimos	 referências	 às	
variações diárias de temperatura e umidade, velocidade e direção dos 
ventos prevalecentes. Os sinais representados por essas quantidades nos 
ajudam a formar uma opinião acerca da conveniência de permanecermos 
em casa ou não.
III-	 As	flutuações	diárias	dos	preços	e	commodities nos mercados internacionais 
representam sinais que transmitem informações de como as ações de 
uma companhia ou corporação, em particular, estão se comportando. 
Baseando-se nessas informações, decisões são tomadas a respeito da 
conveniênciade fazer novos investimentos ou vender as ações antigas.
IV- Uma sonda que explora o espaço exterior envia valiosas informações de um 
planeta distante a uma estação na Terra. A informação pode assumir a forma 
de	imagens	de	radar,	estas	que	representam	perfis	da	superfície	do	planeta;	
imagens em infravermelho, que transmitem informações de quão quente é o 
planeta; ou imagens ópticas, que mostram a presença de nuvens.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) I, II, III e IV.
b) ( ) II, III e IV.
c) ( ) III e IV.
d) ( ) Somente a assertiva II está correta.
22
4	 Segundo	Haykin	e	Van	Veen	(2001,	p.	30):
A meta do processamento de sinais biomédicos é extrair 
informações de um sinal biológico que nos ajude a melhorar 
ainda mais nossa compreensão dos mecanismos básicos da 
função biológica e nos auxilie no diagnóstico ou tratamento de 
uma condição médica. A geração de muitos sinais biológicos 
encontrados no corpo humano vem da atividade elétrica de 
grandes grupos de células nervosas ou células musculares. As 
células nervosas do cérebro são chamadas neurônios. A Figura 
1.7	mostra	 os	 tipos	morfológicos	 de	 neurônios	 identificáveis	 do	
córtex cerebral de um macaco, baseados em estudo do córtex 
sensorial	 e	 do	 motor	 somático	 primário.	 Essa	 figura	 ilustra	 as	
muitas formas e tamanhos diferentes de neurônios que existem. 
Independentemente da origem do sinal, o processamento de 
sinais biomédicos se inicia com um registro temporal do evento 
biológico de interesse. Por exemplo, a atividade elétrica do coração 
é representada por um registro denominado eletrocardiograma 
(ECG). O ECG representa as mudanças no potencial (tensão) 
devido aos processos eletroquímicos envolvidos na formação e na 
dispersão espacial das excitações elétricas nas células do coração. 
Consequentemente, inferências detalhadas a respeito do coração 
podem ser feitas a partir do ECG. Outro exemplo importante de sinal 
biológico é o eletroencefalograma (EEG). O EEG é um registro das 
flutuações	na	atividade	elétrica	de	grandes	grupos	de	neurônios	no	
cérebro.	Especificamente,	o	EEG	mede	o	campo	elétrico	associado	com	
a	corrente	que	flui	através	de	um	grupo	de	neurônios.	
Para registrar o EEG (ou o ECG), no mínimo, dois eletrodos são 
necessários. Um eletrodo ativo é colocado sobre o local particular 
da atividade neuronial no que se tem interesse, e um eletrodo de 
referência é colocado a alguma distância remota desse local. O 
EEG é medido como a tensão ou diferença de potencial entre os 
eletrodos ativo e de referência. A Figura 1.8 mostra três exemplos 
de sinais de EEG registrados do hipocampo de um rato.
23
Com base no exposto, analise as sentenças a seguir:
I-	 Um	artefato	se	refere	à	parte	do	sinal	biomédico	produzida	por	eventos	
que são estranhos ao evento biológico de interesse. Assim, a detecção e 
a supressão de artefatos são quesitos importantes no processamento de 
sinais biomédicos.
II- Os artefatos surgem em um sinal biológico em diferentes etapas do 
processamento,	e	podem	ser	classificados	como:	artefatos	instrumentais,	
biológicos ou de análise.
III-	Um	 método	 comum	 e	 eficaz	 de	 reduzir	 os	 artefatos	 instrumentais	 e	
biológicos	no	processamento	digital	de	sinais	é	a	filtragem.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) As sentenças I, II e III estão corretas.
b) ( ) Apenas as sentenças I e II estão corretas.
c) ( ) Apenas as sentenças II e III estão corretas.
d) ( ) Apenas a sentença I está correta.
5 Sobre os analisadores de espectro, assinale a alternativa INCORRETA:
a) ( ) A análise espectral de um sinal fornece informação adicional difícil de 
ser obtida em uma análise temporal (osciloscópio).
b) ( ) As escalas vertical (amplitude) e horizontal (frequência) de um 
analisador de espectros são, em geral, logarítmicas, o que facilita a 
leitura de sinais de baixa amplitude.
24
c) ( ) Ao analisarmos um sinal senoidal levemente distorcido em função 
do	 tempo,	 dificilmente,	 percebemos	 essa	 imperfeição.	Na	 análise	 no	
domínio da frequência, pequenas distorções e imperfeições (que geram 
componentes	 de	 frequência	 diferentes)	 são	 facilmente	 identificadas,	
pois cada componente de frequência é visualizado separadamente.
d) ( ) A análise espectral de um sinal não fornece informações adicionais ao 
engenheiro eletricista.
25
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E 
DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
1 INTRODUÇÃO
Sinais, geralmente, transportam informações a respeito do estado ou 
do comportamento de um sistema físico e, geralmente, são sintetizados para 
a comunicação entre humanos ou entre humanos e máquinas. Uma imagem 
fotográfica	pode	ser	representada,	matematicamente,	como	a	variação	do	brilho	
e	 da	 cor	 em	 função	 de	 duas	 variáveis	 no	 espaço	 (RAMOS,	 2020).	A	 Figura	 6	
mostrará vários sinais de fala e timbres de instrumentos.
FIGURA 6 – TIMBRES DE INSTRUMENTOS E FALA HUMANA REPRESENTADOS POR SINAIS
FONTE: Costa e Silva (2020, p. 9)
Agora, aprofundaremos o estudo dos sinais de tempo contínuo, de 
tempo discreto e os sinais especiais, que são aqueles representados por funções 
matemáticas e que possuem interesse prático em análise de sinais e sistemas. 
Vamos lá?!
26
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
2 SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO
Sinais de tempo contínuo são representados em função de uma variável 
independente (tempo) contínua.
2.1 SINAIS REAIS E COMPLEXOS
Um sinal x(t) é um sinal real se o seu valor for um número real, ou seja, 
x(t)	=	A,	com	A ∈ ℝ.	Como	exemplo,	temos:	x(t)	=	2	ou	x(t)	=	2,75.
Um sinal x(t) é um sinal complexo se o seu valor for um número complexo. 
Um sinal complexo x(t) tem a seguinte forma: x(t) = x1(t) + jx2(t) : x1 (t) é um 
sinal real e jx2(t) é um sinal imaginário e, j = . Essa equação pode representar 
tanto um sinal de tempo contínuo quanto um sinal de tempo discreto. A seguir, 
acompanharemos um sinal complexo com as partes real e imaginária distintas.
GRÁFICO 10 – SINAL COMPLEXO
FONTE: Higuti e Kitano (2003, p. 10)
2.2 SINAIS DETERMINÍSTICOS
Um	sinal	determinístico	é	aquele	cujos	valores	podem	ser	especificados	
a qualquer instante de tempo, ou seja, existe uma função que determina o sinal 
(HSU,	2004).	Um	exemplo	é	x(t)	=	A,cos(ω0t),	em	que	A	e	ω0 são constantes.
Acompanhe um sinal determinístico:
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
27
GRÁFICO 11 – EXEMPLO DE SINAL DETERMINÍSTICO
FONTE: Ramos (2020, p. 4)
2.3 SINAIS ALEATÓRIOS
Um sinal aleatório é aquele cujos valores não podem ser determinados. 
Esses sinais admitem apenas uma descrição probabilística (HSU, 2004). Veja um 
sinal aleatório:
GRÁFICO 12 – EXEMPLO DE SINAL ALEATÓRIO
FONTE: Ramos (2020, p. 5)
28
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
2.4 SINAIS PARES
Um sinal xe(t) é dito ser par se xe(t) = xe(-t). Um sinal par possui os mesmos 
valores para os instantes t e -t (simétrico). Acompanhe dois exemplos de sinais pares:
GRÁFICO 13 – EXEMPLOS DE UM SINAL PAR
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 36)
A	simetria	nos	sinais	permite,	em	muitos	casos,	a	simplificação	em	sinais	
e sistemas, facilitando os cálculos.
2.5 SINAIS ÍMPARES
Um sinal x(t) é dito ser ímpar se x(t) = - x(- t). O valor do sinal ímpar no 
instante t é o negativo do seu valor em - t (antissimétrico). Veja dois exemplos de 
sinais ímpares:
GRÁFICO 14 – SINAIS ÍMPARES
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 38)
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
29
Agora, apresentaremos algumas propriedades das funções pares e 
ímpares:
•	 Função	par	x	função	ímpar	=	função	ímpar.
•	 Função	ímpar	x	função	ímpar	=	função	ímpar.
•	 Função	par	x	função	par	=	função	par.
Todo o sinal x(t) pode ser decomposto como a soma dos seus componentes 
pares e ímpares:
O	primeiro	termo	após	o	sinal	da	igualdade	corresponde	à	parte	par,	e,	o	
segundo	termo,	corresponde	à	parte	ímpar.
Mesmo quando o sinal não é par nem ímpar, elepode ser decomposto em 
uma componente par e uma componente ímpar.
NOTA
2.6 SINAIS PERIÓDICOS
Um sinal x(t) é dito periódico com período T se para qualquer valor 
positivo de T x(t + T) = x(t) para todo t. Visualizaremos um sinal periódico de 
tempo contínuo e um sinal periódico de tempo discreto (sequência):
GRÁFICO 15 – SINAIS PERIÓDICOS
FONTE: Arndt (2020, p. 17)
30
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
Acompanhe um sinal periódico, com amplitude A e período T:
GRÁFICO 16 – SINAL QUADRADO PERIÓDICO NO TEMPO
FONTE: Lathi (2006, p. 45)
T é o período fundamental do sinal, em segundos [s]; é a 
frequência	 fundamental	do	sinal,	em	hertz	[Hz];	e	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	ou	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	é	a 
frequência	angular	fundamental	do	sinal,	em	radianos	por	segundo	[rad/s].
2.7 SINAIS NÃO PERIÓDICOS
Se o sinal x(t) não for periódico, ele é dito aperiódico. Mostraremos dois 
gráficos	que	contêm	exemplos	de	sinais	aperiódicos.
GRÁFICO 17 – SINAIS APERIÓDICOS
FONTE: Lathi (2006, p. 46)
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
31
2.8 SINAIS DE ENERGIA
A	energia	 e	 a	potência	de	um	 sinal	 podem	 ser	definidas	 considerando	
uma	resistência	normalizada	de	1	Ω.
A energia total E por ohm é dada por:
Para um sinal qualquer x(t), de tempo contínuo, o conteúdo da energia 
normalizada E de x(t) é dado por:
Veja,	a	seguir,	um	sinal	com	energia	finita:
GRÁFICO 18 – SINAL COM ENERGIA FINITA
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 42)v
Um	sinal	é	caracterizado	como	sinal	de	energia	se	satisfizer	a	condição	 
0	<	E	<	∞.
2.9 SINAIS DE POTÊNCIA
Em sistemas elétricos, um sinal, normalmente, é representado pela tensão 
ou corrente elétrica. Considera-se, então, a potência instantânea dissipada em um 
resistor, dada por:
 
Ou
32
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
A potência média P por ohm é dada por:
A	unidade	da	potência	são	os	watts	[W].	A	potência	média	normalizada	P	
do	sinal	x(t)	é	definida	como:
Um sinal periódico é um sinal de potência se o seu conteúdo de energia 
por	período	 for	finito.	Então,	 a	potência	média	desse	 sinal	pode	 ser	 calculada	
apenas	para	um	período.	A	seguir,	um	sinal	com	potência	finita.
GRÁFICO 19 – SINAL COM POTÊNCIA FINITA
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 43)
Um	sinal	é	caracterizado	como	sinal	de	potência	se	satisfizer	a	condição	
0	<	P	<	∞.
O Quadro 2 mostrará as diferenças entre os sinais de energia e de 
potência.
QUADRO 2 – SINAIS DE ENERGIA VERSUS SINAIS DE POTÊNCIA
FONTE: Ramos (2020, p. 18)
Sinais de Energia Sinais de Potência
Duração	finita Duração	infinita
Energia	normalizada	finita	e	não	zero Potência	normalizada	finita	e	não	zero
Potência média normalizada sobre um 
intervalo	infinito	igual	a	zero
Energia média normalizada sobre um 
intervalo	infinito	igual	a	zero
Fisicamente realizável Tratável matematicamente
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
33
2.10 SINAIS LIMITADOS NO TEMPO
Sinais limitados no tempo são sinais não periódicos e concentrados 
em	 intervalos	 de	 tempo	 com	 duração	 bem	 definida.	 Esses	 sinais	 podem	 ser	
subdivididos em sinais estritamente e assintoticamente limitados no tempo.
GRÁFICO 20 – EXEMPLOS DE SINAIS LIMITADOS NO TEMPO
FONTE: Higuti e Kitano (2003, p. 12)
2.11 SINAIS CAUSAIS
Um sinal é dito causal se ele começar a partir do instante t = 0.
2.12 SINAIS NÃO CAUSAIS
Se o sinal iniciar em t <	0	e	se	estender	até	t >	0,	é	chamado	de	não	causal.	
Como a variável de um sinal não está restrita ao tempo, os sinais não causais 
podem existir no mundo físico.
2.13 SINAIS ANTICAUSAIS
Se o sinal existir apenas para t	<	0,	é	chamado	de	anticausal.	
34
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
2.14 SINAIS FISICAMENTE REALIZÁVEIS
Os	 sinais	 denominados	 fisicamente	 realizáveis	 são	 sinais	 práticos	 que	
podem ser medidos em laboratório. Eles devem satisfazer as seguintes condições:
• são sinais limitados no tempo;
• são sinais limitados em amplitude;
•	 suas	componentes	espectrais	significativas	se	concentram	em	um	intervalo	de	
frequências	finito;
• sua forma de onda é uma função temporal contínua;
• sua forma de onda assume apenas valores reais (HIGUTI; KITANO, 2003).
Geralmente, esses sinais são medidos através do analisador de espectro.
2.15 SINAIS ESPECIAIS DE TEMPO CONTÍNUO
Algumas funções matemáticas são utilizadas em sinais e sistemas, como 
modelos ou padrões. Esses modelos ou padrões servem para a representação de 
outros	sinais	e,	ainda,	são	utilizados	para	simplificação	de	sinais.	Apresentaremos	
esses sinais ou funções a seguir.
3 FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO
A função degrau unitário permite transformar um sinal de duração 
infinita	em	um	sinal	causal.	O	degrau	unitário	é	definido	por:
Observe um degrau unitário no domínio do tempo:
GRÁFICO 21 – FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO NO DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Hsu (2004, p. 18)
t 
1 
e –atu(t)
0 t 
1 u(t)
0 
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
35
A	função	 impulso	unitário	ou	função	delta	de	Dirac	δ(t)	é	definida	por	 
δ	(t)	=	0	para	t	≠	0.	Ela	é	definida	por																											.
4 FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO OU DELTA DE DIRAC
GRÁFICO 22 – FUNÇÃO DELTA DE DIRAC
FONTE: Lathi (2006, p. 23)
5 FUNÇÃO RAMPA
A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo 
a partir de uma função nula. A função rampa r(t)	é	definida	por:
A função rampa também pode ser escrita como r(t) = tu(t).
GRÁFICO 23 – FUNÇÃO RAMPA
FONTE: Arndt (2020, p. 14)
t t
δ(t)
∈→0
	1	
 ∈
∈
2
∈
2
36
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
6 EXPONENCIAL COMPLEXA
A	exponencial	complexa	é	definida	por	est, sendo s = σ + jω. A variável 
s é chamada de frequência complexa. Utilizando a fórmula de Euler, pode-se 
mostrar que:
Uma exponencial amortecida pode ser representada por uma combinação 
de exponenciais complexas.
GRÁFICO 24 – EXEMPLOS DE SINAIS EXPONENCIAIS
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 50)
Por que as funções exponenciais reais e complexas são importantes na análise 
de sinais e sistemas? Elas são fundamentais na análise de autofunções, nas decomposições 
lineares, na resposta de sistemas SLIT’s e na análise em frequência.
NOTA
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
37
7 SINAIS DE TEMPO DISCRETO
Sinais	de	tempo	discreto	são	definidos	apenas	em	instantes	distintos	do	
tempo em um intervalo possível de valores. Portanto, podem ser representados 
por uma variável independente discreta.
São matematicamente representados como sequências de números x[n], 
em que n ∈	{...,	-	3,	-	2,	-	1,	0,	1,	2,	3,	...}.	Normalmente,	são	derivados	de	sinais	em	
tempo contínuo através do processo de amostragem.
O	 Gráfico	 25	 mostrará	 a	 representação	 e	 as	 diferenças	 entre	 os	 sinais	
contínuos em amplitude e no tempo, sinal contínuo em amplitude e discreto no 
tempo e de um sinal discreto em amplitude e no tempo.
GRÁFICO 25 – DIFERENÇAS ENTRE OS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DE TEMPO DISCRETO
FONTE: Ramos (2020, p. 8)
A seguir, mostraremos a representação de alguns sinais discretos, os 
quais chamaremos de sequências.
7.1 SEQUÊNCIA DEGRAU UNITÁRIO DISCRETA
A	sequência	degrau	unitário	u[n]	é	definida	como:
Note	que	o	valor	de	u[n]	em	n	=	0	é	definido	e	é	igual	a	1.
38
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
GRÁFICO 26 – SEQUÊNCIA DEGRAU UNITÁRIO
FONTE: Hsu (2004, p. 23)
O degrau unitário é útil para representar sinais discretos causais, além 
de abreviar notações.
Por que estudar as funções impulso e degrau unitário são importantes na 
análise de sinais? Elas são utilizadas na soma e na integral de convolução, em funções de 
transferência, na análise da estabilidade e na dinâmica de sistemas diversos.
NOTA
7.2 SEQUÊNCIA IMPULSO UNITÁRIO OU DELTA DE DIRAC 
DISCRETA
A	sequência	impulso	unitário	ou	amostra	unitária	é	definida	como:
GRÁFICO 27 – SEQUÊNCIA IMPULSO UNITÁRIO
FONTE: Hsu (2004, p. 24)
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPOCONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
39
7.3 FUNÇÃO RAMPA DISCRETA
A	função	rampa	discreta	é	definida	como:
Geometricamente, surge uma função rampa de tempo discreto:
GRÁFICO 28 – RAMPA DISCRETA
FONTE: Hsu (2004, p. 23)
8 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS COMPLEXAS
Uma exponencial complexa discreta é representada por ejΩn. Uma 
sequência exponencial complexa é da forma x(t) =	ejΩ0n . Utilizando a fórmula de 
Euler, x[n] pode ser escrita como x[n] =	ejΩ0n = cos(Ω0n) + j sen(Ω0n).
Com isso, podemos dizer que x[n] é uma sequência complexa, com 
parte real cos(Ω0n) e com parte imaginária sen(Ω0n). Acompanhe uma sequência 
exponencial complexa:
40
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
GRÁFICO 29 – SEQUÊNCIA EXPONENCIAL COMPLEXA
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 15)
8.1 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS COMPLEXAS GERAIS
A	sequência	exponencial	complexa	geral	é	definida	como	x[n] = C . an, em 
que	C	e	α	são	números	complexos.
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
41
9 SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS REAIS
Se	 C	 e	 α,	 na	 equação	 x[n] = C . an, forem números reais, então, 
x[n] é dita sequência exponencial real. Seguem quatro casos diferentes: 
a > 1,0 < a < 1, –1 < a < 0 e a < –1: 
GRÁFICO 30 – QUATRO CASOS DISTINTOS DE SEQUÊNCIAS EXPONENCIAIS REAIS
FONTE: Eisencraft (2006, p. 4)
Se 0 < a < 1, o sinal é decrescente. Se a > 1, o sinal é crescente. Notamos, 
também, que se a < 0, um sinal exponencial de tempo discreto assume valores 
positivos e negativos de C que se alternam.
10 SEQUÊNCIAS SENOIDAIS
Uma sequência senoidal pode ser escrita como x[n] = A.cos(Ω0.n + θ). 
Como	n	é	adimensional,	Ω0 e θ são dados em radianos.
42
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
GRÁFICO 31 – SEQUÊNCIA SENOIDAL
FONTE: Nascimento (2010, p. 9)
Surgem duas sequências senoidais, uma periódica e uma não periódica.
GRÁFICO 32 – SEQUÊNCIAS SENOIDAIS PERIÓDICAS E NÃO PERIÓDICAS
FONTE: Oppenheim e Willsky (2010, p. 16)
TÓPICO 2 — CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO E DOS SINAIS DISCRETOS NO TEMPO
43
11 REPRESENTAÇÃO NO SCILAB OU NO OCTAVE
Caro aluno, vamos realizar mais algumas simulações em Scilab?
2° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLENZ, 2020): Agora, vamos 
gerar	sequências	exponenciais	reais,	da	forma	x[n]	=	k.	an,	n,	com	a,	k	pertencentes	
aos	reais.	Para	tanto,	represente	no	Scilab	e	trace	o	gráfico,	conforme	feito	no	1°	
Exercício de Simulação, para as seguintes sequências exponenciais reais:
(a) x1 [n]	=	(0.8)n; N1	=	80.
(b) x2 [n]	=	2.(0.6)n; N2 =	100.
As	sequências	devem	ter	comprimento	N,	ou	seja,	0	≤	n	≤	N –1.
3° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLENZ, 2020): Vamos traçar 
o	gráfico	das	seguintes	sequências	discretas	e	determinar	se	os	sinais	a	seguir	são	
periódicos	ou	aperiódicos.	Utilize	0	≤	n	≤	50.
(a)	x	[n]	=	cos	(2n).
(b)	x	[n]	=																	.
4° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLENZ, 2020): Vamos calcular 
a energia e a potência dos seguintes sinais discretos:
>>	Ex	=	sum	(x.*conj(x))
>>Ex	=	sum(abs(x).^2)
5° Exercício de Simulação (Adaptado de PELLENZ, 2020): Neste último 
exercício, vamos aprender a decompor um sinal em suas componentes par 
(simétrica) e ímpar (assimétrica):
Qualquer sequência discreta real, x[n], pode ser decomposta nas suas 
componentes par e ímpar:
44
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
O	 algoritmo	 a	 seguir	 utiliza	 a	 função	 [xe,	 xo,	 m]=evenodd(x,n)	 para	
decompor	 a	 sequência	 discreta	 x[n]=u[n]-u[n-10]	 em	 suas	 componentes	 par	 e	
ímpar.
Caro	acadêmico,	após	gerar	os	gráficos	com	os	comandos	subplot,	você	
poderá notar que, quando adicionamos as sequências xpar[n] + xímpar[n], obtemos a 
sequência original x[n].
Algoritmo:
n=[0;10];
x=stepseq(0,	0,	10)-stepseq(10,	0,	10);
[xe,xo,m]=evenodd(x,	n);
subplot(1,1,1)
subplot(2,2,1); stem(n,x);title(‘Pulso retangular’)
xlabel(‘n’);	ylabel(‘x(n)’);axis([-10,10,0,1.2])
subplot(2,2,2); stem(m,xe);title(‘Componente par’)
xlabel(‘n’);	ylabel(‘xe(n)’);axis([-10,10,0,1.2])
subplot(2,2,4); stem(m,xo);title(‘Componente ímpar’)
xlabel(‘n’);	ylabel(‘xo(n)’);axis([-10,10,-0.6,0.6])
45
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Um sinal real é um sinal que tem, como amplitude, um valor pertencente ao 
conjunto dos números reais sem ter uma parte imaginária.
• Um sinal complexo é composto por duas partes, uma real e a outra imaginária.
• Um sinal par possui os mesmos valores para t e –t, ou seja, x(-t) = x(t).
• Todo sinal par é dito simétrico.
• Um sinal ímpar não possui os mesmos valores para t e –t, ou seja, para um sinal 
ser ímpar, ele deve satisfazer: x(-t) = - x(t).
• Todo sinal ímpar é dito assimétrico.
•	 Um	sinal	é	caracterizado	como	sinal	de	energia	se	satisfizer	a	condição	0	< E	<	∞.
•	 Um	sinal	é	caracterizado	como	sinal	de	potência	se	satisfizer	a	condição	0	<	P	<	∞.
• Ambas as condições são mutuamente excludentes, ou seja, se o sinal for de 
energia, não pode ser de potência, e, se o sinal for de potência, não pode ser de 
energia. Porém, ainda, um sinal pode ser nem de energia e nem de potência.
•	 Um	 sinal	 é	 periódico	 se	 satisfizer	 a	 condição	 x(t) = x(t + T) para todo t, T 
pertencente ao conjunto dos números reais.
• Um sinal aperiódico não satisfaz a condição anterior.
• Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza 
com respeito ao seu valor em qualquer instante de tempo.
• Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incertezas associadas ao seu valor 
em qualquer instante de tempo. Por exemplo, o ruído branco.
46
AUTOATIVIDADE
1	 Classifique	os	sinais	a	seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
47
2 Determine se os sinais são periódicos ou não. Se forem periódicos, 
determinar o período fundamental:
a) 
b) 
3 Determine se os sinais a seguir são de energia, de potência ou nenhum 
deles:
a) x(t) = e–at, com a > 0.
b) x(t) = A.cos(ω0t + θ).
c)	Verifique	se	x(t) = e–2t é um sinal de energia ou de potência.
4	 Desenvolva	a	decomposição	par/ímpar	de	um	sinal	x(t) = ejt, aplicando as 
definições	estudadas	neste	tópico.
48
49
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS CLASSIFICAÇÕES
1 INTRODUÇÃO
Os sistemas físicos, em sentido amplo, são uma interconexão de 
componentes, dispositivos ou subsistemas. Um sistema de tempo contínuo é um 
sistema em que os sinais de entrada de tempo contínuo são aplicados e geram 
sinais de saída de tempo contínuo. Um sistema de tempo discreto é um sistema 
que transforma entradas de tempo discreto em saídas de tempo discreto.
Os sistemas podem ser lineares ou não lineares, e podem, ainda, ter 
parâmetros constantes ou parâmetros variando no tempo.
Um	sistema	cuja	saída	seja	proporcional	à	entrada	é	um	sistema	linear;	se	
a	saída	não	for	proporcional	à	entrada	do	sistema,	ele	não	é	linear.	Um	sistema	
em	 que	 seu	 comportamento	 de	 entrada/saída	 é	 o	mesmo,	 qualquer	 que	 seja	
o instante em que a entrada é aplicada no sistema, é considerado um sistema 
invariante no tempo.
Os	 sistemas	 podem	 ser	 classificados	 em	 estáveis	 e	 instáveis,	 segundo	
o critério de estabilidade externa. Um sistema é estável (BIBO estável) se uma 
entrada limitada gera uma saída limitada. Caso uma entrada limitada gere uma 
saída ilimitada, o sistema é instável.
FIGURA 7 – REPRESENTAÇÃO EM BLOCOS DE UM SISTEMA
FONTE: Haikyn e Van Veen (2001, p. 22)
Sinal de entrada Sinal de saídaSistema
A seguir, entenderemos os conceitos de sistemas e os seus tipos. Vamos lá?!
50
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
2 SISTEMAS
Os sistemas dependem da aplicação de interesse do engenheiro eletricista 
ou do projetista elétrico.
Um	sistema	é	definido	como	uma	entidade	que	manipula	um	ou	mais	sinais	
para realizar uma função, produzindo novos sinais (HAYKIN; VAN VEEN, 2001).
Os sistemas são utilizados para processar sinais e para permitir 
modificação	ou	extração	de	informação	adicional.	Um	sistema	físico	é	constituído	
por componentes interconectados, os quais são caracterizados por sua relação 
terminal	(entrada/saída).	
Os	sistemas	podemser	classificados,	genericamente,	em	sistemas	lineares	
e não lineares; sistemas com parâmetros constantes ou com parâmetros variando 
no tempo; sistemas instantâneos (sem memória) ou dinâmicos (com memória); 
sistemas causais ou não causais; sistemas contínuos ou discretos no tempo; 
sistemas analógicos ou digitais; sistemas inversíveis ou não inversíveis; e sistemas 
estáveis ou instáveis.
2.1 SISTEMAS LINEARES
Um	sistema	é	linear	se	ele	verifica	o	princípio	da	superposição,	ou	seja,	se	
ele é simultaneamente aditivo e homogêneo. Para um sistema linear, tem-se que:
Se x1 → y1 e se x2 → y2 então, k1x1+k2x2 → k1y1+k2y2
Um sistema linear permite que cada entrada seja considerada 
separadamente.
2.2 SISTEMAS NÃO LINEARES
Caso	o	sistema	não	verifique	o	princípio	da	superposição,	ele	é	dito	ser	
não linear. A maioria dos sistemas é não linear quando são consideradas todas as 
possibilidades de entradas.
2.3 SISTEMAS INVARIANTES NO TEMPO
Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento na entrada provoca 
o mesmo deslocamento na saída, ou seja, se x(t) → y(t), então, x(t – T) → y(t – T).
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS CLASSIFICAÇÕES
51
2.4 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO
Caso	o	sistema	não	verifique	a	propriedade	de	invariância	no	tempo,	ele	é	
dito ser variante. Sistemas variantes no tempo possuem parâmetros que variam, mas, 
neste curso, interessam-nos apenas os sistemas lineares e invariantes no tempo.
2.5 SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO (SLIT’s)
Esses sistemas atendem aos princípios citados anteriormente.
2.6 SISTEMAS COM MEMÓRIA
Um sistema é dito sem memória se a sua saída, para todo valor da 
variável independente, em um dado instante, depende somente da entrada no 
mesmo instante.
Caso a saída no instante t dependa de valores passados ou futuros da 
entrada, o sistema é dito ser com memória (dinâmico). São exemplos de sistemas 
com memória os circuitos RC, RL e RLC (HSU, 2004). Outro exemplo de sistema 
de tempo discreto com memória é o sistema acumulador (somador):
 
Por	fim,	o	sistema	atrasador,	que	será	mostrado	a	seguir,	também	é	um	
exemplo de sistema com memória.
2.7 SISTEMAS SEM MEMÓRIA
Um sistema sem memória (instantâneo) é aquele cuja saída no instante 
t depende apenas da entrada no instante t. Um exemplo de um sistema sem 
memória é um circuito resistivo (NASCIMENTO, 2010).
52
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
2.8 SISTEMAS INVERTÍVEIS
Um sistema é dito invertível se entradas distintas levam a saídas distintas. 
Se um sistema é invertível, então existe um sistema inverso que, ao ser colocado 
em	 série	 com	 o	 sistema	 original,	 produz	 uma	 saída	 que	 é	 igual	 à	 entrada	 do	
primeiro	sistema.	Sistemas	invertíveis	são	usados	em	sistemas	de	codificação	em	
aplicações de comunicação.
2.9 SISTEMAS NÃO INVERTÍVEIS
São exemplos de sistemas não invertíveis (OPPENHEIM; WILLSKY, 
2010): y[n]	=	0	e	y(t) = x2(t).
2.10 SISTEMAS CAUSAIS
Um sistema é dito causal se a saída, em qualquer tempo, depender dos 
valores da entrada somente nos instantes presente e passado. Os sistemas causais 
também são conhecidos como sistemas não antecipativos. 
São exemplos de sistemas causais: o circuito RC, os veículos 
etc. Matematicamente, são exemplos de sistemas não causais: 
y[n] = x[n] – x[n + 1] e y(t) = x(t + 1). 
Todos os sistemas sem memória são causais. A causalidade nem sempre 
é uma restrição essencial em aplicações em que a variável independente não é o 
tempo, como o processamento de imagens. 
Quando os dados forem gravados, não estamos limitados ao 
processamento causal, por exemplo, na análise histórica do mercado de ações 
(OPPENHEIM; WILLSKY, 2010).
2.11 SISTEMAS ESTÁVEIS
Um sistema será estável se, para toda entrada limitada (ou seja, seu 
módulo não cresce sem limites), a saída também for limitada. Esses sistemas são 
chamados de sistemas BIBO (Bound Input Bound Output).
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS CLASSIFICAÇÕES
53
2.12 SISTEMAS INSTÁVEIS
Caso uma entrada limitada gere uma saída ilimitada, o sistema é instável.
Os sistemas SLIT’s podem ser dos seguintes tipos:
• SISO — MISO — Multiple Input, Single Output: A equação equivalente do 
sistema depende de todas as entradas. Para um sistema MISO ser linear, os 
diferentes sinais só podem ser somados entre si. Não pode haver multiplicação 
entre eles ou derivação de um sinal em relação ao outro.
• SIMO — Single Input, Multiple Output: Logicamente, é possível decompor 
qualquer sistema SIMO em sistemas SISO individuais.
• MIMO — Multiple Input, Multiple Output: Da mesma forma, é possível decompor 
qualquer sistema MIMO em sistemas MISO individuais (WIKIPÉDIA, 2020a).
54
UNIDADE 1 — SINAIS E SISTEMAS
LEITURA COMPLEMENTAR
OS SINAIS ELÉTRICOS DO CORPO HUMANO
Newton C Braga
Cada vez mais, os dispositivos eletrônicos que interfaceiam com o corpo 
humano se tornam disponíveis, não apenas para as aplicações médicas, como 
também com aplicações comuns, que incluem vestíveis, monitoramento de 
atividade	física,	segurança,	controle	remoto	e	muito	mais.	Isso	significa	que,	cada	
vez mais, a eletrônica interfaceia com o corpo humano, exigindo, do projetista, 
um conhecimento adicional que é saber com que tipo de sinais deve trabalhar. 
Neste artigo, tratamos justamente disso.
O	corpo	humano	é	um	meio	condutor	de	características	específicas	que	
devem ser conhecidas por todos que fazem projetos de dispositivos e pelas 
pessoas	que	apenas	trabalham	com	eles,	como	médicos,	fisioterapeutas	etc.	
O corpo humano pode ser considerado uma solução iônica, cheia de 
dispositivos	que	geram	potenciais	elétricos	fixos	ou,	ainda,	que	produzem	sinais	
elétricos de características especiais. 
Como tratar esses sinais exige um conhecimento muito grande do modo 
como são gerados, como se comportam e como podemos medi-los, captá-los para 
uso em dispositivos externos ou como podemos interferir neles gerando sinais 
externos de controle.
É	claro	que	um	bom	conhecimento	de	anatomia	e	de	fisiologia	humana	
seria muito importante para complementar o que vamos analisar. No entanto, 
vamos procurar ser didáticos nas nossas explicações, permitindo que mesmo os 
que	não	sejam	profissionais	do	ramo	entendam.
 
Íons positivos e negativos
Quando um composto iônico, por exemplo, o cloreto de sódio (NaCl), 
decompõe-se ao ser dissolvido na água, o cloro se separa do sódio, formando íons 
positivos (Na+) e negativos (Cl-).
Os íons podem servir de portadores de cargas, ou seja, transportar correntes 
elétricas, e se estiverem separados por uma barreira isolante, por exemplo, podem 
manifestar uma tensão. É o princípio de funcionamento das baterias.
No corpo humano, temos, principalmente, átomos, como sódio, cloro, 
potássio, que podem, facilmente, perder ou ganhar elétrons. Quando estão em 
um meio líquido, como o nosso corpo, podem servir de portadores de carga, 
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE SISTEMAS E SUAS CLASSIFICAÇÕES
55
transportando correntes elétricas ou manifestando tensões entre determinados 
pontos, funcionando como pequenos geradores. Assim, quando analisamos a 
presença de cargas e correntes no nosso corpo, deparamo-nos com dois tipos de 
cargas responsáveis por dois tipos de potenciais elétricos ou biopotenciais.
Podemos dizer que o corpo humano se comporta como uma verdadeira 
usina	química,	gerando	sinais	que	podem	ter	diversas	finalidades.
Os tipos de biopotenciais
Para entender os potenciais que encontramos no nosso corpo, começamos, 
justamente, pelo nosso sistema nervoso. Esse sistema é o responsável pela troca 
de informações entre as diversas partes do nosso corpo, operando com dois tipos 
de potenciais.
As células do nosso sistema nervoso ou neurônios usam pulsos elétricos 
para se comunicar e, assim, formar uma poderosa rede que opera com sinais 
cuja complexidade vai muito além de simples impulsos, conforme veremos mais 
adiante. A seguir, teremos a estrutura de uma célula nervosa comum.
Figura 1 – A célula nervosa
Proteínas em forma de bastão na membrana da célula formam um