12_SerieFourier

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Sinais e Sistemas 
Renato Dourado Maia 
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros 
Fundação Educacional Montes Claros 
Série de Fourier 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
 Lembremos da resposta de um sistema LTI dis-
creto a uma exponencial complexa: 
 
 [ ] , , [ ] n j j nx n é um número complexo z e xz z n e    
Assim: 
[ ] ( ) ny n H z z
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k
k k k
zy n h k x n k h k h kz z
  
 
  
     
Tomando 
( ) [ ] k
k
z zH h k



 
[ ] y[ ] ( )k k
n
k k
k k
k
nx n a n a Hz z z   
07/11/2012 2/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
 Quando um sinal discreto é periódico? 
 
 Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante 
positiva N, tal que: 
 
 
[ ] [ ], x n x n N n  
O MENOR VALOR PARA N QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO 
FUNDAMENTAL – N0 . 
0
0
2
 [ ] é a freqüência fundamental de x n em radianos
N
 
07/11/2012 3/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
 Lembrando do conjunto de harmônicas para o ca-
so discreto: 
(2 )[ ] , 0, 1, 2,...jk nk
Nn e k    
( )(2 ) (2 ) 2[ ] [ ]j k nN N Njk n nk kN
jn e e e n      
HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!! 
07/11/2012 4/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
 Analogamente ao caso contínuo: 
 
 
0
0[ ] , 
jk n
k
k N
x n a e é um sinal periódico com período N

 
 
Representação em Série de Fourier para um 
sinal discreto periódico: Forma Exponencial 
O somatório é feito num intervalo de “tamanho” N em função de 
haver N harmônicas distintas... O somatório pode ir de 0 até N-1, 
de 3 até N+2, e assim sucessivamente. 
k k Na a periodicidade 
07/11/2012 5/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
DTFS de um Sinal Discreto Periódico 
0
0
0
[ ]
1
[ ]
jk n
k
k N
jk n
k
n N
x n a e
a x
N
n e


 

 




Equação de Síntese 
Equação de Análise 
  ka coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais
Quantificam a contribuição de cada uma das N 
harmônicas. 
07/11/2012 6/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exemplo 
 
0[ ] ( )x n sen n
0 0
0
1 1
[ ] ( )
2 2
j n j n
x n sen n e e
j j
    
Relação de Euler: 
1
1
1
2
1
2
0, k
a
j
a
j
a para os demais coeficientes considerados no somatório


 

Para sinais discretos periódicos reais: 
*
k ka a
07/11/2012 7/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 1: 
 
1 3
[ ] 1
12 8
x n sen n
    
 
Aplicando-se a 
Relação de Euler: 
3 3
8 8
8
1
2
0
3 3
8 8
8
1
2
1 1
2 2 2
1
1 1
2 2 2
0, 11 12
 


 


    
   
   

   
   
    
   

  
   
j j
j
j
j
j j
j
j
k
e e e
a e
j
e
a
e e
a e
j
e
a k
07/11/2012 8/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 1 
 
0 5 10 15 20 25
0
1
2
x[n]=x=1+sin(n/12 + 3/8)
x[
n]
n
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
0.5
1
|a
k|
k
-15 -10 -5 0 5 10 15
-0.5
0
0.5

(a
k)
k
07/11/2012 9/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 1 
 
07/11/2012 10/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 2 
 
07/11/2012 11/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 2 
 
0
0
3 1
3
2 1
3 3
3 3
6
3
1 1
[ ] [ ]
6 6
1 2 2 1 2
6 6 6 6 3 2
1 2
6 3 3
jk n
jk n
k
n n
jk jk
jk jk
k
k
N
a x n e x n e
e e
a e e
a cos k

 
 






 


  
 

    
 
   
 
 
07/11/2012 12/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 2 
 
07/11/2012 13/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Propriedades da DTFS 
 As propriedades da DTFS são similares às da FS, 
e estão resumidas na tabela 3.2 (página 221 do 
livro Signals and Systems). 
 
 As propriedades são interessantes para facilitar a 
determinação dos coeficientes da DTFS de um 
sinal, evitando a realização de contas desneces-
sárias. 
 
 Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-
senta comentários interessantes, e estudem os e-
xemplos 3.13, 3.14 e 3.15... 
07/11/2012 14/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Série de Fourier e Sistemas LTI 
 Lembrando da resposta de sistemas LTI a expo-
nenciais complexas: 
 
 ( ) , ( ) ( )s tstx t e é um número complexs y t H eso  
[ ] , [ ] ( )n nx n é um número complexo y nz zHz z  
Contínuo: 
Discreto: 
( ) ( ) ( ) ( )s jH h e d H j h e ds       
 
   
( ) [ ] ( ) [ ]k j j k
k k
zH h zk H e h k e 
 
 
 
   
Resposta em 
Frequência, se s e z 
são considerados 
complexos puros. 
07/11/2012 15/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Série de Fourier e Sistemas LTI 
0 0 0
0( ) ( ) ( )
jk t jk t jk t
k k k
k k k
x t a e y t a H jk e b e
    
  
     
0 0 0 0[ ] y[ ] ( )
jk n jk n jk n jk n
k k k
k N k N k N
x n a e n a H e e b e
   
     
     
Para entradas periódicas, pode-se determinar a saída de um 
sistema LTI por meio da resposta em frequência ao invés da 
convolução... Posteriormente, essa análise será adaptada para 
permitir a análise com sinais aperiódicos – Transformada de Fourier. 
(.) 
 . !
H modifica as amplitudes e fases das diversas exponeciais
complexas da entrada E já sabemos que a frequência não muda
07/11/2012 16/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Série de Fourier e Sistemas LTI 
Exemplo – Parte 1 
 
1
1
( ) ( )
t
RCh t e u t
RC


Resposta ao Impulso? 
Determinar a resposta em frequência. 
07/11/2012 17/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Série de Fourier e Sistemas LTI 
Exemplo 
 
1
1
( )
( 1 )
0
0
1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
( )
1 1
j RC j
j
j RCRC
H j h e d e u e d
RC
RC
H j e d e
RC RC j RC j RC
  
   
    
   
 
  
 

 
 
 

  
 
 

2 2 2
1 1 1
1 ( )
1 1 1 1
j
RC H j j
j
     
 
     
   
Normalmente, a resposta em frequência é apresentada em módulo 
e fase... 
07/11/2012 18/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exemplo – Parte 2 
 
 Para RC = 0.1, determinar a saída do circuito pa-
ra o sinal de entrada apresentado a seguir: 
0 0 0
0
2 2 ( ) 1
( ) ( ) 1, , 2
4
k
T T Tsen u
a sinc k sinc u T
T T u T
      
07/11/2012 19/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exemplo – Parte 2 
 
0 0 0
0( ) ( ) ( )
jk t jk t jk t
k k k
k k k
x t a e y t aH jk e b e
    
  
     
0 00 0 0
0 0
0 0
2 ( )
( ) ( ) ( )
jk t jk t
k
k k
T sen k T
y t a H jk e H jk e
T k T
   
 
 
  
0
0
1 1
( ) ( )
1 1
RC RC
H j H jk
j RC jk RC
     
07/11/2012 20/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exemplo – Parte 2 
 
0
0
1 1
( ) ( )
1 1
RC RC
H j H jk
j RC jk RC
     
00.1 , 2RC   
10
( 2 )
2 10
H j k
j k




0210 ( 2)( )
2 10k
T sen k
y t
j k T k

 





07/11/2012 21/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Boa Notícia! 
VOCÊS JÁ PODEM FAZER A QUINTA LISTA 
DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS... 
07/11/2012 22/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercícios 
Exercício 3.19 – Signals and Systems 
  Considere um sistema causal LIT implementado 
como o circuito RL mostrado a seguir: 
a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). 
b. Considerando , determine a resposta em frequência. 
c. Determine a saída para . 
( ) j tx t e 
( ) ( )x t cos t
07/11/2012 23/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercícios 
Exercício 3.20 – Signals and Systems 
  Considere um sistema causal LIT implementado 
como o circuito RLC mostrado a seguir: 
a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). 
b. Considerando , determine a resposta em freqüência. 
c. Determine a saída para . 
( ) j tx t e 
( ) ( )x t sen t
07/11/2012 24/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercícios 
Exercício 3.14 – Signals and Systems 
  Quando o trem de impulsos 
 
 
 é a entrada de um sistema LTI com resposta em 
frequência , a saída é: 
 Determine os valores de para k = 0, 1, 2 e 3. 
[ ] [ 4 ]
k
x n n k


 
( )jH e 
5
[ ] .
2 4
  
  
 
y n cos n
2( )jkH e 
07/11/2012 25/25