Regra de três- Reforço

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APRESE
NTAÇÃO
Regra de três 
e a 
multiplicação 
cruzada
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
RAZÃO
• Do latim, ratio, na matemática, a razão é a expressão de um número contido no conjunto dos números 
racionais
•Ela é expressa como uma fração com denominador diferente de zero e indica a divisão do numerador pelo 
denominador, assim, cada número racional (ou razão) é um quociente de dois inteiros
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
PROPORÇÃO
•Nome dado a toda relação de igualdade entre duas razões; Dois quocientes de origens distintas que devem 
produzir o mesmo resultado real
•Do ponto de vista aritmético, proporções como essa informam que as divisões de a por b e de c por d geram 
o mesmo quociente q , ou seja
•Cada razão é formada por dois termos – antecedente (numerador) e consequente (denominador) – toda 
proporção é formada por 4 termos, sendo que o antecedente da primeira razão e o consequente da segunda 
são chamados de termos extremos e os demais de termos médios ou meios
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= q
• A razão de a para b é igual a razão de c pra d
• A está para b, assim como c está para d 
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
II. Simplificação 
•Em uma proporção 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, podemos simplificar os dois termos antecedentes ou os dois consequentes 
dividindo ou multiplicando-os por um mesmo número diferente de zero
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
II. Simplificação
DEMONSTRAÇÃO:
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
III. Possibilidades de representação 
Há oito formas de se enunciar proporções que geram o mesmo produto cruzado
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
↔
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
↔
𝑑
𝑐
=
𝑏
𝑎
↔
𝑏
𝑎
=
𝑑
𝑐
↔ 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑐 ⋅ 𝑑 ↔ 𝑎
𝑐
= 𝑏
𝑑
↔
𝑏
𝑑
=
𝑎
𝑐
↔
𝑐
𝑎
=
𝑑
𝑏
↔
𝑑
𝑏
=
𝑐
𝑎
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
III. Possibilidades de representação
DEMONSTRAÇÃO:
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
I. Produto cruzado 
•Em toda proporção, o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios (meios pelos 
extremos), assim:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑐 ⋅ 𝑑
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
I. Produto cruzado 
DEMONSTRAÇÃO:
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
IV. Nova razão
•Somando-se os numeradores e os denominadores das razões de uma proporção, obtemos uma nova razão 
proporcional às anteriores
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
IV. Nova razão 
DEMONSTRAÇÃO:
Propriedades da proporção
•A estrutura algébrica das proporções admite cinco propriedades interessantes:
V. Nova proporção
•A partir de uma proporção dada, podem ser obtidas diversas novas proporções por meio da soma dos 
denominadores com os numeradores e a dos numeradores com os denominadores. Esse processo pode se 
suceder indefinidamente, mas as razões de cada nova proporção não são necessariamente iguais às razões 
da proporção dada
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
↔
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑑
↔
𝑎
𝑎+𝑏
=
𝑐
𝑐+𝑑
↔
𝑎
2𝑎+𝑏
=
𝑐
2𝑐+𝑑
↔
3𝑎+𝑏
2𝑎+𝑏
=
3𝑐+𝑑
2𝑐+𝑑
↔...
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
•GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS(GDP):
Quando o valor de uma grandeza duplica e o valor da outra relacionada também duplica, ou então, quando o de 
um quintuplica e o da outra também quintuplica e assim por diante, isto é, duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando uma aumenta na mesma proporção que a outra
• GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP):
Quando o valor de uma grandeza duplica e o valor da outra relacionada cai pela metade, ou então, quando o de 
um quintuplica e o da outra cai para a quinta parte e assim por diante isto é, duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando uma aumenta na mesma proporção que a outra decai
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
•Para duas grandezas distintas, x e y envolvidas em um mesmo fenômeno, afirma-se que x e y são GDP sempre 
que houver entre elas uma relação do tipo:
•Em que k é a constante de proporcionalidade
•Do ponto de vista algébrico, a constante de proporcionalidade pode ser interpretadas como coeficientes de 
funções lineares:
•Os gráficos das funções lineares são representados por retas que necessariamente passam pela origem do 
sistema cartesiano. Dessa forma, k pode ser comparada ao valor da tangente do ângulo que a reta faz com o 
eixo x. E essas funções obedecem à regra de três simples e direta, que diz ser constante o produto cruzado 
entre os elementos dos dois pares ordenados
𝑦
𝑥
= 𝑘
𝑦
𝑥
= 𝑘 → 𝑦 = 𝑘 ⋅ 𝑥
Grandezas diretamente proporcionais
EXEMPLO:
Em 2010 uma empresa de estofados lucrou 2 milhões, já em 2014, seu lucro estimado foi de 6,5 milhões, se o 
crescimento permanecer nessa tendência qual será o lucro da empresa em 2018? E em 2020?
Obs.: Para funções que não passam pela origem do sistema cartesiano, a regra de três só pode ser aplicada à 
variações de grandeza
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
Grandezas inversamente proporcionais
•Para duas grandezas distintas, x e y envolvidas em um mesmo fenômeno, afirma-se que x e y são GIP sempre 
que houver entre elas uma relação do tipo:
•Em que k é a constante de proporcionalidade diferente de 0
•Do ponto de vista algébrico, o gráficos das funções desse tipo são representadas por um ramo de hipérbole e, 
nesse caso, a regra de três simples e inversa afirma ser constante o produto direto das informações de um 
mesmo par ordenado (x,y)
k = y ⋅ 𝑥
Grandezas inversamente proporcionais
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
REGRA DE TRÊS
•A Regra de Três é a regra utilizada para descobrir um valor desconhecido, que segue a mesma razão de 
outros já conhecidos. 
•Ela trata-se de descobrir um quarto valor a partir de outros três (daí seu o nome). 
•Essa regra é válida apenas quando as grandezas relacionadas forem proporcionais.
•O mais importante é que a regra detrês nada é mais é do que usar uma proporção para encontrar um valor, 
e por isso pode se valer de todas as propriedades da proporção, inclusive a de produto cruzado, para o caso 
de grandezas diretamente proporcionais. 
•No final das contas, a regra de três é apenas outra forma consagrada de escrever e representar uma 
proporção, atendendo as mesmas regras desta.
SUMÁRIO 
1.RAZÃO
2.PROPORÇÃO
3.Propriedades da proporção
4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS
5. Grandezas diretamente proporcionais
6.Grandezas inversamente proporcionais
7.REGRA DE TRÊS
8.Proporção e regra de três
Proporção e regra de três
EXEMPLO:
De acordo com o IBGE, 1 em cada 3 mulheres já sofreu algum tipo de violência doméstica. E, mais 
recentemente, o instituto divulgou que 100 milhões de brasileiros são mulheres. Sendo assim, quantas 
brasileiras, em números absolutos, já sofreu algum tipo de violência?
Proporção e regra de três
EXEMPLO:
Um mestre de obras designou 9 trabalhadores para construção de um edifício médio e prometeu entregar o 
serviço em 24 meses. Porém, o dono do terreno passou a apressá-lo alegando precisar estar com a obra 
concluída em apenas 18 meses. Quantos trabalhadores a mais o mestre de obras terá que disponibilizar para 
atender o pedido do mandatário?
ATÉ A 
PRÓXIMA