Resumo | Regra de três

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REGRA DE TRÊS 
 
 
Grandezas proporcionais 
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou 
contado. As grandezas proporcionais podem ser 
diretamente ou inversamente proporcionais. 
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando o quociente entre elas é constante, 
consequentemente, o aumento (diminuição) de 
uma implica no aumento (diminuição) da outra na 
mesma razão. Dadas duas grandezas a e b, 
diretamente proporcionais, temos: 
𝑎
𝑏 = 𝑘 
 
Por outro lado, duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando o produto 
delas é constante, nesse caso o aumento 
(diminuição) de uma grandeza implica na 
diminuição (aumento) da outra, na razão inversa. 
Sejam a e b duas grandezas inversamente 
proporcionais, temos: 
𝑎𝑏 = 𝑘 
 
Regra de três 
É uma técnica utilizada para resolver problemas 
envolvendo grandezas proporcionais, podendo 
ser simples ou composta. A regra de três simples 
é utilizada nos problemas que envolvem quatro 
valores dos quais conhecemos três, ou seja, 
quando trabalhamos com duas grandezas. Já a 
regra de três composta é usada para resolver 
problemas com mais de quatro valores dos quais 
desconhecemos um, ou seja, quando 
trabalhamos com mais de duas grandezas. 
 
Para resolver problemas de regra de três, 
simples ou composta, devemos seguir os três 
passos abaixo: 
• 1. Identifique as grandezas, e coloque-as de 
maneira ordenada em antes e depois. 
• 2. Verifique quais são as grandezas direta ou 
inversamente proporcionais com relação a 
grandeza que contém a variável x. Nas 
grandezas diretamente proporcionais 
conserve a razão e nas grandezas 
inversamente proporcionais inverta a razão. 
• 3. Equacione com o 1º membro sendo a razão 
que contém a variável x, e no 2º membro o 
produto das demais razões. 
Exemplos: 
 
• (CRA-SC) Se 30 tratores levaram 6 dias para 
realizar uma tarefa, quantos tratores fariam a 
mesma tarefa em 4 dias? 
 
 
 
As grandezas são inversamente proporcionais, 
pois quanto mais tratores, menos dias serão 
necessários para a realização da tarefa. Assim, 
basta inverter a razão da grandeza dias e igualar 
com a razão da grandeza tratores, que contém a 
variável. Portanto: 
30
𝑥 =
4
6 
4𝑥 = 180 
𝑥 =
180
4 = 45 
São necessários 45 tratores para realizar a 
mesma tarefa em 4 dias. 
 
• Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 
80 cópias em 1 minuto e 15 segundos. 
Determine o tempo necessário para que 7 
máquinas copiadoras, de mesma capacidade 
que a primeira citada, possam imprimir 3 360 
cópias. 
 
 
 
Analisando cada grandeza em relação ao 
tempo (que contém a variável), temos copiadoras 
como inversamente proporcional (quanto mais 
copiadoras, menos tempo levarão) e cópias 
como diretamente proporcional (quanto mais 
cópias a serem feitas, mais tempo é necessário). 
Assim, igualamos a razão do tempo (em 
segundos) ao produto da razão das cópias pelo 
inverso da razão das copiadoras: 
75
𝑥 =
80
3360 ∙
7
1 	⇒ 	
75
𝑥 =
56
336 
⇒ 56𝑥 = 25200 ⇒ 𝑥 =
25200
56 = 450 
 
Como 450/60 = 7,5; serão necessários 7 minutos 
e 30 segundos para que as 7 copiadoras 
imprimam 3360 cópias. 
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