Operações e Equações Matemáticas

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Apostila de Matemática Básica 
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b)
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )3 - 2 * 5 
1
3 - 2 * 5 
3 - 4
3 - 2 * 5 
3 - 2
3 - 2 * 5 
3 - 2 * 3 2
3 - 2 * 5 
3 2
5
22
====
+
=
+
39) Exercícios
Efetuar:
a) =+ 510 52 - 5
b) =+ 8 - 23 32
c) =+ 729 - 3 33 4
d) = 6 * 3
e) ( ) ( ) = 4 - * 2 - 33
f) = 
2
8
4
4
g) ( ) = 2 63
h) =

 3 * 2
23 2
i) = 33 3
j) = 23
k) = 223
l) = 2223 3 3
Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
a) 432 =
b) 212
− =
c)
2
1
2
1
2 



 =
d) ( ) 613 * 2 =
Racionalizar o denominador das frações seguintes:
a)
5
1
 =
b)
7
3
 =
c)
22
3
 =
d)
2 - 5
2
 =
2
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e)
11 - 4
5
 =
Simplifique:
a)
2
8 - 50
 =
b) 2352 =
c)
1 2
1 - 
2 - 1
1
+
 =
VII – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
40) Expressões algébricas
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
Exemplos:
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b
OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de 
diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico e 
a²b é a parte literal.
41) Operações com expressões algébricas
1. Soma algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes 
(monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou 
subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) 
repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
Exemplo:
3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
2. Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos 
os termos do segundo fator e reproduzem-se os 
termos semelhantes.
 Exemplo:
 (3a²y) * (2ay) = 6a³y²
2
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3. Divisão
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o 
coeficiente numérico do dividendo pelo 1º 
coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo 
pela do divisor, observando-se as regras para 
divisão de potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada 
termo do dividendo pelo monômio divisor.
Exemplo:
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
42) Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem 
ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:
I. Quadrado da soma de dois termos:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais 
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do 
segundo.
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
II. Quadrado da diferença de dois termos:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado 
do segundo.
Exemplo:
(x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:
O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado 
do primeiro menos o quadrado do segundo.
Exemplo:
(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2
43) Fatoração
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto 
indicado.
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo 
coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos 
2
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b) * (a – b) = a2 – b2
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termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns 
com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o 
produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido 
dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
Exemplos:
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
( )a² 4ax² 2x 2ax 
2ax
x³a2 
2ax
³x²a8 
2ax
²ax42ax x³a2 ³x²a8 ²ax4 ++=



 ++=++
b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
44) Exercícios
Efetuar:
a) 2222 4b - 3ab 5a - 4b 7ab - a3 ++ =
b) ( ) ( )223322 3xy y8x - 2y - 3y y7x - xy3 ++ =
c) ( ) ( ) ( )xy * y8x - * xy7 22 =
d) ( ) ( )b - a * c b a ++ =
e) ( ) ( )y - x * x y3x - x 223 + =
f) ( ) 2x : 2x - 2x 4x - x6 2452 + =
g) ( ) abc : abc cb3a bc2a 2332 −+ =
h) ( ) ( ) 22 3 -3x 2 x ++ =
i) ( )228a xy3 + =
j) ( ) ( )3c ab5 * 3c ab5 −+ =
Fatorar:
a) 15a² - 10ab =
b) 3a²x – 6b²x + 12x =
VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAU
UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO
As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, 
Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540. Através da 
matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas 
com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma 
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idéia simples, mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para 
representar os números nas equações. 
O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde 
(matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele não 
existiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outro 
matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e 
começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades 
são iguais:
Exemplo:
 _________
400 cm _________ 4 m
Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas 
equações de Viète.
Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram 
expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. A 
notação de Viète significou o passo mais decisivo e fundamental para 
construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, 
Fraçois Viète é conhecido como o Pai da Álgebra.
45) Equação
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados 
valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas).
Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um 
problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; 
mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA)
Exemplo:
a) 
membro 2ºmembro 1º
 5 2 - x = só é verdade para x = 7
b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y, 
como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4.
Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as 
igualdades denominam-se raízes da equação.
Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente 
dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do 1º grau a 
uma incógnita.
46) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita
Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma 
equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando-
se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os 
termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação 
inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação 
e divisão; potenciação e radiciação).
2
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Exemplos:
a) x + 2 = 7 ⇒ x + 2 – 2 = 7 – 2 ⇒ x = 5
b) x – 3 = 0 ⇒ x – 3 + 3 = 0 + 3 ⇒ x = 3
c) 4 x 
2
8 
2
2x 8 x2 =⇒=⇒=
d) 15 x 5 * 3 
3
 x* 3 5 
3
x =⇒=⇒=
Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém utilizar as 
operações dos sinais:
4 x 
2-
8- 
2-
2x- 8- x2 =∴=⇒=−
Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou 
subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que se 
faz mediante a aplicação da seguinte regra:
Os passos seguintes são descritos noexemplo a seguir:
5
6 -4x 
3
1 3x - 
2
2 -3x =+
1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:
m.m.c. (2; 3; 5) = 30
Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6)
2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações 
indicadas:
45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36
3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º 
membro, e os independentes (os que não contém a incógnita) para o 
2º, efetuando as operações necessárias:
45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
-9x = 4
5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo 
multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita:
9-
4 
9
x9 =
−
−
2
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. 
encontrado por cada um dos denominadores e 
multiplicam-se os resultados pelos respectivos 
numeradores.
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6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a 
ser negativa também:
9
4- x =
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL”
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação 
dada. Os valores numéricos devem ser iguais
47) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas
A forma genérica de um sistema é:



=+
=+
pnymx
cbyax
 onde a, b, c, m, n, p ∈ ℜ (Reais) e x e y são as 
ingógnitas.
a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas 
admite infinitas soluções. Por exemplo, a equação 2x – y = 
4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores 
de x e y; entre estes pares estariam:
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.
b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um 
sistema de suas equações a duas incógnitas é determinar os 
valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duas 
equações. Por exemplo, o sistema:
 



=
=



=−
=+
1y
3x
 para solução tem
3y3x2
16yx5
 Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às 
 duas igualdades. (Verifique!)
Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema, 
são eles: Substituição, comparação e adição.
SUBSTITUIÇÃO
1º) Seja o sistema: 



=−
=+
2 equação 1y2x5
1 equação 8y3x2
2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, 
o valor de x na equação 1:
3 equação 
2
y38x
y38x2
8y3x2
−=
−=
=+
3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):
2
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4 equação 1y2
2
3y-8*5 =−




4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y:
( )
2y 
38y19
2y4y1540
2y4y38*5
=∴
=
=−−
=−−
5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está 
isolado) e determina-se x:
( )
1 x
2
68x
2
2*38x
=∴
−=
−=
6º) A solução do sistema é:
x = 1 e y = 2
COMPARAÇÃO
1º) Seja o sistema: 



=−
=+
7y2x5
33y3x7
2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:
7
y333x −= e 
5
y27x +=
3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x 
= x):
5
y27
7
3y-33 +=
4º) Resolve-se a equação e determina-se y:
( ) ( )
4 y 
16y29
y1449y15165
y27*7y333*5
=∴
=
+=−
+=−
5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está 
isolado e determina-se o valor de x:
( )
3 x
7
21
7
1233
7
4*333
7
3y-33x
=∴
=−=−==
6º) A solução do sistema é:
x = 3 e y = 4
2
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ADIÇÃO
Este método consiste em somar, membro a membro, as duas 
equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das 
incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das 
incógnitas serem simétricos.
Exemplos:
a) 



=−
=+
2 equação 0yx
1 equação 4yx
Somando, membro a membro, vem:
2 x 4x2 =∴=
Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a 
critério do aluno), vem:
2y 4y2 =∴=+
b) 



=
=+
⇒



→=−
=+
62y-10x
72y3x
 
(2)* 3yx5
7y2x3
Somando, membro a membro, vem:
1 x 13x13 =∴=
Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério 
do aluno), vem:
2y 42y 72y3 72y1*3 =∴=∴=+∴=+
48) Exercícios
Resolver as seguintes equações:
a) 8x4 =
b) 10x5 =−
c) 8x7 =+
d) 7x23 −=−
e) 12x4x416 +=−+
f) x527x13x78 −−=−+
g)
4
3
3
x2 =
h)
10
x3
4
1 =
i) ( ) 3x45x42x9 +=+−+
j) ( ) ( ) 5x410x27*5x2*3 +−=−−−
k) 1
4
36x5
2
x12
3
2x −−=−−−
l)
6
x59
2
31
2
x
3
x43
8
3x5 −−=+−−+
2
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Resolver os seguintes sistemas de equações:
a)



=+
=+
24yx3
12yx
b)



=+
=+
1y2x7
19y6x5
c)



−=−
=+
2y4x3
12y5x
d)






=−−+
=+
2
2
3y
3
1x2
2
5
y
4
x
Considere o problema:
A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade 
do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho?
IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:
onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a ≠ 0).
A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x 
apresentar o maior expoente igual a 2.
Se tivermos b ≠ 0 e c ≠ 0 teremos uma equação completa.
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
49) Resolvendo Equações de 2º Grau
Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante 
simples, veja:
1º caso: b = 0 e c = 0; temos então: 
Exemplo:
3 x² = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S = {0}
2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então: 
Exemplo:
3 x² - 12 x = 0 ⇒ x . (3 x – 12) = 0 ⇒ x = 0 ou 3 x – 12 = 
0 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ S = {0; 4}
3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então: 
3
a . x² + b . x + c = 0
a . x² = 0
a . x² + b . x = 0
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	1. Soma algébrica
	2. Multiplicação
	Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os termos semelhantes.
	3. Divisão
	1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para divisão de potências de mesma base.