Prática_4_Lab_Controle_III_AnaLuisa_MarcosPaulo_RobertaBerno

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Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Campus Leopoldina
Engenharia de Controle e Automação
RELATÓRIO DE ATIVIDADE PRÁTICA 04
Introdução a Sistemas não Lineares
Ana Lúısa Gonçalves Pires
Marcos Paulo Cardoso Carneiro
Roberta Berno e Silva
Prof. Murillo Ferreira dos Santos, D. Eng.
Leopoldina, MG
16 de Maio de 2022
Resumo
A Prática 4 de Laboratório de Controle Automático III objetivou analisar com-
ponentes não lineares básicos e verificar se o prinćıpio da superposição pode ser
aplicado para sistemas que são constrúıdos com esses tipos de componentes. A
primeira parte do presente relatório teve intuito de analisar o comportamento da
sáıda destes componentes não lineares, especificamente o Atrito de Coulomb, Zona
Morta, Liga-Desliga com Histerese e Saturação, com diferentes valores de amplitude
na entrada. Já na segunda parte, foram analisadas as respostas para duas entradas
que variam a amplitude e a fase em três casos diferentes, com os elementos não
lineares Zona Morta e Saturação, exibindo também a soma das respostas das duas
senoides para cada elemento não linear pelo prinćıpio da superposição.
1 Introdução
Em um sistema não linear, há uma dependência da resposta do sistema com a am-
plitude e o tipo de entrada, além de não possuir soluções gerais para as equações e se
comportar de forma completamente diferente para entradas do mesmo tipo com amplitu-
des diferentes. Os elementos não-lineares são componentes que, para um sinal de entrada,
o sinal de sáıda gerado não obedece ao prinćıpio de superposição. Como exemplo de ele-
mentos não-lineares, são Atrito de Coulomb, Zona Morta, Liga-Desliga com Histerese e a
Saturação.
1.1 Atrito de Coulomb
O Atrito de Coulomb normalmente surge da interação das asperezas da superf́ıcie
quando não há fluido lubrificante, ele pode ser dividido entre atrito estático, que se apre-
senta quando não há movimento relativo entre as superf́ıcies de contato, e atrito cinético,
quando existe esse movimento.
Além de o Atrito de Coulomb não depender da área de contato, ele também não
depende da velocidade de escorregamento entre os copos, no entanto, seus coeficientes
de atrito dependem do material que estão em contato. A Figura 1 representa o com-
portamento do Atrito de Coulomb, onde a constante proporcional ’K’ representa uma
não-linearidade.
Figura 1: Comportamento do Atrito de Coulomb.
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1.2 Zona Morta
A Zona Morta é caracterizada pela defasagem entre a aplicação de uma entrada e sua
resposta resultante, logo, é uma relação estática de entrada e sáıda, que para uma faixa
de domı́nio não há resposta. Um exemplo de Zona Morta é quando há um espaço entre os
dentes de duas engrenagens em contato, que é chamado de folga. O comportamento desse
elemento não linear é mostrado na Figura 2, onde ∆ representa o tempo morto gerado
pela não linearidade.
Figura 2: Relação entrada e sáıda para a Zona Morta.
1.3 Liga-Desliga com Histerese (Relé)
O Liga-Desliga com Histerese define uma faixa de variação de erro para que as ações do
sistema sejam alternadas, ao invés de definir apenas um valor, como zero, no Liga-Desliga.
Na lógica implementada em sistemas de controle liga-desliga, o erro é a diferença
entre um valor desejado e o valor de uma variável. Nos casos em que o erro possui
valores positivos, ocorre uma ação no sistema, para valores negativos de erro, ocorre
outra ação no sistema. Caso ocorra variações muito próximas de zero, podem ocorrer
danos nos dispositivos utilizados, sendo assim, para auxiliar o funcionamento deste tipo
de controlador, usa-se o Relé. O comportamento do elemento não linear Liga Desliga é
apresentado na Figura 3.
Figura 3: Relação entre entrada e sáıda para o Liga-Desliga com Histerese.
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1.4 Saturação
A saturação resulta de limitações f́ısicas de sistemas, esse fenômeno ocorre quando o
valor da variável de controle atinge o limite máximo ou mı́nimo do atuador, o que faz
com que ocorra uma saturação do controle. A Figura 4 ilustra o comportamento de uma
elemento de Saturação.
Figura 4: Relação entre entrada e sáıda para a Saturação.
2 Objetivo
Como objetivo da prática, tem-se, analisar componentes não lineares básicos, veri-
ficando que o prinćıpio da superposição não é válido para tais elementos. Para sinais
de excitação senoidal, verificar a deformação do sinal de sáıda, com o aparecimento de
componentes harmônicas na sáıda de elementos não lineares.
3 Desenvolvimento
A Prática 4 do Laboratório de Controle Automático III é composta de duas partes,
ambas utilizando elementos não lineares com intuito de verificar se o prinćıpio da superpo-
sição não é válido para os elementos. Para o desenvolvimento desta prática foi utilizado
apenas o Simulink do MATLAB, com a aplicação dos blocos referentes aos elementos
não-lineares espećıficos para cada uma das partes, juntamente com um sinal de entrada
senoidal.
3.1 Parte 1: Identificação dos Elementos Não-Lineares no MATLAB
Nesta primeira parte da prática, utilizando a Biblioteca ′Discontinuities′ no Simulink,
deve ser identificado os elementos não lineares (a) Atrito de Coulomb, (b) Zona Morta,
(c) Liga-Desliga com Histerese e (d) Saturação, com seus blocos representados na Figura
5.
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Figura 5: Elementos não lineares.
Os elementos não lineares devem ser configurados com os dados de simulação mostrados
na Tabela 3.1.
ELEMENTO PARÂMETROS VALOR
Coulomb & Viscous Friction Coulomb friction value 0.1
Coefficient of viscous friction 1
Dead Zone Start of Dead Zone -0.1
End of Dead Zone -0.1
Switch on point 0.1
Relay Switch off point -0.1
Output when on 0.6
Output when off -0.6
Saturation Upper limit 0.1
Lower limit -0.1
Tabela 1: Dados da tabela particular.
Serão estudados o comportamento desses elementos não lineares com entradas senoi-
dais com frequência de 1 Hz, de três amplitudes variadas, sendo elas X = (0.01;0.51;1.01),
onde o comportamento inerente ao aumento ou diminuição desses sinais será analisado a
partir da plotagem dos gráficos correspondentes, com enfoque em discorrer sobre a defor-
mação do sinal de sáıda de forma qualitativa. A seguir serão exibidos os gráficos referentes
a cada elemento não linear citados.
3.1.1 Atrito de Coulomb
O primeiro elemento não linear aplicado com as entradas senoidais foi o Atrito de
Coulomb, com as três diferentes amplitudes X = (0.01 ; 0.51 ; 1.01), foi constrúıdo o
diagrama de blocos do sistema de controle envolvendo esses elementos, como mostra a
Figura 6, onde os blocos de Atrito de Coulomb foram constrúıdos com os parâmetros da
Tabela 3.1.
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Figura 6: Diagrama de Blocos com o elemento não linear Atrito de Coulomb.
A Figura 7 exibe os sinais de sáıda à medida que X varia nas entradas senoidais para
o elemento não linear Atrito de Coulomb.
Figura 7: Sinais de sáıda para os sinais de entrada com diferentes amplitudes para o
elemento não linear Atrito de Coulomb.
Para as curvas de sáıdas mostradas na Figura 7 é posśıvel perceber que a frequência
das três respostas são iguais, como era de se esperar, pois foram configuradas para uma
frequência de 1Hz, com alterações em suas amplitudes, onde para cada sinal senoidal, um
valor diferente da amplitude pode ser observado na resposta do sistema, onde o valor de
X da senoide de entrada é proporcional a amplitude do sinal de sáıda, ou seja, quanto
maior for o valor de X, maior a amplitude da sáıda.
É notório que quando o sinal de sáıda muda do semiciclo positivo para o negativo,
ocorre uma mudança repentina no valor do sinal, equivalente a aproximadamente ± 0.1,
como esperado, pois o atrito de Coulomb configurado de acordo com a Tabela 3.1 foi de
0.1, e a partir dessa alteração de sinal, ele passa a crescer ou decrescer proporcionalmente
ao sinal da senoide e sua amplitude.
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3.1.2 Zona Morta
O segundo elemento não linear estudadocom as entradas senoidais foi a Zona Morta,
com X = (0.01 ; 0.51 ; 1.01), o diagrama de blocos do sistema de controle envolvendo
esses elementos, conforme a Figura 8, foi constrúıdo no Simulink com os parâmetros para
configuração do bloco de Zona Morta da Tabela 3.1, ou seja, começa em -0.1 e termina
em 0.1.
Figura 8: Diagrama de Blocos com o elemento não linear Zona Morta.
A Figura 9 exibe os sinais de sáıda com variação de X nas entradas senoidais para o
elemento não linear Zona Morta.
Figura 9: Sinais de sáıda para os sinais de entrada com diferentes amplitudes para o
elemento não linear Zona Morta.
Pela Figura 9, onde são mostradas as respostas das diferentes entradas senoidais para
o elemento não linear Zona Morta, observa-se que o sinal de resposta para a entrada de
X = 0.01 é constante em zero, pois o bloco de Zona Morta foi configurado para valores de
entrada maior que 0.1 e menor que -0.1, não permitindo respostas para valores de entrada
entre estes. Por esse mesmo motivo da configuração de parâmetros da Zona Morta, as
sáıdas referentes aos sinais de entrada senoidais com X = 0.51 e X = 1.01 tiveram um
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tempo morto, onde o sinal ficou em zero, começando o sinal senoidal com um certo atraso,
o que acarretou na diminuição da amplitude do sinal de sáıda em comparação com o de
entrada, sendo que as amplitudes foram de 0.41 e 0.91, para as entradas de 0.51 e 1.01
respectivamente.
Comparando os sinais de sáıda para os diferentes valores de entrada fica evidente
que quanto maior o valor de entrada, maior a amplitude do sinal de sáıda, ou seja, são
proporcionais, o mesmo para o semiciclo negativo.
3.1.3 Liga e Desliga com Histerese
O Liga e Desliga com Histerese, representado no Simulink pelo ’Relay’, foi o terceiro
elemento não linear estudado com as entradas senoidais com amplitudes de X = (0.01 ;
0.51 ; 1.01), o diagrama de blocos do sistema de controle com esses elementos é mostrado
na Figura 10, com os parâmetros para configuração do bloco de Relé da Tabela 3.1.
Figura 10: Diagrama de Blocos com o elemento não linear Liga-Desliga com Histerese.
A Figura 11 mostra os sinais de sáıda de acordo com a variação de X nas entradas
senoidais para o elemento não linear Liga-Desliga com Histerese.
Figura 11: Sinais de sáıda para os sinais de entrada com diferentes amplitudes para o
elemento não linear Liga-Desliga com Histerese.
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Pela Figura 11, é posśıvel observar que o sinal de sáıda do elemento não linear Liga-
Desliga com Histerese com o sinal de entrada com X = 0.01 apresentou um desvio muito
grande, onde o sinal foi cont́ınuo em -0.6, ou seja, ficou durante todo tempo de amostra-
gem em ’OFF’, não alcançando o valor ’ON’ em momento nenhum, isso ocorreu pois o
valor da amplitude de entrada foi de 0.01, não alcançando o valor de 0.1 que é necessário
para a sáıda alcança o valor ’ON’. De acordo com a Tabela 3.1 e com as curvas de sáıda
da Figura 11 percebe-se que quando o sinal de entrada cresce e chega na amplitude de
0.1, o sinal de sáıda altera a amplitude abruptamente para 0.6, o mesmo caso no semiciclo
negativo, quando a entrada atinge -0.1, a sáıda instantaneamente muda para -0.6.
A sáıda para as outras duas senoides de entrada apresentaram caracteŕıstica quadrada
no formato referente aos parâmetros da Tabela 3.1 para o Relé, possuindo a mesma
frequência das senóides de entrada. Deste modo, conclui-se que o comportamento do
sinal de sáıda será o mesmo para valores de módulo de amplitude de entrada maiores
que 0.1, como esperado devido as configurações dos parâmetros do elemento não linear
Liga-Desliga com Histerese.
3.1.4 Saturação
A Saturação foi o último elemento não linear analisado com as entradas senoidais para
as variadas amplitudes de X = (0.01 ; 0.51 ; 1.01), o diagrama de blocos do sistema de
controle com esses elementos é exibido na Figura 12, de acordo com os parâmetros para
configuração do bloco de Saturação da Tabela 3.1.
Figura 12: Diagrama de Blocos com o elemento não linear Saturação.
A Figura 13 exibe os sinais de sáıda de acordo com a variação da amplitude de X nas
entradas senoidais para o elemento não linear Saturação.
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Figura 13: Sinais de sáıda para os sinais de entrada com diferentes amplitudes para o
elemento não linear Saturação.
Pela Figura 13, é posśıvel observar que para a senóide de entrada com amplitude de
0.01, o sinal de sáıda foi idêntico, pois o bloco de saturação foi configurado, conforme
a Tabela 3.1, para limitar o sinal de sáıda em um valor de 0.1 e -0.1, ou seja, como a
primeira resposta possui uma amplitude máxima menor que esse limiar, o sinal de sáıda
foi repetido de maneira idêntica a entrada, deste modo, o sinal senoidal de amplitude 0.01
não sofre saturação, pois é menor que o limiar configurado para ocorrer esse fenômeno.
Com relação as outras duas entradas, de amplitude 0.51 e 1.01, os valores são superi-
ores ao limiar de saturação, ou seja, os dois sinais de sáıda sofrem uma saturação em 0.1
e -0.1, conforme a configuração, independente da amplitude do sinal de entrada, o que
acontece para qualquer valor de entrada superior a 0.1 e inferior a -0.1, sofrendo apenas
uma alteração de concavidade referente ao coeficiente angular de cada senoide de entrada
com sua amplitude.
Resumindo, com as análises realizadas a partir dos comportamentos dos elementos
definidos na Tabela 3.1, como dito, os sinais de sáıda para os elementos não lineares
Atrito de Coulomb e Zona Morta são proporcionais ao sinal de entrada, o que torna a
deformidade do sinal de sáıda menos significativo para o sistema. Contudo, na Saturação,
observa-se um comportamento oposto, com uma deformação significativa para o sistema
em amplitudes de entrada maiores. No Liga-Desliga com Histerese, ocorre a aparição de
uma forma de onda quadrada na sáıda a partir de valores maiores que os parâmetros
definidos na Tabela 3.1, e quando são inferiores, o sinal apresenta valores constantes em
’OFF’.
3.2 Parte 2: Simulações com a Zona Morta e Saturação
A segunda parte da Prática também foi desenvolvida no Simulink, os elementos não
lineares devem ser configurados com os parâmetros da Tabela 3.2, com intervalo de tempo
de [0;0.1) em segundos e intervalo de amostragem de ∆t = 1e−4.
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ELEMENTO PARÂMETROS VALOR
Dead Zone Start of Dead Zone -0.05
End of Dead Zone 0.05
Saturation Upper limit 0.1
Lower limit -0.1
Tabela 2: Dados da tabela particular.
Esses elementos não lineares serão analisados com alterações de fase e amplitude.
3.2.1 Sinal analisado N° 1
A primeira análise é constitúıda de duas componentes senoidais com frequências de 10
Hz e 30 Hz e com amplitudes de 0.09 e 0.03, respectivamente. Como nas Equações 1 e 2.
S1 = 0, 09 sin(20πt) (1)
S1 = 0, 03 sin(60πt+ 0◦) (2)
(a) Zona Morta
Inicialmente foi gerado em um único gráfico as entradas e respostas com o elemento
não linear Zona Morta com os parâmetros da Tabela 3.2, aplicando as duas senóides de
entrada. Para plotar o gráfico foi constrúıdo um diagrama de blocos no Simulink, conforme
Figura 14.
Figura 14: Diagrama de Blocos com os elementos não lineares Zona Morta.
O gráfico com os sinais de entrada e sáıda com os elementos não lineares Zona Morta
é exibido na Figura 15.
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Figura 15: Sinais de entrada e sinais de sáıda para o elemento não linear Zona Morta.
Na Figura 15 é posśıvel perceber que a entrada da senoide S1 possui amplitude em
0.9 e a entrada S2 em 0.03, como definido pelas Equações 1 e 2. É viśıvel que no mesmo
peŕıodo de tempo a senoide S1 obteve um ciclo e a senoide S2 obteve três ciclos, isso se
dá pela frequência de ambas, que são 10 e 30 Hz, respectivamente, além de possúırem a
mesma fase.
É notório que a resposta do sistema para o elemento não linear Zona Morta, com a
senoide S1 de entrada, graças a ocorrência do fenômeno da zona morta, sofre uma dimi-
nuição de 0.05 no módulo desua amplitude, o que é esperado, pois o bloco do elemento
não linear foi configurado para tal, como é observado na Tabela 3.2, além de aparecer um
tempo morto para começar a aumentar ou diminuir a amplitude do sinal de sáıda. Por
outro lado, a resposta do sistema com Zona Morta para a senóide S2 apresentou um sinal
nulo constante, pois a amplitude da senoide aplicada foi de 0.03, que é menor que o valor
configurado para o elemento não linear Zona Morta.
Como já visto anteriormente, nos sinais de sáıda para os diferentes valores de entrada
quanto maior o valor de entrada, maior a amplitude do sinal de sáıda, ou seja, são pro-
porcionais, o mesmo para o semiciclo negativo.
Com os gráficos individuais plotados, deve ser gerado um gráfico com a soma das
respostas individuais e as respostas dos elementos não lineares para o sinal de entrada
S1+S2, utilizando o teorema da superposição. Para plotagem do gráfico foi constrúıdo
um diagrama de blocos, conforme Figura 16, este gráfico é exibido na Figura 17.
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Figura 16: Diagrama de Blocos constrúıdo para plotar a soma das respostas individuais
e dos elementos não lineares com Zona Morta.
Figura 17: Gráfico com a soma das respostas individuais e as respostas dos elementos não
lineares Zona Morta para S1+S2.
(b) Saturação
Do mesmo modo, com os parâmetros da Tabela 3.2, foi gerado em um único gráfico as
duas senóides de entrada e respostas com o elemento não linear Saturação. Para plotar o
gráfico foi constrúıdo um diagrama de blocos no Simulink, conforme Figura 18.
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Figura 18: Diagrama de Blocos com os elementos não lineares Saturação.
O gráfico com os sinais de entrada e sáıda com os elementos não lineares Saturação é
mostrado na Figura 19.
Figura 19: Sinais de entrada e sinais de sáıda para o elemento não linear Saturação.
Pela Figura 19 é percept́ıvel que a entrada da senóide S1 possui amplitude em 0.9 e a
entrada S2 em 0.03, como definido pelas Equações 1 e 2. No mesmo peŕıodo de tempo a
senoide S1 obteve um ciclo completo, enquanto a senoide S2 obteve três ciclos, isso se dá
pela frequência de ambas.
Nos sinais de sáıda para as senóides S1 e S2, pode-se observar que não ocorre nenhuma
interferência do bloco de saturação, e isso se deve ao fato de que o elemento não linear
está configurado para saturar amplitudes acima de 0.1, conforme a Tabela 3.2, e no caso
das senóides utilizadas como sinal de entrada, as amplitudes são de 0.03 e 0.09, que são
menores que 0.1, por isso, no gráfico, os sinais de sáıda estão sobrepostos aos de entrada
pois são idênticos. Posteriormente, serão analisadas entradas com outros valores de am-
plitude, podendo ser verificados o fenômeno de saturação.
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Após os gráficos individuais, deve ser gerado um gráfico com a soma das respostas
individuais e as respostas dos elementos não lineares para o sinal de entrada S1+S2, uti-
lizando o teorema da superposição quanto a classificação de sistemas não lineares. Para
plotagem do gráfico foi constrúıdo um diagrama de blocos, mostrado na Figura 20, este
gráfico é exibido na Figura 21.
Figura 20: Diagrama de Blocos constrúıdo para plotar a soma das respostas individuais
e dos elementos não lineares com Saturação.
Figura 21: Gráfico com a soma das respostas individuais e as respostas dos elementos não
lineares Saturação para S1+S2.
3.2.2 Sinal analisado N° 2
A segunda análise é constitúıda de duas componentes senoidais, também com frequên-
cias de 10 Hz e 30 Hz e com amplitudes de 0.09 e 0.03, respectivamente. Além da Senoide
S4 possuir fase de 180°. Como nas Equações 3 e 4.
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S3 = 0, 09 sin(20πt) (3)
S4 = 0, 03 sin(60πt+ 180◦) (4)
(a) Zona Morta
Foi desenvolvido em um único gráfico as entradas e respostas com o elemento não linear
Zona Morta com os parâmetros da Tabela 3.2, aplicando as duas senóides de entrada (S3
e S4). Para plotar o gráfico foi constrúıdo um diagrama de blocos no Simulink, conforme
Figura 14, onde foi apenas alterada a fase para a segunda senoide, tendo em vista que as
amplitudes e frequências permaneceram as mesmas.
O gráfico com os sinais de entrada e sáıda com os elementos não lineares Zona Morta
é mostrado na Figura 22.
Figura 22: Sinais de entrada e sinais de sáıda para o elemento não linear Zona Morta.
Pela Figura 22 é posśıvel perceber que a entrada da senoide S3 possui amplitude em
0.9 com fase 0 e a entrada S4 em 0.03 com fase de 180°, como definido pelas Equações 3
e 4. É viśıvel que no mesmo peŕıodo de tempo a senoide S3 obteve um ciclo e a senoide
S4 obteve três ciclos, isso se dá pela frequência de ambas, que são 10 e 30 Hz. O que foi
alterado da Análise 1 foi a defasagem da segunda senoide, ao invés do ciclo da senóide
iniciar no semiciclo positivo, ele inicia no negativo.
A resposta do sistema com Zona Morta para a senóide S4 apresentou um sinal nulo
constante, pois a amplitude da senoide aplicada foi de 0.03, que é menor que o valor
configurado para o elemento não linear Zona Morta.
Com os gráficos individuais feitos, foi gerado um gráfico com a soma das respostas
individuais e as respostas dos elementos não lineares para o sinal de entrada S3+S4 para
o elemento não linear Zona Morta, utilizando o teorema da superposição. Para plotagem
15
do gráfico foi utilizado o diagrama de blocos da Figura 16, onde foi alterado apenas a fase
da segunda senoide. O gráfico das somas é exibido na Figura 23.
Figura 23: Gráfico com a soma das respostas individuais e as respostas dos elementos não
lineares Zona Morta para S3+S4.
(b) Saturação
Com os parâmetros da Tabela 3.2, foi gerado em um único gráfico as senóides S3 e
S4 de entrada e respostas com o elemento não linear Saturação. Para plotar o gráfico
foi constrúıdo um diagrama de blocos no Simulink exibido na Figura 18, sendo alterado
apenas a fase da segunda senoide. O gráfico com os sinais de entrada e sáıda com os
elementos não lineares Saturação é mostrado na Figura 24.
Figura 24: Sinais de entrada e sinais de sáıda para o elemento não linear Saturação.
16
Na Figura 24 mostra que a entrada da senóide S3 possui amplitude em 0.9 e a entrada
S4 em 0.03, assim como na análise anterior, pois as amplitudes não foram alteradas, ape-
nas a defasagem entre as duas entradas.
Do mesmo modo da análise anterior, nos sinais de sáıda para as senóides S3 e S4,
pode-se observar que não ocorre nenhuma interferência do bloco de saturação, devido ao
fato de que o elemento não linear está configurado para saturar amplitudes acima de 0.1,
conforme a Tabela 3.2, e as senóides possuem amplitudes de 0.03 e 0.09, que são menores
que 0.1, por isso, no gráfico, os sinais de sáıda estão sobrepostos aos de entrada, pois são
idênticos.
Com os gráficos individuais plotados, deve ser gerado um gráfico com a soma das
respostas individuais e as respostas dos elementos não lineares para o sinal de entrada
S3+S4, utilizando o teorema da superposição quanto a classificação de sistemas não li-
neares. Para plotagem do gráfico foi utilizado o diagrama de blocos da Figura 20, sendo
alterado apenas a fase da segunda senóide, este gráfico é exibido na Figura 25.
Figura 25: Gráfico com a soma das respostas individuais e as respostas dos elementos não
lineares Saturação para S3+S4.
3.2.3 Sinal analisado N° 3
A ultima análise é constitúıda de duas componentes senoidais com frequências de 10
Hz e 30 Hz e com amplitudes de 0.33 e 0.11, respectivamente, com defasagem entre si
igual a zero. As Equações 5 e 6 representam essas senóides.
S5 = 0, 33 sin(20πt) (5)
S6 = 0, 11 sin(60πt+ 0◦) (6)
(a) Zona Morta
Inicialmente foi gerado em um único gráfico as entradas e respostas com o elemento
não linear Zona Morta com os parâmetros da Tabela 3.2, aplicando as duas senóides de
entrada das Equações 5 e 6. Para plotar o gráfico foi utilizado o diagrama de blocos da
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Figura 14, realizandoas alterações na amplitude das senóides. O gráfico com os sinais de
entrada e sáıda com os elementos não lineares Zona Morta é exibido na Figura 26.
Figura 26: Sinais de entrada e sinais de sáıda para o elemento não linear Zona Morta.
Na Figura 26 é viśıvel que a entrada da senoide S5 possui amplitude em 0.33 e a
entrada S6 em 0.11, conforme Equações 5 e 6. É percept́ıvel que ao mesmo peŕıodo de
tempo que a senoide S5 obteve um ciclo, a senoide S6 obteve três ciclos, isso se dá pela
frequência de ambas, que são 10 e 30 Hz, respectivamente. Ambas as senóides de entrada
possuem a mesma fase.
É notório que a resposta do sistema para o elemento não linear Zona Morta, com a
senoide S5 de entrada tem sua amplitude reduzida em 0.05, passando de 0.33 para 0.28, o
que é esperado, já que o bloco do elemento não linear foi configurado como a Tabela 3.2,
além de aparecer um tempo morto para começar a aumentar ou diminuir a amplitude do
sinal de sáıda. Com esses parâmetros, nessa simulação a segunda senóide também apre-
senta uma amplitude diferente de zero na sáıda, pois a amplitude de entrada é 0.11, maior
que 0.05, sendo assim, a sáıda sofre uma diminuição em sua amplitude, apresentando um
valor de 0.06 e um tempo morto também aparece.
Com os gráficos individuais desenvolvidos, deve ser gerado um gráfico com a soma das
respostas individuais e as respostas dos elementos não lineares para o sinal de entrada
S5+S6, utilizando o teorema da superposição. Para plotagem do gráfico foi utilizado o
diagrama de blocos da Figura 16, alterando apenas as amplitudes das senóides, uma vez
que as frequências e fases permaneceram a mesma. Este gráfico é exibido na Figura 27.
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Figura 27: Gráfico com a soma das respostas individuais e as respostas dos elementos não
lineares Zona Morta para S5+S6.
(b) Saturação
Com os mesmos parâmetros da Tabela 3.2, foi gerado em um único gráfico as duas
senóides de entrada e respostas com o elemento não linear Saturação. Para plotar o gráfico
foi utilizado o diagrama de blocos da Figura 18, alterando apenas as amplitudes de ambas
as senóides. O gráfico com os sinais de entrada e sáıda com os elementos não lineares
Saturação é mostrado na Figura 28.
Figura 28: Sinais de entrada e sinais de sáıda para o elemento não linear Saturação.
Na Figura 28 é notório que a entrada da senóide S5 possui amplitude em 0.33 e a
entrada S6 em 0.11, como definido pelas Equações 5 e 6. No mesmo peŕıodo de tempo a
senoide S5 obteve um ciclo completo, enquanto a senoide S6 obteve três ciclos, isso se dá
19
pela frequência de ambas. A defasagem entre as duas é nula.
Nessa simulação, como ambas senóides S5 e S6 possuem amplitudes maiores que 0.1,
que foi o valor configurado para o bloco de saturação operar, ambas são saturadas nesse
valor. O sinal de sáıda S5 perde a maior parte de sua amplitude, que anteriormente era
de 0.33, e isso pode ser observado pois o sinal de entrada de S5, mostrado em preto na
Figura 28 pode ser visto em maior parte, já o sinal de sáıda, em azul claro, compõe menos
de 30 % da amplitude original da senóide.
No caso do sinal de sáıda S6, onda roxa, como a amplitude é de 0.11, a maior parte
do seu sinal é viśıvel no gráfico, como ocorre a saturação em 0.1, e além disso, é mostrada
apenas uma pequena parte do sinal de entrada, em laranja, devido a esse mesmo motivo.
Com os gráficos individuais plotados, foi gerado um gráfico com a soma das respostas
individuais e as respostas dos elementos não lineares para o sinal de entrada S5+S6,
utilizando o teorema da superposição quanto a classificação de sistemas não lineares.
Para plotagem do gráfico foi utilizado o diagrama de blocos da Figura 20, sendo alteradas
apenas as amplitudes de ambas as senóides. O gráficos das somas requeridas é exibido na
Figura 29.
Figura 29: Gráfico com a soma das respostas individuais e as respostas dos elementos não
lineares Saturação para S5+S6.
4 Conclusão
Com a realização desta prática foi posśıvel analisar o comportamento dos componentes
não lineares, Atrito de Coulomb, Zona Morta, Liga-Desliga por Histerese e Saturação, na
parte 1 com três entradas senoidais e com amplitudes diferentes, e na parte 2 com duas
senóides que se diferenciavam em cada análise tanto na amplitude como na fase. Foi
posśıvel perceber que as variações da amplitude interferiram na deformação harmônica
ocorrida na forma de onda de sáıda. Sendo assim, a prática permitiu confirmar que o
prinćıpio da superposição não se aplica a sistemas com componentes não lineares.
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Referências
[OGATA 1982]OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 1ª Edição. [S.l.: s.n.],
1982.
[Ferreira]FERREIRA, M. Material de aula. In: Introdução aos sistemas não lineares.
[S.l.: s.n.].
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	Introdução
	Atrito de Coulomb
	Zona Morta
	Liga-Desliga com Histerese (Relé)
	Saturação
	Objetivo
	Desenvolvimento
	Parte 1: Identificação dos Elementos Não-Lineares no MATLAB
	Atrito de Coulomb
	Zona Morta
	Liga e Desliga com Histerese
	Saturação
	Parte 2: Simulações com a Zona Morta e Saturação
	Sinal analisado N° 1
	Sinal analisado N° 2
	Sinal analisado N° 3
	Conclusão