Lista de exercícios - Distribuição de probabilidade discreta

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Universidade Federal de São Paulo
Departamento de Engenharia Química
Campus Diadema
Lista de Exercícios
Distribuição de Probabilidade Discreta
Engenharia Química Integral
Profª. Dra. Iara R. A. P. Bresolin
Karina de Souza Amorim – 157.456
Diadema, São Paulo
Dezembro de 2021
Universidade Federal de São Paulo
Departamento de Engenharia Química
Campus Diadema
Lista de Exercícios - Distribuição de Probabilidade Discreta
1) Dados 2 eventos A e B, dizer se são descritos por variáveis aleatórias discretas ou
contínuas. Justifique.
A: nº de grãos de pipoca em um saco.
B: quantidade de álcool no tanque de um carro.
Resposta: As variáveis aleatórias são discretas ou contínuas. As variáveis aleatórias
discretas tem um valor bem definido, e é resultante de contagem como por exemplo
números inteiros. Se a variável não for discreta ela é contínua, que é resultante é uma
medida (números não inteiros) e essas podem ser encontradas em um intervalo, como
por exemplo a massa de um animal, ou o tempo, que são grandezas medidas e que
possuem incertezas na medição.
No evento A, o valor do número de grãos de pipoca em um saco é exato, pois há
certeza do resultado. Dessa forma é uma variável discretas tem um valor bem definido.
No evento B, podemos ter um intervalo de valores em relação à quantidade de
álcool no tanque de um carro, pois essa medida varia de acordo com o instrumento
utilizado e sua precisão, ou seja, o resultado não é um valor exato. Dessa forma é uma
variável contínua pois o valor estará contido num determinado intervalo.
2) A tabela abaixo representa uma distribuição de probabilidade? Justifique.
X 0 1 2 3 Total
P(X) 0,1 0,3 0,5 0,1 1
Resposta: A distribuição de probabilidade é uma relação dos distintos valores de X𝑥
𝑖
junto com as suas respectivas probabilidades. Ademais, a probabilidade P(X) de cada
valor da variável é um número de 0 à 1 e que tem soma igual a 1(um). Dessa forma, a
representação através da tabela com todos os resultados dessa variável e as
probabilidades de ocorrência de cada um dos resultados e a soma das probabilidades
igual a 1 (um), ou seja 100%, mostra que a tabela representa uma distribuição de
probabilidade.
0 ≤ 𝑃(𝑥) ≤ 1
𝑖
∑ 𝑃(𝑥
𝑖
) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 5 + 0, 1 = 1 = 100%
2
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Lista de Exercícios - Distribuição de Probabilidade Discreta
3) A função P(x)=x (onde x=0; 0,3; 0,6 e 1,1) é uma distribuição de probabilidade?
Justifique.
Resposta: Visto que ao listar cada valor de uma variável aleatória juntamente a sua
probabilidade P(X) que deve ser um número de 0 à 1 e soma igual a 1(um) para formar
uma distribuição de probabilidade, podemos afirmar que esta função não é uma
distribuição de probabilidade pois não satisfaz nenhuma condição.
Uma distribuição de probabilidades deve satisfazer às seguintes condições:
I. A probabilidade de cada valor da
variável é um número de 0 à 1.
0 ≤ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ≤ 1
A função não atende ao critério
apresentado.
0 ≤ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ≤ 1, 1
II. A soma de todas as probabilidades é
igual a 1.
𝑖
∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
) = 1
A função não atende ao critério, pois a
soma das probabilidades é de 2.
𝑖
∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
) = 0 + 0, 3 + 0, 6 + 1, 1 = 2
4) A função P(x)=3x2(onde x=0 e 1) é uma distribuição de probabilidade? Justifique.
X 0 1 Total
P(x)=3x2 0 3 3
Resposta: Através das condições de distribuição de probabilidade apresentada, e
através dos resultados obtidos na tabela, vimos que a função P(x)=3x2(onde x=0 e 1)
não é uma distribuição de probabilidade, pois apesar de satisfazer a primeira condição,
a soma das probabilidades é 3, ou seja maior que 1.
A função atende ao critério I:
0 ≤ 𝑃(𝑥) ≤ 1
A função não atende ao critério II, pois a
soma das probabilidades é de 3.
𝑖
∑ 𝑃(3𝑥2) = 3· 02 + 3· 12 = 0 + 3 = 3
3
5) Lançando-se 5 vezes uma moeda, qual a probabilidade de só obter “cara” 4 vezes?
Resp. 15,6%.
Fórmulas utilizadas
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛 𝑘) · 𝑝𝑘 · 𝑞𝑛−𝑘
𝐶
𝑛,𝑘
= 𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!
Supondo que iremos lançar uma moeda honesta, e que queremos a
probabilidade de descobrir exatamente 4 caras, calcula-se primeiramente o número de
possibilidades de encontrar exatamente 4 caras:
𝐶
𝑛,𝑘
= 𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)! = 𝐶
5,4
= 5!4!(5−4)! =
5×4
4!1! =
5×4
4!1! =
20
4 = 5
Assim, temos 5 maneiras de encontrar 4 caras quando lançamos a moeda 5 vezes.
Aplicamos a fórmula para calcular a probabilidade:
𝑃 = (𝑛 𝑘) · 𝑝𝑘 · 𝑞𝑛−𝑘
𝑃 = 5 × 12( )
4
× 12( )
5−4
𝑃 = 5 × 12( )
4
× 12( )
1
𝑃 = 5 × 116 ×
1
2 =
5
32 =0, 15625 𝑜𝑢 15, 625%
Resposta: Temos de chance, de probabilidade de ter exatamente 4 caras ao15, 6%
lançar a moeda 5 vezes.
4
6) Suponha que 20% de todas as cópias de um livro apresentem falhas em um
determinado teste. Seja k o número de cópias que apresentam falhas entre 15 cópias
selecionadas aleatoriamente. Qual a probabilidade de exatamente 8 cópias
apresentarem falhas? Observação: Sucesso neste caso é ter falha na cópia do livro.
Resp. 0,3%
n=15 cópias aleatórias de um livro.
p=20%=0,2 é a probabilidade de sucesso
k=n° de cópias = 8
A probabilidade das cópias apresentarem falha é definida pela seguinte equação de
Distribuição de Probabilidade Binomial:
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (𝑛 𝑘) · 𝑝𝑘 · (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (15 𝑘) · 0, 2𝑘 · 0, 815−𝑘 (𝐼)
𝑘=1
𝑛
∑ 𝑃(𝑋 = 𝑘) =
𝑘=1
𝑛
∑ (𝑛 𝑘) · 𝑝𝑥 · (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 =
𝑘=1
15
∑ 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 1 (𝐼𝐼)
Pela equação (I), o valor de P(X=8) é, aproximadamente:
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (15 𝑘) · 0, 2𝑘 · 0, 815−𝑘 
𝑃(𝑋 = 8) = (15 8) · 0, 28 · 0, 815−8 
𝑃(𝑋 = 8) = 15!0!·7! · 0, 2
8 · 0, 87 
𝑃(𝑋 = 8) = 0, 0035 = 0, 035%
Concluindo, para exatamente 8 cópias com falhas, a probabilidade é,
aproximadamente: 
𝑃(𝑋 = 8) = 0, 035%
Resposta: A probabilidade de exatamente 8 cópias apresentarem falhas é de 0,3%
5