UnG - Lista 1 - Mecânica Geral - Sem. 2 - 2015

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UnG - Lista 1 – Mec. Geral - 2015 
Eng. - Sem. 2 - Prof. W. Lopes 
 
Obs.: A solução dos problemas contendo um 
asterisco (*) fica a cargo do aluno. 
 
Noções sobre os vetores: 
Pode-se escrever a expressão cartesiana de um 
vetor de posição, em relação a sistemas de 
referências cartesianos e inércias: unidimensional, 
bidimensional ou tridimensional. 
a) Em relação a um sistema de referência 
unidimensional: 
 i.xr
r
r
= 
 
Esse vetor de posição da partícula P tem a mesma 
direção do eixo x, sentido de +x (mesmo sentido 
do vetor unitário i
r
 e módulo xr =
r
 
que pode ser 
medido em quilômetros, metros, centímetros,... 
b) Em relação a um sistema de referência 
bidimensional 
O vetor de posição da partícula P tem duas 
componentes, uma no sentido de x e outra no 
sentido de y: 
 j.yi.xr
rr
r
+= 
Seu módulo é dado por 
 22 yxr +=
r
 
Sua direção (ângulo que r
r
 
faz com o eixo x) é dada por 
 tgα = y/x e portanto, α = arctg(y/x) 
c) Em relação a um sistema tridimensional 
O vetor de posição 
da partícula P(x; y; 
z) tem três 
componentes. 
Portanto o vetor que 
posiciona o ponto P 
é definido por: 
k.zj.yi.xr
rrr
r
++= . 
Seu módulo é dado 
por 
 222 zyxr ++=
r
 
Sua direção é definida por apenas dois ângulos: 
 cosα = x/ r
r
, portanto α = arccos(x/ r
r
) 
e cosβ = y/ r
r
, portanto β = arccos(y/ r
r
), 
em que α e β são os ângulos que o vetor r
r
 faz, 
respectivamente, com os eixos x e y. 
Perguntas: 
a) Por que a direção de um vetor, num sistema 
referencial plano, fica definida por um único 
ângulo? 
b) Por que a direção de um vetor, num sistema 
referencial tridimensional, fica definida apenas 
por dois ângulos? 
 
Problemas: 
Prob.1: Dois móveis partem simultaneamente da 
origem de um sistema referencial plano. O móvel 
A, desloca-se 2,0 km na direção positiva de x e 
3,0 km na direção positiva de y. O móvel B 
desloca-se 5,0 km na direção negativa de x e 2,0 
km na direção negativa de y. 
a) Em relação à origem do sistema referencial, 
quais foram os deslocamentos dos móveis A e B? 
b) Após os deslocamentos, qual é a distância 
entre os dois móveis? 
[R: a) 3,61 km e 5,39 km; b) 8,6 km] 
 
Prob.2: O vetor de posição r tem origem no 
ponto O(0; 0; 0), de um sistema de referência 
tridimensional, e 
extremidade no 
ponto P(5,0; 2,0; 
3,0), cujas 
coordenadas são 
medidas em metros. 
a) Qual é a expressão 
vetorial de r, seu 
módulo e sua 
direção? Qual é a 
distância entre o ponto P e a origem do sistema 
referencial? 
[R: 6,16 m; 35,80 e 71,10] 
Prob.3: a) Determine o comprimento da diagonal 
do cubo, de aresta 5,0 m, através do Cálculo 
Vetorial. b) Qual é o comprimento da diagonal da 
face do cubo? 
[R: a) 8,7 m e b) 7,1 m] 
 
Observação:Os mesmos conceitos vetoriais que 
você aplicou ao vetor de posição são válidos para 
os vetores: força, velocidade, aceleração, campo 
elétrico, etc. 
Prob.4
*
: São dados os vetores forças que agem 
sobre uma partícula, de massa m = 10 kg: 
j200i100F
1
rrr
+= e j0,60i0,50F
2
rrr
−= , medidos 
em newton. Determine: 
a) o vetor força resultante que age sobre a 
partícula, seu módulo e sua direção. 
b) o vetor aceleração, seu módulo e sua direção. 
[R: a) j140i150F
rrr
+= , | F
r
| = 205 N e α = 
43,0o; b) j14i15a
vr
r
+= , | |a
r
 = 20,5 m/s
2
 e α = 
43,0
o] 
Prob.5*: O vetor velocidade de uma partícula, 
em m/s, é dado por: k10,4j80,3i40,5v
rrr
r
−+= . 
Determine: o módulo e a direção do vetor 
velocidade da partícula. 
[R: 7,77 m/s; α = 46,0
o
, β = 60,7
o
 e γ = 122
o
] 
 
Prob.6: O cubo 
tem aresta a = 3,0 
m e os vetores 
321
FeF,F
rrr
 têm 
módulos iguais a 
400 N. a) Quais 
são as expressões 
vetoriais dos 
vetores de 
posição dos 
pontos de aplicação das forças 
31
FeF
rr
? b) Quais 
são as expressões vetoriais da forças 
321
FeF,F
rrr
. 
[R: a) 3,0i e 3,0j; b) )ki(2200F
1
rrr
+−= , 
i400Fe)kji)(3/400(F
32
rrrrrr
=++= ] 
 
Prob.7: O ângulo 
formado entre os 
vetores a e b é θ e 
seus módulos são, 
respectivamente, a e 
b. Prove, através do 
produto escalar que: 
a) o módulo do vetor 
soma S = a + b é dado 
por: 
 
 
θ++= cosab2baS 22 . (1) 
 
b) o módulo do vetor diferença D = b - a é dado 
por: 
 
θ−+= cosab2baD 22 (2) 
 
Observação: As equações (1) e (2) representam o 
teorema dos cossenos. 
 
Teorema dos senos: 
Considere o triângulo 
qualquer ABC. Nesse 
triângulo e válida a 
relação: 
 
a/senα = b/senβ = c/senγ (3) 
 
A equação (3) representa o teorema dos senos. 
 
Prob.8: Determinem nas figuras as distâncias 
entre o pontos A e B. 
[R: 8,25 m; 6,7 m] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prob.9: Determine a distância entre os pontos A 
e B e a área do triângulo OBA. 
[R:3,61 m; 1,8 m
2
]