Aula07_Probabilidade

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PROBABILIDADE
1
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
As origens da probabilidade remontam ao 
século XVI. As aplicações iniciais referiam-se 
quase todas a jogos de azar.
Os jogadores aplicavam o conhecimento da 
teoria das probabilidades para planejar 
estratégias de apostas. 
2
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
Atualmente a utilização das probabilidades 
ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. 
Hoje os governos, as empresas, as 
organizações profissionais incorporam a teoria 
das probabilidades em seus processos diários 
de deliberações. 
3
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
Independentemente de qual seja a aplicação 
em particular, a utilização das probabilidades 
indica que existe um elemento de acaso, ou 
de incerteza, quanto à ocorrência ou não de 
um evento futuro. 
4
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
Há numerosos exemplos de tais situações no 
campo dos negócios e do governo. 
� A previsão da procura de um novo produto, 
� O cálculo dos custos da produção, 
� A previsão das safras, 
� A compra de apólices de seguros, 
� A avaliação da redução de impostos sobre a 
inflação. 
As probabilidades são úteis, pois ajudam a 
desenvolver estratégias. 
5
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
O ponto central em todas as situações é a 
possibilidade de quantificar quão provável é 
determinado evento. 
As probabilidades são utilizadas para 
exprimir a chance de ocorrência de 
determinado evento. 
6
CONCEITOS BÁSICO
Experimento aleatório 
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo 
repetidos várias vezes sob condições semelhantes, 
apresentam resultados imprevisíveis. 
7
CONCEITOS BÁSICO
Características dos experimentos aleatórios: 
1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as 
mesmas condições.
2. Não se pode adiantar um resultado particular, 
mas pode-se descrever todos os resultados 
possíveis. 
3. Se repetidos muitas vezes apresentarão uma 
regularidade em termos de frequência de 
resultados.
8
CONCEITOS BÁSICO
Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento 
de um dado, aposta na loteria... 
Ao descrever um experimento aleatório deve-se 
especificar não somente que operação ou 
procedimento deva ser realizado, mas também o que 
deverá ser observado. 
Exemplos: 
a) Joga-se um dado e observa-se o número obtido 
na face superior. 
b) Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se o 
número de caras obtido. 
9
CONCEITOS BÁSICOS
ESPAÇO AMOSTRAL “ S ”:
É o conjunto de todos os resultados possíveis de 
um experimento. Ex:
Experimento Espaço amostral
Jogada de um dado S1 = { }
Jogada de 2 moedas S2= { }
e-mails enviados 1 dia S3= { }
10
CONCEITOS BÁSICOS
ESPAÇO AMOSTRAL “ S ”:
É o conjunto de todos os resultados possíveis de 
um experimento. Ex:
Experimento Espaço amostral
Jogada de um dado S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogada de 2 moedas S2= { }
e-mails enviados 1 dia S3= { }
11
CONCEITOS BÁSICOS
ESPAÇO AMOSTRAL “ S ”:
É o conjunto de todos os resultados possíveis de 
um experimento. Ex:
Experimento Espaço amostral
Jogada de um dado S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogada de 2 moedas S2= {CC, CK, KC, KK}
e-mails enviados 1 dia S3= { }
12
CONCEITOS BÁSICOS
ESPAÇO AMOSTRAL “ S ”:
É o conjunto de todos os resultados possíveis de 
um experimento. Ex:
Experimento Espaço amostral
Jogada de um dado S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogada de 2 moedas S2= {CC, CK, KC, KK}
e-mails enviados 1 dia S3= {1, 2, 3, ..............}
13
CONCEITOS BÁSICOS
EVENTO “ E ”:
Refere-se a um experimento particular associado a 
um espaço amostral “S”. Ex:
Evento Espaço amostral
Jogar um dado e obter 
resultado par
E1 = { }
Jogada de 2 moedas e 
obter pelo menos 1 cara
E2= { }
14
CONCEITOS BÁSICOS
EVENTO “ E ”:
Refere-se a um experimento particular associado a 
um espaço amostral “S”. Ex:
Evento Espaço amostral
Jogar um dado e obter 
resultado par
E1 = { 2, 4, 6}
Jogada de 2 moedas e 
obter pelo menos 1 cara
E2= { }
15
CONCEITOS BÁSICOS
Evento Espaço amostral
Jogar um dado e obter 
resultado par
E1 = { 2, 4, 6}
Jogada de 2 moedas e 
obter pelo menos 1 cara
E2= {CC, CK, KC}
EVENTO “ E ”:
Refere-se a um experimento particular associado a 
um espaço amostral “S”. Ex:
16
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM 
EVENTO: P (E)
Exemplo: Determine a probabilidade de jogar:
a) um dado e obter o número 4. 
P (E) = 
b) jogar dois dados obter soma = 3
P (E) =
c) jogar dois dados obter soma = 6
P (E) =
P (E) =
número de resultados possíveis
número de resultados favoráveis =
n ( S )
n ( E )
17
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM 
EVENTO: P (E)
Exemplo: Determine a probabilidade de jogar:
a) um dado e obter o número 4. 
P (E) = 1/6
b) jogar dois dados obter soma = 3
P (E) = 2/36 = 1/18
c) jogar dois dados obter soma = 6
P (E) = 5/36
P (E) =
número de resultados possíveis
número de resultados favoráveis =
n ( S )
n ( E )
18
EXERCÍCIO
1) Uma bola será retirada de uma sacola 
contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. 
Qual a probabilidade desta bola ser verde?
19
EXERCÍCIO
2) Três moedas são lançadas ao mesmo 
tempo. Qual é a probabilidade de as três 
moedas caírem com a mesma face para cima?
20
EXERCÍCIO
3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que 
a cada mês a probabilidade da mulher 
engravidar é de 20%. Qual é a 
probabilidade dela vir a engravidar somente 
no quarto mês de tentativas?
21
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM 
EVENTO: P (E)
Evento Certo: P(S) = 1
Evento Impossível: P(∅) = 0
Evento qualquer: 0 ≤ P(E) ≤ 1
Evento elementar: P(E) = 1/n
Obs: evento elementar contém apenas um único 
resultado no espaço amostral.
22
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM 
EVENTO: P (E)
Exemplo: Dado o lançamento de 2 dados, 
determine a distribuição de probabilidade de se 
jogar 2 dados e obter as seguintes somas: 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
23
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM 
EVENTO: P (E)
Resp:
E2 = soma 2 = { (1,1) } P(E2) = 1/36
E3 = soma 3 = { (1,2), (2,1) } P(E3) = 2/36
E4 = soma 4 = { (1,3), (2,2), (3,1)} P(E4) = 3/36
E5 =soma 5= { (1,4), (2,3), (3, 2), (4, 1) } P(E5) = 4/36
E6 =soma 6= { (1,5), (2,4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) } P(E6) = 5/36
E7 = soma 7 = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2),(6, 1)} P(E7) = 6/36
E8 = soma 8 = { (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} P(E8) = 5/36
E9 = soma 9 = { (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) } P(E9) = 4/36
E10 = soma 10 = { (4, 6), (5, 5), (6, 4)} P(E10) = 3/36
E11 = soma 11 = { (5, 6), (6, 5) } P(E11) = 2/36
E12 = soma 12 = { (6, 6)} P(E12) = 1/36
24
SOMA Nº ocorrência Probab: P(E) P(E) %
2 1 1/36 = 0,0278 2,78 %
3 2 2/36 = 0,0576 5,76 %
4 3 3/36 = 0,0833 8,33 %
5 4 4/36 = 0,1111 11,11 %
6 5 5/36 = 0,1389 13,89 %
7 6 6/36 = 0,1667 16,67 %
8 5 5/36 = 0,1389 13,89 %
9 4 4/36 = 0,1111 11,11 %
10 3 3/36 = 0,0833 8,33 %
11 2 2/36 = 0,0576 5,76 %
12 1 1/36 = 0,0278 2,78 %
25
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 soma
2,78%
5,56 %
8,33 %
13,89 %
16,67 %
P(E)
Distribuição de 
Probabilidade
26
CLASSIFICAÇÃO DOS EVENTOS
1ª classificação:
1.a) Mutuamente Exclusivos;
1.b) Não mutuamente Exclusivos.
2ª classificação:
2.a) Eventos Dependentes;
2.b) Eventos Independentes.
27
1.A) EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
resultados que não podem ocorrer simultaneamente:
Ex: Jogar uma moeda e:
evento E1 = sair cara, 
evento E2= sair coroa.
E1 e E2 não podem ocorrer simultaneamente.
28
1.B) EVENTOS NÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
� resultados que podem ocorrer simultaneamente;
� a ocorrência de um evento não impede a 
ocorrência do outro evento.
Ex: Retirar duas cartas de um baralho:
evento E1 = sair um ás, 
evento E2 = sair espadas. 
E1 e E2podem ocorrer simultaneamente.
29
DIAGRAMA DE VENN
Novelas
Número de 
espectadores
A 1450
B 1150
C 900
A e B 350
A e C 400
B e C 300
A, B e C 100
Em um total de 3000 
espectadores 
entrevistados, 
quantos não gostam 
de nenhum das 
novelas?
30
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 
Muitas aplicações da estatística exigem a 
determinação da probabilidade de combinações 
dos eventos. 
Há duas características de combinações. 
Pode ser necessário determinar a probabilidade 
de ambos os eventos acontecerem P(A e B) ou a 
probabilidade de um deles, A ou B, ou seja, P(A ou 
B).
31
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = { 11, 12, 13, 14, 15 }
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
n(A) = nº elementos de A => n(A) = 
n(B) = nº elementos de B => n(B) = 
n(U) = nº elementos de U => n(U) = 
32
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, 10}
B = { 11, 12, 13, 14, 15 }
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
n(A) = nº elementos de A => n(A) = 10
n(B) = nº elementos de B => n(B) = 5
n(U) = nº elementos de U => n(U) = 20
33
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “
P (A ∪ B ) - 1º CASO
A regra da adição leva em conta a ocorrência 
do evento A ou do evento B ou de ambos os 
eventos e é denotada por P(A∪B). 
34
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “
P (A ∪ B ) - 1º CASO
1
2
3
4
5 6
7
13
14
15
A
11
12
16 17 18
1920
B
U
8
9
10
35
∩
“A” e “B”: eventos mutuamente exclusivos:
P (A ∪ B) = n(A) + n(B) = n(A) + n(B) 
n(U) n(U) n(U) 
= P(A) ∪ P(B) 
∩ => Interseção - pertence aos 2 conjuntos 
∪ => União – pertence ou a um ou ao outro
conjunto
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “
P (A ∪ B ) - 1º caso
36
∩
“A” e “B”: eventos mutuamente exclusivos:
P (A ∪ B) = n(A) + n(B) = n(A) + n(B) 
n(U) n(U) n(U) 
= P(A) ∪ P(B) 
= 10 + 5 = 15 = 3 = 0,75 = 75%
20 20 4
∩ => Interseção - pertence aos 2 conjuntos 
∪ => União – pertence ou a um ou ao outro
conjunto
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “
P (A ∪ B ) - 1º caso
37
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU ” 
P (A ∪ B ) - 2º CASO
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
B = { 8, 9, 10, 11, 12 }
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
n(A) = nº elementos de A => n(A) = 
n(B) = nº elementos de B => n(B) = 
n(U) = nº elementos de U => n(U) =
38
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU ” 
P (A ∪ B ) - 2º CASO
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
B = { 8, 9, 10, 11, 12 }
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
n(A) = nº elementos de A => n(A) = 10
n(B) = nº elementos de B => n(B) = 5
n(U) = nº elementos de U => n(U) = 20
39
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “ 
P (A ∪ B ) - 2º CASO
1
23
4
5 6
7
8
9
10
A
11
12
13
14 15 16 17 18
1920
B
U
40
∩
“A” e “B”: não mutuamente exclusivos:
P (A ∩ B) = n(A ∩ B) = 
n(U) 
P (A ∪ B) = n(A) ∪ n(B) - n(A ∩ B) = 
n(U) 
=
∩ => Interseção - pertence aos 2 conjuntos 
∪ => União – pertence ou a um ou ao outro
conjunto
REGRA DA ADIÇÃO -“ OU “
P (A ∪ B ) - 2º caso
41
∩
“A” e “B”: não mutuamente exclusivos:
P (A ∩ B) = n(A ∩ B) = _3_ = 0,15 = 15%
n(U) 20 
P (A ∪ B) = n(A) ∪ n(B) - n(A ∩ B) = 
n(U) 
= 10 + 5 - 3 = 12 = 0.60 = 60 %
20 20 
∩ => Interseção - pertence aos 2 conjuntos 
∪ => União – pertence ou a um ou ao outro 
conjunto
REGRA DA ADIÇÃO -“ OU “
P (A ∪ B ) - 2º caso
42
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “ 
P (A ∪ B ) - 2º CASO
P (A) = n(A) = 
n(U) 
P (B) = n(B) = 
n(U) 
P (A ∩ B) = n(A ∩ B) = 
n(U) 
P (A ∪ B) = n(A) ∪ n(B) - n(A ∩ B) = 
n(U) 
P (A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) - P(A ∩ B) = 
= 
43
REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “ 
P (A ∪ B ) - 2º CASO
P (A) = n(A) = 10 = 1 = 0,5 = 50%
n(U) 20 2
P (B) = n(B) = 5 = 1 = 0,25 = 25%
n(U) 20 4
P (A ∩ B) = n(A ∩ B) = 3 = 0,15 = 15%
n(U) 20 
P (A ∪ B) = n(A) ∪ n(B) - n(A ∩ B)
n(U) 
P (A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) - P(A ∩ B) = 50+25-15=60% 
44
EXERCÍCIO
4) Numa urna existem 10 bolas numeradas de 
1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a 
probabilidade do número ser par ou maior 
que 4? 
45
EXERCÍCIO
5) Numa urna existem 10 bolas numeradas de 
1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a 
probabilidade do número ser um número 
primo ou maior que 8? 
46
EVENTOS DEPENDENTES E INDEPENDENTES
2.a) Eventos independentes:
� ocorridos dois eventos consecutivos
� a ocorrência do evento A não afeta a
probabilidade de ocorre o evento B
� P(B/A) = Probabilidade de ocorrer B uma
vez que já ocorreu A
47
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
2.b) Eventos dependentes:
� ocorridos dois eventos consecutivos
� a ocorrência do evento A afeta a 
probabilidade de ocorre o evento B
� P(B/A) = Probabilidade de ocorrer B uma 
vez que já ocorreu A
48
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
Exemplo: Em uma caixa contém 10 bolas 
sendo: 4 brancas, 3 pretas, 2 azuis e 1 
vermelha.
Determine a probabilidade de se retirar duas 
bolas consecutivas e obter a 2ª bola preta?
DUAS CONDIÇÕES:
�a) retirada com reposição da 1ª bola;
Eventos Independentes
49
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO A: retirada da primeira bola não preta
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
1ª BOLA
TOTAL: 10 BOLAS
50
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
Reposição da 1ª bola
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
TOTAL: 10 BOLAS
REPOSIÇÃO DA 1ª BOLA
51
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, uma vez que 
ocorreu o Evento A
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
2ª BOLA
TOTAL: 10 BOLAS
P (B/A) =
52
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, uma vez que 
ocorreu o Evento A
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
2ª BOLA
TOTAL: 10 BOLAS
P (B/A) = 3 / 10
53
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
Imagine agora a seguinte situação
Evento A: primeira bola preta
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
TOTAL: 10 BOLAS
54
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
Reposição da 1ª bola
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
TOTAL: 10 BOLAS
REPOSIÇÃO DA 1ª BOLA
55
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, 
uma vez que ocorreu o Evento A
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
TOTAL: 10 BOLAS
Retirada da 2ª bola PRETA
P (B/A) =
56
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, 
uma vez que ocorreu o Evento A
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
TOTAL: 10 BOLAS
Retirada da 2ª bola PRETA
P (B/A) = 3 / 10
57
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, uma vez 
que ocorreu o Evento A
Eventos Independentes 
retirada com reposição da 1ª bola
TOTAL: 10 BOLAS
Retirada da 2ª bola PRETA
P (B/A) = 3 / 10
Obs: nos dois casos (Eventos INDEPENDENTES)
a P(B/A) não mudou = 3/10 = P ( B ) 58
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
Ex.7: Em uma caixa contém 10 bolas sendo: 4 
brancas, 3 pretas, 2 azuis e 1 vermelha.
Determine a probabilidade de se retirar duas bolas 
consecutivas e obter a 2ª bola preta?
DUAS CONDIÇÕES:
�b) retirada sem reposição da 1ª bola;
Eventos Dependentes
59
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO A: retirada da primeira bola não preta
Eventos Dependentes 
retirada sem reposição da 1ª bola
1ª BOLA
TOTAL: 10 BOLAS
60
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
1ª bola não foi reposta, portanto, temos 9 bolas na caixa
Eventos Dependentes 
retirada sem reposição da 1ª bola
TOTAL: 9 BOLAS
61
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bolaPreta, uma vez que 
ocorreu o Evento A
Eventos Dependentes 
retirada sem reposição da 1ª bola
2ª BOLA
TOTAL: 9 BOLAS
P (B/A) =
62
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, uma vez que 
ocorreu o Evento A
Eventos Dependentes 
retirada sem reposição da 1ª bola
2ª BOLA
TOTAL: 9 BOLAS
P (B/A) = 3 / 9
63
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
Imagine agora a seguinte situação
Evento A: primeira bola preta
Eventos Dependentes 
retirada sem reposição da 1ª bola
TOTAL: 10 BOLAS
64
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
1ª bola não foi reposta, portanto, temos:
�9 bolas na caixa – sendo apenas 2 Pretas
Eventos Independente 
retirada com reposição da 1ª bola
TOTAL: 9 BOLAS
65
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, 
uma vez que ocorreu o Evento A
Eventos dependente 
retirada sem reposição da 1ª bola
TOTAL: 9 BOLAS
Retirada da 2ª bola PRETA
P (B/A) = 
66
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, 
uma vez que ocorreu o Evento A
Eventos dependente 
retirada sem reposição da 1ª bola
TOTAL: 9 BOLAS
Retirada da 2ª bola PRETA
P (B/A) = 2 / 9
67
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, 
uma vez que ocorreu o Evento A
Eventos dependente 
retirada sem reposição da 1ª bola
TOTAL: 9 BOLAS
Retirada da 2ª bola PRETA
P (B/A) = 2 / 9
Obs: neste caso (Eventos DEPENDENTES)
P(B/A) mudou => 3/9 no primeiro caso e
2/9 no segundo caso 68
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
� CONCLUSÃO:
A) Eventos Independentes (com reposição)
P(B/A) não muda em função do resultado 
obtido no Evento A , OU SEJA, 
P(B/A) = P ( B )
B) Eventos Dependentes (sem reposição)
P(B/A) muda em função do resultado obtido 
no evento A
Eventos Dependentes
Eventos Independentes 
69
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
Probabilidade de 2 eventos simultâneos A e B
P ( A e B ) ou P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B/A )
OBS: 
para eventos independentes P(B/A) = P(B)
P ( A e B ) ou P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B ) 
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO – “ E “
P (A e B ) 
70
EVENTOS DEPENDENTE E INDEPENDENTE
Resumindo:
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO – “ E “
P (A e B ) 
Probabilidade Eventos Fórmula
P(A ou B) 
Não Excludentes P(A) + P(B) – P(A e B)
Excludentes P(A) + P(B) 
P(A e B) 
Independentes P(A) × P(B) 
Dependentes P(A) × P(B|A), ou 
P(B) × P(A|B) 
71
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
A
B
U
C
n(A∪B ∪C) =
= n(A) + n(B) + n(C) -
n(A∩B) - n(A∩C) -n(B∩C) +
n( A ∩ B ∩ C )
72
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
A
U
A
E(A): evento “A”
E (A): evento complementar
de A
P (A) = 1 - P (A) 
73
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Quando o cálculo de probabilidade está 
condicionada a um acontecimento ocorrido 
anteriormente;
Expresso como: 
P(A/B) => probabilidade de ocorrer o 
evento A, uma vez que já ocorreu
o evento B
74
PROBABILIDADE CONDICIONAL
A
U
B
P (A/B) = P( A∩B)
P (B)
P (A/B) = n( A∩B)
n (B)
75
PROBABILIDADE CONDICIONAL
P (A/B) = P( A∩B) ou P (B/A) = P( A∩B)
P (B) P (A)
P( A∩B) = P(B). P(A/B) = P(A). P (B/A)
Por consequência:
76
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Para eventos dependentes:
P( A∩B) = P(A). P(B/A)
Para eventos independentes: P(B/A) = P(B)
P( A∩B) = P(A). P(B)
77
RESUMO
P( A∩B)
• eventos dependentes: P( A∩B) = P(A).P(B/A)
• eventos independentes: P( A∩B) = P(A). P(B)
P( A∪ B)
• eventos não mutuamente exclusivos
P (A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) - P(A ∩ B)
• eventos mutuamente exclusivos
P (A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) 
78
Exemplo 1: suponha que 20 canetas estão expostas 
numa papelaria. Seis são vermelhas e 14 azuis. Do 
conjunto de 20, iremos escolher 2 canetas 
aleatoriamente. Qual a probabilidade de que as 
duas canetas selecionadas sejam vermelhas?
PROBABILIDADE CONDICIONAL
79
Solução: Neste caso os eventos não são independentes, pois 
a cor da primeira caneta selecionada vai determinar a 
probabilidade da segunda caneta ser vermelha. 
Seja,
A = a segunda caneta selecionada é vermelha 
B = a primeira caneta selecionada é vermelha
PROBABILIDADE CONDICIONAL
80
Exercício 2: Num aviário, duas vacinas distintas foram 
aplicadas na população de modo que 60% das aves 
receberam vacinado TIPO A e os 40% restantes 
receberam vacinas do TIPO B. 
Se a vacina do TIPO A fornece 70% de imunização e a 
vacina do TIPO B fornece 80%, então, a probabilidade 
de que uma ave, escolhida aleatoriamente, esteja 
imunizada é de:
PROBABILIDADE CONDICIONAL
81
Solução:
Dados: 
P(A) = 0,60 � P(I | A) = 0,70 
P(B) = 0,40 � P(I | B) = 0,80 
P(I) = ? 
Onde: A = vacina do tipo A, B = vacina do tipo B, I = 
imunização 
P(I) = P(A)×P(I | A) + P(B)×P(I | B) 
P(I) = 0,60×0,70 + 0,40×0,80 = 0,74
PROBABILIDADE CONDICIONAL
82
Exercício 3: Alguns amigos estão em uma lanchonete. 
Há duas travessas sobre a mesa. Em uma delas, há 3 
pastéis e 5 coxinhas. Na outra, há 2 coxinhas e 4 
pastéis. 
Considerando a hipótese de alguém escolher, ao acaso, 
uma dessas travessas e, também, ao acaso, pegar um 
dos salgados, a probabilidade dessa pessoa ter 
pegado um pastel será de...
PROBABILIDADE CONDICIONAL
83
Solução:
PROBABILIDADE CONDICIONAL
84
Exercício 4: Das 100 pessoas que se candidataram a um 
emprego de gerente, 40 já tinham experiência prévia e 30 
portavam um diploma de certificação. 25 candidatos 
possuíam experiência e diploma, sendo incluídos nos dois 
grupos. Desejamos calcular a probabilidade de que um 
candidato escolhido ao acaso tenha... 
• pelo menos, um dos quesitos – experiência ou diploma; 
• apenas, um dos quesitos – experiência ou diploma –, mas 
não ambos; 
• seja certificado, sabendo que ele tem experiência prévia. 
Então, notamos que essas probabilidades são, 
respectivamente...
PROBABILIDADE CONDICIONAL
85
Solução:
PROBABILIDADE CONDICIONAL
86
Exercício 5: Uma empresa realizará um sorteio de um 
prêmio extra entre os seus 2.000 funcionários no fim de 
ano. A tabela a seguir apresenta os resultados por setor 
de trabalho e sexo. 
Se um funcionário é escolhido ao acaso, a 
probabilidade de ser do sexo feminino, dado que 
trabalha no setor de Gestão Administrativa, é: 
PROBABILIDADE CONDICIONAL
87