Probabilidade (1)

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07/05/2020
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Probabilidade
A probabilidade expressa por meio de valores numéricos as possibilidades 
da ocorrência dos resultados de um fenômeno
➢ Toda afirmação pode expressar uma incerteza
➢ Ela pode ser verdadeira ou falsa
➢ “É possível que chova amanhã”
➢ “Não há chance de vitória”
➢ Essa afirmação pode ser transformada em escala numérica, entre 0 e 1 (escala
decimal) ou 0% e 100% (escala percentual)
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➢ O estudo dos métodos estatísticos permite obter conclusões de uma população
utilizando apenas uma amostra
➢ No entanto, a tomada de decisões se baseia em probabilidades de os eventos
ocorrerem
Conceitos Básicos
➢ Experimento Aleatório: é o processo de coleta de dados relativos a um fenômeno
que acusa variabilidade em seus resultados.
➢ Contar o nº de peças defeituosas produzidas por uma máquina
➢ Observar o tempo de vida de uma lâmpada
➢ Apólices vendidas por seguradoras
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➢ Evento: é um resultado ou, eventualmente, um conjunto de resultados ocorridos
no experimento.
➢ Quantas peças defeituosas produzidas por uma máquina
➢ Qual o tempo de vida de uma lâmpada
➢ Quantas apólices vendidas por seguradoras
➢ Eventos simples: é um único resultado
➢Ao jogar um dado, o evento simples foi o número 5
➢ Evento não simples: pode ser obtido dois ou mais resultados
➢Ao jogar dois dados, o evento foi encontrar o número 8
➢ Espaço amostral ou Universo 𝑆 : é o conjunto de todos os possíveis resultados de
um experimento.
O nº de elementos do espaço amostral é representado por 𝑛(𝑆).
Lançamento de uma moeda
𝑆 = {𝑐𝑎𝑟𝑎 ; 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎} 𝑛 𝑆 = 2
Lançamento de um dado
𝑆 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} 𝑛 𝑆 = 6
Lançamento de dois dado
𝑆 =
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 (1,6)
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 (2,6)
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 (3,6)
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 (5,6)
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 (5,6)
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 (6,6)
𝑛 𝑆 = 36
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Experimentos
➢ Determinísticos: Conduzem sempre ao mesmo resultado, quando as condições
iniciais são as mesmas.
➢ Tempo de queda de um corpo
➢ Aleatórios: Conduzem a diferentes resultados, mesmo quando as condições iniciais
são as mesmas.
➢ Lançamento de um dado
Características do experimentos aleatórios:
➢ Repetitividade: Significa que um fenômeno pode ser repetido quantas vezes for
necessário. Quando não há possibilidade de repetição, não classificamos como
experimento
➢ Regularidade: Significa que um fenômeno apresenta igual possibilidade de
ocorrência para os resultados
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Notação para a Probabilidade
➢ 𝑃 ⇒ Representa a probabilidade
➢ 𝑆 ⇒ Representa o universo
➢ 𝐴, 𝐵, 𝐶 … ⇒ Representa eventos específicos
➢ 𝑃 𝐴 ⇒ Representa a probabilidade do evento A ocorrer
➢ 𝑛 𝑠 ⇒ Representa o número de elementos do universo
➢ 𝑛 𝐴 ⇒ Representa o número de elementos no evento
Teoria das Probabilidades
Em um experimento, a probabilidade é definida como a relação entre o
número de vezes que o evento A ocorreu e o número de vezes que o experimento foi
repedido.
𝑃 𝐴 =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜
=
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
Ou
𝑃 𝐴 =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜
=
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
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Considere o lançamento de um dado:
𝑆 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
a) Qual a probabilidade de se obter um número ímpar na face superior do dado?
𝐴 = 1 ; 3 ; 5
𝑃 𝐴 =
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
⇒ 𝑃 𝐴 =
3
6
⇒ 𝑷 𝑨 = 𝟎, 𝟓 𝒐𝒖 𝟓𝟎%
b) Qual é a probabilidade de se obter o número 2 na face superior do dado?
𝐵 = 2
𝑃 𝐵 =
1
6
⇒ 𝑷 𝑩 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝒐𝒖 𝟏𝟔, 𝟔𝟕%
Uma pesquisa de uma loja de informática, foi realizada com 4000 proprietários de
notebooks, e verificou que 992 dos notebooks apresentam falhas num intervalo de
dois anos após a compra. Tomando como base estes resultados, qual a probabilidade
de você comprar um computador pessoal e ele apresentar problema nos próximos
dois anos?
Evento 𝐴 = Pessoas que possuem notebooks que apresentaram problemas
𝑛 𝐴 = 922
Universo 𝑆 = Todas as pessoas que possuem notebooks
𝑛 𝑠 = 4000
𝑃 𝐴 =
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
⇒ 𝑃 𝐴 =
922
4000
⇒ 𝑷 𝑨 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟎𝟓 𝒐𝒖 𝟐𝟑, 𝟎𝟓%
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O RH de uma empresa é composta de 15 homens e 35 mulheres. É feito o sorteio
aleatório de um funcionário, qual a probabilidade deste funcionário escolhido não ser
mulher?
𝐴 = 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟
𝑛 𝐴 = 15
𝑆 = 15 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑖𝑠 35 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠
𝑛 𝑆 = 50
𝑃 𝐴 =
15
50
⇒ 𝑷(𝑨) = 𝟎, 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒐𝒖 𝟑𝟎, 𝟎𝟎%
Regras para o Cálculo das Probabilidades
➢ Evento certo: Quando o número de elementos do evento A for igual ao número de
elementos do espaço amostra S. É considerada probabilidade máxima, isto é, 100 %
➢ 𝑃 𝐴 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 1 𝑜𝑢 100%
➢ Evento impossível: Quando o evento A for constituído por um conjunto vazio. A
probabilidade é nula, isto é, 0 %
➢ 𝑃 𝐴 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 = 0 𝑜𝑢 0%
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➢ Evento elementar: Quando o evento favorável (A) for um conjunto unitário
➢ 𝑛 𝐴 = 1
➢ Evento qualquer: Quando o evento A varia entre 0 % e 100 %, isto é,
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
Eventos Mutuamente Exclusivos
➢ Envolve dois ou mais eventos diferentes entre si, isto é, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
➢ Quer escolher algo que esteja no grupo A OU no grupo B
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝐵
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
Ou
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
+
𝑛 𝐵
𝑛 𝑆
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➢ Considerando três eventos diferentes, isto é, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃(𝐶)
No lançamento de um dado, considera-se o evento 𝐴 = 1 ; 5 e o evento 𝐵 =
{2 ; 4 ; 6}. Calcule a probabilidade de sortear um número do evento 𝐴 ou 𝐵:
1º: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ → Mutuamente exclusivos
2º: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
2
6
+
3
6
⇒ 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
5
6
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟑𝟑 𝒐𝒖 𝟖𝟑, 𝟑𝟑%
Eventos Complementares
➢ É a probabilidade contrária
➢ É representado por: ҧ𝐴
➢ 𝐴 ∩ ҧ𝐴 = ∅
➢ 𝑃 𝐴 + 𝑃 ҧ𝐴 = 1
➢ 𝑃 ҧ𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴)
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Num evento, foram vendidos 50 bilhetes, e será sorteado um prêmio. Qual a
probabilidade de uma pessoa, que tenha adquirido 4 bilhetes, ganhar o prêmio? Qual
a probabilidade dessa pessoa não ganhar?
Ganhar Não Ganhar
𝐴 = 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑎𝑟 𝑜 𝑝𝑟ê𝑚𝑖𝑜
𝑛 𝐴 = 4
𝑛 𝑆 = 50
𝑃 𝐴 =
4
50
𝑷 𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟖 𝒐𝒖 𝟖%
𝑃 𝐴 = 0,08
𝑃 𝐴 + 𝑃 ҧ𝐴 = 1
0,08 + 𝑃 ҧ𝐴 = 1
𝑷 ഥ𝑨 = 𝟎, 𝟗𝟐 𝐨𝐮 𝟗𝟐%
Ou
100% − 8% = 𝟗𝟐%
Eventos não Mutuamente Exclusivos
➢ Envolve dois eventos que há algo em comum, isto é, 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅
➢ Quer escolher algo que esteja no grupo A OU no grupo B
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Ou
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
+
𝑛 𝐵
𝑛 𝑆
−
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝑆
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No lançamento de um dado, consideramos o evento 𝐴 = {1 ; 2 ; 5 ; 6} e o evento 𝐵 =
{2 ; 4; 6}. Determine a probabilide de sortear um nº de A ou B:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
4
6
+
3
6
−
2
6
=
5
6
𝑜𝑢 0,8333 𝑜𝑢 83,33%
Num grupo de 300 empresário cadastrados por uma agência de viagens, 100 visitarão
Fortaleza (F) e 80 visitarão Manaus (M), e os empresários restantes viajarão para
outras cidades. Esses dados incluem 30 empresários que visitarão as duas cidades, isto
é, F e M. Qual a probabilidade de um empresário aleatoriamente escolhido visitar:
a) Fortaleza (F)
𝑃 𝐹 =
𝑛 𝐹
𝑛 𝑆
⇒ 𝑃 𝐹 =
100
300
⇒ 𝑷 𝑭 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒐𝒖 𝟑𝟑, 𝟑𝟑%
b) Fortaleza (F) ou Manaus (M)
𝑃 𝐹 ∪ 𝑀 =
𝑛 𝐹
𝑛 𝑆
+
𝑛 𝑀
𝑛 𝑆
−
𝑛 𝐹 ∩𝑀
𝑛 𝑆
⇒ 𝑃 𝐹 ∪ 𝑀 =
100
300
+
80
300
−
30
300
𝑷 𝑭 ∪𝑴 = 𝟎, 𝟓 𝒐𝒖 𝟓𝟎%
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Probabilidade Condicional
➢ Ocorre primeiro um evento (A) e logo após ocorre um outro evento (B)
➢ O evento (A) interfere na ocorrência do evento (B)
➢ Notação: 𝑃( Τ𝐵 𝐴)
𝑃 Τ𝐵 𝐴 =
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝐴
𝑃 Τ𝐴 𝐵 =
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝐵
Considere o conjunto de números inteiros {1 ; 2 ; 3 ; … ; 19 ; 20} e, por meio de um
sorteio aleatório, seja selecionado um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a
probabilidade de o número sorteado ser o número 5?
𝑛 𝑆 =20
𝐴 = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 → 𝑛 𝐴 = 10 𝐵 = 5 → 𝑛 𝐵 = 1
𝐴 ∩ 𝐵 = 5 → 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 1
𝑃 Τ𝐵 𝐴 =
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝐴
=
1
10
𝑷 Τ𝑩 𝑨 = 𝟎, 𝟏 𝒐𝒖 𝟏𝟎%
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Regra do Produto
➢ Dois eventos, com termos igual, isto é, 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅
➢ O sorteio do primeiro grupo interfere no sorteio do segundo grupo
➢ Quer escolher algo que esteja no grupo A E no grupo B
𝑃 Τ𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐵
→ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∗ 𝑃( Τ𝐴 𝐵)
𝑃 Τ𝐵 𝐴 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
→ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃( Τ𝐵 𝐴)
São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a
probabilidade de que as duas cartas sejam de ouros?
Evento A: retirar uma carta de ouro
Evento B: retirar uma carta de ouro
𝑃 𝐴 =
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
=
13
52
𝑃 Τ𝐵 𝐴 =
12
51
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 Τ𝐵 𝐴
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
13
52
∗
12
51
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟖 𝒐𝒖 𝟓, 𝟖𝟖%
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Num evento beneficente, foram vendidos 20 números, e serão sorteados dois
prêmios. Qual a probabilidade de uma pessoa que tenha adquirido quatro números
ganhar o 1º e o 2º prêmios?
Total de bilhetes: 𝑛 𝑆 = 20
Total de bilhetes adquiridos: 𝑛 𝐴 = 4
𝑃 𝐴 =
4
20
→ 𝑃 Τ𝐵 𝐴 =
3
19
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
4
20
∗
3
19
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
12
380
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟏𝟔 𝒐𝒖 𝟑, 𝟏𝟔%
Eventos Independentes
➢ Dois eventos, com termos igual, isto é, 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅
➢ O sorteio do primeiro grupo não interfere no sorteio do segundo grupo
➢ Quer escolher algo que esteja no grupo A E no grupo B
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
∗
𝑛 𝐵
𝑛 𝑆
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São retiradas, com reposição, duas cartas de um baralho de 52 caras. Qual a
probabilidade de que as duas cartas sejam de ouros?
Evento A: retirar uma carta de ouro
Evento B: retirar uma carta de ouro
𝑃 𝐴 =
13
52
→ 𝑃 𝐵 =
13
52
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
13
52
∗
13
52
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
169
2704
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒐𝒖 𝟔, 𝟐𝟓%
Um lote é formado por um total de 80 peças, sendo 45 peças perfeitas, 30 com
pequenos defeitos e 5 com defeitos graves. Pretende-se retirar 4 peças ao acaso e sem
reposição. Qual a probabilidade de que as 4 peças retiradas sejam:
a) Todas as 4 perfeitas:
𝑃 =
45
80
∗
44
79
∗
43
78
∗
42
77
𝑷 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟒𝟐 𝐨𝐮 𝟗, 𝟒𝟐%
1ª 4ª3ª2ª
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𝑛 𝑆 = 80
𝑃𝑒ç𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑛 𝐴 = 45
𝑃𝑒ç𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑛 𝐵 = 30
𝑃𝑒ç𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑛 𝐶 = 5
b) 2 perfeitas e 2 com pequenos defeitos:
𝑃 =
45
80
∗
44
79
∗
30
78
∗
29
77
𝑷 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟒 𝐨𝐮 𝟒, 𝟓𝟒%
c) Nenhuma das 4 peças com pequenos defeitos:
𝑃 =
50
80
∗
49
79
∗
48
78
∗
47
77
𝑷 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟓𝟔 𝐨𝐮 𝟏𝟒, 𝟓𝟔%