MAPA Cálculo III- unicesumar 532022

Prévia do material em texto

MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem 
 
Acadêmico: Emily Gabriely Dias Campos Da Silva R.A. 19124237-5 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 Disciplina: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
Valor da atividade: 3,0 pontos Prazo: 12/08/2022 
 
Instruções para Realização da Atividade 
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos; 
2. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização do MAPA; 
3. Esta é uma atividade individual. Caso identificado cópia de colegas, o trabalho de 
ambos sofrerá decréscimo de nota; 
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, renomeie 
e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade. São aceitos 
arquivos do Word ou em PDF; 
5. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo Word. Para isso 
utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio Word, ou outra 
ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E 
INSERIDOS NO ARQUIVO; 
6. Confira se o prazo de entrega deste documento coincide com o que está no 
ambiente da disciplina. Em caso de divergência, o prazo que estiver no ambiente da 
disciplina prevalecerá; 
7. Se desejar, essas orientações poderão ser apagas depois da leitura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um pesquisador de educação matemática realizou uma série de 
experimentos para medir a eficiência de estudo, em %, de seus alunos, 
durante algumas horas de estudo diário na disciplina de Cálculo III. O 
pesquisador apontou que a eficiência é adequadamente modelada por uma 
função do tempo, cuja taxa de variação é expressa por dE/dt = 54 – 18t, em 
que E é a eficiência do estudo, cujo valor está no intervalo [0, 100]%, e t é o 
tempo, em horas. O pesquisador afirmou que para a turma analisada, a 
eficiência era nula em t = 0. Nessas condições, resolva os itens abaixo: 
a) escreva o PVI que descreve a situação e o resolva. 
 
PVI: 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 54 − 18𝑡 
 
𝐸(0) = 0 
Desse modo, resolvendo o PVI: 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 54 − 18𝑡 
𝑑𝐸 = (54 − 18𝑡). 𝑑𝑡 
∫ 𝑑𝐸 = ∫(54 − 18𝑡). 𝑑𝑡 
𝐸(𝑡) = 54. 𝑡 − 18.
𝑡2
2
 
𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 + 𝑐 
Usando a condição inicial: 
𝐸(0) = 0 
54. 0 − 9. (0)2 + 𝑐 = 0 
𝑐 = 0 
Portanto: 
𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 
 
b) qual o domínio da função solução do item (a)? 
 
Como o item a) é uma função quadrática (parábola), seu domínio é o conjunto dos 
números reais (R). 
 
c) qual a eficiência, em 2 horas de estudo? 
 
Eficiência em 2h: 
𝑡 = 2 
 
 
Substituindo o 𝑡 = 2 na função solução do item a: 
𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 
𝐸(2) = 54.2 − 9.22 
𝐸(2) = 108 − 36 
𝐸(2) = 72 
 
Portanto a eficiência em 2 horas de estudo é: 
 
𝐸(2) = 72ℎ 
 
d) qual a eficiência máxima de estudo? E quando ocorre? 
 
A eficiência máxima é o ponto máximo da parábola. 
 
Agora que temos 𝐸(0) = 0, a última coisa a descobrir é quanto t vale para 
E(t)=100. 
 
Basta resolver a equação: 
𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 
100 = 54𝑡 − 9𝑡2. (−1) 
9𝑡2 − 54𝑡 = −100 
𝑡(9𝑡 − 54) = −100 
𝑡 = −100 
 
9𝑡 − 54 = 0 
𝑡 =
54
9
 
𝑡 = 6 
 
A eficiência máxima ocorre exatamente 3 horas após ela ser atingida (no meio da 
parábola). 
𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 
𝐸(3) = 54.3 − 9.32 
𝐸(3) = 162 − 81 
𝐸(3) = 81 
 
e) o que acontece com a eficiência de estudo a medida em que o tempo 
transcorre dentro do domínio da função (domínio obtido em (b))? Justifique 
seus argumentos apresentando o gráfico da função solução. 
 
A função aumenta por 3 horas antes de diminuir. Quando o número 6 é alcançado, 
a eficiência é novamente zero.