Matemática no Ensino Fundamental

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Roleta A Roleta B
FIGURA 2.5 Você pode girar A duas vezes, B duas vezes ou A e depois 
B. Qual opção lhe dá a melhor chance de obter um vermelho e um azul?
FIGURA 3.1 Nós usamos as ideias que já temos (pontos azuis) para 
construir uma nova ideia (ponto vermelho), desenvolvendo neste proces-
so uma rede de conexões entre elas. Quanto mais ideias forem usadas e 
mais conexões forem formadas, melhor a nossa compreensão.
V V
Az Az
Am Am
FIGURA 2.6 Um diagrama de árvore para a roleta A na Figura 2.5.
VM AZ VD
Roleta A Roleta B
AM
VM
AZ
AZ
AZ
AM
VD
FIGURA 2.7 Um quadrado mostra a chance de obter cada cor para as 
roletas na Figura 2.5.
azu
l
ver
me
lho
Par
tida
Topo
FIGURA 23.1 Os estudantes fazem um rodízio girando uma roleta e re-
gistrando os resultados. A primeira cor que alcançar o topo é a vencedora.
O mesmo jogo pode ser jogado com outros dispositivos randômicos.
Compreensão
relacional
Compreensão
instrumental
Contínuo da compreensão
FIGURA 3.4 A compreensão é uma medida da qualidade e da quantidade de conexões que uma nova ideia tem com as já existentes. Quanto maior 
o número de conexões a uma rede de ideias já desenvolvida, melhor a compreensão.
Muito improvável Muito provávelIgualmente provável
Chances de obter a cor azul
Impossível Com certeza
FIGURA 23.4 A linha de probabilidade ou “linha das chances”. Use essas diferentes faces de roleta para ajudar os alunos a perceber como a chance 
poder estar em lugares diferentes ao longo de uma quantidade contínua entre o Impossível (0) e a Certeza (1).
www.grupoa.com.br
CONHECIMENTO 
MATEMÁTICO
John A. Van de Walle
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John A. Van de Walle
NO ENSINO FUNDAMENTAL
FORMAÇÃO DE PROFESSORES E APLICAÇÃO EM SALA DE AULA
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6ª edição
MATEMÁTICA
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MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
FORMAÇÃO DE PROFESSORES E APLICAÇÃO EM SALA DE AULA
Matemática no ensino fundamental apresenta ideias e discussões de profundidade inigualável 
para orientar os estudantes em formação que irão ensinar matemática e para ajudar os 
alunos de ensino fundamental a desenvolver uma compreensão real da disciplina aplicada 
em sala de aula. John A. Van de Walle, um dos principais especialistas em como as crianças 
aprendem matemática, observa que 80% dos estudantes que compram este livro o mantém 
como referência quando começam suas carreiras profissionais como professores. O texto 
reflete os benefícios da instrução construtivista – ou centrada no aluno – em matemática.
Além disso, é estruturado de forma a proporcionar o máximo de flexibilidade, contendo 24 
capítulos compartimentados e breves, que podem ser misturados e combinados para se 
adaptarem a qualquer disciplina ou abordagem de ensino.
Destaques:
• Principal livro-texto mundial para professores de matemática.
• Fundamentação teórica completa para formação de professores.
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• Parâmetros para avaliação de aprendizagem.
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para a língua portuguesa.
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de 6º a 9º ano – ensino fundamental
SMOLE, DINIZ, PESSOA & ISHIHARA
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– ensino médio
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Teoria dos números para professores do ensino 
fundamental
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V217m Van de Walle, John A.
 Matemática no ensino fundamental : formação de 
 professores e aplicação em sala de aula [recurso eletrônico] / 
 John A. Van de Walle ; tradução: Paulo Henrique Colonese. – 
 6. ed. – Porto Alegre : Penso, 2009. 
 
 Editado também como livro impresso em 2009.
 ISBN 978-85-8429-028-4
 1. Matemática – Ensino fundamental. 2. Conceitos 
 numéricos. 3. Senso numérico. 4. Operações. I. Título.
CDU 51:373.3
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin – CRB 10/2147
capítulo 3
Desenvolvendo 
Compreensão em 
Matemática
Se a criação de redes conceituais que constituem o mapa da 
realidade de cada indivíduo – incluindo sua compreensão ma-
temática – é o produto de atividade construtiva e interpretativa, 
então, conclui-se que não importa o quanto de forma clara e pa-
ciente os professores expliquem aos seus alunos, eles não podem 
compreender por seus alunos.
Schifter e Fosnot (1993, p. 9)
É comumente aceito entre educadores e matemáticos que os alunos devem compreender a matemática (Hiebert e 
Carpenter, 1992). A teoria mais amplamente aceita, conhecida 
como construtivismo, sugere que as crianças devem ser partici-
pantes ativas no desenvolvimento de sua própria compreensão. O 
construtivismo nos proporciona insights sobre como as crianças 
aprendem matemática e nos orienta sobre o uso de estratégias 
educacionais que partem das próprias crianças em vez de nós 
mesmos (professores).
Uma visão construtivista da 
aprendizagem
O construtivismo está fi rmemente enraizado na escola de psi-
cologia cognitiva
*
 e nas teorias de Piaget inicialmente formuladas 
desde os anos de 1960. O construtivismo
**
 rejeita a noção de que 
 * N. de T.: A psicologia cognitiva é uma escola de pensamento em psico-
logia que examina os processos mentais internos tais como resolução de 
problemas, memória e linguagem. Tem suas fundações na Psicologia de 
Gestalt de Max Wertheimer, Wolfgang Köhler e Kurt Koffka e no trabalho 
de Jean Piaget, que forneceu uma teoria de estágios e fases para descrever 
o desenvolvimento cognitivo das crianças. Uric Neisser cunhou o termo 
psicologia cognitiva em seu livro Cognitive psychology (1967), onde Neis-
ser caracteriza as pessoas como sistemas dinâmicos de processamento de 
informação cujas operações mentais podem ser descritas em termos com-
putacionais. Ele também enfatiza que a mente possui uma certa estrutura 
conceitual.
 ** N. de T.: Após a criação do Centro Internacional de Epistemologia Gené-
tica (1955), em Genebra, Piaget usa pela primeira vez a expressão “epis-
temologias construtivistas” para caracterizar uma visão construtivista do 
conhecimento.
as crianças sejam “quadros de giz em branco”. Elas não absorvem 
as ideias enquanto os professores as apresentam. Ao contrário, as 
crianças são as criadoras de seu próprio conhecimento.
***
A construção de ideias
A doutrina básica do construtivismo é simplesmente esta: 
As crianças constroem o seu próprio conhecimento. De fato, não 
só as crianças, mas todas as pessoas, todo o tempo, constroem ou 
dão signifi cado às coisas que percebem ou sobre as quais pen-
sam e operam. Ao ler essas frases, você está dando signifi cado às 
mesmas. Você está construindo ideias.
Construir ou formar algo no mundo físico requer instru-
mentos, materiais e esforço. O modo como construímos ideias 
pode ser considerado de uma maneira análoga. Os instrumentos 
que usamos para construir a compreensãosão as nossas ideias já 
existentes, o conhecimento que já possuímos. Os materiais so-
bre os quais atuamos
****
 para construir compreensão podem ser as 
coisas que vemos, ouvimos ou tocamos – os elementos de nos-
so ambiente físico. Às vezes os materiais são os nossos próprios 
pensamentos e ideias. O esforço que deve ser fornecido é o do 
pensamento ativo e refl exivo. Se as mentes não estiverem pen-
sando ativamente, nada acontece.
O diagrama na Figura 3.1 representa uma metáfora para a 
construção de ideias. Considere o quadro como sendo uma pe-
quena seção de nossa composição cognitiva. Os pontos azuis 
representam as ideias existentes. As linhas que unem as ideias 
representam nossas conexões lógicas ou relações que foram de-
senvolvidas entre as ideias. O ponto vermelho é uma ideia emer-
gente, que está sendo construída. Quaisquer ideias existentes 
(pontos) usadas na construção serão necessariamente conectadas 
a uma nova porque essas foram as ideias que deram signifi cado a 
nova ideia. Se uma ideia potencialmente relevante que acrescen-
taria um melhor signifi cado à nova ideia não estiver presente na 
mente do estudante ou não estiver ativamente envolvida, então 
aquela conexão potencial com a nova ideia simplesmente não 
será construída. Obviamente, os aprendizes terão variações na 
 *** N. de T.: Criança não é absorvente, é construtora de ideias.
 **** N. de T.: Operamos, no sentido de Piaget.
Matemática no Ensino Fundamental 43
quantidade de conexões entre uma nova ideia e as preexistentes. 
Diferentes aprendizes usarão diferentes ideias para dar signifi ca-
do à mesma nova ideia. O que é signifi cativo é que a construção 
dessa certamente será diferente para cada aprendiz, até mesmo 
dentro de um mesmo ambiente ou de uma mesma sala de aula.
Construir conhecimento é um esforço extremamente ativo por 
parte do aprendiz (Baroody, 1987; Cobb, 1988; Fosnot, 1996; von 
Glasersfeld, 1990, 1996). Construir e compreender uma nova ideia 
requer pensar ativamente sobre a mesma. E pensar em “Como 
isso se ajusta ao que eu já sei?” e em “Como eu posso compreen-
der isso em face de minha atual compreensão dessa ideia?”. As 
ideias matemáticas não podem ser “despejadas” em um estudante 
passivo. As crianças devem estar mentalmente ativas para que a 
aprendizagem aconteça. Nas salas de aula, as crianças devem ser 
encorajadas a refl etir sobre as novas ideias, a trabalhar para ajustá-
-las às redes conceituais existentes e desafi ar suas próprias ideias 
ou as ideias de outros. Resumindo, construir conhecimento requer 
pensamento refl exivo, pensar ativamente sobre ou trabalhar men-
talmente em uma ideia. O pensamento refl exivo signifi ca peneirar 
as ideias já existentes para encontrar aquelas que pareçam ser as 
mais úteis ao dar signifi cado às novas.
As redes integradas ou esquemas cognitivos são tanto pro-
duto da construção de conhecimento quanto ferramentas com as 
quais o novo conhecimento pode ser construído. Conforme ocor-
re a aprendizagem as redes são reorganizadas, acrescidas ou, em 
caso contrário, modifi cadas. Enquanto houver pensamento ativo 
e refl exivo, os esquemas estão constantemente sendo modifi ca-
dos ou mudados de modo que as ideias se ajustem melhor com o 
que já é conhecido.
Os princípios gerais de construtivismo estão baseados em 
grande parte nos processos de Piaget de assimilação e de acomo-
dação. A assimilação se refere ao uso de esquemas já existentes 
para dar signifi cado às experiências. A acomodação é o proces-
so de alterar os modos existentes de ver as coisas ou ideias que 
contradizem ou não se ajustam aos esquemas existentes. Através 
do pensamento refl exivo ou intencional, as pessoas podem mo-
difi car os seus esquemas existentes para acomodar essas ideias 
(Fosnot, 1996).
Exemplos de construção de aprendizagem
Considere os métodos de resolução de duas crianças na 4
a
 
série às quais foram ensinados os signifi cados das operações e ti-
nham desenvolvido uma boa compreensão dos conceitos de valor 
posicional, alguns dos “pontos” que as crianças tinham à sua dis-
posição. Ambas as crianças eram de escolas predominantemente 
urbanas onde uma abordagem fortemente construtivista do ensi-
no da matemática tinha sido utilizada durante vários anos. Elas 
foram desafi adas a resolver o seguinte problema: “Quatro crian-
ças tinham 3 sacos de balas M&M’s. Elas decidiram abrir todos 
os 3 sacos de balas e compartilhar igualmente os M&M’s. Havia 
52 balas M&M’s em cada saco. Com quantas balas M&M’s cada 
criança fi cou?” (Campbell e Johnson, 1995, p. 35-36). As solu-
ções são mostradas na Figura 3.2.
Ambas as crianças puderam determinar o produto 3x52 
mentalmente. As duas crianças usaram ferramentas cognitivas 
diferentes para resolver o problema de 156 ÷ 4. Marlena interpre-
tou a tarefa como “Quantos conjuntos de 4 podem ser feitos com 
156?”. Primeiro, ela usou fatos básicos fáceis ou que estavam 
disponíveis para ela: 10x4 e 4x4. Estes totais ela subtraiu de 156 
até que ela fi cou com 100. Isto parece ter lhe sugerido usar 25 
quatros. Marlena não hesitou em somar o número de conjuntos 
de 4 que ela encontrou em 156 e descobrir que a resposta era 39 
doces para cada criança.
A abordagem de Darrell estava mais diretamente relaciona-
da ao contexto de compartilhar do problema. Ele formou quatro 
colunas e distribuiu quantidades a cada uma, acumulando mental 
e oralmente as quantidades enquanto escrevia os números. Como 
Marlena, Darrell usou números que eram fáceis ou acessíveis 
para ele; primeiro 20 para cada, depois 5, então 10 e então, uma 
série de unidades. Ele somou uma das colunas sem hesitar (Ro-
wan, 1995).
Se a rapidez e a profi ciência de cálculo fossem sua meta, 
você poderia estar tentado a argumentar que as crianças precisa-
riam de instrução adicional. Mas ambas as crianças construíram 
ideias claras e que tinham signifi cado para elas sobre o cálculo. 
Elas demonstraram confi ança, compreensão e uma convicção de 
que poderiam resolver o problema.
Em comparação com essas duas crianças, considere uma 
criança na 3
a
 série em uma sala de aula tradicional. Ela fez um 
erro bastante comum de subtração, como mostrado na Figura 
3.3. O problema que aparecia em uma Ficha de Trabalho de ma-
temática era “de subtração” e a turma estava fazendo cálculos de 
subtração com “empréstimo”. Esse contexto limitou a escolha 
dos modos de dar signifi cado à situação (os “pontos” que ela pro-
vavelmente usaria). Mas, esse problema era um pouco diferente 
FIGURA 3.1 Nós usamos as ideias que já temos (pontos azuis) 
para construir uma nova ideia (ponto vermelho), desenvolvendo 
neste processo uma rede de conexões entre elas. Quanto mais 
ideias forem usadas e mais conexões forem formadas, melhor a 
nossa compreensão. (ver primeira orelha)
44 John A. Van de Walle
das ideias existentes da criança de “pegar emprestado”. A próxi-
ma coluna continha um 0. Como ela podia tirar 1 de 0? Essa par-
te era diferente e criou uma situação que para ela se tornaria uma 
resolução de problemas. A criança decidiu então que “a próxima 
coluna” devia signifi car a próxima que tivesse algo nela. Então, 
“pegou emprestado” do 6 e ignorou o 0. Essa criança usou suas 
ideias existentes e atribuiu um signifi cado próprio para a regra do 
“pegar emprestado da próxima coluna”.
As crianças raramente dão respostas aleatórias (Ginsburg, 
1977; Labinowicz, 1985). As suas respostas tendem a criar signi-
fi cados em termos de suas perspectivas pessoais ou em termos do 
conhecimento que estão usando para dar signifi cado à situação. 
Em muitas instâncias, o conhecimento existente das crianças está 
incompleto ou inexato, ou talvez o conhecimento que pressu-
pomos já estar elaborado, simplesmente, ainda não tenha sido 
construído. Em tais situações, como no atual exemplo, um novo 
conhecimento pode ser construído de forma inacurada.
A construção do conhecimento na 
aprendizagemmecânica
O construtivismo é uma teoria (explicação) sobre como nós 
aprendemos. Se estiver correta, então é assim que toda a apren-
dizagem ocorre independente de como ensinamos. Nós não po-
demos propor que as crianças aprendam construtivamente em al-
guns dias e não em outros. Até mesmo a aprendizagem mecânica 
é uma construção. Mas, que ferramentas ou ideias são usadas 
para construir conhecimento em uma aprendizagem mecânica? 
O conhecimento construído mecanicamente está conectado a 
quê?
As crianças que procuram um jeito de lembrar que 7 × 8 = 56 
podem notar que os pares de números (5 e 6) e (7 e 8) estão em 
ordem. Ou elas podem conectar o número 56 àquele “fato difícil” 
da multiplicação, pois o valor 56 aparece apenas uma única vez na 
tabuada de multiplicação (como também ocorre em 6 × 9 = 54). A 
repetição de um procedimento rotineiro pode ser conectada a um 
“mantra” – algo tipo recitar uma regra para memorizá-la, como em 
“Divide, Multiply, Subtract and Bring down”*. Esta sequência tem 
sido até mesmo relacionada ao mnemônico “Dirty Monkeys Smell 
Bad”. Novas ideias aprendidas dessa maneira são conectadas à 
coisas que difi cilmente poderiam ser chamadas de matemáticas. E 
elas não são integradas às redes de ideias matemáticas. Cada parte 
do conhecimento recém-aprendido está essencialmente isolada. 
Os conhecimentos mecânicos quase nunca contribuirão para uma 
rede útil de ideias. A aprendizagem mecânica pode ser pensada 
como uma “construção fraca” (Noddings, 1993).
Quando ideias matemáticas são usadas para criar novas, são 
formadas redes cognitivas úteis. Voltando ao exemplo do produto 
7 × 8, imagine uma turma onde as crianças discutam e compar-
tilhem modos inteligentes para compreender esse produto. Uma 
criança poderia pensar em 5 “oitos” e depois mais 2 “oitos”. Ou-
 * N. de T.: Em inglês as duas frases são compostas por palavras com as 
mesmas iniciais: D, M, S e B – o que ajuda no processo de memorização.
FIGURA 3.2 Duas crianças na 4a série constroem soluções 
inéditas para um cálculo.
Fonte: Reimpresso com permissão de P. F. Campbell e M. L. Johnson. 
How primary students think and learn (Como as crianças nas séries ini-
ciais do EF pensam e aprendem) publicado em Prospects for school ma-
thematics (Perspectivas para a matemática escolar) de I. M. Carl (Ed.) (p. 
21-42), Direitos autorais © 1995 pelo National Council of Teachers of 
Mathematics.
“Não tem nada na coluna seguinte, assim eu peguei emprestado do 6.”
FIGURA 3.3 As crianças, às vezes, inventam signifi cados in-
corretos estendendo as regras parcialmente compreendidas.
Matemática no Ensino Fundamental 45
tra pode já ter aprendido 7×7 e notado que basta somar mais sete. 
Ainda outra poderia considerar uma lista de 8 “setes”, e tomar a 
metade deles (4×7) e dobrar esse resultado. Isso pode conduzir à 
noção de que dobrar 7 é 14, e dobrar isso é 28, e dobrar isso é 56. 
Nem toda criança construirá 7×8 usando todas estas abordagens. 
Porém, a discussão da turma traz à tona uma ampla variedade de 
“pontos” matemáticos úteis de modo que haja um potencial para 
possíveis novas construções e elaborações.
Compreensão
É possível dizer que nós sabemos ou não sabemos algo. 
Quer dizer, uma ideia é algo que nós conhecemos ou não conhe-
cemos. Compreender é outra questão. Por exemplo, a maioria 
dos estudantes nas 4
a
 e 5
a
 séries sabe algo sobre frações. Dada a 
fração 68, quase todos os estudantes nesse nível poderão ler a fra-
ção corretamente e identifi car o 6 e o 8, respectivamente como o 
numerador e o denominador. Mas eles podem ou não ser capazes 
de explicar o que o 6 e o 8 nos informam sobre a fração. Muitos 
estudantes saberão que esta fração é maior que 12. Alguns pensa-
rão que é uma fração “grande” porque os números são ambos 
um pouco maiores comparados aos números em 12 ou 
2
3. Que a 
fração é equivalente a 34 também é uma conexão razoavelmente 
comum para estudantes na 5
a
 série fazerem. Porém, estudantes 
diferentes podem ter compreensões diferentes do que signifi ca 
ser equivalente. Eles podem saber que 68 pode ser reduzido a 
3
4, 
mas não compreender que 34 e 
6
8 são números idênticos; pode ser 
mais difícil para eles ver a equivalência de 68 e 
 9 
12. Alguns podem 
pensar que reduzir 68 torna este um número menor. E aqueles com 
uma compreensão melhor serão capazes de explicar usando uma 
variedade de modelos que frações equivalentes representam a 
mesma quantidade. Você poderia facilmente expandir o alcance 
das ideias que os alunos geralmente conectam ao seu conceito 
individualizado de frações – algumas delas estão corretas, outras 
não. Cada estudante traz um conjunto diferente de pontos ao seu 
conhecimento de frações. Cada um “compreende” frações de um 
modo diferente.
A compreensão pode ser defi nida como uma medida da 
qualidade e da quantidade de conexões que uma ideia tem com 
as já existentes. Compreender nunca é uma proposição “ou tudo 
ou nada”. Ela depende da existência de ideias apropriadas e da 
criação de novas conexões (Backhouse, Haggarty, Pirie e Sttat-
ton, 1992; Davis, 1986; Hiebert e Carpenter, 1992; Janvier, 1987; 
Schroeder e Lester, 1989).
Um modo de pensarmos sobre a compreensão de um indi-
víduo é que ela existe e ocorre ao longo de um contínuo (veja 
Figura 3.4). Em um extremo está um conjunto muito rico de 
conexões. A ideia compreendida está associada a muitas outras 
existentes em uma rede signifi cativa de conceitos e procedimen-
tos. Hiebert e Carpenter (1992) se referem a “redes” de ideias re-
lacionadas. As duas extremidades desse contínuo foram nomea-
das por Richard Skemp (1978) como compreensão relacional – a 
rede interconectada rica de ideias – e compreensão instrumental 
– ideias que estão isoladas e, assim, essencialmente sem signi-
fi cado. Observe que o conhecimento aprendido mecanicamente 
está na extremidade isolada do contínuo; onde o conhecimento 
instrumental é aprendido sem signifi cado.
Exemplos de compreensão
Se nós aceitamos a noção de que a compreensão possui tan-
to diferenças qualitativas quanto quantitativas, a pergunta “Ela 
sabe isso?” deve ser substituída por “Como ela compreende isso? 
Que ideias ela conecta (relaciona) com isso?” Nos próximos 
exemplos, você verá como diferentes crianças podem desenvol-
ver ideias bem distintas sobre o mesmo conhecimento e, assim, 
ter compreensões diferentes.
Compreendendo cálculos
Os procedimentos computacionais fornecem uma boa opor-
tunidade para ver como a compreensão pode diferir de uma 
criança à outra. Para adição e subtração com números de dois ou 
três algarismos, uma compreensão rica e fl exível de números e 
do valor posicional é muito útil. Como crianças diferentes pode-
riam abordar a tarefa de encontrar a soma de 37 e 28? Para crian-
ças cuja compreensão de 37 esteja baseada apenas na contagem, 
é provável o uso de contadores e de algum procedimento para 
“contar todos” (veja Figura 3.5a). Um estudante que aprendeu 
algo sobre dezenas e unidades, mas com uma compreensão ainda 
limitada pode usar o algoritmo tradicional, alinhar os algarismos 
e começar somando 7 e 8. Alguns podem escrever 15 para esta 
soma e terminar com uma resposta de 515 (veja Figura 3.5b). 
A compreensão do valor posicional que essas crianças possuem 
está limitada. Ela lhes permite nomear o algarismo no lugar das 
dezenas, mas esse conhecimento não está relacionado ao tama-
nho real dos números ou então, o resultado provavelmente lhes 
causaria surpresas. Aqueles que usam corretamente o algoritmo 
podem ou não ser capazes de explicar por que ele funciona.
Compreensão
relacional
Compreensão
instrumental
Contínuo da compreensão
FIGURA 3.4 A compreensão é uma medida da qualidade e da quantidade de conexões que uma nova ideia tem com as já existen-
tes. Quanto maior o número de conexões a uma rede de ideias já desenvolvida, melhor a compreensão. (ver primeira orelha)
46 John A. Van de Walle
Agora considerecrianças que compreendam que os núme-
ros podem ser “quebrados” e decompostos de muitos modos di-
ferentes, que percebem que a diferença de 38 a 40 é a mesma 
que a de 8 a 10, ou que percebam que a soma de dois números 
permanece a mesma se você somar algo a um e subtrair o mesmo 
valor ao outro. Esses alunos podem somar de maneiras fl exíveis. 
Eles podem somar 30 e 20 e então podem combinar isso com 
a soma de 8 e 7. Eles podem pensar sobre 37 e 30 e tirar 2. Os 
estudantes com pensamento menos fl exível poderiam começar 
com 38 e contar as dezenas e depois das unidades: 38 então 48, 
58 então 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65 (veja Figura 3.5c e d).
Primeiras conexões com conceitos numéricos
Considere o conceito de “sete” conforme construído por 
uma criança na 1
a
 série. A ideia de sete para uma criança na 1
a
 
série provavelmente está conectada ao procedimento de contar 
e ao constructo de “mais que” e provavelmente é compreendido 
como menos que 10 e mais que 2. O que mais essa criança even-
tualmente conectará ao conceito de sete como ele existe agora? 
Sete é 1 a mais que 6; é 2 a menos que 9; é a combinação de 3 
e 4 ou de 2 e 5; é ímpar; é pequeno comparado a 73 e grande, 
comparado a um décimo; é o número de dias em uma semana; é 
considerado um número de sorte; é primo; e assim por diante. A 
rede de ideias potenciais conectadas a um número pode se desen-
volver e se tornar grande e envolvente.
Uma rede de ideias envolvendo razão
Um exemplo claro do potencial para uma rica compreensão 
relacional se encontra nas muitas ideias que podem ser associa-
das ao conceito de “razão” (veja Figura 3.6). Infelizmente, mui-
tas crianças aprendem apenas regras sem signifi cado conectadas 
à razão, como “Dada uma razão, como você encontra uma razão 
equivalente?”.
É claro, nós não podemos “ver” a compreensão de uma crian-
ça. Nós podemos apenas fazer inferências sobre o que ela seria. A 
suposição nos exemplos precedentes é de que os estudantes usam 
as ideias que eles possuem de modo a resolver as tarefas que lhes 
são determinadas. No caso das regras computacionais tradicio-
nais, o risco é que alguns estudantes na verdade aprendam as re-
gras corretamente, mas tenham uma compreensão muito limitada 
ou nenhuma compreensão do porque essas regras funcionam.
Os benefícios da compreensão 
relacional
Ensinar para uma compreensão rica ou relacional requer mui-
to empenho e esforço. Os conceitos e as conexões se desenvolvem 
com o passar do tempo e não em apenas um dia ou uma aula. Ta-
refas devem ser bem selecionadas. Materiais educativos devem ser 
produzidos. A sala de aula deve ser organizada para um trabalho 
em grupo e para a máxima interação com e entre as crianças. Os 
benefícios importantes derivados da compreensão relacional fazem 
o esforço não apenas valer a pena, mas também ser essencial.
É intrinsecamente gratifi cante
Quase todas as pessoas e certamente as crianças, gostam de 
aprender. Isso é especialmente verdade quando a nova informa-
ção se conecta com as ideias já desenvolvidas. O novo conhe-
cimento faz sentido; ele se ajusta; parece interessante e útil. As 
crianças que aprendem pela aprendizagem mecânica precisam 
ser motivadas por meios externos: por causa de um teste, para 
agradar aos pais, por medo do fracasso ou para receber alguma 
recompensa. A aprendizagem mecânica é desagradável.
(a)
Conta 37
Conta 28
Conta todos: 1, 2, 3, 4,..., 64, 65.
(b)
(c)
(d)
37 mais 20 – 47, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65.
(contando nos dedos)
Os erros são comunsAlgoritmo tradicional
Tira 2 do 37
e coloca ele com 28
para fazer 30.
30 e 35 é 65.
37 e 30 é 67 masvocê tem que tirar2, dando 65.
FIGURA 3.5 Uma amostra de exemplos de cálculos mostran-
do diferentes níveis de compreensão.
Matemática no Ensino Fundamental 47
Enriquece a memória
A memória é um processo de reativar informação. Quando 
a matemática é aprendida de forma relacional, são menores as 
chances de a informação se deteriorar; é mais provável que a in-
formação conectada seja retida com o passar do tempo do que a 
informação desconectada. A recuperação da informação também 
é mais fácil. A informação conectada fornece uma rede inteira 
de ideias para chegar à mesma. Se o que você precisa recordar 
parece distante, refl etir sobre as ideias que estão relacionadas 
normalmente pode conduzir eventualmente à ideia desejada. Re-
cobrar informação desconectada é como “achar uma agulha em 
um palheiro”.
Há menos coisas para se lembrar
As abordagens tradicionais tendem a fragmentar a matemá-
tica em listas aparentemente infi nitas de habilidades, conceitos, 
regras e símbolos isolados que normalmente torturam os pro-
fessores e os alunos. Os educadores construtivistas falam em 
ensinar “grandes ideias” ou “ideias fundamentais” (Brooks e 
Brooks, 1993; Hiebert et al., 1996; Schifter e Fosnot, 1993). As 
grandes ideias, ou ideias fundamentais, são apenas grandes redes 
de conceitos relacionados. Geralmente, a rede é tão bem cons-
truída que grandes quantidades de informação são armazenadas 
e recobradas como entidades únicas em vez de pedaços isolados. 
Por exemplo, o conhecimento de valor posicional engloba regras 
sobre alinhar pontos de fração decimal, ordenar números deci-
mais, mover a vírgula de fração decimal à direita ou à esquerda 
em conversões de decimal para porcentual, arredondar e estimar 
e um grande número de outras ideias.
Ajuda a aprender novos conceitos e 
procedimentos
Uma ideia matemática compreendida por completo é esten-
dida com maior facilidade à aprendizagem de uma nova ideia. Os 
conceitos e as relações numéricas ajudam no domínio de fatos 
básicos, os conhecimentos de fração e de valor posicional se re-
únem para facilitar a aprendizagem de decimais, e os conceitos 
decimais enriquecem diretamente uma compreensão de concei-
tos e procedimentos de porcentagem.
Sem essas e muitas outras conexões, as crianças precisa-
rão aprender cada novo pedaço de informação que encontrarem 
como uma ideia separada e sem conexão.
Melhora as habilidades de resolução
de problemas
A resolução de problemas inéditos requer transferir ideias já 
aprendidas em um contexto para novas situações. Quando os con-
ceitos estão embutidos em uma rede rica, a capacidade de transfe-
rência é ampliada signifi cativamente e, assim, também a resolução 
de problemas (Schoenfeld, 1992). Dados do NAEP de 1990 a 2003 
indicam um aumento signifi cativo no número de estudantes acima 
ou nos níveis básicos e profi cientes em matemática nos Estados 
Unidos, especialmente entre os anos de 2000 e 2003 (Kloosterman 
e Lester, 2003; NCTM, 2004). Este crescimento pode refl etir um 
aumento na ênfase sobre a compreensão que foi observado nas es-
colas norte-americanas nesse mesmo período.
É autogeradora
“As invenções que operam sobre as compreensões podem 
gerar novas compreensões, sugerindo um efeito “bola de neve”. 
Conforme as redes crescem e se tornam mais estruturadas, elas au-
mentam seu potencial para invenção” (Hiebert e Carpenter, 1992, 
p. 74). Skemp (1978) percebeu que quando a construção e aquisi-
ção de conhecimento são consideradas prazerosas, as pessoas que 
tiveram aquela experiência de prazer provavelmente buscarão ou 
inventarão suas próprias ideias novas, em especial, quando estive-
rem confrontando situações baseadas em problemas.
Melhora atitudes e convicções
A compreensão relacional tem tanto um efeito afetivo como 
também um efeito cognitivo. Quando as ideias são bem com-
Divisão: A razão 3 para 4 é
a mesma que 3÷4.
Trigonometria: Todas as funções
trigonométricas são razões.
Comparações: A razão de dias
ensolarados para dias chuvosos é
maior no sul que no norte.
Preços unitários: 12 onças por 
$ 1,79, 4 onças custam cerca de
$ 0,60 ou $ 2,40 por libra.
Escala: A escala no mapa mostra 
1 centímetro para 50 quilômetros.
Inclinação de retas (álgebra) e inclinação de
telhados (carpintaria): A razão entre a subidavertical e a corrida horizontal é .8
1
Negócios: o lucro e a perda são considerados
como razões da renda ao custo total.
Geometria: A razão da 
circunferência para o diâmetro é 
sempre π ou aproximadamente 
22 para 7. Quaisquer duas 
figuras semelhantes têm medidas 
correspondentes que são 
proporcionais (na mesma razão).
RAZÃO
FIGURA 3.6 Rede potencial de associações que poderiam contribuir para a compreensão do conceito de razão.
48 John A. Van de Walle
preendidas e adquirem signifi cados, o estudante tende a desen-
volver uma autoimagem positiva sobre a sua habilidade para 
aprender e compreender matemática. Há um sentimento defi nido 
de “Eu posso fazer isso! Eu compreendo!”. E não há razão para 
temer ou se preocupar com conhecimento aprendido de forma 
relacional. Na outra extremidade do contínuo, a compreensão 
instrumental tem o potencial de produzir ansiedade matemática, 
um fenômeno real que envolve tanto medo quanto um comporta-
mento de evitar situações matemáticas.
O Princípio de Aprendizagem deixa claro que a aprendi-
zagem compreensiva é essencial e possível. Ou seja, to-
das as crianças podem e devem aprender matemática 
com compreensão. É impossível prever os tipos de problemas que 
os estudantes enfrentarão no futuro. O Princípio de Aprendizagem 
diz que a compreensão é o único modo de assegurar que os estudan-
tes poderão lidar com esses problemas desconhecidos no futuro.
Conceitos e procedimentos
De algum tempo para cá, os educadores matemáticos con-
sideraram útil distinguir entre dois tipos de conhecimento mate-
mático: o conhecimento conceitual e o conhecimento procedural 
(Hiebert e Lindquist, 1990).*
Conhecimento conceitual e 
conhecimento procedural
O conhecimento conceitual consiste em ricas relações ou re-
des de ideias (Hiebert e Lefevre, 1986). Em termos da metáfora 
de pontos mostrada na Figura 3.1, o conhecimento conceitual é 
uma coleção integrada de pontos e de relações entre eles. É mais 
que uma ideia singular. Como Hiebert e Carpenter sucintamente 
descreveram, o conhecimento conceitual é aquele “que é com-
preendido” (1992, p. 78).
O conhecimento procedural em matemática é o conhecimen-
to das regras e dos procedimentos utilizados para executar tarefas 
matemáticas rotineiras e também do simbolismo usado para re-
presentar ideias matemáticas. O conhecimento procedural inclui 
saber os procedimentos passo a passo para executar uma tarefa 
tal como multiplicar 47 × 68. Por exemplo, “para somar dois nú-
meros de três algarismos, primeiro some os números na coluna 
direita. Se a resposta for igual ou superior a 10, ponha o 1 sobre 
a segunda coluna, e escreva o outro algarismo abaixo da primeira 
coluna. Proceda de maneira semelhante para as próximas duas 
colunas em ordem”. Pode-se dizer que alguém que possa realizar 
uma tarefa como essa tem conhecimento daquele procedimento. 
O conhecimento de simbolismos tais como (9 – 5) × 2 = 8, π, ≤ e 
≠ também faz parte do conhecimento procedural de matemática.
Interação entre os conhecimentos 
conceitual e procedural
O conhecimento procedural em matemática tem um papel 
muito importante tanto na aprendizagem quanto no fazer mate-
 * N. de T.: Seguindo uma tendência das teorias curriculares contemporâ-
neas. No Brasil, os PCNs organizam os conhecimentos em conceituais, 
procedurais e atitudinais.
mática. Os procedimentos algorítmicos nos ajudam a fazer tare-
fas rotineiras facilmente e, assim, livrar nossas mentes para que 
possam se concentrar em tarefas mais importantes. O simbolis-
mo é um mecanismo poderoso para conduzir ideias matemáticas 
aos outros e para “registrar” algumas ideias enquanto fazemos 
matemática. Contudo, nem mesmo o uso mais hábil de um pro-
cedimento ajudará a desenvolver conhecimento conceitual rela-
cionado àquele procedimento (Hiebert, 1990). Por exemplo, fa-
zer infi nitos exercícios de divisão longa não ajudará uma criança 
a compreender o que signifi ca a divisão. De fato, os estudantes 
habilidosos em um procedimento particular são muito relutantes 
em atribuir signifi cado a ele depois de dominado.
Do ponto de vista da aprendizagem matemática, a pergunta 
de como os procedimentos e as ideias conceituais podem ser in-
terligados é muito mais importante do que a utilidade do próprio 
procedimento (Hiebert e Carpenter, 1992). Lembre-se das duas 
crianças que usaram o seu próprio procedimento para resolver 
156 ÷ 4 (veja Figura 3.2, p. 44). Claramente, havia uma interação 
ativa e útil entre os procedimentos que as crianças inventaram e 
as ideias que estavam construindo sobre divisão.
Em geral, aceita-se que regras procedurais nunca devem 
ser ensinadas na ausência de conceitos, embora, infelizmen-
te, isso ainda aconteça com muita frequência. Esses procedi-
mentos sem uma base conceitual são as regras sem razões que 
conduzem a erros e a uma antipatia pela matemática. Todos os 
procedimentos de matemática podem e devem estar conectados 
às ideias conceituais que expliquem por que eles funcionam. 
Como você experimentará ao longo desse livro, os procedi-
mentos para fazer matemática, o simbolismo e as defi nições 
sempre são precedidos por um forte desenvolvimento conceitual. 
Procedimentos desenvolvidos conceitualmente são normal-
mente indistinguíveis como sendo conhecimento conceitual ou 
procedural. É essa completa conexão e integração de conceitos 
e procedimentos que deve ser a primeira meta do ensino de 
matemática.
Infl uências da sala de aula 
na aprendizagem
A teoria do construtivismo sugere que o ensino não se trata 
de uma questão de transferência de informação para os estudan-
tes e que a aprendizagem não é uma questão de absorver infor-
mação passivamente de um livro ou de um professor. Os pro-
fessores efi cientes têm de ajudar os estudantes a construir suas 
próprias ideias usando as que eles já possuem. Isso não signifi ca 
que nós simplesmente deixamos os estudantes brincarem e espe-
ramos que eles descubram magicamente novas ideias matemáti-
cas. Pelo contrário, a maneira pela qual uma turma é gerencia-
da, o clima social que é estabelecido dentro da sala de aula e os 
materiais disponibilizados para os estudantes explorarem – tudo 
tem um impacto enorme sobre o que é ensinado e o quão bem é 
compreendido. É valioso discutir os três fatores seguintes que 
infl uenciam a aprendizagem em sala de aula:
Padrões
NCTM
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta 
Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual da 
Instituição, você encontra a obra na íntegra.