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Conjuntos
 Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma 
turma torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia. 
Noções básicas
Torcedores do Ceilândia
Torcedores do Brasiliense
Torcedores do Gama
B
IR
Y
 S
A
R
K
Y
S
B
IR
Y
 S
A
R
K
Y
S
B
IR
Y
 S
A
R
K
Y
S
 Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica 
natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira.
 Conjunto dos números pares:
0, 2, 4, 6, 8, ...
Noções básicas
B
IR
Y
 S
A
R
K
Y
S
O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 2, 5 e 10.
Elementos de um conjunto
1 pertence a A
3 não pertence a A
∊
3 ∉ A
Então:
1 A
O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 3, 5, 7 e 9. 
Podemos representá-lo:
Representação de um conjunto
 enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9}
 considerando uma propriedade que todos os elementos do 
conjunto, e somente eles, verificam: 
A = {xx é um número ímpar menor que 10}
 desenhando uma figura:
Dois conjuntos, A e B, são iguais (A = B) se A tem os mesmos 
elementos de B.
Igualdade de conjuntos
 O conjunto A contém os números 
naturais menores que 5.
 O conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4}
A = B
Exemplo
1
4
2
4
3
Igualdade de conjuntos
Quando um conjunto tem ao menos um elemento 
diferente dos elementos de outro conjunto, dizemos que 
os conjuntos são diferentes.
 X = {0, 2, 3, 4, ...}
 Y = {1, 2, 3, 4, ...}
X ≠ Y (X é diferente de Y)
1
4
2
4
3
Exemplo
Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado 
por todos os elementos utilizados para estudar uma situação. 
Conjunto universo
Vamos resolver a equação x² = 4:
x = 2
x = –2 ou 
x = 2
 se U = ℕ:
 se U = ℤ:
uma solução
duas soluções
1
4
2
4
3
1
4
2
4
3
Conjunto unitário e conjunto vazio
C = {xx é um número natural primo par} = {2} 
Exemplo
Conjunto vazio, cuja notação é  ou {}, é o conjunto que 
não tem elementos.
B = {xx é um número primo par maior que 5} = 
Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento.
Exemplo
Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente 
se, todos os elementos de A pertencem a B.
Subconjuntos de um conjunto
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
1
4
2
4
3
A ⊂ B ou B ⊃ A
Se um conjunto A não é subconjunto de B, dizemos que A não 
está contido em B.
Subconjuntos de um conjunto
A = {1, 2, 3, 7}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C = 0 
1
4
4
2
4
4
3
A ⊄ B
C ⊄ B
C ⊄ A
Subconjuntos de um conjunto
Observações
 O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
 Todo conjunto está contido nele mesmo. 
 Se A  B e B  A, então o conjunto A é igual a B.
Exercício resolvido
R1. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {b, c}, 
classificar cada sentença como verdadeira ou falsa.
a) A  C b) B  A c) C  A d) C  B
a) Verdadeira. Todos os elementos de C pertencem a A.
b) Verdadeira. O elemento d de B não pertence a A.
c) Falsa. O elemento a pertence a A e não a C.
d) Falsa. O elemento b pertence a C e não a B.
Resolução 
a) Se X  B, então X é um subconjunto de B. Logo, há 
mais de um conjunto X que obedece a essa condição.
Poderíamos ter, por exemplo: X = , uma vez que o 
conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; 
X = {1}; ou X = {1, 2}, entre outros.
R2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um exemplo 
de um conjunto X, em cada caso.
a) X  B c) X  B e B  Xb) B  X
Resolução 
Exercício resolvido
R2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um exemplo 
de um conjunto X, em cada caso.
b) Se B  X, então B é um subconjunto de X. Logo, 
poderemos determinar infinitos exemplos para X, desde 
que os elementos 1, 2 e 3 pertençam ao conjunto X. Como 
exemplo, temos:
X = {0, 1, 2, 3} ou X = {0, 1, 2, 3, 4}
Resolução 
a) X  B c) X  B e B  Xb) B  X
Exercício resolvido
R2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um exemplo 
de um conjunto X, em cada caso.
Resolução 
a) X  B c) X  B e B  Xb) B  X
c) Se X  B e B  X, então o conjunto X é igual a B. Logo, só 
existe uma possibilidade: X = {1, 2, 3}
Exercício resolvido
A = {2, 3, 5, 7} 
B = {0, 2, 4, 6} 
União de conjuntos
Operações com conjuntos
1
4
2
4
3
A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A região hachurada 
representa A  B.
Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto 
formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
A  B = {xx ϵ A ou x ϵ B}
União de conjuntos
Operações com conjuntos
A = {xx é um número natural menor que 8} 
B = {xx é um número natural par menor que 10}
Intersecção de conjuntos
A  B = {0, 2, 4, 6}
A região hachurada 
representa A  B.
Operações com conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o 
conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A 
e a B.
A  B = {xx ϵ A e x ϵ B}
Operações com conjuntos
Intersecção de conjuntos
R3. Determinar A  B, sabendo que: 
A = {xx é um número natural menor que 8} e 
B = {xx é um número natural entre 7 e 11}.
Resolução 
Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B. 
Assim, temos: 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {8, 9, 10}
Desse modo: A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Exercício resolvido
Representando a união desses conjuntos em um diagrama, temos:
A região hachurada representa A  B.
R3. Determinar A  B, sabendo que: 
A = {xx é um número natural menor que 8} e 
B = {xx é um número natural entre 7 e 11}.
Resolução 
Exercício resolvido
R4. Determinar A  B, sabendo que: 
A = {xx é um número natural maior que 9} e 
B = {xx é um número natural menor que 9}.
Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B. 
Assim, temos: 
A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ...} e 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Como não há elementos em comum, A  B = .
Resolução 
Exercício resolvido
a) Inicialmente, vamos determinar os 
elementos pertencentes a cada 
conjunto. Assim: A = {1, 2, 3, 4}, 
B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7}
Agora, determinamos (A  B):
A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}
Depois, determinamos a intersecção 
desse conjunto com C e obtemos: 
(A  B)  C = {1, 3, 7}
Determinar:
a) (A  B)  C 
b) (A  B)  C
Resolução 
R5. Considerar os conjuntos representados abaixo.
Exercício resolvido
a) Representando em um diagrama 
de Venn:
A parte laranja representa (A  B)  C.
Determinar:
a) (A  B)  C 
b) (A  B)  C
R5. Considerar os conjuntos representados abaixo.
Resolução 
Exercício resolvido
b) Primeiro, determinamos (A  B):
A  B = {1, 2} 
Depois, determinamos a união desse 
conjunto com C:
(A  B)  C = {1, 2, 3, 5, 7}
Determinar:
a) (A  B)  C 
b) (A  B)  C
R5. Considerar os conjuntos representados abaixo.
Resolução 
Exercício resolvido
b) Representando em um diagrama 
de Venn:
A parte azul representa (A  B)  C.
Determinar:
a) (A  B)  C 
b) (A  B)  C
R5. Considerar os conjuntos representados abaixo.
Resolução 
Exercício resolvido
R6. Sabendo que A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A  B = {4 ,5}, 
escrever duas possibilidades diferentes para A e B.
Resolução 
Assim, podemos escrever: 
A = {1, 4, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} ou 
A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 4, 5}
Há outras possibilidades além dessas.
Como A  B = {4, 5}, devemos considerar que os elementos 
4 e 5 pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. 
Sabemos também que os conjuntos A e B são formados 
necessariamente pelos elementos que pertencem a A  B. 
Exercício resolvido
Operações com conjuntos
A = {xx é um número natural e está entre 20 e 30}
B = {xx é um número primo menor que 30}
A – B = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}
Diferença de conjuntos
A região hachurada 
representa A  B.
Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas 
não pertencem a B.
A – B = {xx  A e x  B}
Operações com conjuntos
Diferença de conjuntos
Complementar de um conjunto
Dados os conjuntos A e B, o complementar do conjuntoB 
em relação a A é a parte laranja da figura.
= A – B, com B  A
R7. Determinar A – B sabendo que:
A = {xx é um número natural menor que 10} e 
B = {xx é um número natural e está entre 3 e 7}.
Resolução 
Enumerando os elementos de A e B, temos:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6}
Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos:
A – B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}
Exercício resolvido
R8. Descrever a parte azul do 
diagrama por meio de 
operações de conjuntos.
Resolução 
Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto B
está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C.
Devemos observar ainda que somente uma parte do conjunto A 
está colorida de azul. Como essa parte representa os elementos de 
A que não pertencem a B nem a C, podemos escrever a seguinte 
operação para representar a parte azul 
da figura: A – B – C ou A – C – B
Exercício resolvido
R9. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} 
e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}. 
Determinar:
a) Ac c) , com E = 
Resolução 
a) Como o conjunto U é um conjunto finito, para facilitar a 
resolução podemos enumerar seus elementos: 
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
b) 
Exercício resolvido
a) Determinando U – A, encontramos: 
Ac = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}
R9. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} 
e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}. 
Determinar:
a) Ac c) , com E = 
Resolução 
b) 
Exercício resolvido
b) Nesse caso, devemos determinar A – B. Assim: = {5, 15}
R9. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} 
e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}. 
Determinar:
a) Ac c) , com E = 
Resolução 
b) 
Exercício resolvido
c) Inicialmente, devemos encontrar os elementos do conjunto E. 
Como E = , temos: E = {5, 15}.
Agora, determinamos U – E e encontramos: 
= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
R9. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10} 
e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}. 
Determinar:
a) Ac c) , com E = 
Resolução 
b) 
Exercício resolvido
R10. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, 
AC = {3, 6, 9} e BC = {15, 18}, determinar:
a) o conjunto A.
a) Como AC = {3, 6, 9}, os elementos de U que não pertencem 
a AC pertencem ao conjunto A; portanto:
A = {12, 15, 18}
b) o conjunto B.
Resolução 
Exercício resolvido
b) Como BC = {15, 18}, os elementos de U que não pertencem
a BC pertencem ao conjunto B; portanto: 
B = {3, 6, 9, 12}
R10. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, 
AC = {3, 6, 9} e BC = {15, 18}, determinar:
a) o conjunto A. b) o conjunto B.
Resolução 
Exercício resolvido
A ∪ B
Aplicação das operações com conjuntos
O número de elementos de A ∪ B é:
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)
A ∩ B
O número de elementos de A ∩ B é:
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)
Aplicação das operações com conjuntos
R11. Esportes. Em uma pesquisa com uma turma de Ensino 
Médio, verificou-se que 15 alunos praticavam basquete 
como atividade esportiva, 25 alunos praticavam futebol e 
7 alunos praticavam duas atividades: basquete e futebol. 
Determinar quantos alunos participaram da pesquisa, 
sabendo que todos optaram por pelo menos um dos dois 
esportes. 
Exercício resolvido
R11. 15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam 
futebol e 7 alunos praticavam as duas atividades. 
Determinar quantos alunos foram pesquisados. 
Resolução 
7 alunos praticavam as duas atividades esportivas.
A e B
Exercício resolvido
Como 15 pessoas praticavam basquete e, desse total, 7 também 
praticavam futebol, a quantidade de alunos que estão no 
conjunto A e não estão no conjunto B é: 15 – 7 = 8 
R11. 15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam 
futebol e 7 alunos praticavam as duas atividades. 
Determinar quantos alunos foram pesquisados. 
Somente A
Resolução 
Exercício resolvido
Como 25 pessoas praticavam futebol e, desse total, 7 também 
praticavam basquete, a quantidade de alunos que estão no 
conjunto B e não estão no conjunto A é: 25 – 7 = 18
n(A  B) = 8 + 18 + 7 = 33
Somente B
Resolução 
Exercício resolvido
R11. 15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam 
futebol e 7 alunos praticavam as duas atividades. 
Determinar quantos alunos foram pesquisados. 
R12. Consumidor. Após uma pesquisa com os clientes de 
um supermercado, verificou-se que 150 pessoas 
compraram o refrigerante da marca C e 75 compraram o 
da marca P. Sabendo que 200 pessoas participaram da 
pesquisa, determinar quantas compraram refrigerantes 
das duas marcas. 
Exercício resolvido
Marca C e marca P: x
R12. De 200 pesquisados, 150 compraram o refrigerante da 
marca C e 75 compraram o da marca P. Determinar 
quantas compraram refrigerantes das duas marcas. 
Marca C: 150 – x
Marca P: 75 – x
1
2
3
Resolução 
Exercício resolvido
N(C  P) = (150 – x) + x + (75 – x) 
200 = (150 – x) + x + (75 – x) 
x = 150 + 75 – 200  x = 25
Assim, concluímos que 25 pessoas compraram refrigerantes 
das duas marcas.
R12. De 200 pesquisados, 150 compraram o refrigerante da 
marca C e 75 compraram o da marca P. Determinar 
quantas compraram refrigerantes das duas marcas. 
Resolução 
Exercício resolvido
R13. Carnaval. Uma empresa faz colares para o carnaval. As 
matérias-primas utilizadas são plásticos rosa e verde. Em 
um ano, foram produzidos 1.750 colares com o plástico 
rosa, 1.200 colares com plástico verde e rosa e uma 
certa quantidade de colares feitos somente com o 
plástico verde. Quantos colares foram fabricados apenas 
com o plástico rosa?
Exercício resolvido
O número de colares feitos apenas com o plástico rosa é:
1.750 – 1.200 = 550 
Então, 550 colares foram feitos apenas com o plástico rosa.
R13. 1.750 colares com o plástico rosa, 1.200 colares com 
plástico verde e rosa. Quantos colares foram fabricados 
apenas com o plástico rosa?
R  conjunto dos colares com 
o plástico rosa
V  conjunto dos colares com 
o plástico verde
Resolução 
Exercício resolvido
R14. Cultura. Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de 
identificar o tipo de leitura preferida de 145 alunos de 
Ensino Médio. Nessa pesquisa, história em quadrinhos 
teve 60 votos, romance, 85 votos, e ficção científica, 55. 
Sabe-se ainda que 20 alunos votaram em história em 
quadrinhos e em romance, 30 votaram em romance e em 
ficção, 10 votaram em história em quadrinhos e em ficção 
e 5 alunos votaram nos três tipos. Determinar quantos 
alunos votaram somente em romance.
Exercício resolvido
 Q o conjunto dos que preferem história em quadrinhos;
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60 
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em 
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história 
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar 
quantos votaram apenas em romance.
 R o conjunto dos que preferem romance;
 F o conjunto dos que preferem ficção.
Vamos chamar de: 
Resolução 
Exercício resolvido
 Como 20 alunos votaram em história em quadrinhos e em 
romance, os que preferem exclusivamente quadrinhos e 
romance são: 20 – 5 = 15
Inicialmente, vamos considerar a quantidade de alunos que 
votaram nos três tipos de literatura (5 alunos).
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60 
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em 
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história 
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar 
quantos votaram apenas em romance.
Resolução 
Exercício resolvido
 Fazemos o mesmo com os 30 que votaram em romance 
e em ficção: 30 – 5 = 25
 E também com os 10 que votaram em quadrinhos e ficção:
10 – 5 = 5
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos,60 
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em 
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história 
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar 
quantos votaram apenas em romance.
Resolução 
Exercício resolvido
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60 
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em 
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história 
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar 
quantos votaram apenas em romance.
Resolução 
Exercício resolvido
Para descobrir quantos alunos votaram somente em romance:
Portanto, 40 alunos votaram somente em romance.
Resolução 
85 – 15 – 25 – 5 = 40
n(Q ∩ R) n(Q ∩ R ∩ F)
n(R) n(R ∩ F)
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60 
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em 
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história 
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar 
quantos votaram apenas em romance.
Exercício resolvido
O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos 
e é indicado por:
Conjuntos numéricos
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos números naturais
Acrescentando os números negativos aos naturais, formamos 
o conjunto dos números inteiros, que é representado por:
Conjunto dos números inteiros
ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
Conjuntos numéricos
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é formado por todos os 
números que podem ser escritos na forma de uma razão , 
com a  ℤ e b  ℤ*.
Conjuntos numéricos
Há números que não podem ser escritos na forma de fração, 
e sua representação é decimal infinita, e não periódica. Esses 
números são denominados números irracionais.
Conjunto dos números reais
Por exemplo: , , , , etc. 
A reunião do conjunto dos números racionais com o dos 
números irracionais resulta no conjunto dos números reais, 
representados por ℝ.
Conjuntos numéricos
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Conjuntos numéricos
Conjunto dos números reais
A reta real
Dizemos que cada número real corresponde a um só ponto da 
reta e cada ponto da reta corresponde a um número real.
Essa é chamada reta real ou reta numérica.
Representação de subconjuntos 
por intervalos
Consideramos a e b números reais tais que a < b.
Representação geométrica Representação algébrica
Representação de subconjuntos 
por intervalos
Representação geométrica Representação algébrica
Consideramos a e b números reais tais que a < b.
Representação de subconjuntos 
por intervalos
Representação geométrica Representação algébrica
Consideramos a e b números reais tais que a < b.
Operações com intervalos
Exemplos
a) Dados os conjuntos A = 
e B = , determine A ∪ B.
Como o conjunto procurado é o conjunto de todos os 
elementos que pertencem a A ou a B, temos:
A ∪ B = ou [–3, 8]
Operações com intervalos
b) Dados os conjuntos A = 
e B = , determinar A ∩ B.
O conjunto procurado será o conjunto de todos os elementos 
que pertencem a A e a B ao mesmo tempo:
A ∩ B = ou [2, 4[
Exemplos
Operações com intervalos
c) Dados os conjuntos A = e 
B = , determine A – B.
Como a operação A – B indica que devemos encontrar o 
conjunto de todos os elementos que pertencem a A e não 
pertencem a B, temos:
A – B = ou ]–, –4] ∪ ]7, +[
Exemplos
R18. Dados os conjuntos M = , 
N = e O = , 
determinar (M ∪ N) – O.
Resolução 
Inicialmente, determinamos o intervalo M ∪ N.
Exercício resolvido
Depois, fazemos (M ∪ N) – O: 
(M ∪ N) – O = ]1, 4[ ∪ ]6, + ∞[
R18. Dados os conjuntos M = , 
N = e O = , 
determinar (M ∪ N) – O.
Resolução 
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, 
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA 
Diretoria de Tecnologia Educacional
Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres 
© Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados. 
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Funções
A ideia de função no cotidiano
Consumo
O preço é função da quantidade de pães.
Quantidade 
de pães
Preço (R$) 
1 2 3 4 5 x
1,81 3,62 5,43 7,24 9,05 1,81x
Dia do mês
Temperatura 
média (oC)
Meteorologia
A temperatura média é função do dia do mês. Observe 
que o contrário não é verdade.
1 2 3 4 5 6 7
17 18 20 23 23 24 24
A ideia de função no cotidiano
Geometria
Dizemos que o perímetro p é função do lado l.
Medida do 
lado (cm)
Perímetro 
(cm)
1 8 10,2 18,8
3 24 30,6 56,43
l
3l
A ideia de função no cotidiano
Dadas as variáveis x e y, dizemos que y é função de x
se, a cada valor atribuído a x, associa-se um único y.
A ideia de função no cotidiano
A definição matemática de função
Vamos chamar de A o conjunto da quantidade de pães e de B
o conjunto dos preços.
Consideramos C o conjunto dos dias do mês e D o conjunto 
das temperaturas médias.
A definição matemática de função
O perímetro depende do lado do triângulo. Assim, 
consideramos E o conjunto das medidas do lado do 
triângulo e F o conjunto dos perímetros do triângulo.
A definição matemática de função
Considerando dois conjuntos, A e B, não vazios, 
dizemos que f é uma função de A em B (ou que y é uma 
função de x) se, e somente se, para cada elemento x de 
A, existe em correspondência um único elemento y de 
B. Representamos assim: f: A → B
A definição matemática de função
Representação de uma função
Escrevemos f(x), ou simplesmente y, para indicar o valor que 
a função f assume em x.
A função f transforma x ∈ A em y ∈ B.
2o) Um dos elementos de T, 
o 4, está associado a mais de 
um elemento de V: 
aos elementos –2 e –1. 
Pela segunda afirmação, 
concluímos que g não é 
função de T em V.
a) 1º) Todo elemento de T tem 
um correspondente em V. 
Representação de uma função
Exemplo
1º) Nem todo elemento de R
tem um correspondente em S
(6 não se associa a nenhum 
elemento de S).
2º) Os demais elementos de R
associam-se a um único 
elemento de S. 
Pela primeira afirmação, h não 
é função de R em S.
b)
Representação de uma função
Exemplo
Exercício resolvido
R1. Tarifa. Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da 
seguinte forma: R$ 5,00 a bandeirada mais R$ 1,20 por 
quilômetro rodado.
a) Pode-se estabelecer uma função entre essas grandezas? 
Em caso positivo, quais seriam as variáveis (dependente 
e independente) dessa função?
b) Qual lei matemática definiria essa função?
Exercício resolvido
R1. 
Resolução
a) Sim, é possívelestabelecer uma função: para cada número 
real positivo que representa o total de quilômetros de uma 
viagem (variável independente, que vamos chamar de x), 
associamos um único valor de tarifa (variável dependente, 
que vamos chamar de y).
b) Essa função é definida pela lei:
y = 5 + 1,2x ou f(x) = 5 + 1,2x, com x  ℝ.
Exercício resolvido
R2. Distância. Com o auxílio de um cronômetro, 
marcando-se o tempo em hora, verificaram-se as 
distâncias percorridas por um móvel. Essas distâncias, 
percorridas em determinados tempos, foram 
registradas na tabela a seguir:
Tempo 
(h)
Distância 
(km)
0,2 0,4 0,8 1,6 2 x
10 20 40 80 100 50x
D
E
N
N
IS
 M
A
C
D
O
N
A
L
D
/A
G
E
/
G
R
U
P
O
 K
E
Y
S
T
O
N
E
 
a) Indicar as variáveis 
(dependente e independente) 
relacionadas nessa situação.
b) Expressar a lei matemática 
que relaciona a distância 
percorrida ao tempo.
c) Calcular a distância quando 
o tempo é igual a 2,8 h.
d) Calcular o tempo quando a 
distância é 330 km.
Exercício resolvido
R2. Resolução 
a) Assumindo que a 
distância percorrida varia 
em função do tempo, a 
variável dependente (y) é 
a distância e a variável 
independente (x) 
é o tempo.
Exercício resolvido
R2. Resolução 
b) Pelos dados da tabela, 
percebemos que, para 
determinar a distância y
em função de certo 
tempo x, devemos 
multiplicar por 50 o 
número real positivo que 
representa x.
Temos, então, a seguinte 
lei: y = 50x ou f(x) = 50x.
a) Indicar as variáveis 
(dependente e independente) 
relacionadas nessa situação.
b) Expressar a lei matemática 
que relaciona a distância 
percorrida ao tempo.
c) Calcular a distância quando 
o tempo é igual a 2,8 h.
d) Calcular o tempo quando a 
distância é 330 km.
Exercício resolvido
Portanto, em 2,8 horas, o 
móvel percorreu 140 
quilômetros.
c) Queremos calcular f(x) 
para x = 2,8, o que 
indicamos por f(2,8).
Substituindo o valor de x
na lei da função, temos: 
f(2,8) = 50 ∙ 2,8 
 f(2,8) = 140.
a) Indicar as variáveis 
(dependente e independente) 
relacionadas nessa situação.
b) Expressar a lei matemática 
que relaciona a distância 
percorrida ao tempo.
c) Calcular a distância quando 
o tempo é igual a 2,8 h.
d) Calcular o tempo quando a 
distância é 330 km.
R2. Resolução 
Exercício resolvido
d) Queremos agora calcular x
para f(x) = 330. 
Substituindo o valor de f(x) 
na lei da função, temos:
330 = 50x  x = = 6,6.
Logo, para percorrer 330 
quilômetros, o móvel 
gastou 6,6 horas.
R2. Resolução 
a) Indicar as variáveis 
(dependente e independente) 
relacionadas nessa situação.
b) Expressar a lei matemática 
que relaciona a distância 
percorrida ao tempo.
c) Calcular a distância quando 
o tempo é igual a 2,8 h.
d) Calcular o tempo quando a 
distância é 330 km.
Domínio, contradomínio e conjunto 
imagem de uma função
Para definir uma função f, é preciso conhecer o domínio D(f), 
o contradomínio CD(f) e a maneira pela qual cada x de D(f) 
corresponde a um único y = f(x) de CD(f).
c) A função m(x) = não tem zero, pois não 
há valor de x que anule m(x).
b) O zero da função h(x) = é 9, pois: 
h(9) = = = 0
a) O zero da função f(x) = 2x – 4 é 2, pois: 
f(2) = 2 ∙ 2 – 4 = 4 – 4 = 0
d) O zero da função g(x) = é 0, pois: 
g(0) = = = 0
Exemplos
O zero de uma função
a) D(f).
b) CD(f).
c) Im(f).
d) y quando x = 1.
e) y quando x = 2. 
f) f(x) quando x = 3.
g) x quando y = 8.
h) x quando f(x) = 5.
Exercício resolvido
R3. Considerar o diagrama da função f abaixo, em que x 
A e y ϵ B, e determinar:
a) D(f) = A = {1, 2, 3, 4, 5}
b) CD(f) = B = {5, 6, 7, 8, 9}
c) Im(f) = {5, 6, 7, 8}
d) x = 1  y = 5
e) x = 2  y = 5
f) x = 3  f(3) = 7
g) y = 8  x = 4
h) f(x) = 5  x = 1 ou x = 2
Exercício resolvido
R3. 
Resolução
a) D(f) = ℕ;
Exercício resolvido
R4. Determinar o conjunto imagem de f: D(f)  ℝ, 
sabendo que f(x) = 2x e considerando:
b) D(f) = [0,3].
a) Im(f) = conjunto dos números pares
b) f(0) = 0 e f(3) = 6  Im(f) = [0,6]
Resolução
Exercício resolvido
R5. Dada a função h(x) = x3 – 1, determinar:
a) h(3) = 33 – 1 = 27 – 1 = 26
b) h(0,5)= (0,5)3 – 1 = 0,125 – 1 = –0,875
Resolução
c) h(–3) = (–3)3 – 1 = –27 – 1 = –28
d) h(x) = –1  x3 – 1 = – 1  x3 = 0  x = 0
b) h(0,5); c) h(–3); d) x para h(x) = –1.a) h(3);
Exercício resolvido
a) D(f) = ℝ
Resoluçãoa) f(x) = 17x – 5 
R6. Obtenha o domínio de cada função. 
b) g(x) = 
c) h(x) =
d) i(x) = 
f) k(x) = 
e) j(x) =
Exercício resolvido
b) Devemos considerar que o 
denominador não pode ser nulo: 
x – 4 ≠ 0  x ≠ 4
Portanto: 
D(g) = {x  ℝ|x ≠ 4} = ℝ – {4}
a) f(x) = 17x – 5 
R6. Obtenha o domínio de cada função. 
b) g(x) = 
c) h(x) =
d) i(x) = 
f) k(x) = 
e) j(x) =
Resolução
Exercício resolvido
c) Em ℝ, o radicando de uma raiz de 
índice par não pode ser negativo: 
7x – 21 ≥ 0  7x ≥ 21  x ≥ 3.
Portanto: 
D(h) = {x  ℝ|x ≥ 3}
Resoluçãoa) f(x) = 17x – 5 
R6. Obtenha o domínio de cada função. 
b) g(x) = 
c) h(x) =
d) i(x) = 
f) k(x) = 
e) j(x) =
Exercício resolvido
d) O radicando de uma raiz de 
índice ímpar pode ser 
qualquer valor real. 
Portanto: 
D(i) = ℝ
Resoluçãoa) f(x) = 17x – 5 
R6. Obtenha o domínio de cada função. 
b) g(x) = 
c) h(x) =
d) i(x) = 
f) k(x) = 
e) j(x) =
Exercício resolvido
e) Como o denominador não pode 
ser nulo e o radicando de uma 
raiz de índice par não pode ser 
negativo, devemos ter:
–2x + 8 > 0  –2x > –8 
 2x < 8  x < 4
Portanto:
D(i) = {x ℝ|x < 4}
Resoluçãoa) f(x) = 17x – 5 
R6. Obtenha o domínio de cada função. 
b) g(x) = 
c) h(x) =
d) i(x) = 
f) k(x) = 
e) j(x) =
Exercício resolvido
f) Devemos ter: 
x – 4 ≥ 0 e 2x – 14 ≠ 0 
 x ≥ 4 e x ≠ 7
Portanto: 
D(k) = {x ℝ|x ≥ 4 e x ≠ 7}
a) f(x) = 17x – 5 
R6. Obtenha o domínio de cada função. 
b) g(x) = 
c) h(x) =
d) i(x) = 
f) k(x) = 
e) j(x) =
Resolução
a) g(x) = x + 9
Exercício resolvido
R7. Determinar os zeros das funções de ℝ em ℝ, definidas por:
a) Devemos determinar o valor de x para que g(x) = 0.
Resolução
b) h(x) = x² – 1
g(x) = 0 ⇒ x + 9 = 0 ⇒ x = –9
b) Devemos determinar o valor de x para que h(x) = 0.
h(x) = 0 ⇒ x² – 1 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ± 1
Gráficos de uma função
Representação gráfica
Esse gráfico apresenta a variação da taxa de desemprego relativa 
à população brasileira economicamente ativa entre 2006 e 2010.
 A(1, 3): tem abscissa 1, 
ordenada 3 e está no 
1o quadrante.
 B(–1, 2): tem abscissa –1, 
ordenada 2 e está no 
2o quadrante.
 C(–2, –2): tem abscissa –2, 
ordenada –2 e está no 
3o quadrante.
Nesse plano, observamos: 
Plano cartesiano
Observe que:
 A cada par ordenado corresponde um único ponto no 
plano cartesiano.
 A cada ponto do plano cartesiano corresponde um 
único par ordenado.
 Todo ponto P(x, y) do 1o quadrante tem x > 0 e y > 0;
 Todo ponto P(x, y) do 2o quadrante tem x < 0 e y > 0;
 Todo ponto P(x, y) do 3o quadrante tem x < 0 e y < 0;
 Todo ponto P(x, y) do 4o quadrante tem x > 0 e y < 0.
Plano cartesiano
Construção do gráfico de uma função
Marcamos os pontos no plano cartesiano.
Esses pontos do plano cartesiano compõem o gráfico 
da função f.
x y = f(x) = x (x, y)
0
1
2
y = f(0) = 0
y = f(1) = 1
y = f(2) = 2
(0, 0)
(1, 1)
(2, 2)
a)
Esse gráfico representa uma função.
Considerando D = ℝ e CD = ℝ, vejamos quais gráficos 
representam ou não uma função.
Exemplo
Reconhecimento dos gráficos 
que representam uma função
b)
Esse gráfico não representa uma função.
Exemplo
Reconhecimento dos gráficos 
que representam uma função
c)
Esse gráfico não representa uma função.
Exemplo
Reconhecimento dos gráficos 
que representam uma função
d)
Esse gráfico representa uma função.
Reconhecimento dos gráficos 
que representam uma função
Exemplo
Exercício resolvido
R8. Construir o gráfico da função f: A → B, definida pela lei 
f(x) = 2x – 3, em queA = {–1, 0, 1, 3} e 
B = {–5, –3, –1, 3, 7, 9}.
Para determinar os pontos (x, y) do gráfico, calculamos 
y = f(x) para cada x do domínio A, substituindo o valor 
de x na lei da função. Depois, marcamos os pontos no 
plano cartesiano.
Resolução
x y = f(x) = 2x – 3 (x, y)
Exercício resolvido
R8. 
Resolução 
Os pontos do plano cartesiano compõem o gráfico da função f.
‒1
0
1
3
y = f(‒1) = 2 ∙ (‒1) ‒ 3 = ‒5
y = f(0) = 2 ∙ 0 ‒ 3 = ‒3
y = f(1) = 2 ∙ 1 ‒ 3 = ‒1
y = f(3) = 2 ∙ 3 ‒ 3 = 3
(‒1, ‒5)
(0, ‒3)
(1, ‒1)
(3, 3)
Análise de gráficos de funções
Intervalos de crescimento e de decrescimento
Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 14 fev. 2011.
Intervalos de crescimento 
e de decrescimento
Essa reta representa uma função crescente, pois, 
quanto maior o valor de x, maior o valor de y.
Exemplo
Essa reta representa uma função decrescente, pois, 
quanto maior o valor de x, menor o valor de y.
Intervalos de crescimento 
e de decrescimento
Exemplo
Nesse caso, a função é crescente para x ≤ 0 e 
decrescente para x ≥ 0.
Intervalos de crescimento 
e de decrescimento
Exemplo
 Uma função f é crescente em um intervalo do 
domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e 
x2 desse intervalo, com x1 < x2, tem-se f(x1) < f(x2).
 Uma função f é decrescente em um intervalo do 
domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e 
x2 desse intervalo, com x1 < x2, tem-se f(x1) > f(x2).
Intervalos de crescimento 
e de decrescimento
 Im(f) = {y ∈ ℝly ≤ 3}
 f tem um máximo em (2, 3). 
Logo, ym = 3 é o valor máximo de f(x). 
Valor máximo e valor mínimo
Exemplo
 Im(g) = {y ∈ ℝly ≥ –4}
 g tem um mínimo em (5, –4). 
Logo, ym = –4 é o valor mínimo de g(x). 
Valor máximo e valor mínimo
Exemplo
Assim, podemos dizer que:
 f é positiva para x > –2;
 f é negativa para x < –2;
 f é nula para x = –2.
Estudo do sinal
R9. Indicar o(s) intervalo(s) do domínio no(s) qual(is) a função 
f: ℝ  ℝ, representada no gráfico, é crescente e o(s) 
intervalo(s) no(s) qual(is) ela é decrescente.
Exercício resolvido
Exercício resolvido
A função é:
 decrescente em ]–∞, –1] e [1, +∞[, pois, nesses 
intervalos, quanto maior o valor de x (domínio), menor o 
valor de y (imagem);
 crescente em [–1, 1], pois, nesse intervalo, quanto maior 
o valor de x, maior o valor de y.
R9. 
Resolução
R10. A função f: ℝ → ℝ está representada no gráfico abaixo.
Exercício resolvido
R10.
Exercício resolvido
a) Em que intervalos do domínio a função f é positiva? 
b) Em que intervalos do domínio a função f é negativa?
c) Para que valores de x a função f é nula?
d) Qual é o valor mínimo de f?
Resolução
a) A função f é positiva nos intervalos ]–∞, –1[ e ]1, +∞[.
b) A função f é negativa no intervalo ]–1, 1[.
c) A função f é nula em x = 1 e em x = –1.
d) O valor mínimo de f é –1.
Funções definidas 
por mais de uma sentença
Exemplo
Observe que o comportamento do gráfico 
varia conforme o intervalo do domínio.
f: ℝ → ℝ tal que:
Gráfico e determinação de valores
Observe que o comportamento do gráfico 
varia conforme o intervalo do domínio.
f: ℝ → ℝ tal que:
Funções definidas 
por mais de uma sentença
Exemplo
Gráfico e determinação de valores
a) g(1)
Exercício resolvido
R11. Considerando a função g(x) = , calcular:
a) Para x = 1, usamos a primeira sentença: 
g(1) = 1 + 4 = 5;
Resolução
b) g(3)
b) Para x = 3, usamos a segunda sentença: 
g(3) = 3 ∙ 3² = 3 ∙ 9 = 27.
Administração. Paulo administra um parque ecológico e 
precisou fazer um levantamento do número de visitantes 
que o parque recebe aos domingos. 
Função composta
A ideia de função composta
Para esse cálculo, ele teve de levar em consideração que 
cada ingresso dá direito à entrada de um veículo, 
independentemente do número de passageiros.
1o) Ele calculou que, aos domingos, entram no parque, em 
média, 35 veículos a cada hora:
v = v(h) = 35 ∙ h 
(v = número de veículos, h = número de horas)
Veja como Paulo fez. 
2o) Paulo percebeu que o número de pessoas e o número 
de veículos relacionavam-se de acordo com outra função:
p = p(v) = 4 ∙ v 
(v = número de veículos, p = número de pessoas)
Função composta
A ideia de função composta
3o) Paulo fez uma composição entre as duas funções e 
encontrou uma terceira, que relaciona diretamente o número 
de pessoas com o número de horas:
v = 35 ∙ hv 
p = 4 ∙
p = 4 ∙ (35 ∙ h) p = 140 ∙ h
Função composta
A ideia de função composta
A última função que Paulo encontrou é chamada de função 
composta de p com v, indicada por p∘v. Lemos “p composta 
com v”. Veja o diagrama:
Função composta
A ideia de função composta
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, chamamos de 
função composta de g com f a função g∘f: A → C, tal que 
(g∘f)(x) = g(f(x)), para x  A.
Definição de função composta
Lei da função composta
Vamos considerar as funções f e g, de ℝ em ℝ, tal que 
f(x) = 2x + 3 e g(x) = x2 + 4.
Para obter a lei (g∘f)(x), partimos da lei de g, substituindo x
por f(x):
(g∘f)(x) = g(f(x)) = (f(x))2 + 4
(g∘f)(x) = (f(x))2 + 4
Como f(x) é igual a 2x + 3, basta substituir:
(g∘f)(x) = (2x + 3)2 + 4
(g∘f)(x) = 4x2 + 12x + 9 + 4
(g∘f)(x) = 4x2 + 12x + 13
Portanto: (g∘f)(x) = 4x2 + 12x + 13
a) Calcular f(0), f(1), f(2), f(3), g(0), g(2), g(4) e g(6) e fazer 
um diagrama para representar essas funções.
Exercício resolvido
R12. Considerem-se os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, 
B = {0, 2, 4, 6} e C = {1, 3, 5, 7} e as funções 
f: A → B, tal que f(x) = 2x, e g: B → C, tal que 
g(x) = x + 1.
b) Determine (g∘f)(0), (g∘f)(1), (g∘f)(2) e (g∘f)(3).
Exercício resolvido
 f(0) = 2 ∙ 0 = 0
 f(1) = 2 ∙ 1 = 2
 f(2) = 2 ∙ 2 = 4
 f(3) = 2 ∙ 3 = 6
a)  g(0) = 0 + 1 = 1
 g(2) = 2 + 1 = 3
 g(4) = 4 + 1 = 5
 g(6) = 6 + 1 = 7
R12. 
Resolução 
 (g∘f)(0) = g(f(0)) = g(0) = 1
 (g∘f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 3  (g∘f)(3) = g(f(3)) = g(6) = 7
 (g∘f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 5
b)
Exercício resolvido
R12. 
Resolução 
Exercício resolvido
R13. Considerando as funções reais f(x) = 3x + 7 e 
g(x) = 4x – 1, determine a lei que define f∘g e a 
lei que define g∘f. 
 f∘g(x) = f(g(x)) = 3g(x) + 7 = 
= 3(4x – 1) + 7 = 12x + 4
 g∘f(x) = g(f(x)) = 4f(x) – 1 = 
= 4(3x + 7) – 1 = 12x + 27
Resolução
Exercício resolvido
R14. Se f(x) = x + 2 e g(x) = x² – 2, quais serão os 
valores de x para que f(g(x)) = g(f(x))?
f(g(x)) = g(x) + 2 = x² – 2 + 2 = x²
Resolução
g(f(x)) = (f(x))² – 2 = (x + 2)² – 2 =
= x² + 4x + 4 – 2 = 
= x² + 4x + 2x² = x² + 4x + 2 
 4x + 2 = 0 
 x =  x = 
Exercício resolvido
R15. Determine a função g(x) sabendo que f(x) = 5x e 
f(g(x)) = 10x + 1.
Sabemos que: f(x) = 5x
Então: f(g(x)) = 5g(x)
Sabemos também que f(g(x) = 10x + 1 
Assim: 5g(x) = 10x + 1  g(x) =
Resolução
Logo: g(x) = 2x +
Exercício resolvido
R16. Sejam as funções f e g, de ℝ em ℝ, tais que
g(x) = x + 3 e (f∘g)(x) = 2x2 – 1, determinar f(x).
Substituindo g(x) = x + 3 em f(g(x)) = 2x² – 1, temos:
Resolução
f(x + 3) = 2x² – 1.
Fazendo x + 3 = t, temos: x = t – 3
Então: f(t) = 2(t – 3)² – 1  f(t) = 2(t² – 6t + 9) – 1 
f(t) = 2t² – 12t + 17
Substituindo t por x, obtemos: f(x) = 2x² – 12x + 17
Uma função f: A → B é sobrejetora quando, para 
qualquer y ϵ B, sempre temos x ϵ A, tal que f(x) = y, 
ou seja, quando Im(f) = B.
Função sobrejetora
Exemplo
O diagrama ao lado representa a 
função f: A → B, definida por 
f(x) = x².
Uma função f: A → B é injetora se, para quaisquer x1 e 
x2 de A, x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2).
Função injetora
Exemplo
O diagrama ao lado representa a 
função f: A → B, definida por 
f(x) = 2x + 1.
Uma função f: A → B será bijetora se for sobrejetora 
e injetora.
Exemplo
O diagrama ao lado 
representa a função f: A → B, 
definida por h(x) = x – 3.
Função injetora
Quantidade de 
camisetas
Preço (R$)
Definição de função inversa
Comércio
1
15,00
2
30,00
3
45,00
4
60,00
5
75,00
6
90,00f: A → B g: B → A
Função que associa o preço ao 
número de camisetas.
D(f) = A
Im(f) = B
Função que associa o número 
de camisetas ao preço.
D(g) = B
Im(g) = A
Definição de função inversa
Dada uma função bijetora f: A → B, chamamos de 
função inversa de f a função f –1: B → A, tal que, para 
todo x ϵ A e y ϵ B, temos f(x) = y e f –1(y) = x.
Nessa situação, temos:
f: A → B;
f(x) = 15x;
g: B → A;
g(x) = .
Definição de função inversa
x
15
__
Lei da função inversa
1. Lembrando que f(x) é a imagem de x através da função f
e que y também representa essa imagem, escrevemos a 
lei que define f substituindo f(x) por y.
Na situação estudada, f(x) = 15x fica y = 15x
2. Invertemos as variáveis na lei que define f, ou seja, 
trocamos x por y e y por x.
No item anterior, y = 15x assume a forma x = 15y
3. Expressamos y em função de x, obtendo 
f –1(x): x = 15y  y = 
x
15
__
Portanto: f –1(x) = 
Observe alguns valores atribuídos às funções f e f –1 e a 
correspondência entre eles.
f(x) = 15x
f –1 (x) =
f(1) = 15
f –1(15) = 1
f(2) = 30
f –1(30) = 2
f(3) = 45
f –1(45) = 3
f(4) = 60
f –1(60) = 4
Lei da função inversa
x
15
__
x
15
__
f(x) = x + 1
f 1(x) = x – 1
Gráfico da função inversa
Exemplo
g(x) = 2x + 2
x
2
g 1(x) = – 1
Exercício resolvido
R17. Determinar a lei que define a função inversa da 
função bijetora f: ℝ  ℝ tal que f(x) = –5x + 1.
Partindo da lei que define f, temos:
Resolução
 f(x) = –5x + 1 é o mesmo que: y = –5x + 1
 trocando x por y e y por x, temos: x = –5y + 1
 expressando y em função de x, temos:
x = –5y + 1 5y = 1 – x y = 
Portanto: f 1 (x) = .
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, 
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
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Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
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Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres 
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Função afim
Função afim
Uma função f: ℝ ℝ é função afim quando existem 
os números reais a e b tais que f(x) = ax + b para todo 
x  ℝ. 
Exemplos
Os números reais a e b são os coeficientes da função afim.
 h(x) = –5, em que: a = 0 e b = –5
 g(x) = –7x, em que: a = –7 e b = 0
 f(x) = , em que: a = e b = –6
Uma função f: ℝ ℝ é função 
constante se é definida por 
f(x) = b, com b  ℝ, para todo 
x do domínio.
Casos particulares de função afim
A função afim pode ser:
constante
 n(x) = –5
 g(x) =
 f(x) = –13
 f(x) =
linear
 h(x) = –7x
 h(x) = 3x
 g(x) = –6x
 f(x) = x
Uma função f: ℝ ℝ é função 
linear quando existe número 
real a, com a ≠ 0, tal que
f(x) = ax, para todo x ℝ.
Valor de uma função afim
Dada a função afim g(x) = x – 1, vamos calcular g .
Nesse caso, temos x = ; então:
Logo: g
g
Valor de uma função afim
Se f(–1) = 7, então para x = –1 temos f(x) = 7, ou seja: 
7 = a ∙ (–1) + b (I)
Dada a função afim f(x) = ax + b e conhecendo f(–1) = 7 e 
f(4) = 2, vamos determinar a lei de formação dessa função.
Se f(4) = 2, então para x = 4 temos f(x) = 2, ou seja:
2 = a ∙ 4 + b (II)
Valor de uma função afim
Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema 
formado pelas equações (I) e (II):
Como –a + b = 7, temos: 
–a + 6 = 7  –a = 1  a = –1
Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = –x + 6
Exercício resolvido
R1. Dada a função afim f(x) = 10x + 35, calcular x para 
f(x) = 5.
Resolução
10x + 35 = 5 
10x = –30 
x = –3
Gráfico da função afim
Construção do gráfico
Como exemplo, vamos construir o gráfico da função 
f(x) = 3x – 2.
x f(x)
–1 –5
0
2
3
2 4
0 –2
1 1
Gráfico da função afim
Construção do gráfico
x f(x)
–1 –5
0
2
3
2 4
0 –2
1 1
Como exemplo, vamos construir o gráfico da função 
f(x) = 3x – 2.
 g(x) = –2x + 1
Dois pontos distintos são suficientes 
para determinar uma reta.
Exemplos de gráfico de função afim
x g(x)
–1 3
2 –3
 f(x) = 3
O gráfico de uma função constante é uma reta 
paralela ao eixo x, por isso podemos traçá-la 
conhecendo um único ponto.
Exemplos de gráfico de função afim
x f(x)
1 3
O gráfico de uma função linear é uma 
reta que passa pela origem (0,0).
Exemplos de gráfico de função afim
 h(x) = x
x h(x)
–1 –1
1 1
Determinação de uma função a partir 
do seu gráfico
Dado o gráfico de uma função afim, vamos determinar a lei de 
formação dessa função.
Exemplo
A(–2, 1) 
Portanto: f(x) = x + 3
2a + b = 1
a + b = 4
⇒ a = 1 e b = 3
B(1, 4) 
1 = a ∙ (–2) + bx = –2 e y = 1 
4 = a ∙ (1) + bx = 1 e y = 4 
Então:
Determinação de uma função a partir 
do seu gráfico
Exemplo
Exercício resolvido
R2. Determinar o ponto de intersecção das retas 
correspondentes aos gráficos das funções afins 
f(x) = 4x + 11 e g(x) = –x + 1.
Resolução
Para que as retas tenham um ponto em comum, deve existir 
um valor de x de modo que as imagens desse valor pelas 
duas funções coincidam, ou seja, f(x) = g(x).
4x + 11 = –x + 1 5x = –10 x = –2
Para x = –2, temos: f(–2) = g(–2) = 3
Logo, o ponto de intersecção é (–2, 3).
R2. Determinar o ponto de intersecção das retas 
correspondentes aos gráficos das funções afins 
f(x) = 4x + 11 e g(x) = –x + 1.
Resolução
Exercício resolvido
R3. Um arquiteto pretende construir duas casas com piscina,
uma ao lado da outra. Ele desenhou uma planta incluindo
as duas casas vizinhas e está em dúvida sobre a medida
de um dos lados de cada piscina, pois precisa construir as 
casas de modo que a área ocupada
pela casa 2 e pela piscina 2
seja maior que a área ocupada
pela casa 1 e pela piscina 1.
Nessas condições, qual deve 
ser o valor de x?
Exercício resolvido
R3.
Resolução
Vamos determinar as leis das funções que representam a área 
que cada casa e sua piscina ocupam em função da medida x.
Área ocupada pela casa 1 e pela piscina 1:
A1 = 
Área ocupada pela casa 2 e pela piscina 2:
A2 =
Exercício resolvido
Para A1 = A2, temos x = 11, que é 
abscissa do ponto de intersecção dos 
gráficos que representam A1 e A2. 
Pelo esboço dos gráficos, podemos 
perceber que A2 é maior que A1 
quando x > 11, pois, nesse intervalo, 
o gráfico de A2 está acima do gráfico 
de A1. Portanto, x tem de ser maior 
que 11 m.
Exercício resolvido
R3.
Resolução
Gráfico de uma função definida por 
mais de uma sentença
1o) Para x ≥ 2, o gráfico da função 
f segue a lei: y = 3 – x
Vamos construir o gráfico da função
2o) Para x < 2, o gráfico da função 
f segue a lei: y = x + 1
Gráfico de uma função definida por 
mais de uma sentença
Vamos construir o gráfico da função
D(f) = ℝ e Im(f) = {y  ℝ 𝖨 y < 3}
3o) Para x ≥ 2, o gráfico da função 
f coincide com a reta y = 3 – x, 
e para x < 2 coincide com a 
reta y = x + 1.
Gráfico de uma função definida por 
mais de uma sentença
Vamos construir o gráfico da função
Exercício resolvido
R4. Física. O movimento uniforme é caracterizadopelo fato 
de a velocidade do móvel ser constante. Por esse motivo, 
o espaço percorrido em intervalos iguais é sempre o 
mesmo. Assim, a função horária desse movimento é dada 
pela lei s(t) = s0 + v ∙ t, em que s é a posição (em metro) 
do móvel no instante t (em segundo), s0, o espaço inicial 
quando t = 0, e v, a velocidade constante (em m/s). 
Exercício resolvido
R4. Resolver os itens a seguir de acordo com o gráfico. 
a) Qual é a função horária do 
movimento correspondente 
ao gráfico?
b) Quais são o domínio e o 
conjunto imagem dessa função?
c) Qual será a posição do móvel 
após 10 segundos?
d) Após quanto tempo o móvel 
estará na posição 120 metros?
Exercício resolvido
a) Observando o gráfico, percebemos que 
s0 = 20; então:
s(t) = 20 + vt
Como s(2) = 30, então: 20 + 2v = 30  v = 5
Portanto, a função horária do movimento é: 
s(t) = 20 + 5t 
b) Pelo gráfico, podemos observar que 
D(s) = e Im(s) = {s ℝ 𝖨 s ≥ 20}. 
R4.
Resolução
Exercício resolvido
c) Para t = 10, temos: s(10) = 20 + 5 ∙ 10 = 70
Portanto, após 10 segundos, o móvel estará na 
posição 70 metros.
d) Para s(t) = 120, temos: 20 + 5 = 120  t = 20 
Portanto, após 20 segundos, o móvel estará na 
posição 120 metros.
R4.
Resolução
Análise do gráfico da função afim
f(x) = 0  ax + b = 0  x = –
Zero da função afim
Intersecção da reta...
... com o eixo x: zero da função... com o eixo y: coeficiente b
Análise do gráfico da função afim
Zero da função afim
Exemplo
Vamos determinar o zero da função f(x) = x – e o ponto 
onde a reta intercepta o eixo x.
x – = 0  x = (zero da função)
Crescimento e decrescimento de 
uma função afim
 f(x) = 2x – 1
Crescimento e decrescimento de 
uma função afim
 f(x) = 2x – 1
f(x) é crescente
Quando aumentamos o valor x, 
os valores correspondentes de 
f(x) também aumentam.
Crescimento e decrescimento de 
uma função afim
 f(x) = 2x – 1
 g(x) = –3x + 1
Crescimento e decrescimento de 
uma função afim
 g(x) = –3x + 1
Crescimento e decrescimento de 
uma função afim
g(x) é decrescente
Quando aumentamos o valor x, 
os valores correspondentes de 
g(x) diminuem.
 g(x) = –3x + 1
Crescimento e decrescimento de 
uma função afim
Função crescente (a > 0)
x2 > x1  ax2 + b > ax1 + b,
ou seja, f(x2) > f(x1)
Crescimento e decrescimento de 
uma função afim
Função decrescente (a < 0)
x2 > x1  ax2 + b < ax1 + b,
ou seja, f(x2) < f(x1)
Crescimento e decrescimento de 
uma função afim
Utilizando o gráfico para o estudo do 
sinal da função afim
Exemplo
f(x) = –3x + 6
 para x < 2 temos f(x) > 0, ou seja, a 
função é positiva para x < 2;
 para x = 2 temos f(x) = 0, ou seja, a 
função é nula para x = 2;
 para x > 2 temos f(x) < 0, ou seja, a 
função é negativa para x > 2.
Função crescente (a > 0)
f(x) = 0 para x = 
f(x) > 0 para x > 
f(x) < 0 para x <
Utilizando o gráfico para o estudo do 
sinal da função afim
Função decrescente (a < 0)
f(x) = 0 para x = 
f(x) > 0 para x < 
f(x) < 0 para x >
Utilizando o gráfico para o estudo do 
sinal da função afim
Exercício resolvido
R5. Determinar o valor de m para que o gráfico da função 
j(x) = (–3 + 6m)x + 5 intercepte o eixo das abscissas no 
ponto (1, 0).
Resolução
Como o ponto (1, 0) pertence ao gráfico da função j, então 
j(1) = 0.
Assim: 0 = (–3 + 6m) ∙ 1 + 5 ⇒ 6m = –2 ⇒ m = –
Logo, para m = – , o gráfico da função interceptará o eixo 
das abscissas no ponto (1, 0).
Exercício resolvido
R6. Dada a função afim f(x) = (–3 + m)x + 7, discutir para 
quais valores de m a função é crescente, decrescente ou 
constante.
Resolução
Observe que o coeficiente de x nessa função é (–3 + m).
A função é crescente se: 
–3 + m > 0 ⇒ m > 3
A função é decrescente se: 
–3 + m < 0 ⇒ m < 3
A função é constante se: 
–3 + m = 0 ⇒ m = 3
Para esses casos temos 
uma função do tipo 
ax + b, com a ≠ 0.
1
4
2
4
3
Inequações do 1o grau
Toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade 
em que o primeiro membro é um polinômio do tipo ax + b
(com a ≠ 0) e o segundo membro é zero é chamada de 
inequação do 1o grau na incógnita x.
Exemplos
 4x – 3 ≥ 0
 – x + 1 ≤ 0
 8x > 0
 –5x – 0,2 < 0
Princípios de equivalência das 
desigualdades
Princípio aditivo
 –4 > –7 ⇒ –4 + 12 > –7 + 12 ⇒ 8 > 5
sinal mantido
 –2 < 3 ⇒ –2 + (–6) < 3 + (–6) ⇒ –8 < –3
sinal mantido
Princípios de equivalência das 
desigualdades
Princípio multiplicativo
 –12 < 8 ⇒ –12 ∙ 2 < 8 ∙ 2 ⇒ –24 < 16 
sinal mantido
 21 > 15 ⇒ 21 ∙ > 15 ∙ ⇒ 7 > 5
sinal mantido
Princípios de equivalência das 
desigualdades
 14 > 1 ⇒ 14 ∙ (–3) < 1 ∙ (–3) ⇒ –42 < –3
sinal invertido
sinal invertido
 –32 < 64 ⇒ –32 ∙ > 64 ∙ ⇒ 16 > –32
Princípio multiplicativo
Resolução de inequações
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, a inequação
3(x + 2) ≤ 2(2x + 4).
3(x + 2) ≤ 2(2x + 4)
3x + 6 ≤ 4x + 8
3x – 4x + 6 – 8 ≤ 0
–x – 2 ≤ 0
x + 2 ≥ 0
x ≥ –2
Logo, o conjunto solução da inequação é: S = {x ℝ 𝖨 x ≥ –2}
Resolução de inequações
f(x) ≥ 0 ⇒ x ≥ –2
O conjunto solução da inequação é: S = {x ℝ 𝖨 x ≥ –2}
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, a inequação 
3(x + 2) ≤ 2(2x + 4). 
3(x + 2) ≤ 2(2x + 4) ⇒ x + 2 ≥ 0 
f(x)
f(x) = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = –2 (zero da função f)
Exercício resolvido
R7. Determinar o conjunto solução da inequação 
.a
Resolução
4x + 16 – 9x – 6 0
–5x + 10 ≥ 0 ⇒ –5x ≥ –10 ⇒ x ≤ 2
Assim, o conjunto solução da inequação é: S = {x ℝ 𝖨 x ≤ 2}
Inequação-produto
 f(x) ∙ g(x) > 0  f(x) ∙ g(x) ≥ 0
 f(x) ∙ g(x) < 0  f(x) ∙ g(x) ≤ 0
Exemplos

 (0,45x – 7) ∙ (8 – 2x) < 0
 (89x + 1) ∙ ≥ 0 
 (3x + 4) ∙ 
Inequação-quociente



Exemplos




Resolução de inequação-produto
Para f(x) ∙ g(x) < 0 ⇒
(x + 1) ∙ (3x – 2) < 0, em ℝ.
f(x) g(x)
Vamos resolver
1
4
2
4
3
Então, o conjunto solução da inequação
(x + 1) ∙ (3x – 2) < 0 é:
Quadro de sinais
Resolução de inequação-produto
O denominador deve ser diferente de zero: 2  x  0  x  2
Consideramos: f(x) = x + 7 e g(x) = 2 – x
Para que o quociente seja negativo, devemos ter: 
f(x) > 0 e g(x) < 0 
ou 
f(x) < 0 e g(x) > 0
Exercício resolvido
Resolução
R8. Resolver, em ℝ, a inequação quociente .
Zero de g: 2 – x = 0 ⇒ x = 2Zero de f: x + 7 = 0 ⇒ x = –7
Exercício resolvido
R8. Resolver, em ℝ, a inequação quociente .
Resolução
Exercício resolvido
Logo: S = {x  ℝ 𝖨 x < 7 ou x > 2}
R8. Resolver, em ℝ, a inequação quociente .
Resolução
Neste caso, não devemos cometer o erro de estudar os sinais 
das funções y = 2  5x e y = x + 1. 
O quadro de sinais só pode ser usado quando a 
inequação-quociente tem o segundo membro 
igual a zero. 
Então fazemos:
R9. Resolver a inequação , em ℝ.
0
Resolução
Exercício resolvido
Consideramos f(x) = –4x + 3 e g(x) = x + 1. Então, para que
o quociente seja negativo ou nulo, devemos ter:
f(x) ≥ 0 e g(x) < 0 ou f(x) ≤ 0 e g(x) > 0
Resolução
R9. Resolver a inequação , em ℝ.
Exercício resolvido
]–∞, –1[ 
Logo: S = 
R9. Resolver a inequação , em ℝ.
Resolução
Exercício resolvido
Inequações simultâneas
Algumas inequações são apresentadas por duas desigualdades 
ou por um sistema de inequações. Elas são chamadas 
inequações simultâneas.
Exemplos
 
Inequações simultâneas
(I) 3 + 2 ≤ 2x ⇒ 5 ≤ 2x ⇒ x ≥ . SI = 
S = ou S = 
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, as inequações 
simultâneas 3 ≤ 2x – 2 < x + 5.
Devemos encontrar a solução das inequações (I) e (II):
(II) 2x – x < 5 + 2 ⇒ x < 7. SII = 
Vamos resolver cada uma das inequações do sistema:
Exercício resolvido
R10. Resolver, em ℝ, o sistema de inequações:
Resolução
(I) x – (3 + 2x) < 4  x – 3 – 2x < 4  –x < 7  x > –7
(II) 7x – x2 ≥ –x(x – 4) – 9  7x – x2 ≥ –x2 + 4x– 9 
3x ≥ –9  x ≥ –3
Portanto: SII =
Portanto: SI = 
Agora faremos a intersecção das soluções de cada 
uma das inequações:
Exercício resolvido
R10.
Resolução
Logo, o conjunto solução do sistema é:
S = ou S = [–3, ∞]
Identificação do domínio de uma função 
por meio de inequações
Observe como determinamos o domínio da função 
dada pela lei y = .
Então: D = 
y =
radicando de índice par não pode ser nulo
0  x
Como o denominador de expressões fracionárias não pode 
ser zero, devemos ter:
Exercício resolvido
R11. Encontre o domínio da função y = . 
Resolução
0
f(x)
g(x)
e x – 7 ≠ 0
Inicialmente, vamos resolver a inequação-quociente.
Exercício resolvido
R11. Encontre o domínio da função y = . 
Resolução
Exercício resolvido
Logo: D =
R11. Encontre o domínio da função y = . 
Resolução
ANOTAÇÕES EM AULA
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