Modelagem de Fenômenos Aleatórios

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04/03/2013 
1 
Alexandre Navarro 
“Discutir como um fenômeno aleatório observado no 
sistema real pode ser representado no modelo de 
simulação”. 
2 
Tempo de atendimento: variável aleatória 
Previsão do comportamento probabilístico a 
partir da observação 
04/03/2013 
2 
Ou seja: 
“Obter modelos probabilísticos que 
permitam inferir as propriedades de 
um dado fenômeno aleatório” 
 
3 
Coleta: processo de amostragem 
 Tratamento: descrição dos dados levantados 
 Inferência: testes de aderência para inferir qual o 
comportamento da população a partir da amostra 
o Resultado: modelo probabilístico (distribuição de 
probabilidades) 
4 
04/03/2013 
3 
Escolha adequada das variáveis de entrada do 
sistema 
O tamanho da amostra deve estar entre 150 e 200 
observações. 
oAmostras com menos de 150 observações podem 
comprometer a identificação do melhor modelo 
probabilístico, e amostras com mais de 200 observações não 
trazem ganhos significativos ao estudo; 
5 
6 
Coletar e anotar as observações na mesma ordem em 
que o fenômeno está ocorrendo, para permitir a análise 
de correlação ; 
Se existe alguma suspeita de que os dados mudam em 
função do horário ou do dia da coleta, a coleta deve ser 
refeita para outros horários e dias. 
oNa modelagem de dados, vale a regra: toda suspeita 
deve ser comprovada ou descartada estatisticamente. 
04/03/2013 
4 
Um gerente de supermercado está preocupado 
com as filas formadas nos caixas de pagamento 
durante um dos turnos de operação. Quais seriam 
as variáveis de estudo para coleta de dados? (S - 
Sim) ou (N - Não). 
7 
1.( ) O número de clientes que entram no supermercado 
2.( ) Os tempos de atendimento nos caixas 
3.( ) O número de clientes em fila 
4.( ) O tempo de permanência dos clientes no supermercado 
5.( ) Os tempos entre chegadas sucessivas de clientes nos caixas de 
pagamento 
 
 
N 
S 
N 
N 
S 
Análise de Outlier: Pontos fora da curva 
Análise de correlação: Tendência das 
observações; 
Testes de Aderência: Identificar a 
distribuição de probabilidade 
8 
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5 
11 5 2 0 9 9 1 5 5 1
1 3 3 3 7 4 12 8 7 5
5 2 6 1 11 1 2 4 4 2
2 1 3 9 0 10 3 3 4 5
1 5 18 4 22 8 3 0 4 4
8 9 2 3 12 1 3 1 11 9
7 5 14 7 7 28 1 3 3 4
2 11 13 2 0 1 6 12 8 12
15 0 6 7 19 1 1 9 12 4
1 5 3 17 10 15 43 2 9 11
6 1 13 13 19 10 9 20 17 24
19 2 27 5 20 5 10 8 728 8
2 3 1 1 4 3 6 13 12 12
10 9 1 1 3 9 9 4 6 3
0 3 6 3 27 3 18 4 4 7
6 0 2 2 8 4 5 1 3 1
4 18 1 0 16 20 2 2 9 3
2 12 28 0 7 3 18 12 2 1
3 2 8 3 19 12 5 4 0 3
6 0 5 0 3 7 0 8 5 8
9 
Intervalo entre chegadas (seg) de pessoas nos caixas do supermercado (200 medidas). 
Medidas de posi ão 
M dia 10,44 
Mediana 5 
Moda 3 
M nimo 0 
M ximo 728 
Medidas de dispersão 
Amplitude 728 
Desvio padrão 51,42 
Variância da amostra 2.643,81 
Coeficiente de Varia ão 493% 
Coeficiente Assimetria 13,80 
10 
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6 
11 5 2 0 9 9 1 5 5 1
1 3 3 3 7 4 12 8 7 5
5 2 6 1 11 1 2 4 4 2
2 1 3 9 0 10 3 3 4 5
1 5 18 4 22 8 3 0 4 4
8 9 2 3 12 1 3 1 11 9
7 5 14 7 7 28 1 3 3 4
2 11 13 2 0 1 6 12 8 12
15 0 6 7 19 1 1 9 12 4
1 5 3 17 10 15 43 2 9 11
6 1 13 13 19 10 9 20 17 24
19 2 27 5 20 5 10 8 728 8
2 3 1 1 4 3 6 13 12 12
10 9 1 1 3 9 9 4 6 3
0 3 6 3 27 3 18 4 4 7
6 0 2 2 8 4 5 1 3 1
4 18 1 0 16 20 2 2 9 3
2 12 28 0 7 3 18 12 2 1
3 2 8 3 19 12 5 4 0 3
6 0 5 0 3 7 0 8 5 8
11 
Intervalo entre chegadas (seg) de pessoas nos caixas do supermercado (200 medidas). 
Dados 
Com o outlier Sem o outlier 
M dia 10,44 6,83 
Mediana 5 5 
Desvio Padrão 
Variância da amostra 
51,41 
2.643,81 
6,60 
43,60 
12 
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7 
Análise de Box-Plot 
13 
0 
5 
10 
15 
20 
A B C 
Séries 
Valores 
mediana 
outlier 
Q 1 
Q 3 
Q3+1,5(Q3-Q1) 
Q1-1,5(Q3-Q1) 
 outlier
 



14 
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8 
10
12
14
16
18
20
10 20 30 40 50 60
Observação
 k
Observação
 k+1
Diagrama de dispersão de um 
exemplo hipotético em que 
 entre os 
dados que compõem a amostra. 
15 
Resposta 
Obs. 
  
  
 



])(.].[)(.[
...
2222
,
iiii
iiii
YX
YYnXXn
YXYXn
r
0
10
20
30
40
50
0 10 20 30 40 50
Observação
 k
Observação
 k +1
Diagrama de dispersão de um 
exemplo hipotético em que 
 entre os dados 
que compõem a amostra. 
16 
Resposta 
Obs. 
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9 
0
20
40
60
80
100
120
4.8 14.3 23.9 33.4 43
Bloco
Freqüência
17 
)(log3,31 10 nK 
nK 
O é utilizado para identificar qual a distribuição a ser 
ajustada aos dados coletados 
K
Amplitude
h 
 
18 
(n>30) 
(30<n<250) 
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10 
 o modelo para representar a distribuição 
da população. 
 o modelo para representar a 
distribuição da população.
Se a um dado nível de significância  rejeitarmos H
0
, o modelo 
testado para representar a distribuição da 
população. 
O nível de significância  equivale à probabilidade de rejeitarmos 
a hipótese nula H
0
, dado que ela está correta. Testes usuais: 
oQui - quadrado 
oKolmogorov-Sminov 
19 
0 4.8 0.5022 100 96 0.16
4.8 9.6 0.2500 50 55 0.55
9.6 14.3 0.1244 25 25 0.00
14.3 19.1 0.0620 12 13 0.04
19.1 1.0E+10 0.0614 12 10 0.40
5%
3 
a hipótese de que os dados 
aderem ao modelo 
exponencial
 
20 
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Critério Indicação 
p-value<0,01 
Evidência forte contra a hip tese de 
aderência 
0,01p-value<0,05 
Evidência moderada contra a hip tese de 
aderência 
0,05p-value<0,10 
Evidência potencial contra a hip tese de 
aderência 
0,10p-value 
Evidência fraca ou inexistente contra a 
hip tese de aderência 
Indica a probabilidade do valor encontrado ser ao acaso. 
Parâmetro usual nos softwares de estatística. 
Para o teste do qui-quadrado no Excel, utilizar: 
c
21 
 
22 
𝐷𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 = 
1,07
𝑛
 
1,36
𝑛
 
1,63
𝑛
 
α=0,10 α=0,05 α=0,01 
• 
• 
• 
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12 
Utilização de séries históricas 
oEx.: simulação de um terminal portuário (o 
tempo para coleta de dados seria muito 
grande, tornando-se muitas vezes inviável) 
23 
Modelagem quando não se dispõe de 
dados reais 
oSistemas que ainda não existem 
oCusto de coleta de dados alto ou inviável 
tecnicamente 
oCliente não fornece dados 
24 
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Distribui ão Parâmetros Caracter sticas Aplicabilidade 
Exponencial M dia 
•Variância alta 
•Cauda para direita 
•Grande variabilidade dos valores 
•Independência entre um valor e outro 
•Muitos valores baixos e poucos valores altos 
•Utilizada para representar o tempo entre chegadas 
sucessivas e o tempo entre falhas sucessivas 
Triangular 
Menor valor, 
moda e 
maior valor 
•Sim trica ou não 
•Quando se conhece ou se tem um bom chute sobre a 
moda (valor que mais ocorre), o menor valor e o maior 
valor que podem ocorrer 
Normal 
M dia e 
desvio-
padrão 
•Sim trica 
•Forma de sino 
•Variabilidade 
controlada pelo desvio-
padrão 
•Quando a probabilidade de ocorrência de valores acima 
da m dia a mesma que valores abaixo da m dia 
•Quando o tempo de um processo pode ser considerado 
a soma de diversos tempos de sub-processos 
•Processos manuais 
Uniforme 
Maior valor e 
menor valor 
•Todos os valores no 
intervalo são 
igualmente prov veis 
de ocorrer 
•Quando não se tem nenhuma informa ão sobre o 
processo ou apenas os valores limites (simula ão do pior 
caso) 
Discreta 
Valores e 
probabilidade 
de 
ocorrência 
destes 
valores 
•Apenas assume os 
valores fornecidos pelo 
analista 
•Utilizada para a escolha de parâmetros das entidades 
(por exemplo: em uma certa loja, 30% dos clientes 
realizam suas compras no balcão e 70% nas prateleiras) 
•Quando se conhecem apenas valores intermedi rios 
da distribui ão ou a porcentagem de ocorrência de 
alguns valores discretos 25 
x 
f ( x ) 
 pnBINOM ,
  npxE 
  )1( pnpxV 
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14 
x
f (x )
 POIS
  xE
0 0,5 1 
x 
f ( x ) 
α =2 
β =1 α =3 
β =2 
α =4 
β =4 
α =2β =3 
α =1,5 β =5 α =6 β =2 
α =2 
β =1 
 ,BETA
 



xE  
   12 



xV
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15 
x 
f ( x ) 
λ =0,5 k= 3 
λ =0,5 
λ =0,2 k= 10 
 kERLA ,
 

k
xE 
 
2
k
xV 
x 
f ( x ) 
α =0, 
α =1 
α =2 
 ,GAMA
  xE
  2xV
04/03/2013 
16 
x 
f ( x ) 
µ =1 σ =1 
µ =1 σ =0,5 
 2,LOGN
  2
2

 exE
   1222    eexV
x 
f ( x ) 
α =0,5 β =1 
α =1 β =1 α =2 β =1 
α =3 β =1 
α =3 β =2 
 ,WEIB   







 1
xE
 



























22 112
2


xV
  

1
0
1 dxex x