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MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICAESTÁTICA Nona EdiçãoNona Edição Ferdinand P. BeerFerdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.E. Russell Johnston, Jr. Notas de Aula:Notas de Aula: J. Walt OlerJ. Walt Oler Texas Tech UniversityTexas Tech University CAPÍTULO © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1 Introdução © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Conteúdo 1 - 2 O Que é Mecânica? Conceitos Fundamentais Princípios Fundamentais Sistemas de Unidades Método de Resolução de Problemas Precisão Numérica © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o 1 - 3 • Mecânica é a ciência que descreve e prevê as condições de repouso ou de movimento dos corpos sob a ação de forças. • Divisões da Mecânica: - Corpos Rígidos: - Estática; - Dinâmica. - Corpos Defomáveis: - Fluidos. • A Mecânica é uma ciência aplicada – não é uma ciência abstrata nem pura, e, além disso, não apresenta o empirismo encontrado em algumas ciências da engenharia. • A Mecânica constitui a base de muitas ciências da engenharia sendo um pré-requisito indispensável para o seu estudo. O que é Mecânica? © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o 1 - 4 • Espaço – associado à noção de posição de um ponto P definida em termos de três coordenadas medidas, a partir de um ponto de referência ou origem. • Tempo – a definição de um evento requer especificações a respeito do instante de tempo e da posição em que o mesmo ocorreu. • Massa – é usada para caracterizar e comparar os corpos, por exemplo, quanto à sua resposta à atração gravitacional da Terra ou quanto à sua resistência a variações de movimento de translação. • Força – representa a ação de um corpo sobre outro. Uma força é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, e sua direção, ou seja, uma força é representada por um vetor. Na Mecânica Newtoniana, espaço, tempo e massa são conceitos absolutos, independentes entre si. O conceito de força, entretanto, não é independente dos outros três. A força que atua em um corpo está relacionada à massa do corpo e à variação de sua velocidade com o tempo. Conceitos Fundamentais © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Princípios Fundamentais 1 - 5 • Lei do Paralelogramo • Princípio da Transmissibilidade • Primeira Lei de Newton: Se a força resultante em uma partícula for zero, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá a velocidade constante. • Terceira Lei de Newton: As forças de ação e reação entre duas partículas têm a mesma intensidade, a mesma linha de ação e sentidos opostos. • Segunda Lei de Newton: Uma partícula terá uma aceleração proporcional a uma força resultante, não nula, nela aplicada amF • Lei de Newton da Gravitação: Duas partículas são mutuamente atraídas com forças iguais e opostas, 22 , R GM gmgW r Mm GF © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Sistemas de Unidades 1 - 6 • Unidades Cinéticas: comprimento, tempo, massa e força. • Três das unidades cinéticas, deno- minadas unidades básicas, podem ser definidas arbitrariamente. A quarta unidade, denominada unidade derivada, deve ter uma definição compatível com a Segunda Lei de Newton, amF • Sistema Internacional de Unidades (SI): As unidades básicas são as de comprimento, massa e tempo que são, respectivamente, o metro (m), o segundo (s), e o quilograma (kg). A unidade derivada é a de força, 2s m 1kg1N1 maF • Unidades Usuais nos E.U.A.: As unidades básicas são as de comprimento, tempo e força que são, respectivamente o pé (ft), o segundo (s), e a libra (lb). A unidade derivada é a de massa, sft1 lb1 slug1 a F m © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Método de Resolução de Problemas 1 - 7 • Enunciado do Problema : Inclui os dados fornecidos, a especificação do que deve ser determinado e uma figura mostrando todas as grandezas envolvidas. • Diagramas de Corpo Livre: Deve-se criar diagramas separados para todos os corpos envolvidos, indicando claramente todas as forças atuantes em cada um. • Princípios Fundamentais: Os seis princípios fundamentais são usados para expressar as condições de repouso ou de movimento de cada corpo. As regras da álgebra são aplicadas para resolver as equações das variáveis desconhecidas. • Verificação da Solução: - Deve-se testar para erros de raciocínio verificando se as unidades dos resultados calculados estão corretas, - testar para erros de cálculo substituindo os valores obtidos em uma equação ainda não usada verificando se a equação é satisfeita, - sempre aplicar a experiência e a intuição física para avaliar se os resultados parecem “razoáveis”. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Precisão Numérica 1 - 8 • A precisão da solução depende: 1) da precisão dos dados, e 2) da precisão dos cálculos efetuados. A solução não pode ser mais precisa que o menos preciso desses dois ítens. • Como regra geral para problemas de engenharia, os dados raramente são conhecidos com precisão maior que 0,2%. Portanto, uma regra prática é utilizar 4 algarismos para representar números que começam com 1 e utilizar 3 algarismos em todos os outros casos, por exemplo, 40,0 N e 15,00 N. • O uso de calculadoras de bolso e de computadores geralmente faz com que a precisão dos cálculos seja muito maior do que a precisão dos dados. Portanto, a precisão da solução é usualmente limitada pela precisão dos dados. MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICAESTÁTICA Nona EdiçãoNona Edição Ferdinand P. BeerFerdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.E. Russell Johnston, Jr. Notas de Aula:Notas de Aula: J. Walt OlerJ. Walt Oler Texas Tech UniversityTexas Tech University CAPÍTULO © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 Estática das Partículas © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Conteúdo 2 - 2 Introdução Resultante de Duas Forças Vetores Adição de Vetores Resultante de Várias Forças Concorrentes Problema Resolvido 2.1 Problema Resolvido 2.2 Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários Adição de Forças pela Soma dos Componentes Problema Resolvido 2.3 Equilíbrio de uma Partícula Diagramas de Corpo Livre Problema Resolvido 2.4 Problema Resolvido 2.6 Componentes Retangulares no Espaço Problema Resolvido 2.7 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Introdução 2 - 3 • O objetivo deste capítulo é investigar o efeito de forças que atuam sobre partículas: - substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma única força equivalente ou resultante, - analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula que está em estado de equilíbrio. • O foco em partículas não implicauma restrição a pequenos corpos. Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de aplicação. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Resultante de Duas Forças 2 - 4 • Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu sentido. • Evidências experimentais mostram que o efeito conjunto de duas forças pode ser representado por uma única força resultante. • A resultante de duas forças é equivalente à diagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes. • Força é uma grandeza vetorial. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Vetores 2 - 5 • Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações. • Classificações de vetores: - Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos e não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema. - Vetores livres podem se mover livremente no espaço sem que se alterem as condições do Problema. - Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema. • Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido. • O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua mesma intensidade e sentido oposto. • Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Adição de Vetores 2 - 6 • Regra do trapézio para soma de vetores • Regra do triângulo para soma de vetores B B C C QPR BPQQPR cos2222 • Lei dos cossenos, • Lei dos senos, P senC R senB Q senA • A adição de vetores é comutativa, PQQP • Subtração de vetores © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Adição de Vetores 2 - 7 • Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo. • Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores. • A adição de vetores é associativa, SQPSQPSQP • Multiplicação de um vetor por um escalar. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Resultante de Várias Forças Concorrentes 2 - 8 • Forças concorrentes: conjunto de forças que passam por um mesmo ponto. Um conjunto de forças concorrentes aplicadas em uma partícula pode ser substituído por uma única força resultante que é o vetor equivalente à soma das forças aplicadas. • Componentes do vetor força: dois ou mais vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que um único vetor. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.1 2 - 9 As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante. SOLUÇÃO: • Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmas direções de P e Q desenhados em escala. Avaliamos graficamente a resultante que é equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo. • Solução trigonométrica – usamos a regra do triângulo para soma de vetores em conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultante de P e Q. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.1 2 - 10 • Solução gráfica - Um paralelogramo com lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (diagonal do paralelogramo) são medidos, 35N 98 R • Solução gráfica – Um triângulo é desenhado com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (terceiro lado do triângulo) são medidos, 35N 98 R © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.1 2 - 11 • Solução trigonométrica – Aplicamos a regra do triângulo. Pela lei dos cossenos, 155cosN60N402N60N40 cos2 22 222 BPQQPR A20α 15,04A 97,73N 60N 155sen R Q Bsen Asen R Bsen Q Asen N73,97R Pela lei dos senos, 04,35 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.2 2 - 12 a) A força de tração em cada um dos cabos para = 45o, b) O valor de para o qual a tração no cabo 2 é mínima. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é 22.250 N dirigida ao longo do eixo da barcaça, determine: SOLUÇÃO: • Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eixo da barcaça com comprimento proporcional a 22.250 N. • O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando-se a Regra do Triân- gulo e observando o efeito de variações em . • Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da resultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para encontrar as trações nos cabos. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.2 2 - 13 • Solução gráfica – Aplicamos a regra do paralelogramo conhecendo a direção e a intensidade da resultante e as direções dos lados N500.11N200.16 21 TT • Solução trigonométrica - Regra do triângulo e Lei dos Senos 105 250.22 3045 21 sen N sen T sen T N 517.11N288.16 21 TT © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.2 2 - 14 • O ângulo para tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando a regra do triângulo e observando o efeito de variações em . • A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T1 e T 2 são perpendiculares 30sen N) (22.250T2 N11500T2 30 cos N 22.250T1 N16200T1 3090 60 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários 2 - 15 • Os componentes de um vetor podem ser expressos como produtos dos vetores unitários pelas intensidades dos componentes do vetor. Fx e Fy são chamados de componentes escalares de . jFiFF yx F • Pode-se decompor uma força em dois componentes perpendiculares de forma que o paralelogramo resultante é umretângulo. são chamados de componentes retangulares e yx FFF yx F e F • Definimos então os vetores unitários perpendiculares que são paralelos aos eixos x e y.j e i © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Adição de Forças pela Soma dos Componentes 2 - 16 SQPR • Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes, jSQPiSQP jSiSjQiQjPiPjRiR yyyxxx yxyxyxyx • Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares x xxxx F SQPR • Os componentes escalares da resultante são iguais à soma dos componentes escalares correspondentes das forças dadas. y yyyy F SQPR x y yx R R RRR arctg22 • Para encontrar a intensidade e a direção da resultante, © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.3 2 - 17 Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso. SOLUÇÃO: • Decompomos cada força em componentes retangulares. • Calculamos a intensidade e a direção da resultante. • Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.3 2 - 18 SOLUÇÃO: • Decompomos cada força em componentes retangulares. 25.996.6100 110.00110 75.227.480 75.0129.9150 (N) y, Comp.(N) x Comp.(N) Intens.Força 4 3 2 1 F F F F • Calculamos a intensidade e a direção da resultante. 22 3,141,199 R N 199,6R N1,199 N3,14 tg 1,4 • Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. 1.199xR 3.14yR © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Equilíbrio de uma Partícula 2 - 19 • Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio. • Para uma partícula em equilí- brio sob a ação de duas forças, ambas as forças devem ter: - mesma intensidade - mesma linha de ação - sentidos opostos • Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças: - a solução gráfica gera um polígono fechado - solução algébrica: 00 0 yx FF FR • Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Diagramas de Corpo Livre 2 - 20 Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema. Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.4 2 - 21 Numa operação de descarregamento de um navio, um automóvel de 15.750 N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda? SOLUÇÃO: • Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula na junção da corda e do cabo. • Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula. • Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.4 2 - 22 SOLUÇÃO: • Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula A. • Aplicamos as condições de equilíbrio. • Calculamos as intensidades das forças desconhecidas. 58sen N 15.750 2sen 120sen ACAB TT N16.084ABT N648ACT © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.6 2 - 23 Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE. Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo AC. SOLUÇÃO: • Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. • Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero. • Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.6 2 - 24 SOLUÇÃO: • Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. 26,60 75,1 m 1,2 m 2,1 tg 56,20 375,0 m 1,2 m 0,45 tg • Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero. 0 DAEACAB FTTTR © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.6 2 - 25 • Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos. jN 270 T0,9363N 89,29 iFT0,3512N 156,29 0R iFF jN 270T jT0,9363iT0,3512 j20,56 cos Ti20,56sen TT jN 89,29iN 156,29 j60,26 cos N 180i60,26sen N 180T AC DAC DD AE ACAC ACACAC AB © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.6 2 - 26 jN 270T0,9363N 89,29 iFT0,3512N 156,29 0R AC DAC Esta equação só é satisfeita se cada componente da resultante é igual a zero. 0270T0,9363N 89,29:0 0FT0,3512N 156,29:0 AC DAC y x F F N 5,88 N 193 D AC F T © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Componentes Retangulares no Espaço 2 - 27 • O vetor está contido no plano OBAC. F • Decompomos em uma componente horizontal e outra vertical yh FF sen F yy FF cos • Decompomos em componentes retangulares hF sen sen sen cossen cos y hy y hx F FF F FF © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Componentes Retangulares no Espaço 2 - 28 • Com os ângulos entre e os eixos x, y e z temos,F kji F kjiFkFjFiFF FFFFFF zyx zyx zyx zzyyxx coscoscos coscoscos coscoscos • é um vetor unitário ao longo da linha de ação de e são os cossenos que orientam a linha de ação de . F F zyx e cos cos,cos © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Componentes Retangulares no Espaço 2 - 29 A direção de uma força é definida pelas coordenadas de dois pontos, em sua linha de ação. 222111 ,, e ,, zyxNzyxM d Fd F d Fd F d Fd F kdjdid d FF zzdyydxxd kdjdid NMd z z y y x x zyx zyx zyx 1 e liga que vetor 121212 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.7 2 - 30 A tração no cabo de sustentação da torre é 2500 N. Determine: a) os componentes Fx, Fy e Fz da força que atua no parafuso em A, b) os ângulos x, y e zque definem a direção da força. SOLUÇÃO: • Considerando a posição relativa dos pontos A e B, determinamos o vetor unitário orientado de A para B. • Utilizamos o vetor unitário para determinar os componentes da força atuando em A. • Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção do vetor, calculamos os ângulos correspondentes. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.7 2 - 31 SOLUÇÃO: • Determinamos o vetor unitário orientado de A para B. m 3,94 m30m80m40 m30m80m40 222 AB kjiAB • Determinamos os componentes da força. kji kji FF N 795N 2120N1060 318,0848,0424,0N 2500 kji kji 318,0848,0424,0 3,94 30 3,94 80 3,94 40 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 2.7 2 - 32 • Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção da força, calculamos os ângulos correspondentes. kji kji zyx 318,0848,0424,0 coscoscos ° ° ° 5,71 0,32 1,115 z y x MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA Nona Edição Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Notas de Aula: J. Walt Oler Texas Tech University CAPÍTULO © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3 Corpos Rígidos: Sistemas Equivalentes de Forças © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Conteúdo 3 - 2 Introdução Forças Externas e Forças Internas Princípio da Transmissibilidade: Forças Equivalentes Produto Vetorial de Dois Vetores Momento de uma Força em Relação a um Ponto Teorema de Varignon Componentes Retangulares do Momento de uma Força Problema Resolvido 3.1 Produto Escalar de Dois Vetores Produto Escalar de Dois Vetores: Aplicações Produto Triplo Misto de Três Vetores Momento de uma Força em Relação a um Dado Eixo Problema Resolvido 3.5 Momento de um Binário Adição de Binários Binários Podem Ser Representados por Vetores Substituição de uma Dada Força por uma Força em O e um Binário Problema Resolvido 3.6 Sistema de Forças: Redução a Uma Força e Um Binário Casos Particulares de Redução de um Sistema de Forças Problema Resolvido 3.8 Problema Resolvido 3.10 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Introdução 3 - 3 • Nem sempre é possível tratar um corpo como uma única partícula. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos de aplicação específicos de cada uma das forças que nele atuam devem ser considerados. • Supõe-se que a maioria dos corpos considerados em mecânica elementar são rígidos, isto é, as deformações reais são pequenas e não afetam as condições de equilíbrio ou de movimento do corpo. • Este capítulo descreve o efeito de forças exercidas em um corpo rígido e como substituir um dado sistema de forças por um sistema equivalente mais simples. Para tanto, são importantes os seguintes conceitos: • momento de uma força em relação a um ponto • momento de uma força em relação a um eixo • momento devido a um binário • Qualquer sistema de forças atuando em um corpo rígido pode ser substituído por um sistema equivalente composto por uma única força atuando em um dado ponto e um binário. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Forças Externas e Forças Internas 3 - 4 • Forças atuando em corpos rígidos são divididas em dois grupos: - Forças Externas - Forças Internas • Forças externas são mostradas em um diagrama de corpo livre. • Se não for contrabalanceada, cada uma das forças externas pode imprimir ao corpo rígido um movimento de translação ou de rotação, ou ambos. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Princípio da Transmissibilidade: Forças Equivalentes 3 - 5 • Princípio da Transmissibilidade - As condições de equilíbrio ou de movimen- to de um corpo não se modificam ao se transmitir a ação de uma força ao longo de sua linha de ação. OBSERVAÇÃO: na figura ao lado F e F’ são forças equivalentes. • Para o caminhão ao lado, o fato de mudar o ponto de aplicação da força F para o para-choque traseiro não altera o seu movimento e nem interfere nas ações das demais forças que nele atuam. • O princípio da transmissibilidade nem sempre pode ser aplicado na determinação de forças internas e deformações. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Produto Vetorial de Dois Vetores 3 - 6 • O conceito de momento de uma força em relação a um ponto é mais facilmente entendido por meio das aplicações do produto vetorial. • O produto vetorial de dois vetores P e Q é definido como o vetor V que satisfaz às seguintes condições: 1. A linha de ação de V é perpendicular ao plano que contém P e Q. 2. A intensidade de V é 3. A direção e o sentido de V são obtidos pela regra da mão direita. sen QPV • Produtos vetorias: - não são comutativos, - são distributivos, - não são associativos, QPPQ 2121 QPQPQQP SQPSQP © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Produtos Vetoriais: Componentes Retangulares 3 - 7 • Produtos vetoriais de vetores unitários: 0 0 0 kkikjjki ijkjjkji jikkijii • Produto vetorial em termos de componentes retangulares: kQjQiQkPjPiPV zyxzyx kQPQP jQPQPiQPQP xyyx zxxzyzzy zyx zyx QQQ PPP kji V © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Momento de uma Força em Relação a um Ponto 3 - 8 • Uma força é representada por um vetor que define sua intensidade, sua direção e seu sentido. Seu efeito em um corpo rígido depende também do seu ponto de aplicação. • O momento de uma força F em relação a um pontoO é definido como FrMO • O vetor momento MO é perpendicular ao plano que contém o ponto O e a força F. • Qualquer força F’ que tem a mesma intensidade, direção e sentido de F, é equivalente a ela se também tem sua mesma linha de ação e portando, gera o mesmo momento. • A intensidade de MO expressa a tendência da força de causar rotação em torno de um eixo dirigido ao longo de MO. O sentido do momento pode ser determinado pela regra da mão direita. FdrFMO sen © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Momento de uma Força em Relação a um Ponto 3 - 9 • Estruturas bidimensionais têm comprimento e largura, mas profundidade desprezível e estão sujeitas a forças contidas no plano da estrutura. • O plano da estrutura contém o ponto O e a força F. MO, o momento da força em relação a O, é perpendicular ao plano. • Se a força tende a girar a estrutura no sentido anti- horário, o vetor momento aponta para fora do plano da estrutura e a intensidade do momento é positiva. • Se a força tende a girar a estrutura no sentido horário, o vetor momento aponta para dentro do plano da estrutura e a intensidade do momento é negativa. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Teorema de Varignon 3 - 10 • O momento em relação a um dado ponto O da resultante de diversas forças concorrentes é igual à soma dos momentos das várias forças em relação ao mesmo ponto O. • O teorema de Varignon torna possível substituir a determinação direta do momento de uma força F pela determinação dos momentos de duas ou mais forças que a compõe. 2121 FrFrFFr © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Componentes Retangulares do Momento de uma Força 3 - 11 kyFxFjxFzFizFyF FFF zyx kji kMjMiMM xyzxyz zyx zyxO O momento de F em relação a O, kFjFiFF kzjyixrFrM zyx O , © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Componentes Retangulares do Momento de uma Força 3 - 12 Momento de F em relação a B: FrM BAB / kFjFiFF kzzjyyixx rrr zyx BABABA BABA / zyx BABABAB FFF zzyyxx kji M © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Componentes Retangulares do Momento de uma Força 3 - 13 Para estruturas bidimensionais: xy ZO xyO yFxF MM kyFxFM xBAyBAB xBAyBAB FyyFxxM kFyyFxxM © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.1 3 - 14 Uma força vertical de 450 N é aplicada na extremidade de uma alavanca que está ligada ao eixo em O. Determine: a) o momento da força em relação a O; b) a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento; c) a força mínima aplicada em A que gera o mesmo momento; d) a posição de uma força vertical de 1.080 N para que ela gere o mesmo momento; e) se alguma das forças obtidas nas partes b, c e d é equivalente à força original © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.1 3 - 15 a) O momento em relação a O é igual ao produto da força pela distância perpendicular entre a linha de ação da força e O. Como a força tende a girar a alavanca no sentido horário, o vetor momento aponta para dentro do plano que contém a alavanca e a força. m 0,3N 450 cm 3060coscm 60 O O M d FdM m N 135 OM © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.1 3 - 16 b) Para a força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento tem-se, m 52,0 m N 351 m 0,52m N 135 cm 5260sen cm 60 F F FdM d O N 6,259F © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.1 3 - 17 c) A força mínima aplicada em A que gera o mesmo momento deve atuar a uma distância perpendicular é máxima de O, ou seja, quando F é perpendicular a OA. m ,60 m N 135 m. ,60m N 351 F F FdMO N 225F © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.1 3 - 18 d) Para determinar o ponto de aplicação de uma força vertical de 1.080 N que gera o mesmo momento em relação a O temos, cm 12,560 cos m 125,0 N .0801 m N 135 N 1.080m N 351 OB d d FdMO cm 25OB © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.1 3 - 19 e) Embora cada uma das forças nas letras b), c) e d) gere o mesmo momento que a força de 450 N, nenhuma tem sua mesma intensidade, direção e sentido, ou sua mesma linha de ação. Portanto, nenhuma das forças é equivalente à força de 450 N. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.4 3 - 20 Uma placa retangular é sustentada pelos suportes A e B e por um fio CD. Sabendo que a tração no fio é 200 N, determine o momento em relação a A da força exercida pelo fio no ponto C. SOLUÇÃO: O momento MA da força F exercida pelo fio é obtida a partir do produto vetorial, FrM ACA © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.4 3 - 21 SOLUÇÃO: 12896120 08,003,0 kji M A kjiM A mN 8,82mN 8,82mN 68,7 kirrr ACAC m 08,0m 3,0 FrM ACA kji kji r r FF DC DC N 128N 69N 120 m 5.0 m 32,0m 0,24m 3,0 N 200 N 200 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Produto Escalar de Dois Vetores 3 - 22 • O produto escalar de dois vetores P e Q é definido como escalar resultadocosPQQP • Produtos escalares: - são comutativos, - são distributivos, - não são associativos, PQQP 2121 QPQPQQP indefinido SQP • Produtos escalares em termos de componentes cartesianas: 000111 ikkjjikkjjii kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx 2222 PPPPPP QPQPQPQP zyx zzyyxx © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Produto Escalar de Dois Vetores: Aplicações 3 - 23 • Ângulo entre dois vetores: PQ QPQPQP QPQPQPPQQP zzyyxx zzyyxx cos cos • Projeção de um vetor sobre um dado eixo: OL OL PP Q QP PQQP OLPPP cos cos eixo o sobre de projeção cos zzyyxx OL PPP PP coscoscos • Para um eixo definido por um vetor unitário: © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Produto Triplo Misto de Três Vetores 3 - 24 • Produto triplo misto detrês vetores: escalar resultado QPS • Os seis produtos triplos mistos que podem ser formados com S, P e Q têm o mesmo valor absoluto, mas não necessariamente o mesmo sinal, SPQQSPPQS PSQSQPQPS zyx zyx zyx xyyxz zxxzyyzzyx QQQ PPP SSS QPQPS QPQPSQPQPSQPS • Analisando o produto triplo misto tem-se, © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Momento de uma Força em Relação a um Dado Eixo 3 - 25 • Momento MO de uma força F aplicada no ponto A em relação a um ponto O: FrMO • O momento MOL em relação a um eixo OL é a projeção do momento MO sobre esse eixo, ou seja, FrMM OOL • Momentos de F em relação aos eixos coordenados: xyz zxy yzx yFxFM xFzFM zFyFM © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Momento de uma Força em Relação a um Dado Eixo 3 - 26 • Momento de uma força em relação a um eixo arbitrário: BABA BA BBL rrr Fr MM • O resultado é independente do ponto B escolhido sobre o eixo dado. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.5 3 - 27 a) em relação a A b) em relação à aresta AB c) em relação à diagonal AG do cubo. d) Determine a distância perpendicular entre AG e FC. Um cubo sofre a ação de uma força P conforme mostrado. Determine o momento de P: © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.5 3 - 28 • Momento de P em relação a A: kjPjiaM kjPkjPP jiajaiar PrM A AF AFA 2 222 kjiaPM A 2 • Momento de P em relação a AB: kjiaPi MiM AAB 2 2aPM AB © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.5 3 - 29 • Momento de P em relação à diagonal AG: 111 6 23 1 2 3 1 3 aP kji aP kjiM kji aP M kji a kajaia r r MM AG A GA GA AAG 6 aP M AG © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.5 3 - 30 • Distância perpendicular entre AG e FC: 0 110 63 1 2 P kjikj P P Portanto, P é perpendicular a AG. Pd aP M AG 6 6 a d © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Momento de um Binário 3 - 31 • Duas forças F e -F de mesma intensidade, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. • Momento do binário: FdrFM Fr Frr FrFrM BA BA sen • O vetor que representa o momento do binário é independente da escolha da origem dos eixos coordenados, isto é, trata-se de um vetor livre que pode ser aplicado a qualquer ponto produzindo o mesmo efeito © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Momento de um Binário 3 - 32 Dois binários terão momentos iguais se • 2211 dFdF • os dois binários estiverem em planos paralelos, e • os dois binários tiverem o mesmo sentido ou a tendência de causar rotação na mesma direção. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Adição de Binários 3 - 33 • Considere dois planos P1 e P2 que se interceptam, cada um contendo um binário. 222 111 plano no plano no PFrM PFrM • As resultantes dos vetores também formam um binário. 21 FFrRrM • Pelo teorema de Varignon, 21 21 MM FrFrM • A soma de dois binários é um binário de momento igual à soma vetorial dos momentos dos dois. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Binários Podem Ser Representados por Vetores 3 - 34 • Um binário pode ser representado por um vetor igual em intensidade, direção e sentido ao momento do binário. • Vetores que representam binários obedecem à lei de adição de vetores. • Vetores binários são vetores livres, ou seja, o ponto de aplicação não é relevante. • Vetores binários podem ser decompostos em componentes vetoriais. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Substituição de uma Dada Força por uma Força em O e um Binário 3 - 35 • Não se pode simplesmente mover uma força F para o ponto O sem modificar sua ação no corpo. • A aplicação de duas forças de mesma intensidade e sentidos opostos em O não altera a ação da força original sobre o corpo. • As três forças podem ser substituídas por uma força equivalente e um vetor binário, isto é, um sistema força-binário. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Substituição de uma Dada Força por uma Força em O e um Binário 3 - 36 • Para mover a força F de A para um ponto diferente O’ deve-se aplicar naquele ponto um vetor binário diferente MO’ FrMO ' • Os momentos de F em relação a O e a O’ estão relacionados. FsM FsFrFsrFrM O O '' • Para mover o sistema força-binário de O para O’ deve-se somar ao sistema o momento da força aplicada em O em relação a O’. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.6 3 - 37 Determine os componentes do binário único equivalente aos dois binários mostrados. SOLUÇÃO: • Introduzimos no ponto A duas forças de 90 N com sentidos opostos, produzindo 3 binários para os quais os componentes dos momentos são facilmente calculados. • Alternativamente, pode-se calcular os momentos das quatro forças em relação a um único ponto arbitrário. O ponto D é uma boa escolha pois apenas duas das forças geram momento naquele ponto. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.6 3 - 38 • Introduzimos no ponto A duas forças de 90 N com sentidos opostos. • Os três binários podem ser representados pelos três vetores binários, mN 20,25 m 0,225 N 90 mN 27 m 0,30 N 90 mN 60,75 m 0,45 N 135 z y x M M M k jiM mN 20,25 mN 27mN 75,60 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.6 3 - 39 • Alternativamente, calculamos a soma dos momentos das quatro forças em relação a D. • Somente as forças em C e E geram momento em relação ao ponto D. ikj kjMM D N 90m ,300m 225,0 N 135m 45,0 k jiM mN 0,252 mN 27 mN 0,756 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Sistema de Forças: Redução a uma Força e um Binário 3 - 40 • Um sistema de forças pode ser substituídopor um sistema força-binário equivalente atuando em um dado ponto O. • As forças e os vetores binários podem ser substituídos por uma força resultante e um vetor binário resultante, FrMFR RO • O sistema força-binário em O pode ser movido para O’ com a soma do momento de R em relação à O’ , RsMM RO R O ' • Dois sistemas de forças são equivalentes se eles podem ser reduzidos a um mesmo sistema força-binário. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Casos Particulares de Redução de um Sistema de Forças 3 - 41 • Se a força resultante e o binário em O forem mutuamente perpendiculares, o sistema pode ser substituído por uma única força que atua ao longo de uma nova linha de ação. • O sistema força-binário resultante para um sistema de forças será mutuamente perpendicular se: 1) as forças forem concorrentes, 2) as forças forem coplanares, ou 3) as forças forem paralelas. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Casos Particulares de Redução de um Sistema de Forças 3 - 42 • O sistema de forças coplanares é reduzido a um sistema força-binário que consiste em , que são mutuamente perpendiculares. R OMR e • O sistema pode ser reduzido a uma única força movendo-se a linha de ação de até que seu momento em relação a O se torne . ROM R • Em termos de componentes retangulares, R Oxy MyRxR © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.8 3 - 43 Para a viga acima, reduza o sistema de forças dado a (a) um sistema força- binário equivalente em A, (b) um sistema força binário equivalente em B, e (c) a uma força única ou resultante. Observação: Como as reações de apoio não estão incluídas, esse sistema não manterá a viga em equilíbrio. SOLUÇÃO: a) Calculamos a força resultante para as forças mostradas e o binário resultante para os momentos das forças em relação a A. b) Encontramos um sistema força- binário em B equivalente ao sistema força-binário em A. c) Determinamos o ponto de aplicação para a força resultante de tal forma que seu momento em relação a A seja igual ao binário resultante em A. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.8 3 - 44 SOLUÇÃO: a) Calculamos a força e o binário resultantes em A. jjjj FR N 250N 100N 600N 150 jR N600 ji jiji FrM RA 2508,4 1008,26006,1 kM RA mN 1880 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.8 3 - 45 b) Encontramos um sistema força-binário em B equivalente ao sistema força-binário em A. A força fica inalterada pelo movimento do sistema força-binário de A para B. jR N 600 O binário em B é igual ao momento em relação a B do sistema força-binário encontrado em A. kk jik RrMM AB R A R B mN 2880mN 1880 N 600m 8,4mN 1880 kM RB mN 1000 © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.10 3 - 46 Três cabos estão presos ao suporte, como ilustrado. Substitua as forças exercidas pelos cabos por um sistema força-binário equivalente em A. SOLUÇÃO: • Determinamos os vetores posição relativos traçados do ponto A até os pontos de aplicação das várias forças. • Decompomos as forças em componentes retangulares. • Calculamos a força resultante, FR • Calculamos o binário resultante, FrM RA © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.10 3 - 47 SOLUÇÃO: • Determinamos os vetores posição relativos em relação a A: m 100,0100,0 m 050,0075,0 m 050,0075,0 jir kir kir AD AC AB • Decompomos as forças em componentes retangulares : N 200600300 289,0857,0429,0 175 5015075 N 700 kjiF kji kji r r F B BE BE B N 1039600 30cos60cosN 1200 ji jiFD N 707707 45cos45cosN 1000 ki kiFC © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d ição Problema Resolvido 3.10 3 - 48 • Calculamos a força resultante: k j i FR 707200 1039600 600707300 N 5074391607 kjiR • Calculamos o binário resultante: k kji Fr j kji Fr ki kji Fr FrM DAD cAC BAB R A 9,163 01039600 0100,0100,0 68,17 7070707 050,00075,0 4530 200600300 050,00075,0 kjiM RA )mN 9,118()mN 68,17()mN 30( MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICAESTÁTICA Nona EdiçãoNona Edição Ferdinand P. BeerFerdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.E. Russell Johnston, Jr. Notas de Aula:Notas de Aula: J. Walt OlerJ. Walt Oler Texas Tech UniversityTexas Tech University CAPÍTULO © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved 4 Equilíbrio de Corpos Rígidos © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Conteúdo 4 - 2 Introdução Diagrama de Corpo Livre Reações em Apoios e Conexões para uma Estrutura Bidimensional Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas Dimensões Reações Estaticamente Indeterminadas Problema Resolvido 4.1 Problema Resolvido 4.3 Problema Resolvido 4.4 Equilíbrio de um Corpo Sujeito à Ação de Duas Forças Equilíbrio de um Corpo Sujeito à Ação de Três Forças Problema Resolvido 4.6 Equilíbrio de um Corpo Rígido em Três Dime Reações em Apoios e Conexões para uma Est Problema Resolvido 4.8 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Introdução 4 - 3 • As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio estático de um corpo são que a força e o binário resultantes de todas as forças externas formam um sistema equivalente a zero, 00 FrMF O 000 000 zyx zyx MMM FFF • Decompondo cada força e cada momento em seus componentes retangulares, podemos indicar as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio por meio de 6 equações escalares, • Para um corpo rígido em equilíbrio estático, as forças e momentos externos estão balenceadas e não impõem movimento de translação ou de rotação ao corpo. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Diagrama de Corpo Livre 4 - 4 O primeiro passo na análise do equilíbrio estático de um corpo rígido é identificar todas as forças que atuam no corpo com um diagrama de corpo livre. • Selecionamos a extensão do corpo livre e o destacamos do solo e de todos os outros corpos. • Incluimos as dimensões necessárias ao cálculo dos momentos das forças. • Indicamos o ponto de aplicação e as direções e sentidos arbitrados para as forças desconhe- cidas. Estas geralmente consistem nas reações de apoio por meio das quais o solo e os outros corpos se opõema um possível movimento do corpo rígido. • Indicamos o ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido das forças externas, incluindo o peso do corpo rígido. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Reações em Apoios e Conexões para uma Estrutura Bidimensional 4 - 5 • Reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Reações em Apoios e Conexões para uma Estrutura Bidimensional 4 - 6 • Reações equivalentes a uma força de direção, sentido e intensidade desconhecidos • Reações equivalentes a uma força de direção, sentido e intensidade desconhecidos e a um binário de intensidade desconhecida © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas Dimensões 4 - 7 • Para todas as forças e momentos aplicados a uma estrutura bidimensional: Ozyxz MMMMF 00 • As equações de equilíbrio se reduzem a: 000 Ayx MFF sendo A qualquer ponto no plano da estrutura. • As 3 equações podem ser resolvidas para no máximo 3 incógnitas. • As 3 equações não podem ser ampliadas com equações adicionais, mas qualquer uma delas pode ser substituída por outra equação. 000 BAx MMF © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o • Estrutura com menos incógnitas do que equações: parcialmente vinculada Reações Estaticamente Indeterminadas 4 - 8 • Estrutura com mais incógnitas do que equações • Estrutura com número de incógnitas igual ao número de equações mas impropriamente vinculada © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.1 4 - 9 Um guindaste fixo tem massa de 1000 kg e é usado para suspender um caixote de 2400 kg. Ele é mantido no lugar por um pino em A e um suporte basculante em B. O centro de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine os componentes das reações em A e B. SOLUÇÃO: • Traçamos um diagrama de corpo livre do guindaste. • Determinamos a reação em B resolvemos a equação para a soma dos momentos de todas as forças em relação a A. Observa- mos que as reações em A não geram momento em relação àquele ponto. • Determinamos as reações em A resolvendo as equações para a soma dos componentes horizontais e verticais de todas as forças. • Conferimos se os resultados obtidos estão corretos verificando se a soma dos momentos de todas as forças em relação a B é zero. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.1 4 - 10 • Traçamos um diagrama de corpo livre do guindaste. • Conferimos os resultados obtidos. • Determinamos a reação em B resolvendo a equação para a soma dos momentos de todas as forças em relação a A. 0m 6kN5,23 m 2kN81,9m 5,1 :0 BM A kN1,107B • Determinamos as reações em A resolvendo as equações para a soma dos componentes horizontais e verticais de todas as forças. 0:0 BAF xx kN1,107xA 0kN5,23kN81,9:0 yy AF kN 3.33yA © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.3 4 - 11 Um vagão de carga está em repouso sobre um trilho inclinado. O peso bruto do vagão e sua carga é 24.750 N e está aplicado em G. O vagão é mantido no lugar pelo cabo. Determine a tração no cabo e a reação em cada par de rodas. SOLUÇÃO: • Criamos um diagrama de corpo livre para o vagão com sistema de coordenadas alinhado com o trilho. • Determinamos as reações nas rodas resolvendo as equações para a soma dos momentos em relação aos eixos das rodas. • Determinamos a tração no cabo resolvendo a equação para a soma dos componentes das forças paralelos ao trilho. • Conferimos os resultados obtidos verificando se a soma dos componentes das forças perpendiculares ao trilho é zero. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.3 4 - 12 • Traçamos um diagrama de corpo livre N 460.10 25sen N 4.7502 N 431.22 25cosN 750.24 ° ° y x W W • Determinamos as reações nas rodas. 0cm 251 cm 15N 2.4312cm 5,62N 0.4601:0 2 R M A N 922.72 R 0cm 251 cm 15N 2.4312cm 5,62N 0.4601:0 1 R M B N 538.21 R • Determinamos a tração no cabo 0TN 431.22:0 xF N 431.22T © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.4 4 - 13 A estrutura representada na figura sustenta parte do teto de uma pequeno edifício. Sabendo que a tração no cabo é 150 kN. Determine a reação na extremidade E. SOLUÇÃO: • Traçamos um diagrama de corpo livre da estrutura e do cabo BDF. • Resolvemos as 3 equações de equilíbrio para os componentes da força e do binário em E. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.4 4 - 14 • Traçamos um diagrama de corpo livre da estrutura e do cabo BDF. • Resolvemos as 3 equações de equilíbrio para os componentes da força e do binário em E. 0kN150 5,7 5,4 :0 xx EF kN 0,90xE 0kN150 5,7 6 kN204:0 yy EF kN 200yE :0EM 0m5,4kN150 5,7 6 m8,1kN20m6,3kN20 m4,5kN20m7,2kN20 EM mkN0,180 EM © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Equilíbrio de um Corpo Sujeito à Ação de Duas Forças 4 - 15 • Considere uma placa do tipo cantoneira sujeita à ação de duas forças F 1 e F 2 • Se a placa estiver em equilíbrio, a soma dos momentos em relação a A deve ser zero. Como o momento de F 1 é obviamente zero, o momento de F 2 também deve ser zero, ou seja, a linha de ação de F 2 deve passar por A. • De forma similar, a linha de ação de F 1 deve passar por B para que a soma dos momentos em relação a B seja zero. • Como a soma das forças em qualquer direção deve ser zero, conclui-se que F 1 e F 2 devem ter a mesma intensidade, mas sentidos opostos © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Equilíbrio de um Corpo Sujeito à Ação de Três Forças 4 - 16 • Considere um corpo rígido sujeito a ação de forças atuando em apenas 3 pontos. • Assumindo que as linhas de ação das forças F 1 e F 2 se interceptam, o momento de ambas em relação ao ponto de interseção representado por D é zero. • Como o corpo rígido está em equilíbrio, a soma dos momentos de F 1 , F 2 e F 3 em relação a qualquer eixo deve ser zero. Portanto, o momento de F 3 em relação a D também deve ser zero e a linha de ação de F 3 deve passar por D. • As linhas de ação das trêsforças devem ser concorrentes ou paralelas © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.6 4 - 17 Um homem leventa uma viga de 10 kg e 4 m de comprimento puxando-a com uma corda. Encontre a tração T na corda e a reação em A. SOLUÇÃO: • Traçamos um diagrama de corpo livre da viga observando que a viga é um corpo sob a ação de 3 forças que são o seu peso, a força exercida pela corda e a reação em A. • Para que o corpo esteja em equilíbrio, as três forças devem ser concorrentes. Portanto, a reação R deve passar pela interseção das linhas de ação do peso e da força exercida pela corda. Dessa forma determina-se a direção da reação R. • Utilizamos um triângulo de forças para determinar a intensidade da reação R. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.6 4 - 18 • Traçamos um diagrama de corpo livre da viga. • Determinamos a direção da reação R. 636,1 414,1 313,2 tan m 2,313m 515,0828,2 m 515,020tanm 414,1)2045cot( m 414,1 m828,245cosm445cos 2 1 AE CE BDBFCE CDBD AFAECD ABAF °6,58 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.6 4 - 19 • Determinamos a intensidade da reação R. °°° 38,6sen N 1,98 110sen4,31sen RT N 8,147 N9,81 R T © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Equilíbrio de um Corpo Rígido em Três Dimensões 4 - 20 • São necessárias seis equações escalares para expressar as condições para o equilíbrio de um corpo rígido no caso geral tridimensional. 000 000 zyx zyx MMM FFF • Essas equações podem ser resolvidas para no máximo 6 incógnitas que, geralmente, representam reações em apoios ou conexões. • As equações escalares serão obtidas mais convenientemente se expressarmos, inicialmente, as condições de equilíbrio na forma vetorial. 00 FrMF O © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Reações em Apoios e Conexões para uma Estrutura Tridimensional 4 - 21 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Reações em Apoios e Conexões para uma Estrutura Tridimensional 4 - 22 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 4.8 4 - 23 Uma placa de massa específica uniforme pesa 1.215 N e é sustentada por uma rótula em A e por dois cabos. Determine a tração em cada cabo e a reação em A. SOLUÇÃO: • Traçamos um diagrama de corpo livre da placa. • Aplicamos as condições de equilíbrio para obter equações que possibilitem o cálculo das reações desconhecidas. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o kjiT kji T EC EC TT kjiT kji T BD BD TT EC EC ECEC BD BD BDBD 7 2 7 3 7 6 3 2 3 1 3 2 1,2 6,09,08,1 6,3 4,22,14,2 Problema Resolvido 4.8 4 - 24 • Traçamos um diagrama de corpo livre da placa. Como há apenas 5 incógnitas, a placa está parcialmente vinculada. Ela pode girar livremente em torno do eixo x. No entanto, ela está em equilíbrio sob o carregamento dado. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o 0N458,1771,08,0: 0514,06,1: 0N 215.1m ,21 0: 0N 215.1: 0: 0N .2151 7 2 3 2 7 3 3 1 7 6 3 2 ECBD ECBD ECEBDBA ECBDz ECBDy ECBDx ECBD TTk TTj jiTrTrM TTAk TTAj TTAi jTTAF Problema Resolvido 4.8 4 - 25 • Aplicamos as condições de equilíbrio para desenvolver equações para as reações desconhecidas kjiA TT ECBD N 101,25N 455,4N 1.521 N 5,417.1N 9,455 Resolvemos as 5 equações para as 5 incógnitas e obtemos: MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICAESTÁTICA Nona EdiçãoNona Edição Ferdinand P. BeerFerdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.E. Russell Johnston, Jr. Notas de Aula:Notas de Aula: J. Walt OlerJ. Walt Oler Texas Tech UniversityTexas Tech University CAPÍTULO © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Conteúdo 5 - 2 Introdução Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional Centroides e Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais Centroides de Curvas Planas de Formatos Usuais Placas e Fios Compostos Problema Resolvido 5.1 Determinação de Centroides por Integração Problema Resolvido 5.4 Teoremas de Pappus-Guldinus Problema Resolvido 5.7 Cargas Distribuídas sobre Vigas Problema Resolvido 5.9 Centro de Gravidade de um Corpo Centroides de Sólidos de Formatos Corpos Tridimensionais Compostos Problema Resolvido 5.12 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Introdução 5 - 3 • A Terra exerce uma força gravitacional em cada uma das partículas que constituem um corpo. Essas forças podem ser substituídas por uma única força equivalente, de intensidade igual ao peso do corpo e aplicada em seu centro de gravidade. • O centroide de uma superfície é análogo ao centro de gravidade de um corpo e a para a sua determinação é utilizado o conceito de momento de primeira ordem de uma área. • A determinação da área de uma superfície de revolução ou do volume de um sólido de revolução é possível com a utilização dos Teoremas de Pappus-Guldinus. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional 5 - 4 • Centro de gravidade de uma placa: dWy WyWyM dWx WxWxM x y • Centro de gravidade de um fio: © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Centroides e Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas 5 - 5 x QdAyAy y QdAxAx dAtxAtx dWxWx x y a relação em ordem primeira de momento a relação em ordem primeira de momento • Centroide de uma superfície: dLyLy dLxLx dLaxLax dWxWx • Centroide de uma curva: © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas 5 - 6 • Uma superfície é simétrica em relaçãoa uma eixo BB’ se para cada ponto P da superfície há um ponto P’ tal que a linha PP’ é perpendicular a BB’ e é dividida em duas partes iguais por esse eixo. • O momento de primeira ordem de uma superfície em relação a um eixo de simetria é zero. • Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu centroide fica localizado sobre esse eixo. • Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu centroide deverá se localizar na interseção dos dois. • Uma superfície é simétrica em relação a um centro O se, para cada elemento de superfície dA em (x,y) existir um elemento dA’ de mesma área em (-x,-y). • O centroide de uma superfície coincide com o seu centro de simetria. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais 5 - 7 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Centroides de Curvas Planas de Formatos Usuais 5 - 8 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Placas e Fios Compostos 5 - 9 • Placas compostas: WyWY WxWX • Superfícies compostas: AyAY AxAX © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.1 5 - 10 Para a superfície plana mostrada, determine os momentos de primeira ordem em relação aos eixos x e y e a localização do centroide. SOLUÇÃO: • Dividimos a área em um triângulo, um retângulo e um semicírculo com um orifício circular. • Calculamos as coordenadas do centroide da superfície dividindo os momentos de primeira ordem pela área total. • Encontramos a área total e os momentos de primeira ordem do retângulo, do triângulo e do semicírculo. Subtraímos a área e o momento de primeira ordem do orifício circular. • Calculamos os momentos de primeira ordem de cada superfície em relação aos eixos x e y. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.1 5 - 11 33 33 mm107,757 mm102,506 y x Q Q • Encontramos a área total e os momentos de primeira ordem do retângulo, do triângulo e do semicírculo. Subtraímos a área e o momento de primeira ordem do orifício circular. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.1 5 - 12 23 33 mm1013,828 mm107,757 A Ax X mm 8,54X 23 33 mm1013,828 mm102,506 A Ay Y mm 6,36Y • Calculamos as coordenadas do centroide da superfície dividindo os momentos de primeira ordem pela área total. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Determinação de Centróides por Integração 5 - 13 ydxy dAyAy ydxx dAxAx el el 2 dyxay dAyAy dyxa xa dAxAx el el 2 dr r dAyAy dr r dAxAx el el 2 2 2 1 sen 3 2 2 1 cos 3 2 dAydydxydAyAy dAxdydxxdAxAx el el • A integração dupla para encontrar o momento de primeira ordem pode ser evitada definindo- se o elemento de área dA como um retângulo estreito ou um setor estreito. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.4 5 - 14 Determine por integração direta a localização do centroide da superfície sob um arco parabólico. SOLUÇÃO: • Determinamos a constante k. • Calculamos a área total. • Utilizando um elemento diferencial vertical ou horizontal, encontramos os momentos de primeira ordem por integração simples. • Determinamos as coordenadas do centroide. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.4 5 - 15 SOLUÇÃO: • Determinamos a constante k. 21 21 2 2 2 2 2 y b a xorx a b y a b kakb xky • Determinamos a área total. 3 3 0 3 2 0 2 2 ab x a b dxx a b dxy dAA a a © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.4 5 - 16 • Utilizando um elemento diferencial vertical, encontramos os momentos de primeira ordem por integração simples. 1052 2 1 2 44 2 0 5 4 2 0 2 2 2 2 0 4 2 0 2 2 abx a b dxx a b dxy y dAyQ bax a b dxx a b xdxxydAxQ a a elx a a ely © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.4 5 - 17 • Ou, utilizando um elemento horizontal, encontramos os momentos de primeira ordem por integração simples. 10 42 1 22 2 0 23 21 21 21 2 0 2 2 0 22 ab dyy b a ay dyy b a aydyxaydAyQ ba dyy b a a dy xa dyxa xa dAxQ b elx b b ely © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.4 5 - 18 • Encontramos as coordenadas do centroide. 4 ba 3 ab x QAx 2 y ax 4 3 10 ab 3 ab y QAy 2 x by 10 3 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Teoremas de Pappus-Guldinus 5 - 19 • Uma superfície de revolução é gerada pela rotação de uma curva no plano em torno de um eixo fixo. • A área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geratriz pela distância percorrida pelo centroide durante a rotação. LyA 2 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Teoremas de Pappus-Guldinus 5 - 20 • Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma superfície plana em torno de um eixo fixo. • O volume de um sólido de revolução é igual ao produto da área da superfície geratriz pela distância percorrida pelo centroide da superfície durante a rotação. AyV 2 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática N o n a E d iç ã o Problema Resolvido 5.7 5 - 21 O diâmetro externo de uma polia é 0,8 m, e a seção transversal de seu contorno externo está mostrada acima. Sabendo que a polia é feita de aço e que a densidade do aço é , determine a massa e o peso do contorno externo. 33 mkg 1085.7 SOLUÇÃO: • Aplicamos o teorema de Pappus-Guldinus para determinar os volumes dos sólidos de revolução para o contorno retangular total e para a seção
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