A02 - Nocoes da estatica classica

Prévia do material em texto

ESTÁTICA – DEC 3674 9
2 Noções da estática clássica1 
 
2.1 Princípios e conceitos fundamentais 
Embora o estudo da Mecânica se tenha iniciado no tempo de Aristóteles (364-322 A. C.) e 
Arquimedes (287-212 A. C.), ela teve que esperar até Newton (1642-1727) para encontrar 
uma formulação satisfatória de seus princípios fundamentais e sua validade permaneceu 
imutável até Einstein (1905). Apesar de suas limitações terem sido reconhecidas, a mecânica 
newtoniana ainda permanece sendo a base das ciências atuais de Engenharia. 
Mecânica pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou 
movimento de corpos sob a ação de forças. E dividida em três partes: mecânica dos corpos 
rígidos, mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos. 
A Mecânica dos corpos rígidos é subdividida em Estática e Dinâmica; a primeira se refere a 
corpos em repouso e a segunda, a corpos em movimento. Neste curso, os corpos são 
considerados perfeitamente rígidos (pequenas deformações não influenciam apreciavelmente 
as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada). A Resistência dos 
Materiais é a parte da mecânica dos corpos deformáveis. 
Os conceitos básicos usados na Mecânica são os de espaço, tempo, massa e força: 
• O conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto P. A posição de um 
ponto pode ser definida por três comprimentos medidos a partir de um ponto de 
referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Esses comprimentos são 
conhecidos como as coordenadas de P. 
• O tempo ou instante em que o evento ocorre, também deve ser dado. Para definir um 
evento não é suficiente definir sua posição no espaço. 
• O conceito de massa é usado para caracterizar e comparar os corpos com base em 
certas experiências mecânicas fundamentais. Dois corpos de mesma massa, por 
exemplo, serão atraídos pela terra da mesma maneira; eles oferecerão também a mesma 
resistência a uma variação do movimento de translação. 
 
1 Mecânica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976 
ESTÁTICA – DEC 3674 10 
• A força representa a ação de um corpo sobre outro. Pode ser exercida por contato ou à 
distância (caso de forças gravitacionais ou magnéticas). Uma força é representada por 
um vetor e caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 
 
Na mecânica newtoniana, espaço, tempo e massa são conceitos absolutos, independentes um 
do outro. Por outro lado a força resultante que atua sobre um corpo depende da massa do 
corpo e da maneira como sua velocidade varia com o tempo. 
Por partícula entendemos uma pequena porção da matéria que pode ser considerada como se 
ocupasse um ponto no espaço. Um corpo rígido é uma combinação de um grande número de 
partículas que ocupam posições fixas, relativamente uma à outra. 
O estudo da mecânica elementar repousa em seis princípios fundamentais baseados na 
demonstração experimental. 
 
A Lei do Paralelogramo para a Adição de Forças. Estabelece que duas forças atuantes 
sobre uma partícula possam ser substituídas por uma única força, chamada resultante, obtida 
pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas. 
 
O Princípio da Transmissibilidade. Estabelece que as condições de equilíbrio ou de 
movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma força que atua num dado 
ponto do corpo rígido é substituída por outra de mesma intensidade, direção e sentido, mas 
atuante num ponto diferente, desde que as duas forças tenham a mesma linha de ação. 
 
Primeira lei de Newton. Se a força resultante que atua sobre uma partícula é zero, a partícula 
permanecerá em repouso (se estava originalmente em repouso) ou mover-se-á com velocidade 
constante e em linha reta (se estava originalmente em movimento). 
 
Segunda lei de Newton. Se a força resultante que atua sobre uma partícula não é zero, a 
partícula terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta. Esta 
lei pode ser expressa como F = ma, onde “F”, “m” e “a” representam respectivamente, a força 
resultante que atua sobre a partícula, sua massa e sua aceleração. 
ESTÁTICA – DEC 3674 11
Terceira lei de Newton. As forças de ação e reação entre corpos em contato têm a mesma 
intensidade, mesma linha de ação e sentidos opostos. 
 
Lei da Gravitação de Newton. Enuncia que duas partículas de massas M e m são 
mutuamente atraídas com forças iguais e opostas F e -F de intensidade F dada pela fórmula: 
2 
MmF G
r
= onde r é a distância entre as partículas e G é a constante de gravitação. 
 
Um caso particular de grande importância é o da atração da Terra sobre uma partícula 
localizada na sua superfície. A força F exercida pela Terra sobre a partícula é então definida 
como o peso P da partícula. Sendo M a massa da Terra, m a massa da partícula e r o raio R da 
Terra, e introduzindo a constante g: 
2
GMg
R
= , a intensidade P do peso de uma partícula pode ser expressa como: P mg= 
 
Observa-se que o valor de g varia com a posição do ponto considerado. Depende da altura do 
ponto considerado e também de sua latitude, pois a Terra não é esférica. Na maioria dos 
cálculos de engenharia é suficientemente preciso supor g = 9,81 m/s2. 
2.2 Sistema Internacional de Unidades 
Histórico 
Em 1948 a 9° Conferência Geral de pesos e Medidas (CGM) iniciou estudos para o 
estabelecimento de um "Sistema pratico de Medidas a ser adotado por todos os países 
signatários da Convenção do Metro". A 10° CGPM (1954) adotou como unidades de base 
deste "Sistema Prático de Unidades" as unidades das seis grandezas seguintes: 
comprimento metro m 
massa quilograma kg 
tempo segundo s 
intensidade de corrente elétrica ampère A 
temperatura termodinâmica kelvin K 
intensidade luminosa candela cd 
 
ESTÁTICA – DEC 3674 12 
A 11° CGPM (1960) adotou o nome "Sistema Internacional de Unidades" com abreviação 
internacional "SI" e estabeleceu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as 
unidades suplementares e a 14° CGPM (1969) introduziu a "Unidade de Quantidade de 
Matéria como a sétima unidade de base do Sistema Internacional de Unidades. 
quantidade de matéria mol mol 
 
Unidades Derivadas 
As unidades derivadas são constituídas, a partir das unidades de base, por expressões 
algébricas. Muitas dentre essas unidades derivadas receberam nome especial e símbolo 
particular, que podem ser utilizados por sua vez, para expressar outras unidades derivadas. A 
seguir são apresentadas algumas das Unidades Derivadas mais comuns na engenharia civil. 
 
Unidades Derivadas expressas a partir das Unidades de Base 
superfície metro quadrado m2 
volume metro cúbico m3 
velocidade metro por segundo m/s 
aceleração metro por segundo ao quadrado m/s2 
massa específica quilograma por metro cúbico kg/m3 
 
 
Unidades Derivadas possuidoras de nomes especiais 
força newton N m kg s-2 
pressão pascal Pa m-1 kg s-2 
 
 
Unidades Derivadas expressas com emprego de nomes especiais 
momento de uma força metro newton N.m m2 kg s-2 
tensão superficial newton / metro N/m kg s-2 
 
 
Unidades Suplementares 
As unidades suplementares são aquelas que, a critério do usuário, podem ser consideradas 
como unidades de base ou derivadas. Esta categoria comporta apenas duas unidades: a de 
ângulo plano e a de ângulo sólido. 
angulo plano radiano rad 
ESTÁTICA – DEC 3674 13
Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades SI 
1012 tera T 10-1 deci d 
109 giga G 10-2 centi c 
106 mega M 10-3 mili m 
103 quilo k 10-6 micro µ 
102 hecto h 10-9 nano n 
101 deca da 10-12 pico p 
 
 
Unidades não pertencentes ao Sistema Internacional 
(em uso com o Sistema Internacional) 
minuto min 1 min = 60 s 
hora h 1 h = 60 min = 3600 s 
dia d 1 d = 24 h = 86400 s 
grau ° 1° = ( π/180 ) rad 
minuto ' 1' = (1/60)° = ( π/10800) rad 
segundo" 1" = (1/60)' = ( π/648000 ) rad 
litro 1 = 1 dm
3 = 10-3 m3 
tonelada t 1 t = 103 kg 
 
No Brasil o sistema de unidades MKS (metro, kilograma-força, segundo) foi reconhecido 
como sistema oficial até a adoção do Sistema Internacional de Unidades SI. A principal 
diferença entre estes sistemas se dá nas grandezas que empregam a unidade de medida Força. 
• MKS: denomina-se quilograma-força (kgf) ou quiloponde (kp) a força que produz, na 
massa de um quilograma, a aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s), 
• SI: denomina-se Newton (N) a força que produz, na massa de um quilograma, a 
aceleração de 1,0 m/s. 
 
 
Conversões 
1 kgf (kp) = 9,8 N 1 MPa = 1 N/mm2 
1 N = 0,102 kgf (kp) 1 MPa 0,1 KN/cm2 
 1 MPa 10,2 kgf/cm2 
1 Pa = 1 N/m2 1 MPa 0,1 KN/cm2 
1 Kgf/cm2 = 0,102 MPa = 1 MPa = 1 MN/m2 
Obs.: usualmente se trabalha com a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s 
 
ESTÁTICA – DEC 3674 14 
2.2.1 Precisão Numérica 
A precisão do resultado de um problema depende de dois fatores: a precisão dos dados 
fornecidos e a dos cálculos realizados. A precisão do resultado não pode superar a destes dois 
fatores. Por exemplo, se a carga de uma ponte é de 750 kN com um possível erro de 1 kN, o 
erro relativo que mede o grau de precisão do dado é 1 / 750 = 0,0013 = 0,13 % 
Em problemas de engenharia, raramente os dados são conhecidos com uma precisão maior 
que 0,2%. Portanto é desnecessário realizar os cálculos com precisão maior. 
 
2.3 Noções de cálculo vetorial – Forças coplanares. 
Uma força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela é caracterizada por seu ponto de 
aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é dada por um 
número (em N ou kN), a sua direção é definida pela reta ao longo 
da qual a força atua e caracterizada pelo ângulo que forma com 
algum eixo fixo e, finalmente, o sentido da força é indicado por 
uma seta. 
 
Os vetores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido. 
Um vetor usado para representar uma força que atua em uma dada partícula tem bem definido 
o seu ponto de aplicação e, esse vetor é dito fixo e não pode ser deslocado sem modificar as 
condições do problema. Independentemente de terem ou não o mesmo ponto de aplicação, 
dois vetores de mesma intensidade, direção e sentido são ditos iguais e, podem ser indicados 
pela mesma letra. 
As forças, como vetores, se adicionam de acordo com a lei do paralelogramo. Outras 
entidades também seguem a lei de adição do paralelogramo: os deslocamentos, as 
velocidades, as acelerações e os momentos, são outros exemplos de quantidades físicas que 
possuem intensidade e direção e que são adicionadas de acordo com a lei do paralelogramo. 
Todas estas grandezas podem ser representadas matematicamente por vetores, enquanto 
aquelas que não possuem direção, tais como volume, massa ou energia, são representadas por 
números ordinários ou escalares. 
 
 10 kN 
A 30º
ESTÁTICA – DEC 3674 15
Lei do paralelogramo para a adição de duas forças 
Duas forças P e Q, atuantes sobre uma partícula A podem ser substituídas por uma única força 
R que tem o mesmo efeito sobre a partícula. Esta força é chamada de resultante das forças P e 
Q e pode ser obtida pela construção de um paralelogramo, usando P e Q como lados do 
paralelogramo. A diagonal que passa por A representa a resultante. 
 
 
 
Como o paralelogramo construído com os vetores P e Q não depende da ordem segundo a 
qual P e Q são tomados, concluímos que a adição de dois vetores é comutativa e escrevemos: 
PQ = QP 
Da lei do paralelogramo, tem-se um método conhecido como a regra do triângulo: como o 
lado do paralelogramo oposto a Q é igual a Q em magnitude e direção, pode-se desenhar 
apenas a metade do paralelogramo. A soma dos dois vetores pode ser então determinada pelo 
reposicionamento de P e Q, de modo que a origem de um vetor esteja sobre a extremidade do 
outro, e unindo a origem de P com a extremidade de Q, ou seja, a adição vetorial é comutativa 
 
 
Regra do triângulo 
 
O vetor negativo de um dado vetor P é definido como sendo um vetor que tem a mesma 
intensidade e direção de P e sentido oposto ao de P. O vetor negativo de P é representado por 
-P. Os vetores P e -P são comumente referidos como vetores iguais e opostos. 
A subtração de um vetor é definida como a adição do correspondente vetor negativo. Então, o 
vetor P - Q, que representa a diferença entre os vetores P e Q é obtida pela adição do vetor P 
ao vetor -Q. Escrevemos 
A soma de três vetores P, Q e S será, por definição, obtida pela adição inicial dos vetores P e 
Q e adicionando o vetor S ao vetor P+Q. Analogamente, a soma de quatro vetores será obtida 
pela adição do quarto vetor à soma dos três primeiros. Este raciocínio é válido para a soma de 
n vetores. 
 F1 R 
A 
 F2 
 F1 
A 
 F2 
 R 
A 
A 
 B 
 
 R 
 B 
R 
 
 A 
ESTÁTICA – DEC 3674 16 
A soma de n vetores pode ser feita pelo método da regra do triângulo, fazendo com que a 
origem de um vetor coincida com a extremidade do anterior e unindo a origem do primeiro 
vetor com a extremidade do último. Isso é conhecido como a regra do polígono para a adição 
dos vetores. 
 
 
Regra do polígono 
R = A + B + C + D + E + F 
 
 
Fundamentos de trigonometria 
Dado um triângulo de lados A, B e C 
 
Lei dos senos: 
 
A B C
sen a sen b sen c
= = 
 
Lei dos co-senos: 2 2 2. . .cosC A B A B c= + − 
 
 
2 2 2
cos
2. .
B C Aa
B C
+ −
= .cos .cosA B c C b= + 
 
 
Exemplo 01. Determinar a resultante do sistema de forças. 
 
 
 
 
 c 
 B 
A
b C a 
F1 = 150 N 
 F2 = 100 N 10º 
 
A 15º 
F1 
 R
15º
10º
F2 
 γ 
10º 
θ 
F1 
β 
α 
F2 
R 
A 
 
 B
 
 
R 
 C 
 
 D 
 E 
 
F 
ESTÁTICA – DEC 3674 17
Lei dos co-senos: 2 2 2. . .cosC A B A B c= + − 
2 2100 150 2.100.150.cos115ºR = + − R = 205,607 N 
 
Lei dos senos: 
 
A B
sen a sen b
= 
1 115º. 1 0,90631 150 0,90631
 115º 212,55
R F sen Fsen
sen sen R
β
β
×
∴ = → = = = β = 39,76º 
γ = β + 15º = 54,76º ∴ A força resultante é de 205,61 N, 54,76º com a horizontal. 
 
 
Exemplo 02. 
Decompor a força de 200 N em componentes nas direções dos eixos 
ortogonais xy e x’y’ e nas direções x’ e y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eixo xy 
cos 40º = Fx / F ∴ Fx = 153,21 N 
cos 50º = Fx / F ∴ Fx = 128,56 N 
 Eixo x’y’ α = 30º β = 20º 
cos 70º = Fx’ / F ∴ Fx = 187,94 N 
cos 20º = Fx’ / F ∴ Fx = 68,40 N 
 
 
65º 
10º F1 
15º F2 
θ = 15+90+10=115º 
 y 
 
 
 
 
A 
 30º 
y' 
40º
F = 200 N
x'
x 
 y 
 
 
Fy 
 
 
A 
40º
F = 200 N 
Fx x 
Fy'
Fx'
30º
y'
F = 200 N 
x'
α 
40º 
30º 
β 
Eixo x y a) Eixo x’y’ b) 
ESTÁTICA – DEC 3674 18 
Eixos y e x’ 
 
 
 Lei dos senos: 
 
A B C
sen a sen b sen c
= = 
 ' 200 50' 200
50 60 60
Fx senFx
sen sen sen
= ∴ = =176,91 N 
 200 70200
70 60 60
Fy senFy
sen sen sen
= ∴ = = 217,01 N 
 
Exemplo 03. Decompor a força F de 500 N em duas componentes nas direções das barras AB 
e AC de modo que a componente na direção AC fique dirigida 
de A para C e tenha módulo de 400 N. Determinar o ângulo θ. 
 
 
 
 
Lei dos senos: 500 400 400(120- ) 60º
 60º (120- ) 500
sen sen
sen sen
θ
θ
= ∴ = 
sen (120-θ) = 0,866 x 0,8 = 0,68928 → 120-θ = 43,85 → θ = 76,15º 
 
Exemplo 04. 
o suporte da figura abaixo está submetido a duas forças F1 e F2. 
Considerando que a resultante deve ser vertical e de módulo FR = 
1000 N, Determinar: 
a) os módulos de F1 e F2 quando θ = 30º; 
b) os módulos de F1 e F2 quando F2 é mínimo. 
 
Fx’
50º
60º
70º
F = 200
Fy
y 
30º
40º 
x'
30º 
50º 
60º 
60º70º
B 
 
 
 
 
 
 
 
C 
30º 
θ 
F = 500 N 
A 30º
θ 
F = 500 N 
AC = 400 N 
60º 
60º
120-θ 
20º 
θ 
A 
F2 F1 
ESTÁTICA – DEC 3674 19
 a) b) 
 
 
 
 
F1 = 652,7 N e F2 = 446,5 N F1 = 342 N e F2 = 939,7 N 
A menor distância do ponto A ao lado do 
paralelogramo é quando F1 e F2 são 
perpendiculares 
 
2.4 Equilíbrio de uma Partícula 
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, esta partícula 
está em equilíbrio. Uma partícula submetida à ação de duas forças 
estará em equilíbrio quando essas duas forças tiverem a mesma 
intensidade a mesma linha de ação e sentidos opostos, pois, neste 
caso, a resultante das duas forças é zero. 
 
Determine a intensidade de T3 e sua direção para que o sistema 
esteja em equilíbrio. 
 
 
Observe o polígono das forças a esquerda. 
 
Para a condição de equilíbrio, o polígono de forças precisa ser fechado, i.é: 
 
Primeira Lei do Movimento de Newton. 
Se a força resultante que atua sobre uma partícula é zero, esta partícula permanece em 
repouso (se estava originalmente em repouso) ou se move ao longo de uma reta com 
20º 
FR = 1000 N
30º 
F2
F1 20º 
FR = 1000 N 
70º
F2
F1
F1 
 = 100 N 
F2 
 = 100 N 
A 
T2 
F = 250 N
A 
T3 
60º θ 
150 N 
T1 
60 N 
F 
T1 
T2 
T3 
30º 
θ 
ESTÁTICA – DEC 3674 20 
velocidade constante (se originalmente, estava em movimento). Desta lei e da definição de 
equilíbrio conclui-se que uma partícula em equilíbrio está em repouso ou movimenta-se sobre 
uma reta com velocidade constante. 
Quando efeito global das forças sobre uma partícula é zero a partícula é dita em equilíbrio. 
O polígono fechado é uma expressão gráfica do equilíbrio de A. Para exprimir algebricamente 
as condições de equilíbrio de uma partícula, escrevemos 
0R F= Σ = 
Decompondo cada força F em componentes retangulares, temos 
( ) ( ) ( )0 0x y x yF i F i ou F i F jΣ + = Σ +Σ = 
Concluindo-se que a condição necessária e suficiente para o equilíbrio de uma partícula é: 
0FxΣ = e 0FyΣ = 
 
Solução: 
1) 0FxΣ = 3 . cos 2 . cos 60º 1T T Tθ = + 
2) 0FyΣ = 3 . 2 . 60ºF T sen T senθ= + e dividindo a segunda pela primeira 
2 . 60º 0,8896
2 . cos 60º 1
F T sentg
T T
θ −= =
+
 41,656º 3 180,688 e T Nθ = = 
 
2.4.1 Diagrama de corpo livre. 
Um grande número de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzido, no 
entanto, a problemas referentes ao equilíbrio de uma partícula. Isto é feito escolhendo-se uma 
partícula conveniente e esquematizando-se em um diagrama separado, todas as forças que 
sobre ela são exercidas. Tal diagrama é chamado diagrama de corpo livre. 
Como exemplo, consideremos que um caixote entre dois prédios, pesando 70 N, está sendo 
colocado sobre um caminhão, que o removerá. O caixote é sustentado por um cabo vertical 
ligado a duas cordas que passam por polias fixadas nos prédios. Qual a força de tração em 
cada uma das cordas AB e AC. 
 
ESTÁTICA – DEC 3674 21
 
 
 
 
 
Para resolver este problema, é necessário o traçado de um diagrama de corpo livre, que mostre 
a partícula em equilíbrio e, neste caso o ponto A é adequado para servir como corpo livre para 
este problema e o diagrama de corpo livre é mostrado na figura b). 
Na figura c) mostra-se a os segmentos de reta RAB e RAC construídos, respectivamente, a 
partir do final e da origem do vetor da força. A intersecção dos dois segmentos de reta define 
a construção do polígono de forças (figura d) fechado, ou seja, em equilíbrio. 
 
Solução pela Lei dos senos: 70
60º 40º 80º
ACAB TT
sen sen sen
= = 
TAB = 70 x sen 60º/sen 80º = 61,56 N 
TAC = 70 x sen 40º/sen 80º = 45,69 N 
 
Solução algébrica: 
cos30º0 cos50º cos30º 1,3473 
cos50ºAB AC AB AC AC
Fx T T T T TΣ = ⇒ = ⇒ = = 
0 sen 50º sen 30º 70 1,3473 . 0,766 0,5 70AB AC AC ACFy T T T TΣ = ⇒ + = ⇒ + = 
TAC = 45,689 N e TAB = 1,3473 TAC = 61,557 N 
 
 
Exercício 01 - Numa operação de descarga de navio, um automóvel de 1750 kgf é suportado 
por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada a fim de que o automóvel seja 
centralizado na posição desejada. O ângulo entre o cabo e a vertical é de 2°, enquanto o 
ângulo entre a corda e a horizontal é de 30°. Qual é a tração nesta corda? 
B 
50º 30º 
 A 
C 
50º 30º
 A 
TAC
70 N
TAB
50º
30º
RAB 
RAC 
50º
30º
TAB 
TAC 
a) b) c) d) 
ESTÁTICA – DEC 3674 22 
 
Exercício 02 - Determinar a intensidade, a direção e sentido da menor força F que manterá a 
caixa em equilíbrio. Observar que a força exercida pelos roletes sobre a caixa é perpendicular 
ao plano inclinado. 
 
Exercício 03 - Um pequeno barco está ancorado por três cordas amarradas a pilastras às 
margens do rio. A corrente exerce uma força de arrasto sobre o barco no sentido da jusante. 
As trações nas cordas A e B são medidas e encontrados os valores A = 120 kgf e B = 80 kgf. 
Determinar a intensidade da força exercida pela corrente e a tração na corda C. 
 
 
ESTÁTICA – DEC 3674 23
Exercício 04 - Um parafuso é utilizado para escorar três cabos de sustentação como está 
indicado. É dada a tensão em cada cabo. Determinar a intensidade, direção e sentido da força 
exercida pela fundação sobre o parafuso. 
 
 
Exercício 05 - Duas forças P = 1000 kgf e Q = 1200 kgf são 
aplicadas a esta conexão de avião. Sabendo que a conexão 
está em equilíbrio, determinar os esforços T1 e T2. 
Exercício 06 - Duas forças P e Q são aplicadas à conexão do 
avião. Em certo instante, quando a conexão está em equilíbrio, 
é medido que T1 = 560 kgf e T2 = 120 kgf. Determinar os 
valores correspondentes de P e Q, 
Exercício 07 - Uma partícula A está em equilíbrio sob a ação 
das quatro forças indicadas. Determinar a intensidade, direção 
e sentido de Q. 
Exercício 08 - Uma caixa de 600 kgf é suportada por vários 
arranjos de corda e roldanas, como mostra a figura. 
Determinar, para cada arranjo, a tensão na corda. (A tensão na corda é a mesma em cada lado 
da roldana). 
 
ESTÁTICA – DEC 3674 24 
Exercício 09 - Resolver as partes b e d deste exercício supondo que a extremidade da corda 
está fixada à caixa. 
 
Exercício 10 - Um caixote de 750 kgf é levantado 
por um cabo de guindaste CD. Uma alça A CB de 
1,5 m de comprimento é afixada ao caixote de cada 
uma das maneiras mostradas. Determinar a tensão 
na alça em cada caso. 
 
 
 
Exercício 11 - Uma arca móvel e seu conteúdo pesam 370 
kgf. Determinar a menor braçadeira ACB que pode ser usada 
para erguer a arca carregada, se a tensão na braçadeira não 
pode exceder a 450 kgf. 
 
2.5 Equilíbrio de corpos rígidos 
Um corpo rígido é composto por inúmeras partículas, assim, estará em equilíbrio quando 
todas suas partículas estiverem. Em outras palavras, um corpo rígido sob a ação de uma ou 
mais forças, estará em equilíbrio quando as forças externas atuantes sobre ele formam um 
sistema de forças equivalentes a zero, isto é, quando as forças externas podem ser reduzidas a 
uma força nula e um conjugado nulo. As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio 
de um corpo rígido são: 
Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 e Σ M(i) = 0 
Observe que em um corpo rígido em duas dimensões as forças, as reações dos apoios e as 
conexões da uma Estrutura estão contidas no plano da figura. 
Quando o sentido de uma força ou de um conjugado desconhecido não é previsível, devemos 
tomá-lo arbitrariamente; o sinal da resposta obtida indicará, então, se o sentido adotado é 
correto ou não. 
ESTÁTICA – DEC 3674 25
Exemplo 01 - Para a viga abaixo, traçar o diagrama de corpo livre e determinar as reações de 
apoio sabendo-se que a viga tem uma massa de 17 N por metro linear. 
 
 
 
 
P1 = 400 . 6 . 1/2 = 1200 N aplicada no centro do triângulo = 1/3 da base 
P2 = pv . 6 = (17 . 10) . 6 = 1020 N aplicada no centro da viga 
 
Σ Fx = 0 (não tem forçashorizontais aplicadas) HA = 0 
Σ Fy = 0 P1 + P2 = VA VA = 1200 + 1020 = 2220 N 
Σ M(A) = 0 P1 . 2,0 + P2 . 3,0 = M(A) M(A) = 2400 + 3060 = 5460 N.m 
 
Veja que Σ M(i) = 0, ou seja, a somatória de momentos em qualquer ponto é nula. 
 
Exemplo 02 – Determinar as reações de apoio da viga representada pela figura abaixo, 
desprezando o peso próprio da viga no cálculo. 
 
 
 
 
Solução: 
Σ Fx = 0 RHA + F1 cos 40º = 0 RHA + 459,63 = 0 RHA = - 459,63 N 
Σ Fy = 0 RVA + RVB = F1 sem 40º + F2 → RVB = - RVA + 385,67 + 100 
Σ M(A) = 0 F1 . sen 40º . 2,0 + F2 . 5,0 = RVB . 7,0 RVB = (385,67 . 2 + 100 . 5) / 7 
 RVB = 181,62 N 
2,0 m 3,0 m 2,0 m 
A 
40º 
D C B 
F1 = 600 N 
F2 = 100 N 
RVA
D C 
F1 sen 40º F2 
F1 cos 40ºRHA
RVB
 400 N 
 
 
A 
B6,0 m 
B
 HA
MA 
 VA
P1 P2 
2,0 m
3,0 m
ESTÁTICA – DEC 3674 26 
RVA = - RVB + 385,67 + 100 → RVA = 304,05 N 
 
Veja que foi obtido um valor negativo para RHA, ou seja, sentido contrário ao disposto. 
 
Exemplo 03 – Determinar as reações de apoio da estrutura representada pela figura abaixo. 
 
 
Σ Fx = 0 RHA + F2 = 0 RHA + 800,0 = 0 RHA = - 800,0 N 
Σ Fy = 0 RVA + RVB = 700,0 → RVB = - RVA + 700 
Σ M(A) = 0 RVB . 1,0 - F2 . 2,0 = 0. → RVB = (800 . 2) 
 RVB = 1600,0 N 
RVA = 700 - RVB → RVA = - 900,0 N 
 
Veja que foram obtidos valores negativos para RHA e RVA, ou seja, sentidos contrários ao 
disposto. 
 
 
 
 
0,25 m 
2,
0 
m
 
A 
1,0 m 
B 
F1 = 700 N 
F2 = 800 N 
RVA
RHA
2,
0 
m
 
A 
1,0 m
B 
F1 = 700 N 
F2 = 800 N 
RVB 
0,25 m