DenilsonAires CDII Portfolio06

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Universidade Federal do Ceará 
Curso: Licenciatura Plena em Matemática 
Aluno: Denilson Aires dos Santos 
Disciplina: Cálculo Diferencial II 
Matrícula: 298186 
 
1. Nos exercícios, descreva e faça um esboço da imagem da região 
indicada através da transformação dada: 
a) 3. H(u, v) (u cos v, u sen v) com 0 u 1 e 0 v 2 ;      
x ucosv
y usenv
x² y² (u cosv)² (usenv)² u²cos ²v u²sen²v u²(cos ²v sen²v) u²(1) u²
x² y² u²


        
 
 
Com as variações de u e v temos um circulo unitário com centro na origem. 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cai.ufc.br/brasao.jpg&imgrefurl=http://www.cai.ufc.br/resultadobrafitec_2009.htm&usg=__w56WL45dXUoCtxtO_Wt0c16nxfU=&h=720&w=540&sz=49&hl=pt-BR&start=3&itbs=1&tbnid=K-OsEfQZSUQ7rM:&tbnh=140&tbnw=105&prev=/images?q=universidade+federal+do+cear%C3%A1&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.simoespi.com.br/site/wp-content/uploads/2009/08/UAB.jpg&imgrefurl=http://www.simoespi.com.br/site/ufpi-divulga-resultado-da-selecao-para-uapi/&usg=__WV5s2Rypzm-gmwwzasF87mFTUqY=&h=400&w=399&sz=74&hl=pt-BR&start=1&itbs=1&tbnid=OxSRkeyZhO7D8M:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=uab&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
b) 5. f (u, v) (2cos u sen v, 2sen u sen v, 2cos v) com 0 u 2 e 0 v ;       
x 2cosusenv
y 2senusenv
z 2cosv
x² y² z² (2cosusen v)² (2sen usen v)² (2cosv)² 4cos ²usen²v 4sen²usen²v 4cos ²v
sen²v(4cos ²u 4sen²u) 4cos ²v sen²v[4(cos ²u sen²u)] 4cos ²v 4sen²v 4cos ²v 4(sen²v cos ²v) 4



        
         
 
Com as variações de u e v temos uma esfera com centro na origem e raio 
2(2²=4). x² y² z² 2²   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 7. h(u, v) (u cos v, u sen v, u) com 0 u 2 e 0 v 2 ;      
x ucosv
y usenv
z u
x² y² (ucosv)² (usenv)² u²cos ²v u²sen²v u²(cos ²v sen²v) u²
x² y² u²



       
 
 
Como z=u, temos: 
x² y² z²  
Concluimos que temos a parte superior do cone. 
x
y
z
 
 
 
 
 
 
d) 9. p(u, v) (u cos v, u sen v, v) com 0 u 2 e 0 v 2 ;      
x u cos v
y usenv
z v



 
f (v) (0*cosv,0*senv,v) (0,0,v)
f (v) (1*cosv,1*senv,v) (cosv,senv,v)
f (v) (2*cosv,2*senv,v) (2cosv,2senv,v)
 
 
 
 
P(b) é a folha helicoidal entre os planos z=0 e z=2pi, e entre o eixo Z e a 
hélice dada por f(v)=(2cosv,2senv,v). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
z
x
y
z
2. 13. Mostre que a imagem do 2R através da transformação definida por 
u uf (u, v) (uv e , 3sen v e 3uv, 4uv 6sen v),     é um plano. 
Solução: 
u
u
x uv e
y 3sen v e 3uv
z 4uv 6sen v
 
  
 
 
Somando x+y teremos: 
u ux y uv e 3sen v e 3uv
x y 3senv 2uv
     
  
 
Substituindo o valor encontrado em z, teremos que: 
z 4uv 6sen v
z 2(2uv 3senv)
z 2(3senv 2uv)
z 2(x y)
z
(x y)
2
z
x y
2
z
x y 0
2
z
x y 0
2
 
 
  
  
  
  
  
  
 
Assim concluímos que a imagem do R² através da transformação da função 
representa um plano. 
Outra maneira como sugeriu no fórum: 
Mostrar que 2x+2y+z=0 
3 3
4 6
2 2 0
2( ) 2(3 3 ) 4 6 0
2 2 6 2 6 4 6 0
2 4 6 2 2 6 6 0
u
u
u u
u u
u u
x uv e
y senv e uv
z uv senv
x y z
uv e senv e uv uv senv
uv e senv e uv uv senv
uv uv uv e e senv senv
 
  
 
  
      
      
      
 
Assim a imagem de f está no plano. 
3. 14. Mostre que a imagem do 2R através da transformação 
g(u,v) (a cosh ucos v, bcosh usen v, cosh u), é um hiperbolóide elíptico de uma 
folha. Ache as variações de u e v para que o hiperbolóide seja coberto 
apenas uma vez. 
Solução: 
x a cosh ucosv
y bcosh usenv
z cosh u



 
Colocando x em função do cosv e y em função do senv: 
x
cosv
a cosh u
y
senv
bcosh u


 
Usando a relação cos²v+sen²v=1, obteremos: 
2 2
x y
1
a cosh u bcosh u
x² y²
1
a²cosh²u b²cosh²u
x²b² y²a²
1
a²b²cosh²u
x²b² y²a² a²b²cosh²u
   
    
   
 


 
 
Simplificando ambos os membros por a²b²: 
x² y²
cosh²u como(z cosh u)
a² b²
x² y²
z²
a² b²
x² y²
z² 0
a² b²
   
 
  
 
Com z=coshu≥1, temos a parte superior de um cone elíptico no ponto 
(0,0,1). 
 
Pois a equação do cone elíptico é dada por 
² ² ²
0
² ² ²
x y z
a b c
   .
 
Quanto à variação, fixando u e variando v, teremos elipses paralelas ao 
plano xy, com a forma ( ) ( cos , , )G v A v Bsenv C , com A, B e C constantes. 
Fazendo o inverso, fixando v e variando u, teremos segmentos de reta da 
forma, ( ) ( cosh , cosh , cosh )G u A u B u C u , onde A, B e C são constantes. 
 
4. No exercício, usando o exercício 20, determine as famílias de curvas 
ortogonais às famílias de curvas dadas: 
21. x y r2 2 2  ; 
Solução: 
Vemos que as curvas estão centradas na origem e tem raio r, assim sua 
parametrização é da forma: ( ) ( cos , )t r t rsent  . 
Sua derivada primeira, que é dada pelo vetor velocidade é: 
'( ) ( , cos )F t rsent r t   
Pelas informações da questão 20, o vetor que é ortogonal a F é da forma 
( )F t   . 
Como observamos na aula Assim, em cada ponto da curva  , F  aponta 
na direção contraria do vetor posição. A reta passando pela origem na 
direção de F  é a curva integral de F  que, pelo exercício 20, é ortogonal 
a curva  . As retas passando pela origem tem a forma y=cx. 
5. 33. Ache a função que transforma a bola esférica 2 2 2u v w 1   na bola 
elipsóidica 
22 2
2 2 2
yx z
a b c
1   . Determine também a função F: 3 3R R que 
transforma um paralelepípedo retângulo na bola elipsóidica e defina 
esse paralelepípedo. 
Solução: 
Fazendo a relação entre as funções 2 2 2u v w 1   e 
22 2
2 2 2
yx z
a b c
1  
, teremos: 
 
x²
u²
a²
x² u² *a²
x a *u



 e 
y²
v²
b²
y² v² *b²
y b* v



 e 
z²
w²
c²
z² w² *c²
z c* w



. 
Concluímos que T(u, v) = (au, bv, cw). 
Usando 
22 2
2 2 2
yx z
a b c
1  
 
E considerando 1≤1: 
sen² cos² 1
sen² (1) cos² 1
  
    Utilizando a identidade sen²α+cos²α=1 
sen² (cos ² sen² ) cos ² 1
sen² cos ² sen² sen² cos ² 1
      
       
 
Relacionando os valores encontrados com 
22 2
2 2 2
yx z
a b c
1  
, 
Teremos: 
x² y² z²
sen² cos ² sen² sen² cos ²
a² b² c²
x²
sen² cos ²
a²
x² a² *sen² cos ²
x a *sen cos
         
  
  
  
 
y²
sen² sen²
b²
y² b² *sen² sen²
y b*sen sen
  
  
  
 
z²
cos ²
c²
z² c² *cos ²
z c*cos
 
 
 
 
Assim: 
(x, y,z) (a *sen cos ,b*sen sen ,c*cos )     
 
Com isso, 
f (r, , ) (ar *cos sen ,br *sen sen ,cr *cos )       
 
O paralelepipedo com variações 
0 r 1
0 2
0
 

   
    
.