O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia civil

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O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia
civil
Professor(a): Bruno Henrique Oliveira Mulina (Doutorado)
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I. Ao avaliar as diferentes tensões às quais um elemento está submetido, existem aquelas
aplicadas por toque e outras aplicadas à distância. No caso das tensões aplicadas à
distância, está distribuída sobre uma área (da face do elemento), enquanto a outra submete
todo o elemento à tensão de forma igual. 
PORQUE 
II. As forças de contato acabam impondo a todo o elemento um esforço que pode deslocá-
lo inteiro. Com isso, todos os vértices se movem de forma igual, sem gerar deformação. 
Assinale a alternativa acerca das asserções supracitadas, bem como a relação entre elas.
Alternativas:
A primeira asserção e a segunda estão corretas, mas não possuem relação.
A primeira e a segunda asserções estão incorretas.
A primeira asserção está incorreta e a segunda está correta.  CORRETO
A primeira asserção está correta e a segunda justifica a primeira.
A primeira asserção está correta e a segunda está incorreta.
Código da questão: 49754
Ao estudar problemas reais tridimensionais envolvendo elementos estruturais, como
vigas e colunas, o desenvolvimento dos problemas de formas tridimensionais, envolvendo
todas as tensões e deformações, pode resultar em um modelo matemático complexo e de
difícil solução. Por esse motivo, algumas aproximações podem ser adotadas. Uma delas
permite que os problemas tridimensionais de elasticidade sejam estudados como
problemas bidimensionais.
Com base nessas aproximações e o desenvolvimento desses problemas por meio de
elementos finitos, é correto afirmar que:
Alternativas:
A matriz de rigidez de um problema de estado plano de tensão é mais 
simples de ser resolvida quando comparada ao plano de deformação, já que não 
considera a deformação em um dos eixos.
Quando estudado o estado plano de deformação, os polinômios 
interpoladores de cada elemento estão presentes nos três eixos de orientação 
(x, y e z).
A matriz de rigidez em problemas de estado plano de tensão não considera 
o coeficiente de Poisson no cálculo de seus elementos, já que a deformação em 
um dos eixos é desprezível.
O estado plano de deformação é uma aproximação que desconsidera a tensão 
sobre um dos eixos, normalmente o eixo z. Por esse motivo, não existe 
deformação nesse eixo.
Resolução comentada:
No caso das tensões, as de contato afetam diretamente apenas a face na qual são
aplicadas, apenas propagando o efeito ao longo do elemento. As tensões de campo,
ao contrário, afetam diretamente todo o elemento de forma regular. A segunda
asserção está correta. Ao aplicar uma tensão o elemento não necessariamente se
deforma (pense: empurrando um bloco sobre uma superfície lisa, ele se move mas
não se deforma).
3)
O estado plano de tensão é aplicado em elementos com espessura muito 
fina, de modo que a aplicação de tensão sobre o eixo da espessura promova uma 
deformação desprezível.  CORRETO
Código da questão: 59350
Dentre as etapas no desenvolvimento de modelos numéricos, algumas devem ser
seguidas. A sequência das etapas a serem executadas permite distinguir cada relação
importante, como as funções de interpolação, condições de contorno e matriz de rigidez.
Com relação a esses elementos, podemos definir: 
I. As funções de interpolação definem como a variável a ser estudada se comporta dentro
de cada elemento. 
II. As matrizes de rigidez definem as condições a serem aplicadas nas faces de cada
elemento. 
III. O método de resíduos ponderados é uma técnica aplicada para solução dos problemas
por meio dos métodos de elementos finitos. 
IV. A formulação analítica do problema considera que o comportamento a ser estudado é
descrito por meio de uma sequência de subtrações. 
V. As matrizes elementares destacam o comportamento de cada elemento do problema
discretizado. 
São verdadeiras apenas as asserções:
Alternativas:
Somente V.
III - IV.
I - II - IV.
I - III - V.  CORRETO
Somente III.
Resolução comentada:
O estado plano de deformação é uma condição na qual não existe deformação em
um dos eixos, mesmo existindo tensão. Nesse caso, a deformação acaba sendo
refletida nos outros eixos.
No plano de tensão a tensão pode ocorrer nos três eixos, porém a deformação
causada em um dos eixos é desprezível por conta da espessura do elemento, por
isso é um plano relacionado a chapas.
No plano de deformação a tensão em um dos eixos pode ser descrita como função
das tensões nos outros eixos. Por esse motivo o problema acaba sendo
bidimensional, o que resulta na necessidade de polinômios apenas em dois eixos.
Nos dois problemas de deformação as dimensões das matrizes são as mesmas, já
que nos dois casos os problemas são 2D. Nesse caso, as matrizes somente seriam
menores caso fossem utilizados elementos triangulares ao invés de retangulares.
O coeficiente de 
Poisson está relacionado ao cisalhamento do elemento, existente 
independentemente do tipo de estado plano considerado.
Resolução comentada:
A asserção I está correta, já que as funções de interpolação permitem definir como
as variáveis estudadas se comportam conforme aplicação de uma condição de
contorno. 
A asserção II está incorreta, pois as matrizes de rigidez definem o comportamento
global do problema, e não as condições de contorno (aplicadas às faces). 
A asserção III está correta, já que o método dos resíduos ponderados é um dos
principais para solução do MEF. 
A asserção IV está incorreta, pois a formulação analítica prevê que a função original
seja um polinômio de mesma ordem que a equação diferencial. Por exemplo, uma
equação diferencial de segunda ordem é originada de um polinômio de segundo
grau. 
A asserção V está correta, já que as matrizes elementares descrevem o
comportamento físico e as respostas para cada elemento. Essa matriz depois será
usada para construir a matriz de rigidez.
4)
5)
Código da questão: 49742
Para o desenvolvimento das funções de interpolação, existem algumas características
importantes a serem levadas em consideração. Uma delas é que, devido às dimensões de
cada elemento discretizado, que estas funções sejam aproximadas a polinômios de
primeira ordem. Outra característica importante, caso o elemento seja isoparamétrico, é:
Alternativas:
A geometria do elemento, já que, conforme a geometria do elemento, o formato das
funções de interpolação serão diferentes.
O tipo de material presente no domínio estudado, representados pelo coeficiente de
elasticidade e de Poisson.
A aplicação do operador laplaciano para o cálculo das tensões em cada vértice.
O número de elementos usados na discretização do domínio de interesse.
O número de vértices dos elementos escolhidos para a discretização do domínio
estudado.  CORRETO
Código da questão: 49751
Sobre a Quadratura de Gauss, considere as seguintes afirmações: 
( ) É um dos métodos de integração muito utilizado no método dos elementos finitos. 
( ) Fornece maior precisão nos resultados e otimiza a posição dos pontos utilizados na
definição de valores da função. 
( ) O intervalo [-1,1] corresponde a uma mudança da variável x para ɛ (adimensional). 
( ) A sua metodologia possui a vantagem de ser facilmente incluído em um programa de
computador destinado à análise de estruturas pelo método de elementos finitos. 
( ) É um método que demonstra complexidade para integrais em duas e três dimensões. 
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.
Alternativas:
V – V – F – V – F.
V – V – V – V – F.  CORRETO
F – V – F – V – V.
F – V – F – V – F.
F – V – V – V – V.
Código da questão: 49763
Resolução comentada:
O comportamentodas expressões de interpolação em um elemento isoparamétrico
não é afetado pelas geometrias (varia apenas o fator de volume da expressão, mas o
formato é o mesmo). As propriedades do material não afetam as funções de
interpolação, sendo importante na matriz elementar. O número de elementos não
afeta nas funções de interpolação, já que o tipo e número de funções depende no
número de vértices do elemento. O operador laplaciano não tem relação nenhuma
na obtenção das funções de interpolação.
Resolução comentada:
A quadratura de Gauss é um dos métodos de integração muito utilizado no método
dos elementos finitos. Fornece maior precisão nos resultados e otimiza a posição
dos pontos utilizados na definição de valores da função. O intervalo [-1,1]
corresponde a uma mudança de variável x para ɛ (adimensional). 
A metodologia da quadratura de Gauss apresenta a vantagem de ser facilmente
incluído em um programa de computador destinado à análise de estruturas pelo
método de elementos finitos. 
E apresenta um método que demonstra facilidade para integrais em duas e três
dimensionais.
6)
7)
Alternativas:
II - III - V.
V
I - III - IV.
I - II.  CORRETO
II - IV.
Código da questão: 49752
Dentro das fontes de erro, algumas podem ser manipuladas de modo a reduzir o erro do
método dos elementos finitos (MEF), enquanto outras estão aquém das escolhas do
usuário. Com relação às medidas de erro, avalie as afirmações dadas a seguir: 
( ) Os erros elementares são caracterizados a partir das matrizes elementares, já que este
erro é medido ao nível dos nós. 
( ) A norma de máximo é obtida por meio do produto entre a matriz de erros elementares e
sua transposta. 
( ) A medida de erro de von Mises define o erro em cada direção do domínio. Essa medida
indica a relação entre o erro e a geometria do domínio. 
( ) A obtenção da norma energética depende de uma função de ajuste para fornecer um
valor diferente da norma quadrática. 
( ) As medidas de erro elementar são obtidas usando apenas o deslocamento do nó em
cada elemento.
Avalie as afirmações anteriores em verdadeiro (V) ou falso (F):
Alternativas:
F - V - F - F - V.
Resolução comentada:
A afirmação I está correta, uma vez que a tensão de cisalhamento é aplicada
paralelamente à face do elemento. A afirmação II está correta, uma vez que a tensão
2 é aplicada de modo a estender o elemento na direção do eixo z. Caso os nós 1-2-
3-4 estejam engastados, o alongamento do elemento no sentido do eixo z ocasiona
na redução da área transversal no plano xy. A afirmação III está errada, uma vez que
o cisalhamento não reduz as dimensões do elemento, apenas o deformam (um
quadrado se transforma em um losango). A afirmação IV está errada uma vez que a
tensão 2 é uma tensão normal. A afirmação V está errada, pois a deformação deve
alterar a forma, e não o volume do elemento.
8)
9)
V - V - F - F - F.
V - F - V - F - F.
V - F - V - F - F.
F - F - V - V - F.  CORRETO
Código da questão: 49768
Avalie as afirmações sobre os softwares presentes no mercado, baseados em MEF: 
I. O software PLAXIS é usado para projeto de reforço estrutural, podendo ser utilizado para
prever modos de ruptura. 
II. O TQS é um software usado para projeto de estruturas de concreto, capaz de fazer a
análise e dimensionamento conforme a ABNT NBR 6118. 
III. O ANSYS é um software usado para projeto de estruturas metálicas, sendo capaz de
fazer o dimensionamento da estrutura conforme ABNT NBR 8800. 
IV. O ADINA é um software de elementos finitos usado para avaliação e análise de
problemas específicos dentro da engenharia de estrutura. 
Assinale a alternativa que apresenta todas afirmações verdadeiras:
Alternativas:
Afirmações II e III.
Afirmações II e IV.  CORRETO
Afirmações I, III e IV.
Apenas afirmação II.
Apenas a afirmação I.
Código da questão: 49772
Em estudo, Azevedo (2003) concluiu que a metodologia de integração numérica da
quadratura de Gauss é vantajosa e apresenta facilidades no processo de análise de
estruturas pelo método de elementos finitos. O autor também apresenta um desafio a ser
superado na metodologia apresentada. 
AZEVEDO, A. F. M. Métodos dos Elementos Finitos. Portugal: Faculdade de Engenharia da
Universidade do Porto Portugal, 2003. Disponível em:
http://alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed/doc/Livro_MEF_AA.pdf.
Acesso em: 16 set. 2019.
Resolução comentada:
A primeira afirmação está errada, pois, ao mensurar os erros elementares, são
usados os campos de variáveis calculadas. Isso não inclui a matriz elementar, uma
vez que esta matriz é uma constante no desenvolvimento do problema. A segunda
afirmação está errada, já que a norma de máximo é obtida por meio do maior erro
elementar, e não pelo produto das matrizes (esse produto define a norma
quadrática). A terceira afirmação está correta, já que a norma de erro von Mises é
calculada para cada direção do domínio. A quarta afirmação está correta, já que a
diferença entre a norma quadrática e a energética está na presença da função de
ajuste no produto das matrizes. A quinta afirmação está errada, já que a medição de
erro pode ser realizada com qualquer variável possível de cálculo, como, por
exemplo, o deslocamento, a energia potência, ou as tensões calculadas em cada
elemento.
Resolução comentada:
A afirmação I é falsa, pois o PLAXIS é um software usado para projetos na área de
geotecnia, não para reforço estrutural. 
A afirmação II é considerada verdadeira uma vez que o TQS é um software
amplamente integrado à rotina de cálculo e projeto de estruturas de concreto
conforme a ABNT NBR 6118. 
A afirmação III é falsa, uma vez que o ANNSYS é um software usado para simulações
numéricas, seja de elementos metálicos ou não. O software não faz o
dimensionamento de estrutura. 
A afirmação IV é verdadeira, pois o ADINA é um software de MEF usado para
simulação de problemas mais complexos dentro da engenharia de estruturas.
10)
Sobre o desafio a ser enfrentado na metodologia de integração numérica da Quadratura de
Gauss, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
Possuem caráter polinomial.
É a escolha do número de pontos para que estejam adequados conforme a necessidade
pretendida.  CORRETO
Otimização da posição dos pontos utilizados na definição de valores da função.
Devem ser incluídos em um programa de computador destinado à análise de estruturas
pelo MEF.
Fornecer maior precisão nos resultados.
Código da questão: 49760
O uso da tecnologia BIM permitiu um grande avanço no desenvolvimento de projetos,
embora muitos profissionais ainda se apresentem receosos ao usar esta tecnologia. Julgue
as afirmações a seguir em Verdadeiro ou Falso. 
( ) BIM é um acrônimo do inglês para building inteligence method, que corresponde à
tradução de método de construção inteligente. 
( ) Os softwares na metodologia BIM são muito usados para gerenciar diversos projetos e
verificar eventuais interferências entre si. 
( ) BIM é uma técnica que permite a construção de um modelo virtual com todas as
informações da obra, permitindo até que a estrutura seja testada por simulações no
computador. 
( ) O BIM é um sinônimo de MEF, ambos são usados para solução numérica de problemas
físicos. 
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.
Alternativas:
F – V – V – V.
V – F – F – V.
V – V – F – V.
F – V – V – F.  CORRETO
F – V – F – V.
Código da questão: 49773
Resolução comentada:
A integração numérica tem como desafio a escolha do número de pontos que sejam
adequados, conforme a necessidade pretendida.
Resolução comentada:
A primeira afirmação é falsa, pois BIM é um acrônimo para Building information
Modeling, que em português refere-se a modelo de informações da construção. 
A segunda afirmação é verdadeira, pois o uso de softwares na metodologia BIM
permite a visualização de diversos sistemas integrados em um mesmo modelo. 
A terceira afirmação é verdadeira, pois o BIM permite que o teste e simulações de
diversas condições do modelo virtual da edificação. 
A última afirmação é falsa, pois BIM e MEFsão coisas diferentes; caso o aluno ainda
tenha alguma dúvida, recomenda-se consultar o item assimile da leitura
fundamental.
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