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Resistência de Materiais II Professora: Cristiane Arantes Bibliografia Recomendada •HIBBELER, R.C., Resistência dos Materiais. 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. •BOTELHO,H.C. Manoel. Resistência dos Materiais – Para entender e Gostar. São Paulo: Editora Blucher, 2008. •BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell Jr.; DEWOLF, John T. Resistência dos Materiais. 4ª ed. São Paulo: McGraw-Hill/Tecmed, 2006. Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Um reservatório cilíndrico de raio r e espessura t é considerado de parede fina se: 𝑟 𝑡 ≥ 10 Figura 01: Tanques de armazenamento Figura 02: Compressores de Ar Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Nessa condição, pode-se supor que as tensões se distribuem de maneira uniforme ao longo da espessura do cilindro. Também é suposto que está sujeito a uma pressão interna uniforme p, maior que a atmosférica e relativa à mesma, isto é, pressão manométrica. O quadrilátero pequeno da Figura 01 representa uma porção elementar da parede do cilindro, que sofre ação das tensões: α1 ao longo da circunferência, α2 no sentido longitudinal. Figura 03: Tensão circunferencial Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Considera-se uma porção cilíndrica de largura Δx como em A da mesma figura. Se essa porção é cortada diametralmente (B da figura), a tensão σ1 atua na direção perpendicular às superfícies das extremidades S1. Para o equilíbrio estático, a força devido a essas tensões deve ser igual à força devido à pressão interna p. Assim, 2 × 𝜎1 × 𝑆1 = 2 × 𝜎1 × ∆𝑥 × 𝑡 = 𝑝 × 2𝑟 × ∆𝑥. Notar que a força devido à pressão é igual ao valor dela multiplicado pela área frontal às extremidades das superfícies S1 (2r Δx) e não ao longo da circunferência. Portanto, 𝝈𝟏 = 𝒑×𝒓 𝒕 Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Para a tensão σ2, considera-se um corte transversal do cilindro conforme Figura 02. A tensão σ2 atua sobre uma coroa circular conforme indicado no lado direito da figura. Como t é pequeno em relação a r, pode-se supor sua área igual a 2 π r t. E a força para equilibrar é igual à pressão interna multiplicada pela área do círculo de raio r. Assim, 𝜎2 × 2𝜋𝑟𝑡 = 𝑝𝜋𝑟 2. Portanto,𝝈𝟐 = 𝒑×𝒓 𝟐𝒕 Figura 04: Tensão longitudinal Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Falha em uma tubulação de cobre devido ao excesso de pressão interna pelo congelamento da água (freezing). Note que a falha ocorreu em planos a 45º da superfície do tubo. Figura 05: Falha de tubulação cilíndrica Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Seja um reservatório esférico de raio r e espessura t de parede. A parede é considerada fina se 𝑟 𝑡 ≥ 10, de forma similar ao cilíndrico do tópico anterior. Se o reservatório é preenchido por um fluido sob pressão p (relativa a atmosférica), a simetria sugere que as tensões σ são as mesmas em quaisquer direções. Considerando-se uma semi-esfera conforme lado direito da Figura 03, a tensão σ atua perpendicularmente à área cortada (aproximadamente igual a 2 π r t). Figura 06: Tensão circunferencial Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas • Devido à simetria do vaso e ao modo de deformação assumido, a tensão normal é uniforme ao redor da circunferência e constante na espessura. • A equação σ=pr/2t será obtida para qualquer corte da esfera através do seu centro, logo o vaso estará submetido as mesmas tensões sem todas as direções. • Na superfície o estado é plano das tensões e no interior triaxial mas, como r/t>10 σ3<<σ1,2 e pode-se considerar estado plano em toda a espessura. Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas E a força para manter a condição de equilíbrio estático é igual à pressão interna multiplicada pela área do círculo de raio r. Assim, σ2𝜋𝑟𝑡 = 𝑝𝜋𝑟2 Ou 𝜎 = 𝑝𝑟 2𝑡 Observar que é igual à menor tensão calculada para o reservatório cilíndrico do tópico anterior. Por isso, pode-se supor que o reservatório esférico é o que suporta maior pressão com a menor quantidade de material. Aula 1 Vasos de pressão de paredes finas Teste de Pressão em Vaso Esférico Figura 07: Falha em vaso esférico Aula 1: Vasos de pressão de paredes finas Exercício 1) O tanque do compressor de ar está sujeito a uma pressão interna de 0,63 MPa. Se o diâmetro interno do tanque for 550 mm e a espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da tensão que agem no ponto A. Aula 1: Vasos de pressão de paredes finas Exercício 2) O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de polivinil tem diâmetro interno de 100 mm e espessura de 5 mm. Se transportar água corrente à pressão de 0,42 MPa, determine o estado de tensão nas paredes do tubo. Aula 1: Vasos de pressão de paredes finas Exercício 3) O tanque cilíndrico de armazenamento despressurizado tem uma espessura de parede de 4,8 mm, é feito de uma aço com 400 Mpa de tensão de escoamento, possui uma altura máxima de 14,6 m e um diâmetro externo de 7,6 m. Determine: a) A máxima altura h da água, que pode ser suportada pelo tanque se um coeficiente de segurança de 4,0 é desejado. Considere o peso específico da água igual a 9807 N/m³. b) As tensões circunferencial e longitudinal se o tanque estiver completamente cheio. c) Considere o fator de segurança de 4,0, o tanque poderia ser utilizado nas condições da letra b? Justifique. Aula 1: Vasos de pressão de paredes finas Exercício 4) Um vaso de pressão esférico tem um diâmetro interno de 4,0 m e uma espessura de parede de 15 mm. O tanque será construído de aço estrutural que tem limite de escoamento de 250 Mpa. Se a pressão interna no vaso for de 1200 kpa, responda: a) Este vaso pode ser tratado como uma peça de parede fina? Justifique. b) Qual é a tensão na parede do vaso? c) Qual é o coeficiente de segurança de projeto para este vaso em relação ao limite de escoamento? 5) Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m. Se for submetido a uma pressão interna p = 300 kPa, determine a espessura exigida para que a tensão normal máxima não ultrapasse 12 MPa. Aula 1: Vasos de pressão de paredes finas Exercício 6) Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 125 mm de espessura. Se for submetido a uma pressão interna p = 1,4 MPa, determine seu raio externo para que a tensão normal máxima não ultrapasse 105 MPa. 7) A figura mostra duas alternativas para apoiar o cilindro de parede fina. Determine o estado de tensão na parede do cilindro para ambas as alternativas, se o pistão P provocar uma pressão interna de 0,5 MPa. A parede tem espessura de 6 mm, e o raio interno do cilindro é 200 mm. Aula 1: Vasos de pressão de paredes finas Exercício 8) O tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 2 mm e diâmetro interno 40 mm. Calcule a pressão que o gelo exerceu na parede interna do tubo para provocar a ruptura mostrada na figura. A tensão máxima que o material pode suportar na temperatura de congelamento é σ max= 360 MPa. Mostre como a tensão age sobre um pequeno elemento de material imediatamente antes de o tubo falhar.
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