Combinação e permutação

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Análise Combinatória 
Permutação 
Prof. Luiz Fernando Rodrigues Pires 
1º/2022 
PERMUTAÇÃO 
 
Problematização 
• De quantas formas 
diferentes 6 
funcionários 
podem se revezar 
em 6 cargos 
distintos? 
 
• De quantas sequências diferentes pode se 
organizar 12 sapatos? 
 
• De quantas maneiras diferentes 5 pessoas 
podem se sentar? 
 
Anagramas 
• Considere os anagramas formados pela 
palavra JANEIRO. 
• Quantos são? 
• Quantos começam com a letra J? 
• Quantos começam e terminam com vogal? 
Permutação 
• Trocar n elementos distintos em n lugares é 
• Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 1 = n! 
 
Combinação 
Para organizar um coquetel de lançamento de um 
produto, o departamento de eventos de uma empresa 
terá de escolher entre cinco salgadinhos que um bufê 
oferece: Coxinha (C), empadinha (E), rissole (R), quibe 
(Q) e Pastelzinho (P). Como poderão ser escolhidos os 
três salgadinhos que serão oferecidos no coquetel? 
Iremos ter dez opções de maneira simples de 
escolher três salgadinhos: 
(C, E, R); (C, E, Q); (C, E, P); (C, R, Q); (C, R, P) 
(C, Q, P); (E, R, Q); (E, R, P); (E, Q, P); (R, Q, P) 
 
Fórmula das Combinações 
 • O número de combinações simples de n elementos tomados p a p é igual 
a uma fração, cujo denominador é o produto dos p primeiros números 
naturais e cujo numerador é o produto dos p inteiros consecutivos 
decrescentes a partir de n. 
• Assim: 
Cn,p = n! . 
 p! (n – p)! 
 
Exemplos 
• Considerando dez pontos sobre uma 
circunferência, quantas cordas podem ser 
construídas com extremidades em dois 
desses pontos? 
Exemplo 
• Num acampamento, o monitor deve montar 
uma equipe de quatro jovens para improvisar 
uma ponte que possibilite a travessia de um 
riacho. Se há 8 rapazes e 6 moças, quantas 
equipes de dois rapazes e duas moças podem 
ser formadas? 
Exemplo 
• Quantas equipes de quatro jovens tem pelo 
menos um rapaz? 
Exemplo 
• Resolva as seguintes equações: 
𝒂)
𝑪𝒏,𝟑
𝑨𝒏,𝟐
=
𝟏
𝟑
 
 
𝒃) 𝑪𝒏+𝟏,𝟐 = 𝟏𝟓 
 
𝒄) 𝑪𝒏+𝟏,𝒏−𝟏 = 𝟒𝟓 
Curiosidades 
• Se na fórmula das combinações simples fizermos p = n, vem: 
• Cn,n = n! ou 1 = 1 . 
• n! 0! 0! 
• que justifica a convenção 0! = 1. 
• Convém notar as relações: 
• Cn,n = 1 e Cn,1 = n. 
 
Permutação de elementos repetidos 
• Apenas um elemento se repete: 
• Quantos anagramas podemos forma com a 
palavra PARAÍBA? 
• Dois elementos se repetem: 
• Quantos anagramas podem ser obtidos a 
partir da palavra passarela? 
Portanto... 
Permutar n elementos com alguns deles repetidos é 
calcular as n! possibilidades de troca e retirar os casos 
em que cada conjunto de elementos repetidos (x, y, z, 
...) foram trocados sem alterar a sequência. 
 
Retirar o total de vezes que se repete é dividir pelo 
fatorial da quantidade de cada letra que se repete. 
 
De modo geral, temos: 
 
 
𝑷𝒏
𝒙,𝒚,𝒛,…
= 
𝒏!
𝒙! ∙ 𝒚! ∙ 𝒛! ∙ …
 
 
Exemplo 
• (UF-CE) Assinale a alternativa na qual consta a 
quantidade de números inteiros formados por 
três algarismo distintos, escolhidos dentre 1, 
3, 5, 7 e 9, e que são maiores que 200 e 
menores que 900. 
a) 30 b) 36 c) 42 d) 48 e) 54 
Exemplo 
• (PUC-RS) Suponha que no Brasil existam n 
jogadores de vôlei de praia. O número de 
duplas que podemos formar com esses 
jogadores é? 
𝑎)
𝑛
2
 𝑏)
(𝑛2+2𝑛
2
 𝑐)
𝑛2−2𝑛
4
 𝑑)
𝑛2+𝑛
2
 𝑒)
𝑛2−𝑛
2
 
Exemplo 
• (PUC-RJ) De um pelotão com 10 soldados 
quantas equipes de cinco soldados podem ser 
formadas se em cada equipe um soldado é 
destacado como líder? 
a) 1260 b) 1444 c) 1520 d) 1840 e) 1936 
Exemplo 
• O produto 20*18*16*14* ... *6*4*2 é 
equivalente a: 
 
𝒂)
𝟐𝟎!
𝟐
 𝒃)𝟐. 𝟏𝟎! 𝒄)
𝟐𝟎!
𝟐𝟏𝟎
 𝒅) 𝟐𝟏𝟎. 𝟏𝟎! 𝒆)
𝟐𝟎!
𝟏𝟎!