AULA 3 - ANÁLISE COMBINATÓRIA

Prévia do material em texto

1
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cardosolopes.net/Alunos/Disciplinas/MAT/9_ano/unidadeavaliacao_1/imagens/36%2520-4.jpg&imgrefurl=http://www.cardosolopes.net/Alunos/Disciplinas/MAT/9_ano/unidadeavaliacao_1/unidade_de_avaliacao_probabilidades.htm&usg=__z1qWv3olLaqhHNRj-kDeC1w7utM=&h=376&w=362&sz=21&hl=pt-BR&start=8&zoom=1&itbs=1&tbnid=nWZSbHxoQa7zzM:&tbnh=122&tbnw=117&prev=/search%3Fq%3Dfotos%2Bprobabilidade%26hl%3Dpt-BR%26sa%3DX%26rlz%3D1T4WZPC_pt-BRBR421BR422%26biw%3D1259%26bih%3D518%26tbm%3Disch%26prmd%3Divns&ei=qgGbTbPlA8m5tgfTvqjLBw
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://static.photaki.com/roleta-acao-o-jogador-a-probabilidade_236193.jpg&imgrefurl=http://br.photaki.com/picture-roleta-acao-o-jogador-a-probabilidade_236193.htm&usg=__-nEg2GHVfTvoDQ8k9nR6sWRzUus=&h=626&w=436&sz=100&hl=pt-BR&start=24&zoom=1&itbs=1&tbnid=Obxlacp6oO03QM:&tbnh=136&tbnw=95&prev=/search%3Fq%3Dfotos%2Bprobabilidade%26start%3D20%26hl%3Dpt-BR%26sa%3DN%26rlz%3D1T4WZPC_pt-BRBR421BR422%26ndsp%3D20%26biw%3D1259%26bih%3D518%26tbm%3Disch%26prmd%3Divns&ei=8AGbTeuuF8SbtweB7unJBw
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.qfojo.net/criarMais/mat/probabil/images/naianim.gif&imgrefurl=http://www.qfojo.net/criarMais/mat/probabil/depen.htm&usg=__Fhod3IjlWti5xB0ZUDr9Gq1MVv4=&h=270&w=270&sz=25&hl=pt-BR&start=37&zoom=1&itbs=1&tbnid=EOMbl0peLJFsuM:&tbnh=113&tbnw=113&prev=/search%3Fq%3Dfotos%2Bprobabilidade%26start%3D20%26hl%3Dpt-BR%26sa%3DN%26rlz%3D1T4WZPC_pt-BRBR421BR422%26ndsp%3D20%26biw%3D1259%26bih%3D518%26tbm%3Disch%26prmd%3Divns&ei=8AGbTeuuF8SbtweB7unJBw
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_uDDWx4ZOpq8/SXXWmrZDoYI/AAAAAAAAAGQ/jNnUP5WeMsU/s320/Interroga%C3%A7%C3%A3o.bmp&imgrefurl=http://emerviana.blogspot.com/2009/01/mate-expectativa-que-existe-dentro-de_6667.html&usg=__9bT22ZaDqLDOqtXV8rGR-dak1Wc=&h=315&w=284&sz=14&hl=pt-BR&start=81&zoom=1&itbs=1&tbnid=GDwg7TmAp_CnoM:&tbnh=117&tbnw=105&prev=/search%3Fq%3Dfotos%2Bprobabilidade%26start%3D80%26hl%3Dpt-BR%26sa%3DN%26rlz%3D1T4WZPC_pt-BRBR421BR422%26ndsp%3D20%26biw%3D1259%26bih%3D518%26tbm%3Disch%26prmd%3Divns&ei=RgKbTZzBEYbPtwe6loTABw
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://3.bp.blogspot.com/_-PiGe87t-Ow/SwsV0tdLkpI/AAAAAAAAAZ4/pfMk37PrJoQ/s1600/PROBABILIDADES.bmp&imgrefurl=http://francisco-scientiaestpotentia.blogspot.com/2009/11/cinco-absurdos-argumentos-criacionistas.html&usg=__A01ZOofEiRCVJIy2UuaLc8V6VyY=&h=320&w=759&sz=44&hl=pt-BR&start=116&zoom=1&itbs=1&tbnid=WUghFQX6dksK7M:&tbnh=60&tbnw=142&prev=/search%3Fq%3Dfotos%2Bprobabilidade%26start%3D100%26hl%3Dpt-BR%26sa%3DN%26rlz%3D1T4WZPC_pt-BRBR421BR422%26ndsp%3D20%26biw%3D1259%26bih%3D518%26tbm%3Disch%26prmd%3Divns&ei=bAKbTf3wJMKftgfKq_TVBw
Simples: sequência ordenada e formada pelos n elementos
de um conjunto em que não há elementos repetidos.
Exemplos: 
• A geração de anagramas com as letras de uma palavra
formada por letras distintas, duas a duas.
• As configurações de pessoas em filas ou mesas.
Para um conjunto de n elementos distintos, o número Pn de
permutações simples e possível de fazer com os n
elementos:
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Pn = n 
. (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) .... . 3 . 2 . 1  Pn = n!
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 possibilidades.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
2
1) Quantos números de 3 algarismos 
distintos podemos formar utilizando os 
algarismos 3, 5 e 7? 
Note o uso da palavra “distintos”, ou 
seja, sem repetir o mesmo algarismo.
As possibilidades são:
357, 375, 537, 573, 735 e 753.
Podemos representar também em um 
“diagrama de árvore”:
5 7
3
7 5
3 7
5
7 3
3 5
7
5 3
Utilizando o princípio fundamental
da contagem, temos: 3  2  1 = 6
possibilidades
3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade
DISTINGUINDO PERMUTAÇÕES, ARRANJOS E COMBINAÇÕES 
SIMPLES
CRITÉRIO DE FORMAÇÃO TIPO DE AGRUPAMENTO NOME DO AGRUPAMENTO EXEMPLO
SÓ ORDENAR OS 
ELEMENTOS (TODOS)
ORDENADO (SÃO OS 
AGRUPAMENTOS QUE DIFEREM 
PELA ORDEM E PELA 
NATUREZA DE SEUS 
ELEMENTOS)
PERMUTAÇÃO
O NÚMERO DE FILAS QUE PODEM SER FORMADAS COM 25 
PESSOAS É 25!, POIS PARA O PRIMEIRO LUGAR DA FILA 
TEMOS 25 POSSIBILIDADES, PARA O SEGUNDO 24 E 
ASSIM POR DIANTE.
ESCOLHER E ORDENAR 
OS ELEMENTOS 
ESCOLHIDOS
ORDENADO (SÃO OS 
AGRUPAMENTOS QUE DIFEREM 
APENAS PELA ORDEM DE SEUS 
ELEMENTOS)
ARRANJO
EM UMA COMPETIÇÃO DE 20 JOGADORES, QUANTAS SÃO 
AS POSSIBILIDADES DE SE FORMAR UM PÓDIO COM OS 
TRÊS PRIMEIROS LUGARES? NOTE QUE, NESTE 
PROBLEMA, QUEREMOS DISPOR 20 JOGADORES EM 3 
LUGARES, ONDE A ORDEM IMPORTA, AFINAL O PÓDIO 
FORMADO POR JOÃO, POR MARCOS E POR PEDRO NÃO É 
O MESMO FORMADO POR PEDRO, POR MARCOS E POR 
JOÃO.
SÓ ESCOLHER OS 
ELEMENTOS
NÃO-ORDENADO (SÃO OS 
AGRUPAMENTOS QUE DIFEREM 
PELA NATUREZA DE SEUS 
ELEMENTOS)
COMBINAÇÃO
QUANDO QUEREMOS FORMAR UMA COMISSÃO DE 3 
PESSOAS ESCOLHIDAS ENTRE 10 PESSOAS. 
DIFERENTEMENTE DO PÓDIO DO EXEMPLO ANTERIOR, 
UMA COMISSÃO FORMADA POR JOÃO, POR PEDRO E POR 
MARIA É A MESMA COMISSÃO FORMADA POR MARIA, POR 
PEDRO E POR JOÃO.
São configurações ordenadas de alguns elementos
de um conjunto em que a quantidade de
elementos é menor que a quantidade de
elementos do conjunto original ou igual a ela.
Num conjunto com n elementos, se fizermos
arranjos de p elementos, estaremos arranjando n
elementos tomados p a p.
Número total de elementos:
Possibilidades de arranjos circulares com 
quatro elementos
5
Exemplo: Com as letras da palavra “república”, quantas palavras, 
com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras? 
1º modo de resolver:
a
9 8 7 6
a 1 casa como foi usado um dois termos foram usado
pode ter termo na primeira foram usados,
nove termos casa, sobraram oito restando sete 
para escolher na para escolher
segunda casa um para esta casa
  
5
15120
s quatro termos 
3 termos dos usados. Restaram 
nove, restando cinco nesta casa
seis para esta para selecionar
casa
 =
2º modo de resolver: 9,5
9! 9 8 7 6 5 4!
A 15120
(9 5)! 4!
    
= = =
−
6
No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia
esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque.
Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o
primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição.
Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que
dona Antônia consiga realizar o saque?
Primeiramente temos que identificar se este problema está relacionado a um
ARRANJO ou a uma COMBINAÇÃO.
Basicamente devemos saber se a ordem dos elementos a serem combinados é
importante ou não.
Em se tratando de senhas, a ordem de cada número é muito importante, pois a
senha 5123 é diferente da senha 5321.
Sendo assim, usaremos Arranjo.
O exercício nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e o número 6 estará
em algum dos outros 3 dígitos.
Sendo assim, teremos a seguinte situação:
1º Caso (6 no segundo dígito): 5 6_ 8 possibilidades 7 possibilidades = A8,2
2º Caso (6 no terceiro dígito) : 5_ 8 possibilidades _6_ 7 possibilidades = A8,2
3º Caso (6 no quarto dígito): 5 8 possibilidades 7 possibilidades _6_ = A8,2
Teremos a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja:
A8,2+A8,2+A8,2=3.A8,2
Esse número três é proveniente das possibilidades que existem para as posições do
número 6 nesta senha.
Com isso teremos que as tentativas deveriam ser:
São subconjuntos formados por elementos de um
conjunto em que a ordem dos elementos não importa.
Por isso devemos descontar do total aquelas
combinações que possuem os mesmos elementos, em
ordens diferentes.
Como nos arranjos, dos n elementos de um conjunto
fazemos combinações com p elementos; dizemos então
que fazemos combinações de n elementos, tomados p a
p:Número de combinações possíveis nessas condições:
10
Se Júlia leva o par de sapato preto e o por de sapato rosa, é a mesma coisa que
ela levar o por de sapato rosa e o por de sapato preto, logo, a sequência dos
elementos não importa, com isso usaremos Combinação, paraeliminarmos os
arranjos repetidos.
Cada combinação é diferente da outra neste caso, existe diferenciação entre o
Candidato A ser presidente e o Candidato B ser vice-presidente, com a
possibilidade de B ser presidente e A ser vice. Por isso usaremos Arranjo.
Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu
guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá
escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12
candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De
quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste
grêmio?
11
COMBINAÇÕES SIMPLES
Em uma empresa com nove funcionários, cinco serão chamados para uma
reunião. De quantas formas diferentes poderá ser formado o grupo para a
reunião?
9,5
9 9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6
C 126
5 5!(9 5)! 5!4! 4 3 2 1
        
= = = = = 
−    
Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete
podem escolher:
• um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• um dentre os tamanhos: pequeno e grande;
• de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum,
queijo, presunto e salame.
Calcule:
a) quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode
montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches
pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
a p:
12
Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e
deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e
mais quatro pessoas. Além disso, a família Sousa quer ocupar um mesmo
banco; Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, qual o número de maneiras distintas de dispor os nove
passageiros no lotação?
13
Família Sousa
1) Eles serão os primeiros a entrarem na lotação.
2) Estes tem 3 opções de bancos.
3) E 3 * 2 * 1 = 3! = 6 maneiras de se disporem num mesmo banco, ou seja,
podem sentar (pai, mãe e filho, ou, pai, filho e mãe, ou, ..., ou filho, mãe e pai).
Logo serão 3 * 6 = 18 opções para a família Sousa.
14
Lúcia e Mauro
1) Eles serão os segundos a entrarem na lotação.
2) Estes tem 2 opções de bancos (a família Sousa já escolheu um banco).
3) Eles tem de escolher entre uma ponta ou outra do banco, para isso têm 2 
opções (casal e vazio ou vazio e casal) .
4) Eles tem que escolher agora, quem vai sentar primeiro, para isso tem duas
opções (Lúcia e Mauro ou Mauro e Lúcia), ou seja, 2!.
Logo: 2 * 2 * 2! = 8 maneiras
Temos ainda 4 lugares e 4 pessoas para entrarem na lotação.
A primeira pessoa tem 4 opções.
A segunda pessoa tem 3 opções.
A terceira pessoa tem 2 opções.
A quarta pessoa tem 1 opção.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 maneiras
15
Basta juntarmos tudo, ou seja:
18 * 8 * 24 = 3456 maneiras diferentes
Em um país existem 8 deputados e 5 senadores de um partido
político. Este partido precisa escolher uma equipe com 3 pessoas
dentre os senadores e deputados deste partido político para
representar o partido em um viagem internacional. O número de
maneiras de se formar essa equipe de modo que a mesma não
tenha mais do que dois senadores é igual a:
16
COMBINAÇÃO SIMPLES
Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado.
Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao
porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os
ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.
Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram
presentes na reunião?
Trata-se de elementos de natureza diferente, pois o fato de o ministro A apertar a
mão do ministro B é o mesmo acontecimento do ministro B apertar a mão do
ministro A, portanto, trata-se de um problema envolvendo combinação.
Essa quantidade de ministros é o nosso fator de combinação, ou seja, quantos
ministros eu tenho que combinar, dois a dois, de modo que eu tenha um total de
15 apertos de mão. Transcrevendo isso na linguagem matemática:
17
COMBINAÇÃO SIMPLES
Deveremos desenvolver esta equação envolvendo fatorial para que possamos
encontrar o valor de m.
Ao desenvolvermos a equação do segundo grau na incógnita m, encontramos o 
seguinte conjunto solução. S = {m=6 ou m=-5}.
Como m é a quantidade de ministros, não é possível ter uma quantidade negativa, 
logo, teremos que o valor de m é 6.
Então, o número de ministros presentes na reunião foi de 6 ministros.
18
Com repetição
O número total de permutações é inferior àquele que se poderia fazer,
caso todos os elementos fossem diferentes.
Os elementos repetidos geram sequências idênticas, o que reduz o
número total de possibilidades distintas.
O número de permutações em um conjunto com n elementos, sendo n1 a
quantidade de elementos repetidos de um tipo 1, n2 a quantidade de
elementos repetidos de um tipo 2, ... e nk a quantidade de elementos
repetidos de um tipo k, é:
Permutações
19
Matemática, 2ª série do Ensino Médio, 
Permutações com elementos repetidosConsidere o exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra BATATA?
Solução
Se os As fossem diferentes e os Ts também, o
total de anagramas seria P6 = 6!
Mas as permutações entre os 3 As não
produzirão novo anagrama. Então precisaremos
dividir P6 por P3 . O mesmo ocorre com os dois
Ts: precisamos dividir também por P2 .
20
Matemática, 2ª série do Ensino Médio, 
Permutações com elementos repetidos
Portanto, o número de anagramas da palavra 
BATATA é:
21
22
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num
restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições
diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a
mãe fiquem juntos?
Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, vamos
amarrar os dois e tratá-los como se fossem um único
elemento.
Ao tratar o pai e mãe como um único elemento, passamos a ter somente 5
elementos.
Portanto, utilizando a permutação circular de 5 elementos, calculamos o
número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da mesa com pai e
mãe juntos sendo que o pai está à esquerda da mãe.
Permutação circular (Pc) de 5 elementos calcula-se:
PC5 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24
23
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num
restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições
diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a
mãe fiquem juntos?
Portanto, para o pai à esquerda da mãe, temos 24 posições diferentes. Mas o pai 
pode estar à direita da mãe, como na figura 2, 
e então teremos mais 24 posições diferentes para contar (novamente Pc5).
Portanto, o número total de disposições é 48.
24
De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma
mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre
duas mulheres e uma mulher entre dois homens?
Portanto, o número de maneiras de alocar estas seis pessoas é dado por, considerando fixo 
Homemi (i=1,2,3) : 3x (3x2x2x1x1) = 36 possibilidades.
Mas, se considerarmos fixo Mulheri (i=1,2,3), teremos, também : 3x (3x2x2x1x1) = 36 
possibilidades.
Assim, o total de maneiras é dado por 36 + 36 possibilidades 
= 72 possibilidades. 
25
https://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2012/08/clip_image001.gif
https://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2012/08/clip_image002.gif
https://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2012/08/clip_image003.gif
https://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2012/08/clip_image004.gif
https://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2012/08/clip_image005.gif
https://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2012/08/clip_image006.gif
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer
repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = m
p.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com
repetição desses 4 elementostomados 2 a 2 são 16 grupos
onde aparecem elementos repetidos em cada grupo.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 4
2=16.
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
26
Quatro amigos dirigem-se a uma pastelaria para comprarem, cada um, um bolo.
Nessa pastelaria existem sete bolos diferentes à escolha. De quantas maneiras
diferentes pode ser feita a escolha dos bolos?
Cada amigo poderá escolher entre seis bolos, por isso, aplicaremos um arranjo
com repetição de sete, quatro a quatro.
Ar(m,p) = m
p.
Ar (7,4) = 7
4 = 2401
A escolha dos bolos pode ser feita de 2401 maneiras diferentes
Diferença entre arranjos simples e arranjos com repetição 
(completos)
Arranjos Completos (A') - Há repetição, a Ordem conta
Arranjos Simples (A) - Não há repetição, a Ordem conta
27
Quantos de nós têm de escolher um código para efetuar operações com o
multibanco. Um código é-nos dado, mas podemos alterá-lo quando quisermos. Mas
quantos códigos podemos escolher?
Temos quatro dígitos, onde em cada dígito podemos
escolher de entre dez números, do zero ao nove; o zero
também conta pois também podemos escolhê-lo.
Podemos repetir os algarismos o número de vezes que
quisermos, pois os códigos 1111 e 5544 são válidos, em
que no primeiro caso temos o 1 repetido e no segundo
caso repetimos o 5 e o 4. E a ordem conta, ou seja, o
código 1234 é diferente do 4321.
Então quando há repetição e a ordem conta estamos perante Arranjos Completos
No caso do multibanco temos arranjos de dez, quatro a quatro. A fórmula geral é
dada no seguimento
Ar(m,p) = m
p.
Ar(10,4) = 10
4 = 10000
Podemos escolher então de entre dez mil
códigos multibanco possíveis.
28
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em
cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4
elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis
de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo
com a ordem trocada.
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam
um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
29
30
(ENEM 2017) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos
nela transportados, conforme a figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os
carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente.
São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com
uma cor. O caminhão-cegonha tem um cor fixa.
A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de
cada uma das quatro corres disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha
não gera um novo modelo do brinquedo.
COM BASE NESSAS INFORMAÇÕES, QUANTOS SÃO OS MODELOS DISTINTOS DO
BRINQUEDO CAMINHÃO-CEGONHA QUE ESSA EMPRESA PODERÁ PRODUZIR?
Resolução
A questão informa que deve haver pelo
menos um carrinho de cada cor. Portanto,
consideraremos somente os 6 carrinhos que
sobram e estes devem ser pintados de
qualquer forma.
Temos 6 carrinhos e 4 cores de tintas, que
podem ser repetidas de qualquer forma.
Utilizaremos o conceito de combinação com
repetição, transformando-a em uma
combinação simples através da fórmula:
CRn,p = Cn+p-1;p
Onde:
n = 4
p = 6
CR4,6 = C4+6-1;6
CR4,6 = C9;6 = 84 modelos distintos
Você deseja comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui 3
sabores disponíveis: chocolate, baunilha e morango.
De quantos modos diferentes você pode fazer esta compra?
Note que nesta combinação, é possível
repetir a ordem de dois ou mais sabores,
assim tratando de uma combinação com
repetição.
Se temos 3 sabores disponíveis e queremos
uma combinação para 4 bolas, pela
fórmula obtemos:
CRn,p = Cn+p-1;p
Onde:
n = 3
p = 4
CR3,4 = C3+4-1;4
CR3,4 = C6;4 = 15 diferentes modos
32
VÍDEOS PARA AUXILIAR NOS 
SEUS ESTUDOS EM ANÁLISE 
COMBINATÓRIA...
APROVEITE!!!!!!
33
https://youtu.be/MAHwc1ohWn0
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
O QUE É ANÁLISE COMBINATÓRIA...
2 min e 44s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
34
https://youtu.be/3RaTJOZL6MA
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
COMO SABER QUANDO UTILIZAR: 
PERMUTAÇÃO, ARRANJO E 
COMBINAÇÃO...
5 min e 14s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
35
https://youtu.be/yzyCGDMgKE0
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE PERMUTAÇÃO 
SIMPLES OU SEM REPETIÇÃO ...
2 min e 32s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
36
https://youtu.be/zOraEhknEgk
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE ARRANJO 
SIMPLES...
2 min e 34s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
37
https://youtu.be/fPkQUQa_p-o
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE COMBINAÇÃO 
SIMPLES...
4 min e 37s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
38
https://youtu.be/Ogulr8QiSpA
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE PERMUTAÇÃO 
COM REPETIÇÃO...
4 min e 21s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
39
https://youtu.be/eJArdnIF0eE
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE ARRANJO COM 
REPETIÇÃO...
2 min e 51s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
40
https://youtu.be/gT0lt58hcw4
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE COMBINAÇÃO 
COM REPETIÇÃO...
5 min e 6s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
41
https://youtu.be/vhp-DPIW5XY
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE PERMUTAÇÃO 
CIRCULAR...
5 min e 41s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
42
https://youtu.be/s1051ts5oRw
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM A 
SOLUÇÃO DE VÁRIOS PROBLEMAS ...
1 hora 27 min e 22s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt