545256774-Exercicios-Distribuicao-Amostral-de-Xbar-2

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EXERCÍCIOS - DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE XBARRA 
 
1. A média de uma população é 200 e seu desvio padrão é 50. Uma amostra aleatória simples de 
tamanho 100 será tomada e a média amostral x , será usada para estimar a média da população. 
a. Qual é o valor esperado de x ? 
b. Qual é o desvio-padrão de x ? 
c. Apresente a distribuição amostral de x . 
d. O que a distribuição amostral de x indica? 
2. A média de uma população é 200 e seu desvio-padrão é 50. Suponha que uma amostra aleatória 
simples de tamanho 100 seja selecionada e que x seja usado para estimar µ. 
a) Qual é a probabilidade de a média da amostra estar dentro de ± 5 da média da população? 
b) Qual é a probabilidade de a média da amostra estar dentro de ± 10 da média da população? 
3. Suponha que o desvio-padrão da população seja σ = 25. Calcule o erro-padrão da média σx , para 
tamanhos de amostra iguais a 50, 100, 150 e 200. O que você pode afirmar sobre o tamanho do 
erro padrão da média quando o tamanho da amostra for aumentado? 
4. Suponha que uma amostra aleatória simples de tamanho 50 seja selecionada de uma população 
com σ = 10. Encontre o valor do erro padrão da média em cada um dos seguintes casos (use o fator 
de correção para populações finitas, se for o caso). 
a. O tamanho da população é infinito. 
b. O tamanho da população é N = 50.000. 
c. O tamanho da população é N = 5.000. 
d. O tamanho da população é N = 500. 
 
5. O custo médio do ensino nas universidades públicas norte americanas é US$ 4.260 por ano (St. 
Petesburg Times, 11 de dezembro de 2002).Use esse valor como média populacional e considere que 
o desvio padrão da população é σ = US$ 900. Suponha que uma amostra aleatória de 50 
universidades públicas seja selecionada. 
a) Apresente a distribuição amostral de x em que x é a média da amostral do custo de ensino nas 50 
universidades. 
b) Qual é a probabilidade de a amostra aleatória simples produzir uma média amostral que se situe 
dentro dos US$ 250 da média populacional? 
c) Qual é a probabilidade de a amostra aleatória simples produzir uma média amostral que se situe 
dentro dos US$ 100 da média populacional? 
 
6. O custo médio anual dos seguros de automóvel é US$ 687 (National Association of Insurance 
Commissioners, janeiro de 2003). Use esse valor como média populacional e suponha que o desvio 
padrão da população seja σ = US$ 230. Considere uma amostra de 45 apólices de seguro de 
automóveis. 
a) Apresente a distribuição amostral de x , em que x é a média amostral do custo anual dos seguros 
de automóvel. 
b) Qual é a probabilidade de a média amostral estar dentro dos US$ 100 da média populacional? 
c) Qual é a probabilidade de a média amostral estar dentro dos US$ 25 da média populacional? 
d) O que você recomendaria se uma seguradora quisesse a média amostral para estimar a média 
populacional dentro de ±US$ 25? 
 
7. A revista Money divulgou que o preço médio de um galão de gasolina nos Estados Unidos durante 
o primeiro trimestre de 2001 era US$1,46 (Money, agosto de 2001). Suponha que o preço divulgado 
pela Money seja a média populacional e que o desvio-padrão populacional seja σ = 0,15. 
a) Qual é a probabilidade de o preço médio de uma amostra de 30 postos de gasolina estar dentro dos 
US$ 0,03 da média populacional? 
b) Qual é a probabilidade de o preço médio de uma amostra de 50 postos de gasolina estar dentro dos 
US$ 0,03 da média populacional? 
c) Qual é a probabilidade de o preço médio de uma amostra de 100 postos de gasolina estar dentro 
dos US$ 0,03 da média populacional? 
d) Você recomendaria um tamanho de amostra de 30, 50 ou 100 para obter, no mínimo, uma 
probabilidade de 0,95 de que a média amostral se situe dentro dos US$ 0,03 da média populacional? 
8. O College Board American College Testing Program divulgou que a média populacional das 
pontuações nos exames SAT é µ = 1.020 (The World Almanac 2003). Considere que o desvio padrão 
populacional seja σ = 100. 
a. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 75 estudantes produzir uma média 
amostral de pontuações SAT dentro de 10 da média populacional? 
b. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 75 estudantes produzir uma média 
amostral de pontuação SAT dentro de 20 da média da populacional? 
9. O salário anual inicial médio de graduados com especialização em marketing nos estados Unidos é 
US$ 34.000 1996-1997 (Time, 8 maio de 2000). Suponha que o salário anual inicial médio da 
população de graduados com especialização em marketing seja µ = 34.000 e o desvio-padrão seja σ 
= 2.000. 
a. Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples de graduados com especialização 
em marketing ter uma média amostral dentro de ±US$ 250 da média populacional 
correspondente a cada um dos seguintes tamanhos de amostra: 30, 50,100,200 e 400? 
b. Qual é a vantagem de um tamanho maior de amostra quando se tenta estimar a média da 
população? 
10. Para estimar a idade média de uma população de 4 mil empregados, foi selecionada uma amostra 
aleatória simples de 40 empregados. 
a) Você usaria o fator de correção para populações finitas ao calcular o erro padrão da média? 
Explique. 
b) Se o desvio padrão da população é σ = 8,2 anos, calcule o erro padrão utilizando o fator de 
correção para populações finitas e sem utilizá-lo. Qual é o fundamento lógico para se ignorar o fator 
de correção para populações finitas sempre que n/N ≤ 0,05? 
c) Qual é a probabilidade de a média amostral de idade dos empregados estar dentro de ±2 anos da 
idade média da população? 
 
RESPOSTAS: 
1) a) 200 ; b) 5 ; c) x ≈ N (200;5) ; d) Indica a distribuição de probabilidade de x . 
2) a) 0,6826 ; b) 0,9544. 
3) 3,54 ; 2,50 ; 2,04 ; 1,77 . À medida que se aumenta o tamanho da amostra, o erro-padrão da 
média diminui. 
4) a) 1,41 ; b) 1,41 ; c) 1,40 ; d) 1,34. 
5) a) Normal, com E(x ) = 4.260 e σx = 127,28 b) 0,95 c) 0,5704 
6) a) Normal, com E(x ) = 687 e σx = 34,29 b) 0,9964 c) 0,5346 d) Aumentar o tamanho 
da amostra. 
7) a) 0,7286 ; b) 0,8414; c) 0,9544 ; d) 100. 
8) a) 0,6156 ; b) 0,9164 
9) a) 0,5034 ; 0,6212 ; 0,7888 ; 0,9232 ; 0,9876 ; b) maior probabilidade dentro de ±250. 
10) a) n/N = 0,01 ; não. b) 1,29 ; 1,30 ; pouca diferença. c) 0,8764. 
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EXERCÍCIOS - Distribuição amostral da proporção 
 
1. Uma amostra aleatória simples de tamanho 100 é selecionada de uma 
população com π = 0,40. 
a. Qual é o valor esperado de p? 
b. Qual é o desvio-padrão de p? 
c. Mostre a distribuição amostral de p . 
d. O que a distribuição amostral de p indica? 
 
2. A proporção da população é 0,40. Uma amostra aleatória simples de 
tamanho 200 será tomada e a proporção p será usada para estimar a 
proporção da população. 
a. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de ± 
0,03 da proporção da população? 
b. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de ± 
0,05 da proporção da população? 
 
3. Assuma que a proporção da população seja 0,55. Calcule o erro-padrão da 
proporção, 
p
σ , para tamanhos de amostra de 100, 200, 500 e 1.000. O que 
você pode dizer sobre o tamanho do erro-padrão da proporção quando o 
tamanho da amostra é aumentado? 
 
4. A proporção da população é 0,30. Qual é a probabilidade de que a 
proporção da amostra estará dentro de ± 0,04 da proporção da população 
para cada um dos seguintes tamanhos de amostra: a. n = 100; b. n = 200; c. 
n = 500; d. n = 1.000; e. Qual é a vantagem de um tamanho de amostra 
maior? 
 
5. O presidente da Doerman Distributors, Inc., acredita que 30% dos pedidos 
de compra da empresa venham de clientes novos ou de primeira vez. Uma 
amostra aleatória simples de 100 pedidos será usada para estimar a 
proporção de clientes novos ou de primeira vez. Os resultados da amostra 
serão usados para verificar a reivindicação do presidente de p = 0,30. 
a. Assuma que o presidente esteja certo e que π = 0,30. Qual é a distribuição 
amostral de p para esse estudo? 
b. Qual é a probabilidade deque a proporção da amostra p estará entre 0,20 
e 0,40? 
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c. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra p estará dentro de ± 
0,05 da proporção da população π = 0,30? 
 
6. A Grocery Manufacturers of America relatou que 76% dos consumidores 
lêem os ingredientes relacionados no rótulo dos produtos. Considere que a 
proporção da população seja π = 0,76 e uma amostra de 400 consumidores 
seja selecionada a partir da população. 
a. Mostre a distribuição amostral da proporção da amostra p, onde p é a 
proporção dos consumidores amostrados que lêem os ingredientes 
relacionados no rótulo do produto. 
b. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de 
± 0,03 da proporção da população? 
c. Responda o item (b) para uma amostra de 750 consumidores. 
 
7. A Louis Harris & Associates realizou um levantamento de 403 executivos 
seniores para saber como eles viam a economia dos Estados Unidos para os 
próximos 12 meses. Considere que para a população inteira de executivos, 
80% estão otimistas sobre a economia dos Estados Unidos. Seja p a 
proporção da amostra dos executivos pesquisados que estão otimistas sobre 
a economia dos Estados Unidos. 
a. Mostre a distribuição amostral de p se a proporção da população é π = 
0,80. 
b. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra do levantamento da 
Harris esteja dentro de ± 0,02 da proporção da população? 
c. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra do levantamento da 
Harris esteja dentro de ± 0,03 da proporção da população? 
 
8. Embora a maioria das pessoas acredite que o café da manhã seja a 
refeição mais importante do dia, 25% dos adultos o omitem. Considere que a 
proporção da população seja π = 0,25, e que, baseado numa amostra de 200 
adultos, e p seja a proporção da amostra de adultos que omitem o café da 
manhã. 
a. Mostre a distribuição de amostragem de p. 
b. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de 
± 0,03 da proporção da população? 
c. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de 
± 0,05 da proporção da população? 
 
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9. O lnstitute for Womens Policy Research relatou que as mulheres hoje 
constituem 37% dê todos os membros dos sindicatos de classe, a mais alta 
porcentagem de todos os tempos. Suponha que a proporção da população de 
mulheres que são membros de sindicatos seja π = 0,37 e que uma amostra 
aleatória simples de 1.000 membros seja selecionada. 
a. Mostre a distribuição amostral de p, a proporção de mulheres na amostra. 
b. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de ± 
0,03 da proporção da população? 
c. Responda o item (b) para uma amostra aleatória de 500. 
 
10. O Food Marketing lnstitute indica que 17% das famílias gastam mais do 
que US$100 por semana em artigos de mercearia. Considere que a 
proporção da população seja π = 0,17 e uma amostra aleatória simples de 
800 famílias seja selecionada da população. 
a. Mostre a distribuição de amostragem de p, a proporção da amostra de 
famílias que gastam mais do que US$100 por semana em artigos de 
mercearia. 
b. Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra estará dentro de 
± 0,02 da proporção da população? 
c. Responda o item (b) para uma amostra de 1.600 famílias. 
 
 RESPOSTAS: 
1. a) 0,40 ; b) 0,0490 ; c) Normal com E(p) = 0,40 e pσ = 0,0490 ; d) indica a 
distribuição de probabilidade de p. 
 
2. a) 0,6156 ; b) 0,8530. 
 
3. 0,0497 ; 0,0352 ; 0,0222 ; 0,0157. 
 
4. a) 0,6156 ; b) 0,7814 ; c) 0,9488 ; d) 0,9942 ; e) Maior probabilidade com n maior. 
5. a) Normal com E (p) = 0,30 e pσ = 0,0458 ; b) 0,9708 ; c) 0,7242. 
6. a) Normal com E (p) = 0,76 e pσ = 0,0214 ; b) 0,8384 ; c) 0,9452. 
7. a) Normal com E (p) = 0,80 e pσ = 0,0199 ; b) 0,6826 ; c) 0,8690. 
8. a) Normal com E (p) = 0,25 e pσ = 0,0306 ; b) 0,6730 ; c) 0,8968. 
9 a) Normal com E (p) = 0,37 e pσ = 0,0153 ; b) 0,95 ; c) 0,8354. 
10. a) Normal com E(p) = 0,17 e pσ = 0,0133 ; b) 0,8664 ; c) 0,9668. 
 
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EXERCÍCIOS : ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DA MÉDIA DA 
POPULAÇÃO – σ DESCONHECIDO E DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA 
AMOSTRA PARA ESTIMAR A MÉDIA DA POPULAÇÃO µ 
 
1. Os dados amostrais seguintes são de uma população normal: 10,8, 12, 15, 13, 11, 6, 5. 
a. Qual é a estimação por ponto da média populacional? 
b. Qual é a estimação por ponto do desvio-padrão da população? 
c. Qual é o intervalo de confiança de 95% da média populacional? 
 
2 . Uma amostra aleatória simples de 20 observações de uma população normal resultou em 
uma média de amostra de 17,25 e um desvio-padrão da amostra de 3,3. 
a. Desenvolva um intervalo de confiança de 90% para a média da população. 
b. Desenvolva um intervalo de confiança de 95% para a média da população. 
c. Desenvolva um intervalo de confiança de 99% para a média da população. 
d. O que acontece à margem de erro e ao intervalo de confiança quando o grau de confiança é 
aumentado? 
 
3. No teste de um novo método de produção, 18 empregados foram aleatoriamente 
selecionados e solicitados a tentar o novo método. A taxa média de produção da amostra para 
os 18 empregados foi de 80 peças por hora e o desvio-padrão foi de 10 peças por hora. 
Forneça intervalos de confiança de 90% e de 95% para a taxa média de produção da população 
para o novo método, considerando que a população tenha uma distribuição normal de 
probabilidade. 
 
4. A seção Money &: Investing do The Wall Street Joumal contém um sumário do 
desempenho diário de investimentos para bolsa de valores, mercados estrangeiros, opções, 
commodities, futuros e assim por diante. Na seção da Bolsa de Valores de Nova York, são 
fornecidas informações de maior alta por ação em 52 semanas, maior baixa por ação em 52 
semanas, taxa de dividendos, rendimento, razão P/G, volume diário, maior alta diária por ação, 
maior baixa diária por ação, preço de fechamento por ação e o câmbio líquido diário para cada 
uma das ações. A razão P/G (preço/ganhos) para cada ação é determinada dividindo-se o preço 
de uma ação pelos ganhos por ação relatados pela empresa para os últimos quatro trimestres. 
Uma amostra de 10 ações tomada de The Wall Street Joumal forneceu os seguintes dados 
sobre as razões P/G: 5, 7, 9, 10, 14, 23, 20, 15, 3, 26. 
a. Qual é a estimativa pontual da razão P/G média para a população de todas as ações listadas 
na Bolsa de Valores de Nova York? 
b. Qual é a estimativa pontual do desvio-padrão das razões P/G para a população de todas as 
ações listadas na Bolsa de Valores de Nova York? 
c. A uma confiança de 95%, qual é a estimativa por intervalo da razão P/G média para a 
população de todas as ações listadas na Bolsa de Valores de Nova York? Considere que a 
população tenha uma distribuição normal. 
d. Comente a precisão dos resultados. 
 
5. A Associação Americana de Agências de Propaganda publica dados sobre o tempo de 
propaganda, em minutos, durante meia hora nos programas de horário nobre. Os dados 
representativos, em minutos, de uma amostra de 20 programas do horário nobre nas principais 
redes de TV às 20h30 são os seguintes: 
6,0 7,0 7,2 7,0 6,0 7,3 6,0 6,6 6,3 5,7 6,5 6,5 7,6 6,2 5,8 6,2 6,4 6,2 7,2 6,8 
Suponha uma população normal e forneça uma estimação por ponto e um intervalo de 
confiança de 95% referentes ao número médio de minutos de propaganda durante meia hora 
nos programas de televisão no horário nobre, às 20h30. 
 
6. Que tamanho de amostra deveria ser selecionada para fornecer um intervalo de confiança de 
95%, com uma margem de erro de 5? Considere que o desvio-padrão da população é 25. 
 
7. O intervalo para um conjunto de dados está estimado como 36. 
a. Qual é o valor planejado para o desvio-padrão da população? 
b. Usando-se uma confiança de 95%, que tamanho deve ter uma amostra para fornecer uma 
margem de erro de 3? 
c. Usando-se uma confiança de 95%, que tamanho deve ter uma amostra para fornecer uma 
margem de erro de 2? 
 
8. Para as Indústrias Scheer, use σ = 6,82 como um valor planejadopara o desvio-padrão da 
população. 
a. Presumindo uma confiança de 95%, que tamanho de amostra seria necessária para se obter 
uma margem de erro de 1,5 minuto? 
b. Se a declaração de precisão foi feita com uma confiança de 90%, que tamanho de amostra 
seria necessária para se obter uma margem de erro de 2 minutos? 
 
9. A Statewide Insurance Company usou uma amostra aleatória simples de 36 proprietários de 
apólice para estimar a idade média da população de proprietários de apólice. À confiança de 
95%, a margem de erro foi de 2,35 anos. Esse resultado foi baseado em um desvio-padrão da 
amostra de 7,2 anos. 
a. Que tamanho de amostra aleatória simples seria necessário para reduzir a margem de erro 
para 2 anos? E para 1,5 ano? E para 1 ano? 
b. Você recomendaria à Statewide tentar estimar a idade média da população dos proprietários 
de apólice com uma margem de erro de 1 ano? Explique. 
 
10. Acredita-se que os salários iniciais anuais para os graduados de faculdade com diploma em 
administração de empresas tenham um desvio-padrão de aproximadamente US$ 2.000. 
Considere que se deseja uma estimativa por intervalo de confiança de 95% do salário médio 
inicial anual. De que tamanho deve ser uma amostra se a margem de erro for de: 
a. US$ 500? 
b. US$ 200? 
c. US$ 100? 
 
RESPOSTAS: 
1) a) 10 ; b) 3,46 ; c) (7,11 ; 12,89). 
2) a) (15,97 ; 18,53) ; b) (15,71 ; 18,79) ; c) (15,14 ; 19,36). 
3) 90% : (75,90 ; 84,10) ; 95% : (75,03 ; 84,97). 
4) a) 13,2 ; b) 7,8 ; c) (7,62 ; 18,78) ; d) Intervalo amplo ; desejável amostra maior. 
5) 6,525 ; (6,28 ; 6,78). 
6) 96,04 → use n = 97. 
7) a) 9 ; b) 34,57 → use n = 35 ; c) 77,79 → use n = 78. 
8) a) 79,41 → use n = 80 ; b) 31,47 → use n = 32. 
9) a) 50 ; 89 ; 200 ; b) Apenas se ε = 1 é essencial. 
10) a) 61,46 → use n = 62 ; b) 384,16 → use n = 385 ; c) 1536,64 → use n = 1537. 
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EXERCÍCIOS : ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DA MÉDIA DA POPULAÇÃO – σ 
conhecido 
 
1. Uma amostra aleatória simples de 40 itens resultou em uma média amostral 25. O desvio 
padrão da população é σ = 5. 
a. Qual é o erro-padrão da média, σx ? 
b. Para um grau de confiança de 95%, qual é a margem de erro? 
2. Uma amostra aleatória simples de 50 itens de uma população, com σ = 6, resultou em uma 
média amostral igual a 32. 
a. Forneça um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. 
b. Estime um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. 
c. Providencie um intervalo de confiança de 99% para a média populacional. 
3. Uma amostra aleatória simples de 60 itens resultou em uma média amostral igual a 80. O 
desvio padrão σ da população é igual a 15. 
a. Calcule o intervalo de confiança de 95% para a média populacional. 
b. Suponha que a média amostral tenha sido obtida de uma amostra de 120 itens. Forneça 
um intervalo de confiança de 95% da média populacional. 
 c. Qual é o efeito de um tamanho de amostra maior sobre a estimação por intervalo? 
4. Sabe-se que o intervalo de confiança de 95% de uma média populacional é de 152 a 160. 
Se σ = 15, qual tamanho de amostra foi utilizado nesse estudo? 
 
5. Em um esforço para estimar a quantia média que cada cliente gasta por jantar em um grande 
restaurante de Atlanta, foram coletados dados de uma amostra de 49 clientes. Suponha um 
desvio padrão de US$ 5,00 para a população. 
a. Para um grau de confiança de 95%, qual é a margem de erro? 
b. Se a média amostral é US$24,80, qual é o intervalo de confiança de 95% para a média 
populacional? 
6. A Nielsen Media Research relatou que o tempo médio que as famílias passam assistindo à 
televisão, no período das 8h às 23h, é de 8,5 horas por semana (The World Almanac 2003). 
Dado um tamanho de amostra de 300 famílias e um desvio padrão σ da população igual a 3,5 
horas, qual é a estimação por intervalo de confiança de 95% da média de tempo que as pessoas 
assistem à televisão durante o período das 8h às 23 horas? 
7. Uma pesquisa de pequenos negócios com websites revelou que a quantia média gasta em um 
site era de US$ 11.500 por ano (Fortune, 5 de março de 2001). Dada uma amostra de 60 
negócios e um desvio padrão σ da população igual a US$ 4.000, qual é a margem de erro? Use 
95% de confiança. O que você recomendaria se o estudo demandasse uma margem de erro de 
US$ 500? 
8. O National Quantity Research Center da Universidade de Michigan publica uma média 
trimestral das opiniões dos consumidores sobre produtos e serviços (The Wall Street Journal, 18 
de fevereiro de 2003). Uma pesquisa de 10 restaurantes do grupo Fast Food/Pizza revelou que a 
média amostral de satisfação do cliente tinha um índice igual a 71. Dados históricos indicam que 
o desvio padrão populacional do índice era relativamente estável, com σ = 5. 
a) Qual suposição o pesquisador estaria disposto a fazer se fosse desejada uma margem de erro? 
 2
b) Usando um grau de confiança de 95%, qual é a margem de erro? 
c) Qual é a margem de erro se for desejado um grau de confiança igual a 99%? 
9. A revista Playbill divulgou que a renda familiar anual média de seus leitores é igual a US$ 
119.155 (Playbill, dezembro de 2003). Suponha que essa estimativa da renda familiar anual 
média se baseie em uma amostra de 80 famílias; com base em estudos passados, sabe-se que o 
desvio padrão da população é σ = US$ 30.000. 
a. Desenvolva uma estimação por intervalo de confiança de 90% para a média populacional. 
b. Estabeleça uma estimação por intervalo de confiança de 95% para a média populacional. 
c. determine uma estimação por intervalo de confiança de 99% para a média populacional. 
d. Discuta o que acontece à amplitude do intervalo de confiança quando o grau de confiança é 
aumentado. Esse resultado parece razoável? Explique. 
10. Em um estudo de subsídios de empréstimos para estudantes, o Departamento de Educação 
relatou que aqueles que tomam empréstimos da Stanford Loan com quatro anos de prazo, terão 
uma dívida média de US$ 12.168 (USA Today, 5 de abril de 1995). Considere que essa quantia 
média de endividamento está baseada em uma amostra de 480 empréstimos de estudantes, e que 
na graduação o desvio-padrão da população para a quantia emprestada seja de US$ 2.200. 
a. Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 90% da quantia média devida 
pela população. 
b. Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 95% da quantia média devida 
pela população. 
c. Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 99% da quantia média devida 
pela população. 
d. Discuta o que acontece com a amplitude do intervalo de confiança quando o nível de 
confiança é aumentado. Isso parece razoável? Explique. 
 
RESPOSTAS: 
1.a) 0,79 ; b) 1,55 
2. Use x ± Zα/2 . σ / √ n a. (30,60 ; 33,40) ; b. (30,34 ; 33,66 ; c. (29,81 ; 34,19) 
3. a) (76,20 ; 83,80) ; b) (77,32 ; 82,68) ; c) A amplitude do intervalo de confiança é 
inversamente proporcional ao tamanho da amostra. Isto significa que quanto maior o 
n, menor a margem de erro e mais estreito é o intervalo de confiança (maior é a 
precisão). 
4. 54 
5. a. 1,40 ; b. (23,40 ; 26,20) 
6. (8,1 ; 8,9) 
7. ε = 1012,14; Aumentar n para 246. 
8. a. a população é no mínimo aproximadamente normal. ; b. 3,1 ; c. 4,1 
9. a. (US$ 113.638 ; US$ 124.672) ; b. (US$ 112.581 ; US$ 125.729) ; c. (US$ 
110.515 ; US$ 127.795) d. A amplitude aumenta quando o nível de confiança sobe. 
10. a. (12002 ; 12333) ; b. (11971 ; 12365) ; c. (11909 ; 12427) ; d. Quanto maior o 
nível de confiança, maior a amplitude do intervalo. 
 
 1
EXERCÍCIOS: ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE UMA PROPORÇ ÃO DA POPULAÇÃO 
 
1. Uma amostra aleatória simples de 400 pessoas apresentou 100 respostas Sim. 
a. Qual é a estimação por ponto da proporção da população que apresentaria respostas Sim? 
b. Qual é o desvio padrão da proporção, isto é, σp? 
c. Calcule o intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional. 
 
2. Uma amostra aleatória simples de 800 elementos gerou uma proporção amostral p= 0,70. 
 a. Forneça um intervalode confiança de 90% para a proporção da população. 
b. Forneça um intervalo de confiança de 95% para a proporção da população. 
 
3. Em uma pesquisa, o valor planejado para a proporção da população π é 0,35. Que tamanho deve ter uma 
amostra para fornecer um intervalo de confiança de 95% com uma margem de erro de 0,05? 
 
4. Com 95% de confiança, qual tamanho de amostra deve ser tomado para se obter uma margem de erro de 0,03 
para a estimativa de uma proporção populacional? Considere que dados passados não estejam disponíveis para 
desenvolver um valor planejado para π. 
 
5. Um levantamento da Time/CNN solicitou a 814 adultos que respondessem a uma série de questões sobre suas 
perspectivas em relação à situação financeira dos Estados Unidos. Um total de 562 adultos responderam Sim à 
questão: Você acha que as coisas estão indo bem nos Estados Unidos de hoje? . 
a. Qual é a estimativa pontual da proporção da população de adultos que sentem que as coisas estão indo bem nos 
Estados Unidos? 
b. Qual é a margem de erro a uma confiança de 90%? 
c. Qual é o intervalo de confiança de 90% para a proporção da população de adultos que sentem que as coisas 
estão indo bem nos Estados Unidos? 
 
6. O Bureau da National Affairs, Inc., selecionou uma amostra de 617 empresas e concluiu que 56 delas exigiram 
que seus empregados renunciassem aos prêmios de milhagem de usuários freqüentes de linhas aéreas para 
viagens de negócios . 
a. Qual é a estimativa pontual da proporção de todas as empresas que exigem de seus empregados a renúncia aos 
prêmios de milhagem de usuários freqüentes de linhas aéreas? 
b. Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 95% para a proporção da população. 
 
7. Um levantamento pela Wirthlin Worldwide coletou dados sobre as atitudes com relação à qualidade dos serviços 
aos clientes em lojas de atacado. O levantamento concluiu que 28% dos americanos consideram que o serviço aos 
clientes é melhor hoje do que era há dois anos. Se 650 adultos forem incluídos na amostra, desenvolva um intervalo 
de confiança de 95% para a proporção da população de adultos que sente que o serviço ao cliente é melhor hoje do 
que era há dois anos. 
 
8. Os dados de perfil de audiência coletados no web site da ESPN Sportszone mostraram que 26% dos usuários 
eram mulheres. Considere que essa porcentagem foi baseada numa amostra de 400 usuários. 
a. Usando uma confiança de 95%, qual é a margem de erro associada com a proporção estimada de usuários que 
são mulheres? 
b. Qual é o intervalo de confiança de 95% para a proporção da população dos usuários do web site da ESPN 
Sportszone que são mulheres? 
c. Qual o tamanho de uma amostra se a margem de erro desejada é 3%? 
 
9. O Instituto de Turismo do Estado da Flórida planeja amostrar visitantes das maiores praias de todo o estado para 
estimar a proporção de visitantes que não residem na Flórida. As estimativas preliminares são de que 55% dos 
visitantes não sejam residentes. 
 2
a. Que tamanho de amostra deve ser tomada para se estimar a proporção de visitantes de fora do estado com uma 
margem de erro de 3%? Use um nível de confiança de 95%. 
b. Que tamanho de amostra deve ser tomada se a margem de erro for aumentada para 6%? 
 
10. Um levantamento da Associated Press de 1.018 adultos concluiu que 255 deles planejaram gastar menos 
dinheiro em presentes durante a época de férias de 1998 em comparação ao ano anterior . 
a. Qual é a estimativa pontual da proporção de.todos os adultos que planejaram gastar menos dinheiro em 
presentes durante a época de férias de 1998? 
b. Usando uma confiança de 95%, qual é a margem de erro associada com essa estimativa? 
 
11. Um levantamento do Wall Street JoumallNBC News foi usado para coletar dados de como os americanos 
avaliam a qualidade da cobertura de notícias pelos jornais e pela televisão. Uma questão perguntava se a pessoa 
que respondia acreditava que a cobertura de notícias sobre a economia dos Estados Unidos era equilibrada, muito 
negativa ou muito positiva. As estimativas preliminares são de que aproximadamente 50% da população considera a 
cobertura das notícias equilibrada. 
a. Que tamanho de amostra é recomendada se a margem de erro desejada é de 3,3%? Use uma confiança de 95%. 
b. Que tamanho de amostra é recomendada se a margem de erro desejada é de 2,5%? Use uma confiança de 95%. 
 
12. Um levantamento de mulheres executivas realizado por Louis Harris &. Associates mostrou que 33% das 
pessoas pesquisadas avaliaram suas próprias empresas como um excelente lugar para as executivas trabalharem . 
Suponha que a Working Woman queira realizar um levantamento anual para monitorar essa proporção. Com π = 
0,33 como um valor planejado para a proporção da população, quantas executivas deverão ser amostradas para 
cada uma das seguintes margens de erro? Assuma que todas as estimativas por intervalo são realizadas em um 
nível de confiança de 95%. 
a. 10% 
b. 5%. 
c. 2%. 
d. 1%. 
e. Em geral, o que acontece ao tamanho da amostra quando a margem de erro diminui? 
 
13. A Liga de Produtores e Teatros Americanos usa um levantamento de pesquisa contínua de audiência que 
fornece informação atualizada sobre as audiências dos teatros da Broadway. A cada semana, a Liga distribui um 
levantamento de uma página sobre os assentos de teatro aleatórios em uma lista rotativa dos shows da Broadway. 
O questionário de levantamento exige somente cinco minutos para ser preenchido, e possibilita à audiência 
comunicar seus pontos de vista sobre a indústria do teatro. 
a. Que tamanho da amostra precisa ser tomada se a margem de erro em qualquer proporção da população é 0,04? 
Use uma confiança de 95% e um valor planejado de π = 0,50. 
b. Considere que o tamanho recomendado da amostra no item (a) seja implementado e que durante uma semana 
445 freqüentadores de teatro indicaram que não vivem na cidade de Nova York. Qual é a estimativa pontual da 
proporção da audiência da Broadway que não vive na cidade de Nova York? 
c. Usando os dados do item (b), qual é o intervalo de confiança de 95% para a proporção da população das 
audiências da Broadway que não vive na cidade de Nova York? 
 
RESPOSTAS: 
1) a) p = 0,25 ; b) 0,0217 ; c) (0,2076 ; 0,2924). 
2) a) (0,6733 ; 0,7267) ; b) (0,6682 ; 0,7318). 
3) 349,58 , use n = 350. 
4) n=1068. 
5) a) p = 0,6904 ; b) 0,0267 ; c) (0,6637 ; 0,7171). 
6) a) 0,0908 ; b) (0,0681 ; 0,1135). 
7) (0,2455 ; 0,3145). 
8) a) 0,0430 ; b) (0,2170 ; 0,3030) ; c) 822. 
9) a) 1.056,44, use n = 1.057; b) 264,11, use n = 265. 
10) a) 0,2505 ; b) 0,0266. 
11) a) 881,91 , use n = 882 ; b) 1536,64 , use n = 1537. 
12) a) 85 ; b) 340 ; c) 2124 ; d) 8494 ; e) O tamanho da amostra aumenta. 
13) a) 600,25 , use n = 601 ; b) p = 0,7404 ; c) (0,7053 ; 0,7755). 
 
 PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES 
 
Seja X uma população com um parâmetro de interesse θ e seja (X1, X2, ..., Xn) uma 
amostra aleatória simples extraída desta população. Seja um estimador do 
parâmetro θ . 
 
Então: 
 
a) Se E ( ) = θ se dirá que é um estimador não-tendencioso ou não viciado do 
parâmetro populacional θ. Neste caso, a média do estimador é o parâmetro 
populacional θ, ou ainda, pode-se dizer que o estimador varia em torno do parâmetro 
populacional. 
 
b) Se é um estimador não tendencioso de um parâmetro θ, se dirá que é consistente 
se à medida que o tamanho da amostra aumenta, a variabilidade do estimador diminui, 
isto é, as observações vão ficando cada vez mais concentradas em torno do parâmetro 
na medida em que a amostra vai ficando cada vez maior. Em símbolos: 
 
 
 
 
 
VIMOS: ESTIMAÇÃO POR PONTO 
 
Seja X uma população com média µ, desvio padrão σ , e com uma proporção π e seja 
(X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória simples extraída desta população. Então: 
 
a) é um estimador não-tendencioso e consistente da média da população µ. 
 
b) p é um estimador não-tendencioso e consistente da proporção populacional π. 
 
c) S2 é estimador não-tendencioso e consistente da variânciada população σ 2 a menos 
que a extração seja sem reposição de população finita. Neste caso, o estimador é 
 2 = N-1/N S2. (Ver arquivo sobre distribuição amostral da média) 
 
 
 
Estimação por intervalo da variância populacional e do desvio padrão 
populacional 
 
Sabe-se que o estimador não-tendencioso de σ2 é S2 . No entanto, para se construir um 
intervalo de confiança para σ2 é necessário ainda conhecer qual é o comportamento de 
S2 , isto é, qual é o modelo teórico (probabilístico) seguido pelo estimador. 
 
 
A distribuição usada neste caso é conhecida como Distribuição Qui-
Quadrado, cuja função densidade de probabilidade é apresentada abaixo, como 
função do grau de liberdade: 
 
 
 
 
A distribuição qui-quadrado 
 
 Devido à dificuldade de se calcular probabilidades por meio de integral, tabelas 
são usadas para P(χ2). 
Se )( 22 iP χχ ≤ = 0,95, então )( 22 iP χχ > = 0,05. 
 A distribuição χ2 está tabelada em função do grau de liberdade n - 1 = υ (linha 
da tabela) e área à sua direita, isto é, P(χ2 > c) = α. Na realidade o que está tabelado é a 
função inversa da χ2, isto é, entrando com o valor do parâmetro (graus de liberdade) e 
uma determinada probabilidade (área), a tabela fornece um valor da variável (abscissa) 
tal que a probabilidade à direita (área) deste valor seja igual a área especificada. 
 
Exemplo: para o caso de 6 graus de liberdade, tem-se: 
 
)592,12(95,0
)635,1(05,0
2
2
≤=
≤=
χ
χ
P
P
 
 
Assim, tem-se que há 90% (95-5) de probabilidade de χ2 estar entre 1,635 e 
12,592. 
 O uso da distribuição Qui-Quadrado para representar a distribuição da variância 
da amostra é teoricamente válido somente quando as observações amostrais 
individuais são tomadas de uma população normalmente distribuída. No entanto, a 
distribuição Qui-Quadrado pode ser usada como uma aproximação satisfatória da 
distribuição amostral, mesmo quando a população não é normal. 
 
A distribuição ou modelo qui-quadrado pode ser obtida de uma soma de variáveis 
normais padronizadas, isto é, χ2 = 
A distribuição χ2 é assimétrica positiva (possuí uma cauda à direita) e de depende do 
parâmetro υ = graus de liberdade. 
Sabe-se também que: 
E(χ2) = υ e que Variância(χ2) = 2υ. 
 
 O comportamento da distribuição de probabilidade, apresentado pela variância 
amostral (S2) está relacionado com a distribuição (modelo) χ2 através do seguinte 
resultado: 
 
2
2
2 )1(
σ
χ sn −=
 
 
isto é, a variância segue uma distribuição χ2 com "n - 1" graus de liberdade a menos de 
uma constante. Neste caso υ = n -1. 
 
Obtendo o intervalo de confiança para a variância populacional (σ2) 
 Suponha que seja fixado um nível de confiança de “1 - α“ e que χ1
2 e e χ2
2 
sejam dois valores da distribuição χ2 tais que P(χ1
2 < χ2 < χ2
2) =1-α 
 
P( χ1
2 < χ2 < χ2
2 ) =1-α 
 
 
 
P( χ1
2 < (n-1) s2 < χ2
2 ) =1-α 
 σ2 
 
 
P ( 1 < σ2 < 1 ) =1-α 
 χ2
2 (n-1) s2 χ1
2 
 
 
P ( (n-1) s2 < σ2 < (n-1)s2 ) =1-α 
 χ2
2 χ1
2 
 
Assim o intervalo de confiança (probabilidade) de “1 - α“ para a variância da população 
é dado por: 
 
( (n-1) s2 ; (n-1)s2 ) 
 χ2
2 χ1
2 
 
Intervalo de confiança para o desvio padrão populacional (σ) 
 Para determinar um intervalo de confiança de "1 - α" de probabilidade para o 
desvio padrão populacional basta apenas tomar a raiz quadrada positiva dos termos do 
intervalo para a variância populacional. 
Assim o intervalo será: 
 
Limite inferior: 
 
 
Limite superior: 
 
 
Exemplo: 
 Uma amostra de tamanho 11 foi extraída de uma população normal e forneceu 
uma variância de s2 = 8,38. Determinar um intervalo de confiança de 90% para a 
variância da população e um intervalo de mesma confiabilidade para o desvio padrão da 
população. Neste caso é necessário inicialmente determinar os valores da distribuição 
χ2 2, de modo, que χ12 tenha uma área (probabilidade) à direita igual a 95% e χ22 tenha 
uma área (probabilidade) à direita igual a 5%. 
Estes valores são: χ1
2 = 3,940 e χ2
2= 18,307. O intervalo de confiança, para a variância, 
será: 
 
[ (11-1) 8,38 ; (11-1) 8,38 ] 
 18,307 3,940 
 
 [4,58; 21,27] 
 
O intervalo de confiança, para o desvio padrão, será a raiz desses valores: 
 
[2,14; 4,61]. 
 
EXERCÍCIOS: INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
1) Uma amostra de 25 alunos da escola SEMODEZ foi retirada e foi perguntada a altura, em 
centímetros, de cada aluno. A variância das alturas dessa amostra foi 54,17. 
a) Construa um intervalo de confiança de 90% para a variância populacional. 
b) Construa um intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão populacional. 
 
2) Você seleciona aleatoriamente e pesa 30 amostras de um determinado antialérgico. O 
desvio padrão da amostra é de 1,2 miligramas. Supondo que os pesos tenham uma 
distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 99% para a variância e o 
desvio padrão populacionais. 
 
3) Em uma amostra aleatória de cinco fornos de microondas, o custo médio do reparo foi de 
US$75, com desvio padrão de US$12,50. Supondo que os preços tenham uma 
distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 95% para a variância e o 
desvio padrão populacionais. 
 
4) Em uma amostra aleatória de 10 adultos norte-americanos, o lixo médio produzido por 
pessoa a cada dia foi de 4,3 kg, com desvio padrão de 1,2kg. Supondo que os pesos 
tenham uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 90% para a 
variância e o desvio padrão populacionais. 
 
5) Para analisar a variação de cápsulas de suplemento vitamínico, foram selecionadas 
aleatoriamente e pesadas 14 cápsulas. Os resultados, em miligramas, mostraram que a 
variância amostral foi de 0,0641. Use um Intervalo de confiança de 99% para estimar a 
variância da população. 
 
6) Uma revista contém uma reportagem sobre os preços dos aparelhos de CD. O artigo 
estabelece que 26 CD players selecionados ao caso têm um desvio padrão de US$150. 
Use um intervalo de confiança de 95 % para estimar o desvio padrão populacional. 
 
7) As rendas mensais de 20 indivíduos selecionados ao acaso com bacharelado em Ciências 
Econômicas têm desvio padrão de US$ 107. Use um intervalo de confiança de 95 % para 
estimar o desvio padrão populacional. 
 
8) Em um processo químico, a viscosidade do produto resultante segue o modelo normal. A 
partir da amostra apresentada a seguir, obtenha um intervalo de 90% para a variância da 
viscosidade. 
35,2 36,7 37,5 38,2 38,7 39,5 36,3 37,3 37,8 38,3 39,3 40,1 
 
RESPOSTAS 
1) a) 35,70 a 93,88 b) 5,98 a 9,69 
2) 0,7979 a 3,1826 e 0,8933 a 1,7840 
3) 56,09 a 1290,21 e 7,49 a 35,92 
4) 0,7660 a 3,8976 e 0,8752 a 1,9742 
5) 0,0279 a 0,2337 
6) 117,64 a 207,06 
7) 81,37 a 156,28 
8) 1,1216 a 4,8238