Resumo análise estrutural

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AULA 14.1: ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 1 
1. INTRODUÇÃO 2 
2. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 4 
3. APOIOS 4 
4. ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 9 
5. ESFORÇOS NAS SEÇÕES DAS ESTRUTURAS 12 
6. ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 15 
7. ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS 31 
8. QUADROS COM BARRAS CURVAS 42 
9. QUADROS COMPOSTOS 45 
10. ESTUDO DOS ARCOS ARTICULADOS 47 
11. SISTEMAS GUINDASTE 54 
12. TRELICAS ISOSTÁTICAS 56 
13. QUESTÕES COMENTADAS 69 
14. QUESTÕES APRESENTADAS NESTA AULA 97 
15. GABARITO 106 
16. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 106 
 
Esta aula baseia-se no livro “Curso de Análise Estrutural – 
Volume 1”, do autor José Carlos Sussekind, por ter sido fonte das 
últimas questões do Cespe sobre análise estrutural. 
Boa sorte a todos ! 
Qualquer dúvida é só enviar para o fórum. Abraços! 
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1 – INTRODUÇÃO 
A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as 
estruturas, em especial na determinação dos esforços e das 
deformações a que elas ficam submetidas quando solicitadas por 
agentes externos (cargas, variações térmicas, movimento de seus 
apoios, etc.). 
As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre 
si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, 
um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las 
internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações 
externas encontram seu sistema estático equilibrante. 
1.1 - Força 
Pode-se exercer uma força sobre um corpo por meio de um 
esforço muscular; uma locomotiva exerce força sobre os vagões que 
ela reboca; uma mola esticada exerce forças sobre as peças que 
fixam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, o corpo que 
exerce a força está em contato com aquele sobre o qual ela é 
exercida – tratam-se, pois, de forças de contato. 
Há, também, forças que atuam através do espaço, sem 
contato, chamadas, por esta razão, forças de ação à distância – são 
as forças devidas à existência de campos agindo sobre o corpo. É o 
caso das forças elétricas, magnéticas, das forças de gravitação e, no 
caso da Terra, das forças devidas à gravidade (que são os pesos dos 
corpos). 
É comum chamar-se de forças que atuam numa estrutura de 
cargas. 
1.2 – Momento 
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Seja a barra da figura a seguir, suportada em C por um cutelo 
sem atrito e tendo um peso de 10 kg suspenso em B, que se deseja 
contrabalançar por um peso suspenso em A: 
 
É fácil ver que o peso a ser colocado em A, a fim de 
contrabalançar o efeito da rotação da barra em tomo do cutelo C, 
deve ser inferior a 10 kg, por estar mais afastado de C do que este 
último; por tentativas, veríamos que seu valor deve ser de 5 kg. Este 
exemplo simples foi escolhido para ilustrar o fato de que o efeito de 
rotação de uma força em torno de um ponto depende do valor da 
força e também de sua distância ao ponto, sendo diretamente 
proporcional a ambos. Se desejarmos, então, criar uma grandeza 
física, através da qual queiramos representar a tendência de rotação 
em torno de um ponto, provocada por uma força, esta grandeza 
deverá ser função da força e de sua distância ao ponto. 
Esta grandeza é o momento. 
 
2 – CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em 
equilíbrio, é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência 
de translação nem rotação a este corpo. Como a tendência de 
translação é dada pela resultante das forças e a tendência de rotação, 
em tomo de qualquer ponto, é dada pelo momento resultante destas 
forças em relação a este ponto, basta que eles sejam nulos para que 
o corpo esteja em equilíbrio. 
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3 – APOIOS 
Os apoios são os vínculos externos da estrutura, isto é, seus 
vínculos em relação a seus suportes (solo ou outra estrutura). 
A função dos apoios é a de restringir graus de liberdade das 
estruturas, despertando com isto reações nas direções dos 
movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do 
número de graus de liberdade permitidos (ou do número de 
movimentos impedidos), podendo ser, então, de 6 tipos diferentes 
(isto é, podendo permitir 5,4,3,2,1 ou nenhum grau de liberdade), de 
forma a garantir o equilíbrio estático da estrutura, conforme a seguir: 
 
Seja o apoio representado na figura abaixo, em que temos a 
estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O 
único movimento que ela será capaz de impedir é a translação na 
direção vertical, aparecendo com isto uma reação R, agindo sobre a 
estrutura. O apoio será dito, então, um apoio com 5 graus de 
liberdade (ou um com 1 movimento impedido). 
 
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Seja, agora, o apoio a figura abaixo, constituído por três 
esferas ligadas entre si por três hastes, de modo a ficar formado um 
conjunto rígido. Ficam impedidas, no caso, além da translação na 
direção z, as rotações em torno dos eixos x e y. O apoio será dito, 
então, um apoio com 3 graus de liberdade (que são, no caso, a 
rotação em torno do eixo z e as translações nas direções dos eixos x 
e y,) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão, agindo sobre a 
estrutura, as reações Mx, My e R, indicadas na figura. 
 
O esquema da figura seguinte representa a ligação rígida entre 
a estrutura e seu apoio, de dimensões tão maiores que as da 
estrutura, que podem ser consideradas infinitas em presença 
daquelas. Neste caso, o apoio impedirá todos os movimentos 
possíveis, sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou com todos 
os movimentos impedidos). Correspondendo a cada um dos 
movimentos impedidos aparecem, agindo sobre a estrutura, as 
reações Rx, Ry. Rz, Mx, My, e Mz, indicadas na figura. Este tipo de 
apoio é chamado engaste. 
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3.1 - Estruturas planas carregadas no próprio plano 
Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, 
que é o mais frequente da Análise Estrutural, existem 3 graus de 
liberdade a combater. 
Supondo a estrutura situada no plano xy, conforme indica a 
figura seguinte, os graus de liberdade a combater são as translações 
nas direções Ox e Oy e a rotação em torno de um eixo perpendicular 
ao plano (no caso, Oz), pois o estas são as únicas tendências de 
movimento capazes de serem produzidas pelo sistema de forças 
indicado. 
 
São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes 
movimentos: 
a) Apoio do 1º gênero ou charriot 
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O apoio do 1º gênero pode ser obtido por uma das duas formas 
representadas nas figuras acima; na primeira, temos a estrutura 
apoiadasobre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamento 
na direção y, permitindo livre rotação em torno dele, assim como 
livre deslocamento na direção x; na segunda, a rotação é assegurada 
por um pino sem atrito e a translação, na direção x, pelos rolos 
diretamente em contato com o plano que serve de apoio, continuando 
a impedir o deslocamento na direção y. 
Esquematicamente, representa-se o apoio do 1º gênero na 
forma indicada na figura da direita acima. Na direção do único 
movimento impedido, aparecerá uma reação de apoio R, conforme 
indicado na figura. 
b) Apoio do 2º gênero, articulação ou rótula 
 
Se, no apoio da figura anterior do meio, substituirmos os rolos 
por uma chapa presa completamente ao plano-suporte, conforme 
indica a figura acima, estar-se-á impedindo todas as translações 
possíveis, permanecendo livre apenas a rotação, assegurada pelo 
pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de restringir 
todas as translações possíveis no plano, chamamos apoio do 2º 
gênero. Ele é representado esquematicamente por uma das 2 formas 
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indicadas na figura acima (figura do meio e da direita). Na direção 
das translações impedidas, aparecerão as reações H e V indicadas na 
figura, cuja composição vetorial dará a reação de apoio resultante no 
apoio do 2º gênero. 
c) Apoio do 3º gênero ou engaste 
 
Se a estrutura estiver ancorada num bloco de dimensões que 
possam ser consideradas infinitas em presença das dimensões da 
estrutura, conforme indica a figura acima, na seção de contato entre 
ambos o bloco estará impedido, por sua enorme rigidez, todos os 
movimentos possíveis da estrutura e dizemos então que ele engasta 
a estrutura. Um engaste será representado, esquematicamente, da 
forma indicada na figura acima da esquerda, aparecendo, na direção 
de cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação), 
as reações de apoio H, V e M indicadas. 
A figura a seguir resume os tipos de apoio estudados por meio 
de uma viga: 
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Fonte: Concreto Armado eu te Amo 
 
4 - ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 
Acabou-se de ver que a função dos apoios é limitar os graus de 
liberdade de uma estrutura. Três casos podem então ocorrer: 
a) Os apoios são em número estritamente necessário para 
impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual 
ao número de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de 
incógnitas = número de equações), chegando-se a um sistema de 
equações determinado que resolverá o problema. 
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Diz-se, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma 
situação de equilíbrio estável. 
b) Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir 
todos os movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, evidentemente, tem-se mais equações que 
incógnitas, chegando-se a um sistema de equações impossível, nos 
casos gerais. A estrutura será dita hipostática e será, então, instável. 
(Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio 
carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios 
não forem capazes de impedir; será, então, um caso de equilíbrio, 
mas de equilíbrio instável, pois qualquer que seja a deformação 
imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína). 
As estruturas hipostáticas são inadmissíveis para as 
construções. 
c) Os apoios são em número superior ao necessário para 
impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. 
Neste caso, teremos menor número de equações que de 
incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações 
universais da Estática não serão suficientes para a determinação das 
reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de 
compatibilidade de deformações. A estrutura será dita hiperestática, 
continuando o equilíbrio a ser estável (aliás, pode-se dizer, um pouco 
impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável). 
Pose-se tentar estabelecer o critério de contar o número de 
apoios e ver se é igual, menor ou maior que o número de graus de 
liberdade da estrutura para classificá-la em isostática, hipostática ou 
hiperestática. Este critério é perfeito no caso das estruturas 
hipostáticas, mas, no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas, 
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fornece apenas uma condição necessária, mas não suficiente, 
conforme esclarecem os exemplos das figuras a seguir. 
 
No caso da estrutura plana da figura da esquerda que, como 
tal, possui três graus de liberdade, há um apoio do 2º gênero e um 
apoio do 1º gênero, dando um total de três reações de apoio a 
determinar. Isto sugeriria que a estrutura fosse isostática, fato que 
não ocorre, entretanto, pois o apoio A impede translações nas 
direções Ax e Ay e o apoio B translação também na direção Ax. A 
rotação do sistema não está, pois, impedida e a estrutura é, então, 
hipostática (embora aparentemente isostática). 
Analogamente, a estrutura plana da figura da direita é 
aparentemente hiperestática, pois temos três graus de liberdade para 
cinco reações de apoio a determinar. Entretanto, é fácil ver que 
nenhum dos apoios impede a translação na direção ABCDE; com isto, 
a estrutura é hipostática (embora aparentemente hiperestática). 
Portanto, para classificar uma estrutura (sem vínculos internos) 
como externamente isostática ou hiperestática, não basta comparar o 
número de reações de apoio a determinar com o de graus de 
liberdade da estrutura; é necessário certificar-se também que os 
apoios restringem, de fato, todos os graus de liberdade da estrutura 
em questão (com isto é que se pode afastar completamente a 
possibilidade da estrutura ser hipostática). 
1) (146 – TCU/2011) Uma estrutura será considerada 
isostática quando o seu equilíbrio for estável, e seus apoios 
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forem em quantidade estritamente necessária para impedir 
todos os movimentos possíveis. 
 
5 – ESFORÇOS NAS SEÇÕES DAS ESTRUTURAS 
a) Força Normal 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência 
das forças N será a de promover uma variação da distância que 
separa as seções, permanecendo as mesmas paralelas uma à outra, 
conforme indica a figura seguinte. 
 
Por acarretar uma tendência de movimento da seção 
normalmente à mesma (que é a direção do eixo), chama-se a N de 
esforço normal atuante na seção. Pode-se, então, definir esforço 
normal atuante numa seção como sendo a soma algébrica das 
componentes, na direção normal à seção, de cada uma das forças 
atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal será positivo 
quando de tração (isto é, quando tender a afastar duas seções 
infinitamente próximas ou, em linguagem mais simples, quando 
estiver "saindo" da seção), sendo negativo em caso contrário (caso 
da compressão). 
 
b) Esforço Cortante 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência 
das duas forças Q é a de promover um deslizamento relativo deuma 
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em relação à outra, conforme indica a figura a seguir, aparecendo, 
então, uma tendência de corte. Por esta razão, Q é chamada de 
esforço cortante. 
 
Define-se, então, esforço cortante atuante numa seção como 
sendo igual à soma vetorial das componentes, sobre o plano da 
seção, das forças situadas de um dos lados desta seção. 
 
c) Momento Torçor 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência 
do momento é a de promover uma rotação relativa destas duas 
seções em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo 
seu centro de gravidade (eixo x, portanto). Podemos dizer, em 
linguagem simplista, que o momento está torcendo a peça e ele é, 
pois, denominado momento torçor atuante na seção. 
 
Define-se, então, momento torçor atuante numa seção S como 
sendo a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos 
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lados desta seção em relação ao eixo normal à seção que contém o 
seu centro de gravidade. 
 
d) Momento 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência 
do momento M, conforme a regra da mão direita, é a de provocar 
uma rotação da seção em torno de um eixo situado no seu próprio 
plano. 
Como um momento pode ser substituído por um binário, vemos 
que o efeito de M pode ser assimilado ao do binário indicado na figura 
seguinte, que provoca uma tendência de alongamento em uma das 
partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte. A 
peça ficará então fletida, sendo, por isto, denominado de momento 
fletor. 
 
 
Define-se, então, como momento fletor atuante numa seção, à 
soma vetorial das componentes, sobre o plano da seção, dos 
momentos de todas as forças situadas de um dos lados da seção em 
relação ao seu centro de gravidade. 
 
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6 – ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 
Seja a viga biapoiada da figura a seguir, submetida ao 
carregamento indicado. 
 
Tem-se que a derivada do momento fletor atuante numa seção 
S de uma viga reta, submetida a um carregamento a ela 
perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual ao 
esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em relação a 
esta abscissa é igual ao valor da taxa de carga aplicada na seção S 
com o sinal trocado, conforme a seguir: 
 
Essas igualdades são as equações fundamentais da Estática, 
pois permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da 
viga em função do carregamento q(x) atuante. 
Portanto, a partir da primeira equação, tem-se que o coeficiente 
angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção 
S é igual ao esforço cortante nela atuante, e a partir da segunda 
equação, tem-se que o coeficiente angular da tangente ao diagrama 
de esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga 
atuante nesta seção com o sinal trocado. 
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6.1 – Vigas Biapoiadas 
Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma 
carga concentrada P, atuante na seção S. 
 
Na seção S, não se define esforço cortante; ele é definido à 
esquerda e à direita da seção sofrendo nela uma descontinuidade 
igual a P. 
Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma 
carga uniformemente distribuída q. 
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Pode-se afirmar que, sob carga uniformemente distribuída, o 
diagrama de momentos fletores é parabólico do 2º grau e o diagrama 
de esforços cortantes é retilíneo. 
Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, teremos os 
seguintes esforços simples numa seção genérica S: 
 
O diagrama de esforços cortantes será uma linha reta, que fica 
determinada pelos seus valores extremos, correspondentes a x = 0 e 
a x = l, que são: QA = (q.l)/2 e QB = - (q.l)/2. (Estes valores podem 
ser obtidos diretamente a partir das reações de apoio.) 
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O diagrama de momentos fletores será dado por uma 
parábolado 2º grau, passando por zero em A e B e passando por um 
máximo em x = l/2 (seção onde Q = dM/dx = 0), de valor: 
 
Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma 
carga triangular, de taxa máxima igual a p, no apoio da direita. 
Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, tem-se os 
seguintes esforços simples numa seção genérica S: 
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O diagrama de esforços cortantes será, então, parabólico do 2º 
grau, com tangente horizontal em A (pois dQ/ds = -q = 0), tendo 
seus valores extremos iguais aos valores conhecidos (+ VA) e (-VB) e 
passando por zero para x = l.
 
 
 = 0,577.l, conforme pode ser obtido 
imediatamente a partir de sua equação. 
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O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 3º 
grau, que passa por um máximo em x = l.
 
 
 = 0,577.l (pois dM/ds = 
Q = 0), de valor Mmáx = 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Sendo a taxa de carregamento uma função linear (grau um), o 
diagrama de esforços cortantes é parabólico do 2º grau e o diagrama 
de momentos fletores é parabólico do 3º grau. 
Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida à carga-
momento indicada. As reações de apoio devem ser tais que formem 
um binário de módulo M e sentido oposto ao do momento aplicado. 
A partir delas, temos imediatamente os diagramas solicitantes. 
 
Seguem casos particulares interessantes apresentados na figura 
seguinte de diagramas de momentos fletores para algumas posições 
notáveis da carregamento. 
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Seja a viga biapoiada da figura a seguir, submetida ao 
carregamento indicado: 
 
 
 
O problema novo que se depara é o da resolução de uma viga 
submetida a uma carga continuamente distribuída, que não abrange 
todo o seu vão. 
Para recair num problema já conhecido, romperemos a viga em 
B e C, desde que apliquemos nestes pontos seus esforços simples, 
mantendo o equilíbrio de cada trecho assim obtido. 
Assim, os esforços cortantes que atuam nas extremidades de 
cada trecho (QA, QB, QC, QD) podem ser encarados como as forças 
que equilibram as outras cargas e momentos atuantes no trecho, 
podendo ele então ser considerado como uma viga biapoiada 
independente, submetida ao carregamento externo que lhe está 
diretamente aplicado e a cargas-momentoem seus apoios iguais aos 
momentos fletores atuantes nestes pontos na viga dada inicialmente, 
de imediata determinação. Recai-se, então, no problema de obtenção 
do diagrama de momentos fletores em vigotas do gênero BC, que, 
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por superposição de efeitos, é imediatamente obtido conforme mostra 
a figura a seguir: 
 
 
A linha reta pontihada representa o diagrama de momentos 
fletores devido somente a MB e MC. Marcando-se, na vertical, a partir 
desta reta a parábola do 2º grau que é o diagrama devido apenas à 
carga distribuída, teremos então o diagrama final no trecho. 
O diagrama de momentos fletores na viga AD será, então, o da 
figura abaixo. Notar que existe, no caso, concordância em B e em C 
entre a parte retilínea e a parte parabólica, o que já era de se 
esperar, pois não existem cargas concentradas aplicadas nestes 
pontos. 
 
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A obtenção do diagrama de esforços cortantes não apresenta 
maiores problemas, sendo imediata a partir do conhecimento das 
reações de apoio. 
Extrapolando as conclusões deste exemplo, pode-se afirmar 
que, para traçar o diagrama de momentos fletores numa viga 
submetida a um carregamento qualquer, basta marcar os momentos 
fletores nos pontos onde muda a lei de variação do carregamento, 
ligá-los por segmentos de retas e, a partir da linha assim obtida, 
pendurar, perpendicularmente ao eixo da viga, os diagramas de viga 
biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes, em seus 
respectivos trechos. 
Seja a viga engastada e livre AB da figura abaixo: 
 
No engaste, aparecerão uma reação vertical e uma reação-
momento, que equilibrarão o carregamento atuante. 
O diagrama de momentos fletores obtém-se da mesma forma 
que no exemplo anterior, marcando-se os momentos fletores nas 
seções em que muda a lei de variação de carregamento (no caso, A, 
C, B, D), ligando-os por segmentos de reta, e, a partir da linha assim 
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obtida, penduram-se os diagramas de viga biapoiada para cada uma 
das cargas distribuídas atuantes (no caso, no trecho CD). 
O diagrama de esforços cortantes obtém-se imediatamente a 
partir do carregamento e reações de apoio atuantes. 
Seja a viga biapoiada com balanços da figura a seguir: 
 
A obtenção dos diagramas solicitantes nos balanços AB e CD se 
faz conforme o exemplo anterior, pois podemos obter os esforços no 
trecho AB entrando com as forças da esquerda e no trecho CD 
entrando com as forças da direita, e eles se comportam, então, como 
se fossem vigas engastadas e livres AB e CD. 
Passemos, então, à análise do trecho BC: rompendo a viga em 
Besq e Cdir e aplicando os esforços simples atuantes nestas seções, 
nada terá se alterado sob o ponto de vista estático. Teremos, então, 
uma viga biapoiada BC, submetida ao carregamento que lhe está 
diretamente aplicado, a cargas-momento MB em B e MC em C, iguais 
aos momentos fletores atuantes nestas seções devidos aos balanços, 
e a cargas verticais (P1 + P2) em B e (P4 + P5) em C, iguais às 
resultantes das cargas atuantes em cada balanço e que, estando 
diretamente aplicadas sobre os apoios, serão imediatamente 
absorvidas por eles, não influenciando no cálculo dos esforços simples 
em BC. Recaímos, então, para o trecho BC no estudo de uma viga 
biapoiada. 
Pode-se afirmar que, para traçar o diagrama de momentos 
fletores numa viga biapoiada com balanços, tratam-se os balanços 
como vigas engastadas e livres, ligam-se os momentos atuantes nos 
apoios por uma linha reta e, a partir dela, penduram-se o diagrama 
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de viga biapoiada devido às cargas atuantes no trecho entre os 
apoios. 
Como nos casos anteriores, a obtenção do diagrama de 
esforços cortantes é imediata, a partir do carregamento e das 
reações de apoio. 
 
6.2 – Vigas Gerber 
 
Seja a estrutura representada na figura seguinte, estando o 
detalhe da seção C ampliado: 
 
Supondo carregado o trecho CD: este trecho não tem 
estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas, 
necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é 
um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; caberia, 
então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma horizontal, o 
que ele não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir 
estas forças ao trecho ABC. 
Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à 
estabilidade do trecho ABC que, em se tratando de uma viga 
biapoiada com balanço, é estável, o sendo então o conjunto ABCD. 
Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas 
este trecho, pois, em se tratando de um trecho com estabilidade 
própria, nele mesmo encontrará o carregamento suas reações 
equilibrantes. 
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O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, não 
transmitindo momento algum (pois não impede nenhuma rotação à 
estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, ficando o esquema 
estático da estrutura representado conforme indica a figura a seguir. 
 
 
Para resolver a viga ABCD, resolve-se inicialmente o trecho CD 
(trecho sem estabilidade própria), transmitindo para o trecho ABC 
(trecho com estabilidade própria) as forças HC e VC necessárias ao 
equilíbrio do trecho CD. 
O trecho ABC será resolvido, a seguir, com as cargas que lhe 
estão diretamente aplicadas, acrescidas das forças VC e HC 
transmitidas pela rótula C. Recai-se, então, na resolução de uma viga 
biapoiada CD e de uma viga biapoiada com balanço ABC, problemas 
estes já resolvidos nos tópicos anteriores. 
Consta, então, uma viga Gerber, de uma associação de vigas 
com estabilidade própria com outras apoiadas sobre as primeiras, que 
dão a estabilidade ao conjunto. Para resolvê-la, basta fazer sua 
decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente 
aquelas sem estabilidade própria e, após, as dotadas de estabilidade 
própria, para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas, 
acrescidas, para estas últimas, das forças transmitidas pelas rótulas. 
Em se tratando de vigas Gerber isostáticas, as vigas que as 
constituem serão vigas biapoiadas, vigas biapoiadas com balanços ou 
vigas engastadas e livres. 
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2) (72 – SEGER-ES/2011) Em uma viga Gerber, o ponto de 
transmissão de forças é representado por uma rótula. 
 
6.3 – Vigas Inclinadas 
 
Seja a viga da figura abaixo submetida ao carregamento 
distribuído vertical indicado. 
 
 
Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, passemos ao 
estudo de seus diagramas solicitantes. O momento fletor atuante 
numa seção genérica S será dado por: 
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Comparando esta expressão com a da viga horizontal com 
carga distribuída vista anteriormente, constata-se que, para fins de 
momentos fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga 
horizontal (perpendicular ao carregamento) de vão “a” e o diagrama 
é o indicado na figura (notar que as ordenadas do diagrama são 
sempre marcadas perpendicularmente ao eixo da barra). 
Os demais esforços atuantes nesta seção são dados por: 
 
Seja, agora, a viga abaixo, submetida ao carregamento 
distribuído horizontal. 
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Obtêm-se as reações de apoio pelas equações de equilíbrio: 
 
O momento fletor atuante numa seção genérica será dado por: 
 
Comparando esta expressão também com a da viga horizontal 
com carga distribuída vista anteriormente, constata-se que, para fins 
de momentos fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga 
vertical (perpendicular ao carregamento atuante), de vão b e o 
diagrama é o indicado na figura. Os demais esforços atuantes em S 
são dados por: 
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Seja, finalmente, a viga submetida ao carregamento distribuído 
perpendicular ao seu eixo. 
 
 
Conforme indica a figura acima, verifica-se que este caso é uma 
superposição dos dois casos anteriores e os diagramas solicitantes 
para ele serão, então, iguais à soma dos diagramas indicados. 
O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 2º 
grau de valor máximo igual a (q.a2/8) + (q.b2/8) = q.AB2/8, 
comportando-se então a viga como perpendicular ao carregamento 
atuante, com vão AB. 
Dos exemplos apresentados de viga inclinada com carga 
vertical, horizontal e perpendicular ao seu eixo, pode-se concluir que 
uma viga biapoiada inclinada AB se comporta, para fins de diagrama 
de momentos fletores, como se fosse uma viga biapoiada de vão 
igual à projeção de seu comprimento sobre uma reta perpendicular 
ao carregamento atuante, sendo o diagrama de momentos fletores 
marcado, sempre, perpendicularmente ao eixo da viga. 
Os diagramas de esforços cortantes e esforços normais são 
obtidos imediatamente, em qualquer caso, a partir do carregamento 
e das reações de apoio. 
 
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3) (147 – TCU/2011) Se uma viga inclinada é submetida a 
um carregamento distribuído vertical, para fins de momentos 
fletores, ela se comporta como se fosse uma viga horizontal, 
perpendicular ao carregamento. 
 
 
7 – ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS 
 
Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos 
planos, denominados quadros simples, quando ocorrem isoladamente 
e que, associados entre si, da mesma forma com que associamos 
vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os quadros 
compostos. 
 
7.1 – Quadro Biapoiado 
 
Seja o quadro da figura abaixo. 
 
 
Para obterem-se as reações de apoio HA, VA e VD dispõe-se das 
três equações universais da Estática no plano, pois se trata de 
estrutura isostática. Conhecidas as reações de apoio, passa-se à 
obtenção dos diagramas solicitantes, fazendo-se recair em problema 
já conhecido (resolução de vigas biapoiadas), da maneira seguinte. 
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Rompendo a quadro em seus nós intermediários B e C, pode-se 
destacar umas das outras as barras que o constituem, desde que 
aplique-se nesses nós, em cada uma das barras, os esforços simples 
neles atuantes, que manterão o equilíbrio de cada barra AB, BC e CD. 
Analisando cada uma dessas barras. Seja, por exemplo a barra 
BC, submetida ao carregamento em equilíbrio constituído por HB, VB, 
MB, P2, P3, HC, VC, MC. Como estas cargas estão em equilíbrio, pode-
se encarar, por exemplo, HB, VB e VC como sendo as forças que 
equilibram as demais cargas atuantes e a barra BC pode, então, ser 
considerada como uma viga biapoiada, submetida ao carregamento 
que lhe está diretamente aplicado, acrescido de cargas-monento em 
suas extremidades iguais aos momentos fletores atuantes nestas 
seções e de uma carga horizontal no apoio do 1º gênero, igual ao 
esforço normal atuante nesta seção. A igual conclusão chegaríamos 
para as demais barras e o estudo do quadro recai, então, no estudo 
das três vigas biapoiadas AB, BC e CD. 
As conclusões tiradas para este caso podem ser extrapoladas 
para todos os demais e pode-se, então, afirmar que, para se traçar o 
diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar 
os momentos fletores atuantes em seus nós ligá-los por uma linha 
reta tracejada, a partir da qual penduramos os diagramas de viga 
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biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada uma das 
barras que constituem o quadro. 
Os diagramas são marcados, como no caso das vigas, 
perpendicularmente ao eixo de cada barra. 
A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços 
normais é imediata, a partir do conhecimento das reações de apoio. 
Segue um exemplo: 
Obter os diagramas solicitantes para o quadro a seguir: 
 
Substituindo o carregamento distribuído por sua resultante, 
indicada em pontilhado na figura, passa-se à obtenção das reações 
de apoio: 
 
Conhecidas as reações de apoio, pode-de traçar os diagramas 
solicitantes, começando pelo diagrama de momentos fletores. 
Os momentos fletores atuantes nos nós intermediários, valem: 
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a) Nó D 
 
 
Na barra AD o momento traciona as fibras da esquerda e na 
barra CD o momento traciona as fibras superiores. 
Para a barra DE, podemos obter o momento fletor atuante em 
D a partir de sua definição, isto é, entrando com as forças atuantes 
num dos lados da seção (por exemplo, entrando com as forças 
atuantes à esquerda), obtém-se: 
 
tracionando as fibras superiores ou pode-se, o que é muito 
mais prático, no caso, obter seu valor a partir do equilíbrio do nó D, 
conforme se segue. 
Rompendo-se todas as barras que concorrem no nó D e 
aplicando os momentos fletores nelas atuantes, eles têm que estar 
em equilíbrio, pois a estrutura o está. Tem-se então, o esquema da 
figura, a partir do qual obtém-se: 
 
b) Nó E 
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Nas barras EF e BE o momento traciona as fibras da direita. 
Para a barra DE, temos, a partir do equilíbrio do nó E, conforme 
indica a figura: 
 
Marcando os valores obtidos para os nós, tem-se definidas as 
linhas de fechamento, a partir das quais penduram-se os diagramas 
de viga biapoiada, obtendo-se então, o diagrama final. 
 
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A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e de esforços 
normais é imediata, a partir do carregamento e das reações de apoio: 
 
 
 
 
 
4) (32 – SEAD/PA – 2005) A figura acima representa um 
pórtico plano, rígido, com peso desprezível, submetido ao 
carregamento (não nulo) uniformemente distribuído com 
intensidade q. De acordo com os dados apresentados na 
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figura, os valores dos módulos das componentes verticais das 
forças nos apoios A e B são, respectivamente, iguais a 
 
A) 0,1 qa e 0,6 qa. 
B) 0,2 qa e 0,7 qa. 
C) 0,4 qa e 0,9 qa. 
D) 0,6 qa e 1,1 qa. 
E) 0,7 qa e 1,2 qa. 
 
(45 – PF/2002) Considere o pórtico plano apresentado na 
figura abaixo, submetido a uma carga concentrada horizontal 
— P — e a uma carga uniformemente distribuída — q —. 
 
 
Em face dessa situação, desprezando o peso próprio do 
pórtico, julgue os itens a seguir. 
 
5) 1 - O pórtico representa uma estrutura hiperestática. 
 
6) 2 - Para as condições geométricas e de carregamento do 
pórtico, o apoio A estará sempre submetido a tração. 
 
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7) 3 - Para as condições geométricas e de carregamento do 
pórtico, o apoio B estará sempre submetido a compressão. 
 
8) 4 – No trecho CD, a fibra externa do material, 
imediatamente acima e à esquerda do ponto C, está submetida 
a tração. 
 
9) 5 – A reação horizontal no apoio B é igual à carga P. 
 
 
7.2 – Quadro Engastado e Livre 
 
Seja o quadro da figura abaixo. 
 
 
As reações de apoio HA, VA e MA são obtidas empregando-se as 
três equações universais da Estática no plano, e, a partir daí, 
chegamos, sem maiores problemas, a seus diagramas solicitantes. 
Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo. 
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As reações de apoio valem: 
 
Os diagramas solicitantes são os indicados a seguir: 
 
 
7.3 - Quadro triarticulado 
 
Seja o quadro triarticulado (articulações em A, G e B) da figura 
abaixo. 
 
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Para determinar suas 4 reações de apoio (HA, VA, HB e VB), 
dispõe-se das três equações universais da Estática no plano e, por 
haver uma rótula em G (o que indica que em G só há transmissão de 
forças, não havendo transmissão de momentos), há uma quarta 
equação indicando que o momento fletor em G deve ser nulo. 
Caso os dois apoios do 2º gênero e a rótula intermediária 
estejam alinhados, a estrutura será hipostática. Seja o quadro da 
figura abaixo, para que esteja satisfeita a condição do momento fletor 
nulo em G, as reações de apoio HA e VA em A e HB e VB em B devem 
ter suas resultantes RA e RB segundo a direção da reta AB, conforme 
esquematizado na figura. 
 
 
 
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Ao calcular a soma das projeções de todas as forças na direção 
perpendicular à reta AB: ela valerá Σ Y = -P.cos α (e não zero, como 
deveria valer, caso houvesse o equilíbrio). Conclui-se então que, 
nestas circunstâncias, o equilíbrio é impossível e se está, por 
conseguinte, diante de uma estrutura hipostática. 
Pode-se afirmar que um quadro triarticulado é uma estrutura 
isostática, desde que suas 3 rótulas não estejam alinhadas. 
 
7.4 - Quadro biapoiado, com articulação e tirante (ou escora) 
 
Seja o quadro da figura a seguir, biapoiado em A e B, com uma 
rótula em G e com uma barra CD descarregada, rotulada em suas 
extremidades. 
 
 
Se a barra CD é descarregada e rotulada nas extremidades, ela 
tem, em todas as suas seções, M = Q = 0, podendo estar submetida, 
apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração, a 
barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será 
dita uma escora). Nada se alterará sob o ponto de vista estático, se a 
barra CD for rompida, substituindo-a por um par de esforços normais 
N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ACDB em cada uma das 
extremidades C e D da barra CD. 
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Para resolver a estrutura precisa-se, por conseguinte, conhecer 
os valores das reações de apoio VA, HA e VB e do par de forças N, num 
total de quatro incógnitas. Sendo igual o número de equações de que 
dispomos (três equações universais da Estática e mais a equação de 
momento fletor nulo na rótula), trata-se de uma estrutura isostática. 
Dependendo da posição relativa dos vínculos, o quadro 
biapoiado, com articulação e tirante, pode se tornar hipostático, 
conforme é o caso da estrutura da figura abaixo, incapaz de absorver 
forças horizontais atuantes no trecho GB (pois acarretariam o 
aparecimento de momentos fletores na rótula, o que é impossível). 
 
 
 
8 – QUADROS COM BARRAS CURVAS 
 
Os tipos de quadros simples estudados nos tópicos anteriores 
podem aparecer com barras curvas em vez de barras retas, conforme 
o caso, por exemplo, da figura a seguir. 
 
 
 
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Nenhuma alteração quanto à forma de tratamento sofrerá, o 
problema. 
Por exemplo, obter os diagramas solicitantes para o quadro 
abaixo. 
 
 
Por simetria, as reações verticais em A e B são iguais a P/2 e se 
tem, numa seção genérica S, definida pelo ângulo Ө, os seguintes 
esforços simples: 
 
Estas equações são válidas, apenas, para seções no trecho AC, 
pois em C surge uma carga concentrada que modificaria estas 
expressões para Ө > /2. Devido à simetria existente, não há 
necessidade de instituir as equações para o trecho CB, obtendo então 
os diagramas indicados na figura a seguir, todos eles marcados 
perpendicularmente ao eixo da barra (estes diagramas são traçados 
por pontos). 
 
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Notar que para este exemplo, em que a estrutura é plana 
simétrica, com carregamento simétrico (pois HA = 0), os diagramas 
de momentos fletores e esforços normais são simétricos e o de 
esforços cortantes é anti-simétrico (duas seções simétricas em 
relação ao eixo de simetria da estrutura têm cortantes de mesmo 
módulo, com sinais opostos). 
Esta é uma conclusão válida para qualquer estrutura plana 
simétrica com carregamento simétrico. 
 
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9 – QUADROS COMPOSTOS 
 
Seja o quadro da figura abaixo. Análise do trecho DEFGH: trata-
se de um triarticulado, sem estabilidade própria, pois as rótulas D e H 
são capazesapenas de transmitir forças às estruturas que as 
suportam. Sua estabilidade fica condicionada à capacidade ou não 
que tenham os quadros ACDB e JHIK de absorver estas forças. 
 
 
Sendo estes dois últimos quadros estruturas isostáticas 
(quadros biapoiados) dotados de estabilidade própria, eles são 
capazes de absorver as forças transmitidas pelas rótulas D e H, 
acrescidas das forças que atuam diretamente sobre eles, sendo o 
conjunto, então, uma estrutura isostática composta por dois quadros 
biapoiados, dotados de estabilidade própria, que suportam um 
triarticulado, dando a ele, pois, estabilidade. A este conjunto, 
formado pela associação de quadros simples, deomina-se quadro 
composto. 
Verifica-se que o quadro composto está para o quadro simples 
da mesma forma que a viga Gerber está para as vigas simples. 
A resolução de um quadro composto consiste na resolução 
inicial dos quadros sem estabilidade própria (no caso, o triarticulado 
DEFGH) para as cargas que atuam sobre eles e, a seguir, os quadros 
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dotados de estabilidade própria (e que, por isto, dão a estabilidade ao 
conjunto) para as cargas que atuam diretamente sobre eles, 
acrescidas das forças transmitidas pelas rótulas. 
Para o caso da figura anterior, há que se resolver os 3 quadros 
simples indicados na figura abaixo, para os carregamentos indicados. 
 
 
Para resolver um quadro composto deve-se decompô-lo nos 
quadros simples que o constituem, resolvendo, inicialmente, aqueles 
sem estabilidade própria, e, após, os dotados de estabilidade própria, 
para o carregamento diretamente atuante sobre eles, acrescido, para 
estes últimos, das forças transmitidas pelas rótulas. 
O problema recai na resolução de quadros simples. A única 
novidade é a decomposição do quadro composto nos quadros simples 
que o constituem. 
9.1 – Exemplos de Decomposição 
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Os quadros dotados de estabilidade própria são: o quadro 
engastado e livre AB e o quadro triarticulado EFGH. A partir dai, tem-
se a decomposição indicada na figura a seguir. Os números indicam a 
ordem de resolução e as setas em pontilhado a transmissão de carga. 
 
 
 
 
10 - ESTUDO DOS ARCOS TRIARTICULADOS 
O estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical 
pode ser feito recair inteiramente no estudo de uma viga biapoiada. 
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O estudo dos arcos triarticulados para carregamentos atuantes 
em todas as direções não possui tal simplificação e se faz obedecendo 
aos princípios gerais de Estática. 
 
10.1 - Estudo dos arcos triarticulados para carregamento 
vertical em função da viga de substituição 
Seja o triarticulago da figura a seguir, submetido ao 
carregamento vertical indicado, para o qual deseja-se determinar as 
reações de apoio e os esforços simples atuantes. 
 
Sendo A e B apoios do 2º gênero, existirão neles reações RA e 
RB que podem ser decompostos em duas direções quaisquer para fins 
de facilitar o seu cálculo (usualmente decompõe-se nas direções 
horizontal e vertical, mas, no caso, prefere-se a direção vertical e a 
direção AB, por razões práticas. 
Cálculo das componentes: 
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Por ΣX = 0, tem-se que as reações em A e B na direção AB 
devem ser iguais. 
Por ΣMB = 0, obtém-se VA, igualando seu momento em relação 
a B à soma dos momentos em relação a B de todas as cargas 
verticais aplicadas no triarticulado. Verifica-se que esta é a mesma 
equação que fornece a reação vertical Va da viga biapoiada ab, de 
mesmo vão que o triarticulado e submetida ao mesmo carregamento, 
à qual denomina-se viga de substituição. Pode-se escrever que VA = 
Va, (reação vertical no triarticulado é igual à reação vertical na viga 
de substituição). 
Analogamente, empregando a equação ΣMA = 0 (ou, também, 
ΣY = 0), tem-se que VB = Vb. 
As reações H', na direção AB são obtidas da condição de 
momento fletor nulo na rótula G, que nos fornece, empregando as 
forças da esquerda, por exemplo: 
 
O termo 
 
pode ser imediatamente identificado como o momento fletor Mg 
que atua na viga de substituição ab na seção g, projeção da rótula G 
do triarticulado, e se tem que: 
 
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O cálculo das reações de apoio do triarticulado AGB recaiu, no 
cálculo da viga de substituição ab e elas são fornecidas pelas 
expressões a seguir: 
 
Conhecidas as reações de apoio, passa-se ao cálculo dos 
esforços simples atuantes no triarticulado. 
Escolhendo uma seção genérica S, definida pela abscissa 
horizontal x, medida a partir do apoio da esquerda, e por uma 
abscissa vertical y, medida a partir da linha de fechamento AB, tem-
se: 
 
Sendo os termos 
 
identificáveis como, respectivamente, o momento fletor M, e o 
esforço cortante Q, atuantes, na seção s da viga de substituição, o 
cálculo dos esforços simples atuantes numa seção S de um 
triarticulado AGE recai no cálculo de sua viga de substituição ab e 
eles são dados pelas expressões seguintes: 
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As expressões instituídas permanecem todas válidas se 
ocorrerem também cargas verticais distribuídas. 
 
10.2 - Definição e determinação da linha de pressões 
 
Suponha o seguinte problema: determinar qual a forma de um 
triarticulado AGB tal que, para um dado carregamento, todas as suas 
seções tenham momento fletor nulo, isto é, obter y para cada seção 
S, a fim de que nela tenhamos MS = 0, sendo dados l1, l2, f e α. 
Igualando a expressão: 
 
a zero, vem imediatamente: 
 
Lembrando-se que os índices minúsculos referem-se à viga de 
substituição e os maiúsculos ao triarticulado. 
Cálculo dos demais esforços solicitantes para esta configuração 
do triarticulado. Derivando esta expressão em relação a x, tem-se: 
 
que se transforma, levando-se em conta que y = Y - y*, 
conforme indica a figura a seguir: 
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Introduzindo este valor em: 
 
Obtém-se: 
 
isto é, se MS = 0, QS = 0. 
O único esforço atuante será o esforço normal NS, igual, 
levando-se em conta que QS = 0, à resultante de todas as forças 
atuantes de um dos lados da seção, sendo, portanto, igual à 
composição vetorial da soma das projeções verticais de todas as 
forças atuantes de um dos lados da seção com a soma das projeções 
horizontais das mesmas forças. 
Valendo estas somas, respectivamente: 
 
e
 
Tem-se: 
 
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A natureza do esforço normal éobtida, também, da figura a 
seguir, sendo, no caso, de compressão. 
 
Quando um triarticulado AGB, para um dado carregamento, 
está submetido apenas a esforços normais, diz-se que sua forma é a 
da linha de pressões deste carregamento. 
Para os triarticulados com a concavidade voltada para baixo 
(em que a rótula G está acima da reta AB) e o carregamento é de 
cima para baixo (caso usual), os esforços normais são sempre de 
compressão. 
Os esforços normais serão de tração, quando a estrutura se 
desenvolver para baixo da reta AB, com carregamento de cima para 
baixo. Este é o caso dos cabos. 
A linha de pressões é a forma ideal para um triarticulado, pois 
que corresponde à sua forma mais econômica de trabalho estrutural. 
A linha de pressões para carregamento uniforme é uma 
parábola do 2º grau. 
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Muito embora os arcos triarticulados ocorram frequentemente 
na prática, mais utilizados ainda são os arcos biengastados 
(hiperestáticos), para os quais também constitui ponto de partida a 
determinação da linha de pressões do carregamento atuante. 
 
10) (148 – TCU/2011) Se um arco triarticulado, para 
determinado carregamento, está submetido apenas a esforços 
normais, então a sua forma é a mesma da linha de pressões 
desse carregamento. 
 
11 – SISTEMAS GUINDASTE 
Tratam-se de estruturas formadas pela associação de barras 
através de pinos capazes de transmitir forças (horizontais e verticais) 
de uma para a outra. 
 
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Para sua resolução, desmembra-se o sistema-guindaste nas 
diversas barras que o compõem e estuda-se o equilíbrio de cada uma 
delas, submetidas ao seu próprio carregamento e, evidentemente, as 
forças transmitidas pelos pinos, conforme ilustra o caso da figura a 
seguir. 
 
Desmembrando o sistema-guindaste nas três barras 1, 2 e 3 
que o compõem, tem-se, para sua resolução, o esquema estático 
indicado na figura acima, em que HB, VB, HC, VC, HD e VD são as forças 
(incógnitas) transmitidas pelos pinos B, C, D e VA, HA e MA as três 
reações de apoio do conjunto, num total de nove incógnitas a 
determinar. 
Como a análise do equilíbrio de cada barra fornece três 
equações da Estática tem-se, para as três barras, um total de 9 
equações, que determinarão as 9 incógnitas, resolvendo, então, a 
estrutura. 
Constatar-se, agora, que os sistemas-guindaste das demais 
figuras iniciais são isostáticos. 
Para o primeiro, há oito forças de transmissão (para seus 
quatro pinos) e quatro reações de apoio (para seus dois apoios do 2º 
gênero), num total de doze incógnitas que serão obtidas pelas doze 
equações de equilíbrio existentes (três equações da Estática para 
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cada uma das quatro barras que compõem a estrutura); para o 
segundo, há seis incógnitas (um pino e dois apoios do 2º gênero), 
que serão obtidas a partir das seis equações de equilíbrio existentes 
(análise do equilíbrio de suas duas barras). 
 
12 – TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 
Seja a estrutura da figura seguinte, submetida a carregamento 
apenas nos nós A, B e C. Como as barras 1, 2 e 3 que a constituem 
são barras retas e regidas, portanto, pelas equações diferenciais: 
 
levando-se em conta que q = 0 e que suas extremidades são 
rotuladas, elas não terão momentos fletores nem esforços cortantes, 
existindo apenas os esforços normais. 
 
As grandezas a determinar para sua resolução são as reações 
de apoio HA, VA, VB e os esforços normais atuantes nas barras 1, 2 e 
3, que podem ser obtidos, no caso, pela análise sucessiva do 
equilíbrio dos nós C, B e A, o equilíbrio de cada um deles fornecendo 
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duas equações, num número total de seis, sendo o problema, então, 
isostático (igual número de equações e de incógnitas a determinar). 
Desprezando-se as pequenas deformações elásticas das barras 
1, 2 e 3, devidas aos esforços normais nelas atuantes, pode-se dizer 
que o sistema estrutural da figura acima constitui uma cadeia rígida 
(isto é, indeformável), pois, sendo o trecho AB indeformável (por se 
tratar, isoladamente, de uma viga biapoiada), se lhe acrescentamos 
as duas barras 1 e 2 concorrentes em C, este último ponto C fica 
também indeslocável, por estar preso a dois pontos indeslocáveis A e 
B e, com isto, todo o conjunto ABC é indeformável. 
Seja, agora, o sistema reticulado da figura a seguir, submetido 
ao carregamento nodal indicado. 
 
As grandezas a determinar para sua resolução são os esforços 
normais nas suas quatro barras componentes e as três reações de 
apoio, num número total de sete. O número de equações de equilíbrio 
(correspondendo ao equilíbrio de cada um dos nós) sendo igual ao 
dobro do número de nós, é igual a oito, no caso, e, portanto, superior 
ao número de incógnitas, o que caracteriza a hipostaticidade da 
estrutura. 
Por outro lado, verifica-se que o reticulado dado constitui uma 
cadeia deformável, pois os pontos C e D não estão ligados, cada um 
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deles, a dois pontos indeslocáveis do reticulado (no caso, apenas A e 
B). A forma de deformação da cadeia está indicada na mesma figura 
e prosseguirá até a queda da estrutura. 
As conclusões deste último caso podem ser extrapoladas e 
pode-se, então, afirmar que todo sistema reticulado deformável é 
instável (hipostático). 
Como corolário, pode-se afirmar que todo sistema reticulado 
indeformável é estável (podendo ser isostático ou hiperestático). 
Denomina-se treliça ideal ao sistema reticulado cujas barras 
têm todas as extremidades rotuladas e cujas cargas são aplicadas 
apenas em seus nós. 
Os casos das treliças isostáticas com cargas fora dos nós, por 
não atenderem às condições da definição anterior, não podem ser 
classificadas como treliças ideais. 
Conclui-se, por generalização dos dois exemplos já abordados, 
que qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado 
rotulado em seus vértices é deformável (e, portanto, hipostático), 
excetuando-se o caso do triângulo. 
As treliças surgiram como um sistema estrutural mais 
econômico que as vigas para vencer vãos maiores ou suportar cargas 
mais pesadas. A palavra economia engloba comparação entre 
materiais, mão de obra, equipamentos de execução, etc., usados nos 
dois casos, podendo assumir, por esta razão, facetas diversas de 
região para região e de época para época. 
 
11) (149 – TCU/2011) Treliças isostáticas com cargas 
distribuídas entre os nós podem ser consideradas treliças 
ideais, desde que o carregamento seja uniforme. 
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Pode parecer, a princípio, restritiva a condição de definição de 
treliça ideal do carregamento atuar somente nos nós; no entanto, é o 
que ocorre comumente na prática, pois as cargas chegam às treliças 
através de outras peças estruturais, que nelasse apóiam nos nós 
(para que só provoquem esforços normais), conforme ilustram os 
exemplos das figuras seguintes. 
 
 
A primeira representa uma ponte ferroviária com duas treliças 
extremas, que recebem, nos nós, as cargas através das vigas 
transversais T (por isto chamadas transversinas), que a elas 
chegaram através das vigas longitudinais L, sobre as quais caminha o 
trem. 
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A segunda representa uma cobertura constituída por diversas 
treliças paralelas, que recebem, nos nós, a carga das telhas, vindas 
através das terças T. 
Em todos os casos reais existirão, entretanto, pequenas flexões 
nas barras, devidas a seu peso próprio. Estas flexões devidas a peso 
próprio costumam ter, nos casos usuais, diminuta influência no 
dimensionamento das peças, prevalecendo como dimensionantes 
seus esforços normais. 
Conforme verificamos, uma treliça biapoiada, constituída por 
três barras formando um triângulo, é isostática. Se, a partir desta 
configuração básica, formamos novas treliças, acrescentando à 
existente duas a duas novas barras, concorrentes cada duas delas 
num novo nó, a nova treliça será também isostática, pois a cada duas 
novas incógnitas (esforços normais nas duas novas barras) 
correspondem duas novas equações de equilíbrio (equilíbrio do novo 
nó). A figura seguinte ilustra esta lei de formação de treliças 
isostáticas. 
 
Neste exemplo, partindo da treliça biapoiada ABC, chega-se ao 
nó D pelas barras 4 e 5, ao nó E pelas barras 5 e 7, ao nó F pelas 
barras 8 e 9 e, finalmente, ao nó G pelas barras 10 e 11. 
Os apoios não precisam estar no triângulo a partir do qual 
iniciou-se a lei de formação, pois, onde quer que estejam, fornecem 
as mesmas três incógnitas. Falando sob o ponto de vista de cadeia 
rígida, uma treliça que tem esta lei de formação das barras é 
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internamente rígida e, tendo apoios externos que impeçam todos os 
movimentos possíveis (para o caso de treliça plana, duas translações 
e uma rotação), será também externamente rígida, sendo, pois, 
rígida em conjunto. 
Diz-se que estas treliças são internamente isostáticas, por 
terem a lei de formação que definida acima e que são, também, 
externamente isostáticas, por terem apoios no número estritamente 
necessário para impedir todos os movimentos no plano, sendo o 
conjunto, pois, isostático. 
Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada da figura 
a seguir, para a qual há seis incógnitas (quatro reações de apoio e 
esforços normais em duas barras) e seis equações de equilíbrio 
(equilíbrio dos nós A, B, C). Partindo desta nova configuração básica, 
pode-se também formar treliças isostáticas, da mesma forma com 
que as formamos a partir da configuração da figura inicial deste 
capítulo. 
 
 
Denominam-se treliças simples às treliça isostáticas, obtidas a 
partir das configurações fundamentais da figura inicial deste capítulo 
e da figura acima, pela adição de duas a duas barras, partindo de nós 
já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas 
barras). 
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As treliças, por terem esforços normais de tração e de 
compressão, são geralmente de madeira ou de aço, por serem 
materiais que suportam bem esses dois tipos de esforços. Ocorrem 
também, embora com menos frequência, treliças de concreto, pois o 
concreto não trabalha bem à tração, além de ser necessário executá-
las de uma só vez (ao passo que as demais podem ser montadas 
peça a peça). 
Ao contrário do caso dos quadros - que ocorrem, em sua 
grande maioria, hiperestáticos, - a grande maioria das treliças da 
prática é isostática. 
As treliças isostáticas possuem dois grandes métodos de 
resolução: um, analítico, que é o método de Ritter e, outro, gráfico, 
que é o método de Cremona. 
As treliças comportam ainda um processo espontâneo de 
resolução, que consiste no estudo, um a um, do equilíbrio de seus 
nós, iniciado e prosseguido pelos nós que só possuam duas incógnitas 
a determinar, até abranger todos os nós da treliça. No caso de 
treliças com geometria bem simples, este processo pode se tornar até 
aconselhável. 
12.1 – Classificação das Treliças 
a) Quanto à estaticidade 
Quanto à estaticidade, uma treliça (assim como qualquer outra 
estrutura) pode ser hipostática, isostática ou hiperestática. 
As incógnitas do problema são em número de (r + b), sendo r o 
número de reações de apoio a determinar e b o número de barras (e, 
portanto, o número de esforços normais a determinar) e as equações 
de equilíbrio em número igual a 2.n, sendo n o número total de nós, 
incluindo os nós de apoio da estrutura (pois cada nó resulta em duas 
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equações da Estática, correspondentes ao equilíbrio de um ponto 
material). 
Três casos podem ocorrer: 
1º) r + b < 2.n, ou seja, o número de incógnitas é inferior ao 
de equações; pode-se afirmar que a treliça é hipostática; 
2º) r + b = 2.n, o que sugere tratar-se de uma treliça 
isostática. Esta simples igualdade não nos permite, entretanto, 
afirmar que a treliça seja isostática, pois podemos ter a associação, 
internamente, de trechos hiperestáticos com trechos hipostáticos, 
conduzindo a uma isostaticidade interna aparente, bem como pode 
ocorrer a associação de hiperestaticidade interna com hipostaticidade 
externa (ou vice-versa), conduzindo também a uma isostaticidade 
aparente para o conjunto. O diagnóstico final só poderá ser dado 
após a análise dos apoios externos e da lei de formação interna da 
treliça em questão; 
3º) r + b > 2.n, o que sugere tratar-se de uma treliça 
hiperestática (maior número de incógnitas que de equações). Não se 
pode, entretanto, afirmar que a treliça seja hiperestática, pois a 
associação de um trecho hiperestático com outro hipostático (sendo o 
grau hiperestático de um trecho superior ao grau hipostático do 
outro) pode conduzir a uma hiperestaticidade aparente para o 
conjunto. Analogamente ao caso anterior, o diagnóstico final só 
poderá ser dado após a análise de cada caso. Se a treliça for, de fato, 
hiperestática, seu grau hiperestático será igual a (r + b - 2n). 
Em resumo, pode-se afirmar que: 
a) r + b < 2n é condição necessária e suficiente para que uma 
treliça seja hipostática; 
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b) r + b = 2n e r + b > 2n são condições apenas necessárias 
(mas não suficientes) para que uma treliça seja isostática ou 
hiperestática, respectivamente. A palavra final será dada após o 
exame específico de cada caso. 
b) Quanto à lei de formação 
Quanto à sua lei de formação, as treliças são classificadas em 
simples, compostas e complexas. 
 
 
(PF Regional/2004) Considere a treliça plana, com peso 
desprezível, mostrada no desenho acima, submetida à carga Q 
aplicada no ponto D. A barra AB (ligando os pontos A e B) é 
vertical, a barra AD é horizontal e o apoio no ponto B só 
admite deslocamentos verticais. Para as condições da figura, 
julgue os itens subseqüentes. 
 
12)95 - As barras AD e AC estão submetidas a esforços de 
compressão. 
 
13) 96 - Dependendo do índice de esbeltez da barra AB e do 
valor da carga Q, essa barra pode ser submetida a flambagem. 
 
14) 97 - A barra CD está submetida a tração. 
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(27 – PF/2002) Considerando a treliça plana reticulada, 
simétrica em relação ao eixo vertical que passa pelo trecho CF 
e submetida ao carregamento Q como indicado na figura 
acima, julgue os itens a seguir. 
 
15) 1 - Os trechos BC e CD serão submetidos a compressão. 
 
16) 2 - Os trechos AB e DE serão submetidos a tração. 
 
17) 3 - O trecho CF será submetido a tração. 
 
18) 4 - Os trechos AF e FE serão submetidos a compressão. 
 
19) 5 - Os valores das reações verticais nos apoios são 
diferentes. 
 
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(26 - PF/2002) Com base na situação de carregamento do 
pilar apresentado na figura acima, julgue os itens que se 
seguem. 
 
20) 1 - Quanto maior o valor de e, maior a possibilidade de 
flambagem da peça A. 
 
21) 2 - Quanto maior a rigidez da peça B, menor a 
possibilidade de flambagem da peça A. 
 
22) 3 - Para a situação de carregamento apresentada na 
figura, desprezando-se o peso da peça A, a tensão vertical no 
ponto 1, na face lateral da peça, será sempre de compressão. 
 
23) 4 - Para as condições e posição do carregamento 
apresentado na figura, independentemente do peso da peça A, 
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a tensão vertical no ponto 2, na face lateral da peça, será de 
compressão. 
 
24) 5 - Caso o apoio na base da peça A ceda verticalmente, o 
acréscimo de tensão horizontal provocado na peça B, no ponto 
3, será de tração. 
 
 
 
(PF Regional/2004) O desenho I mostrado na figura acima 
apresenta o círculo de Mohr de tensões de um elemento plano 
de um material submetido ao estado de tensões indicado. As 
convenções de sinais utilizadas para as tensões no elemento 
também aparecem indicadas nesse desenho. Nesse contexto, 
julgue os itens a seguir. 
 
25) 93 - A tensão cisalhante máxima (positiva) ocorre em um 
plano cuja inclinação com o eixo horizontal (no sentido anti-
horário) é maior que 45º. 
 
26) 94 - O desenho II mostrado na figura esquematiza 
corretamente o posicionamento das tensões principais σ1 e σ2 
(normais entre si) em relação aos eixos x e y indicados. 
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(INSS/2008) Projetos estruturais utilizando concreto armado 
são muito freqüentes em obras de edificações e têm definições 
bem detalhadas pelas normas brasileiras. A respeito desses 
projetos e seus detalhes, julgue os itens subseqüentes. 
 
27) 86 - Para o cálculo de pilares estruturais de edifícios, é 
admitido o estudo das cargas verticais utilizando o modelo 
clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares. 
 
28) 87 - Uma das hipóteses básicas de cálculo das seções à 
flexão pura no estado limite último é a de que a deformação 
das barras da armadura passiva é a mesma do concreto no seu 
entorno. 
 
29) 88 - Para o cálculo de vigas estruturais de edifícios, a 
largura mínima da seção transversal dessas vigas deve ser 
igual a 7 cm. 
 
(30 – PF/2002) Com relação ao dimensionamento estrutural 
de concreto armado, julgue os itens subseqüentes. 
 
30) 1 - Do ponto de vista de flambagem, os pilares são 
considerados curtos quando o seu índice de esbeltez é menor 
ou igual a 80. 
 
31) 2 - O cintamento de um pilar circular consiste no seu 
envolvimento por um anel de concreto mais resistente à 
compressão simples. 
 
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32) 3 - Os estribos tracionados em uma viga de concreto 
armado submetida a torção devem ser fechados e bem 
ancorados. 
 
33) 4 - Para uma viga maciça simplesmente apoiada nas suas 
extremidades, com uma carga vertical aplicada no centro do 
seu vão, pode-se afirmar que a flecha no centro do vão terá 
sempre o mesmo valor, quer a seção transversal da viga seja 
circular ou retangular, desde que a área da seção em ambos 
os casos seja a mesma. 
 
34) 5 - O sistema de contraventamento de uma estrutura 
visa aumentar a sua rigidez vertical para melhor resistir a 
cargas verticais acidentais. 
 
13 – QUESTÕES COMENTADAS 
 
1) (146 – TCU/2011) Uma estrutura será considerada 
isostática quando o seu equilíbrio for estável, e seus apoios 
forem em quantidade estritamente necessária para impedir 
todos os movimentos possíveis. 
 
De acordo com Sussekind (1981), a estrutura é considerada 
isostática quando os apoios são em número estritamente necessário 
para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura, ocorrendo 
uma situação de equilíbrio estável. 
Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual 
ao número de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de 
incógnitas = número de equações), chegando-se a um sistema de 
equações determinado que resolverá o problema. 
 
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Gabarito: Correta 
 
2) (72 – SEGER-ES/2011) Em uma viga Gerber, o ponto de 
transmissão de forças é representado por uma rótula. 
 
Sussekind (1981) apresenta como exemplo de viga Gerber a 
estrutura representada na figura seguinte, estando o detalhe da 
seção C ampliado: 
 
 
Suponhamos carregado o trecho CD: este trecho não tem 
estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas, 
necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é 
um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; caberia, 
então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma horizontal, o 
que ele não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir 
estas forças ao trecho ABC. 
Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à 
estabilidade do trecho ABC que, em se tratando de uma viga 
biapoiada com balanço, é estável, o sendo então o conjunto ABCD. 
Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas 
este trecho, pois, em se tratando de um trecho com estabilidade 
própria, nele mesmo encontrará o carregamento suas reações 
equilibrantes. 
Edificações para Perito da PF 2013 
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O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, 
não transmitindo momento algum (pois não impede nenhuma 
rotação à estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, 
ficando o esquema estático da estrutura representado conforme 
indica a figura a seguir. 
 
 
 
Gabarito: Correta 
 
3) (147 – TCU/2011) Se uma viga inclinada é submetida a 
um carregamento distribuído vertical, para fins de momentos 
fletores, ela se comporta como se fosse uma viga horizontal, 
perpendicular ao carregamento. 
 
De acordo com Sussekind (1981), uma viga biapoiada inclinada