APOSTILA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS aluno

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� Mecânica 
� Produção 
� Controle e Automação 
� Elétrica 
• com exercícios a resolver (com resultados) 
 
Profº MsC. Romeu M. Kurth 
 
 
Campinas, 2013 
2 
 
Sumário 
1. ALFABETO GREGO ................................................................................................................................................. 7 
2. REVISÃO DE TRIGONOMETRIA ............................................................................................................................. 8 
3. RELAÇÕES MÉTRICAS .......................................................................................................................................... 10 
3.1 ÁREA ....................................................................................................................................................... 10 
3.2 VOLUME .................................................................................................................................................. 11 
3.3 MASSA E PESO ........................................................................................................................................ 11 
3.4 PESO ESPECÍFICO .................................................................................................................................... 12 
4. UNIDADES DE MEDIDAS ..................................................................................................................................... 13 
4.1 SISTEMA INTERNACIONAL ...................................................................................................................... 13 
4.2 UNIDADES PRINCIPAIS ............................................................................................................................ 13 
4.3 UNIDADES DERIVADAS DO SI .................................................................................................................. 14 
4.4 MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS ................................................................................................................ 15 
4.5 ESCRITA DE UNIDADES ........................................................................................................................... 15 
5. UNIDADES NO SI E NO ST (Sistema Técnico – Mecânica) ................................................................................... 18 
5.1 FATORES DE CONVERSÃO ....................................................................................................................... 18 
6. PRECISÃO E ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS ............................................................................................... 19 
7. POTÊNCIA DE DEZ ............................................................................................................................................... 20 
7.1 DEFINIÇÃO .............................................................................................................................................. 20 
7.2 PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS .............................................................................................................. 21 
7.2.1 DIVISÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE................................................................................................... 21 
7.2.2 PRODUTO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE ................................................................................................ 21 
7.2.3 POTÊNCIA DE POTÊNCIA ............................................................................................................................ 21 
7.2.4 POTÊNCIA DE UM PRODUTO ..................................................................................................................... 22 
7.2.5 POTÊNCIA COM EXPOENTE NEGATIVO ..................................................................................................... 22 
7.2.6 POTÊNCIA DE FRAÇÃO ............................................................................................................................... 22 
7.2.7 POTÊNCIA DE NÚMEROS RELATIVOS ........................................................................................................ 24 
8. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ................................................................................................................................ 25 
8.1 ADIÇÃO COM DENOMINADOR COMUM ................................................................................................ 25 
8.2 ADIÇÃO COM DENOMINADORES DIFERENTES ....................................................................................... 25 
8.3 SUBTRAÇÃO COM DENOMINADOR COMUM E DIFERENTE ................................................................... 26 
8.4 MULTIPLICAÇÃO ..................................................................................................................................... 27 
8.5 DIVISÃO ................................................................................................................................................... 27 
8.6 MÚLTIPLAS OPERAÇÕES ......................................................................................................................... 28 
9. ALGUMAS DEFINIÇÕES DA MECÂNICA ............................................................................................................... 30 
9.1 MÁQUINAS DE ENSAIO – ENSAIO DE TRAÇÃO ....................................................................................... 30 
3 
 
9.2 ENSAIOS DE TRAÇÃO – ALGUMAS NORMAS TÉCNICAS ......................................................................... 31 
9.3 ENSAIOS DE TRAÇÃO – CORPO DE PROVA ............................................................................................. 31 
9.4 ENSAIOS DE TRAÇÃO – DIAGRAMA DO ENSAIO ..................................................................................... 31 
9.5 ENSAIOS DE TRAÇÃO – RELAÇÃO MATERIAL DÚCTIL / FRÁGIL .............................................................. 32 
9.6 CONCEITOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................. 32 
9.7 ALGUMAS CONVERSÕES DE UNIDADES ................................................................................................. 33 
10. VÍNCULOS ESTRUTURAIS ................................................................................................................................ 34 
10.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 34 
10.2 VÍNCULO SIMPLES OU MÓVEL ................................................................................................................ 34 
10.3 VÍNCULO DUPLO OU FIXO ...................................................................................................................... 34 
10.4 ENGASTAMENTO .................................................................................................................................... 34 
11. ESTRUTURA ..................................................................................................................................................... 35 
11.1 ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS................................................................................................................. 35 
11.2 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ..................................................................................................................... 35 
11.3 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ............................................................................................................... 36 
11.4 TIPOS DE APOIOS E REAÇÕES ................................................................................................................. 36 
11.5 APOIOS MAIS UTILIZADOS ......................................................................................................................38 
12. TRAÇÃO E COMPRESSÃO ................................................................................................................................ 41 
13. CONCEITO DE TRAÇÃO ................................................................................................................................... 42 
14. TENSÃO NORMAL σ ........................................................................................................................................ 46 
14.1 UNIDADE DE TENSÃO NO SI (Sistema Internacional) ............................................................................. 46 
15. MÓDULO DE ELASTICIDADE – LEI DE HOOKE ................................................................................................. 47 
15.1 DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL ε ............................................................................................................ 48 
15.2 DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL εt ............................................................................................................ 49 
16. MATERIAIS DÚCTEIS OU FRÁGEIS ................................................................................................................... 50 
16.1 MATERIAL DÚCTIL ................................................................................................................................... 50 
16.2 DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DO AÇO ABNT 1020 ...................................................................... 50 
16.3 LIMITE DE PROPORCIONALIDADE σp ...................................................................................................... 51 
16.4 LIMITE DE ESCOAMENTO σe................................................................................................................... 51 
16.5 RESITÊNCIA À TRAÇÃO σmax .................................................................................................................. 52 
16.6 LIMITE DE RUPTURA σr ........................................................................................................................... 52 
16.7 MATERIAL FRÁGIL ................................................................................................................................... 52 
16.8 DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DO MATERIAL FRÁGIL ................................................................... 52 
16.9 ESTRICÇÃO .............................................................................................................................................. 52 
16.10 COEFICIENTE DE SEGURANÇA k .............................................................................................................. 53 
14.6.1 CARGA ESTÁTICA ..................................................................................................................................... 53 
4 
 
14.6.2 CARGA INTERMINTENTE .......................................................................................................................... 53 
14.6.3 CARGA ALTERNADA ................................................................................................................................. 54 
14.6.4 DETERMINAÇÃO DO COEFIOCIENTE DE SEGURANÇA k .......................................................................... 54 
16.11 TENSÃO ADMISSÍVEL σADM ................................................................................................................... 55 
17. ANÁLISE DOS FATORES PARA ESCOLHA O COEFICIENTE DE SEGURANÇA ..................................................... 56 
17.1 MODIFICAÇÕES QUE OCORREM NAS PROPRIEDADES DO MATERIAL.................................................... 56 
17.2 QUANTIDADE DE APLICAÇÕES DA CARGA DURANTE A VIDA ÚTIL ......................................................... 56 
17.3 TIPO DE CARREGAMENTO PROJETADO .................................................................................................. 56 
17.4 MODO DE RUPTURA QUE PODE OCORRER ............................................................................................ 56 
17.5 MÉTODOS APROXIMADOS DE ANÁLISE .................................................................................................. 56 
17.6 DETERIORAÇÃO POR FALTA DE MANUTENÇÃO OU CAUSAS NATURAIS IMPREVISÍVEIS ....................... 57 
17.7 IMPORTÂNCIA DE CERTO MEMBRO NA ESTRUTURA ............................................................................. 57 
18. PESO PRÓPRIO ................................................................................................................................................ 58 
19. AÇO E SUA CLASSIFICAÇÃO E OUTROS MATERIAIS ........................................................................................ 58 
19.1 CLASSIFICAÇÃO DO AÇO ......................................................................................................................... 58 
19.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS DO AÇO – COEFICIENTE DE POISSON (ν) .................................................. 59 
19.3 CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DOS MATERIAIS ...................................................................................... 59 
19.4 PESO ESPECÍFICO DOS MATERIAIS .......................................................................................................... 60 
19.5 COEFICIENTE DE DILATAÇÃO LINEAR DOS MATERIAIS ........................................................................... 60 
19.6 MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL ............................................................................................ 61 
19.7 TABELA DE TENSÕES ............................................................................................................................... 61 
20. REAÇÕES DE APOIO ........................................................................................................................................ 63 
21. TABELA DE TENSÕES ....................................................................................................................................... 64 
22. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ............................................................................................................................. 66 
23. CARGA RESULTANTE ....................................................................................................................................... 67 
23.1 TRÊS DIMENSÕES .................................................................................................................................... 68 
23.2 CARGAS COPLANARES ............................................................................................................................ 68 
23.3 PONTOS IMPORTANTES .......................................................................................................................... 69 
23.4 PONTOS IMPORTANTES .......................................................................................................................... 69 
24. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................................................ 70 
24.1 EXEMPLO 1 ............................................................................................................................................. 70 
24.2 EXEMPLO 2 ............................................................................................................................................. 71 
24.3 EXEMPLO 3 ............................................................................................................................................. 72 
24.4 EXEMPLO 4 ............................................................................................................................................. 73 
24.5 EXEMPLO 5 .............................................................................................................................................73 
24.6 EXEMPLO 6 ............................................................................................................................................. 73 
5 
 
24.7 EXEMPLO 7 ............................................................................................................................................. 74 
24.8 EXEMPLO 8 ............................................................................................................................................. 74 
24.9 EXEMPLO 9 ............................................................................................................................................. 74 
24.10 EXEMPLO 10 ........................................................................................................................................... 75 
24.11 EXEMPLO 11 ........................................................................................................................................... 75 
24.12 EXEMPLO 12 ........................................................................................................................................... 75 
24.13 EXEMPLO 13 ........................................................................................................................................... 76 
24.14 EXEMPLO 14 ........................................................................................................................................... 76 
24.15 EXEMPLO 15 ........................................................................................................................................... 77 
24.16 EXEMPLO 16 ........................................................................................................................................... 77 
24.17 EXEMPLO 17 ........................................................................................................................................... 78 
24.18 EXEMPLO 18 ........................................................................................................................................... 79 
25. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................................................................ 80 
26. CISALHAMENTO PURO ................................................................................................................................... 85 
26.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO .................................................................................................................. 85 
26.2 DEFORMAÇÃO DO CISALHAMENTO ....................................................................................................... 86 
26.3 TENSÃO NORMAL (σ) E TENSÃO DE CISALHAMENTO (τ) ....................................................................... 86 
26.4 PRESSÃO DE CONTATO (σd) ................................................................................................................... 86 
26.5 PRESSÃO DE CONTATO (ESMAGAMENTO) ............................................................................................. 87 
26.6 DISTRIBUIÇÃO ABNT NB14 ..................................................................................................................... 87 
26.7 REBITES TENSÃO ADMISSÍVEL E PRESSÃO MÉDIA DE CONTATO ........................................................... 88 
26.8 PARAFUSOS TENSÃO ADMISSÍVEL E PRESSÃO MÉDIA DE CONTATO ..................................................... 88 
26.9 PINOS TENSÃO ADMISSÍVEL E PRESSÃO MÉDIA DE CONTATO .............................................................. 88 
26.10 TENSÕES DE CISALHAMENTO (BEER) ..................................................................................................... 89 
26.11 TENSÕES DE ESMAGAMENTO ................................................................................................................ 90 
27. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................................................ 95 
27.1 EXEMPLO 1 ............................................................................................................................................. 95 
27.2 EXEMPLO 2 ............................................................................................................................................. 95 
27.3 EXEMPLO 3 ............................................................................................................................................. 96 
27.4 EXEMPLO 4 ............................................................................................................................................. 97 
27.5 EXEMPLO 5 ............................................................................................................................................. 98 
27.6 EXEMPLO 6 ............................................................................................................................................. 98 
27.7 EXEMPLO 7 ............................................................................................................................................. 99 
27.8 EXEMPLO 8 ........................................................................................................................................... 101 
27.9 EXEMPLO 9 ........................................................................................................................................... 103 
27.10 EXEMPLO 10 ......................................................................................................................................... 104 
6 
 
28. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................................................................................................. 106 
29. TENSÕES EM UM PLANO OBLÍQUO AO EIXO ............................................................................................... 116 
30. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................................................................................................. 118 
31. TENSÃO DEFORMAÇÃO CARGAS AXIAIS....................................................................................................... 123 
31.1 DEFORMAÇÕES DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS AXIAIS ..................................................................... 125 
31.2 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................... 125 
31.3 EXEMPLO 2 ........................................................................................................................................... 126 
32. LIGAÇÕES SOLDADAS .................................................................................................................................... 128 
32.1 SOLDA DE TOPO .................................................................................................................................... 128 
32.2 DIMENSIONAMENTO DO CORDÃO ....................................................................................................... 128 
32.3 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................... 129 
32.4 SOLDA LATERAL .................................................................................................................................... 129 
32.5 EXEMPLO 2 ........................................................................................................................................... 131 
32.6 EXEMPLO 3 ........................................................................................................................................... 131 
32.7 LIGAÇÕES SOLDADAS SOLICITADAS POR TORQUE............................................................................... 132 
32.8 EXEMPLO 4 ........................................................................................................................................... 132 
32.9 LIGAÇÕES SOLDADAS DE CHAPAS PERPENDICULARES SOLICITADAS POR TORQUE ............................ 133 
32.10 EXEMPLO 5 ........................................................................................................................................... 133 
33. CHAVETAS ..................................................................................................................................................... 134 
33.1 TIPOS ..................................................................................................................................................... 134 
33.2 CARACTERÍSTICAS ................................................................................................................................. 134 
33.3 DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................................ 134 
33.4 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................... 135 
33.5 EXEMPLO 2 ........................................................................................................................................... 136 
56. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................... 138 
 
 
 
7 
 
1. ALFABETO GREGO 
 
 
 
8 
 
2. REVISÃO DE TRIGONOMETRIA 
O triângulo retângulo é construído utilizando-se dois lados perpendiculares entre si 
chamados catetos e outro lado chamado hipotenusa. A partir dessa construção muitos teoremas 
importantíssimos foram construídos e um dos mais importantes é o chamado Teorema de 
Pitágoras. 
 
 α + β = 90º 
 O quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo 
 retângulo é igual à soma dos quadrados das medidas 
 dos catetos 
 a² = b² + c² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para quaisquer α e β, senα = cosβ e senβ = cosα, assim conclui-se que: 
senα = cos(90 −α ) 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
3. RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 ÁREA 
A unidade de área é o metro-quadrado (m²). Muitas vezes se faz confusão nas medidas de 
área, pois um quadrado com 10 unidades de comprimento de lado contém 10 x 10 = 100 
unidades de área. 
 
 
 
 
 
 
11 
 
3.2 VOLUME 
A unidade é o metro cúbico (m³). De forma análoga à área, podemos provar que um cubo 
com10 unidades de comprimento contém 10 x 10 x 10 = 1000 unidades de volume. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 MASSA E PESO 
O sistema métrico decimal foi criado pela Revolução Francesa, que com isso tentou uma 
renovação não apenas na vida social, mas também nas Ciências. Originalmente se definiu como 
unidade de massa, a massa de um litro de água a 150 C. Essa massa foi chamada de um 
quilograma (1 kg). 
Mais tarde percebeu-se o inconveniente desta definição, pois o volume da água varia com 
a pureza da mesma. Passou-se, então, a adotar como padrão de massa certo objeto chamado 
"padrão internacional de massa". Tal padrão é conservado no Museu 
Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, Paris. A massa deste objeto é de 1 kg. 
Dentro do possível, fez-se que a massa deste padrão fosse igual à massa de 1 litro de 
água destilada a 150 Cº. Os submúltiplos mais comuns do quilograma são o grama (g) e o 
miligrama (mg), sendo 1 kg = 1000 g e 1g = 1000 mg. O múltiplo mais usual do quilograma 
é a tonelada (t), sendo 1 t = 1000 kg. 
Nunca confundir massa com peso. Massa tem a haver com volume (m³) e peso com 
capacidade de carga (kg). 
12 
 
3.4 PESO ESPECÍFICO 
O peso específico ou massa específica ou ainda, densidade, é definido como o peso por 
unidade de volume. No SI sua unidade é então Newton por metro cúbico (N/m³). É calculado 
multiplicando-se o volume do objeto pela densidade do material do mesmo. 
Exemplo: calcula-se o peso multiplicando-se seu volume por seu peso específico. O peso 
de uma engrenagem em aço é de 700 gramas. O peso específico do nylon é de 1,15 g/cm³. O 
peso específico do aço é de 7,85 g/cm³. Então, o peso de uma mesma engrenagem em nylon 
seria: 700 x 1,15 = 105,55 gramas, ou seja, 6,63 vezes menor que a do aço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
4. UNIDADES DE MEDIDAS 
4.1 SISTEMA INTERNACIONAL 
Os países que adotaram oficialmente o sistema métrico. Apenas três das 203 nações não 
adotaram oficialmente o Sistema Internacional de Unidades como seu sistema principal ou 
único de medição: Mianmar, Libéria e Estados Unidos. Os Estados Unidos são o único país 
industrializado do mundo que tem uma aversão ao uso do Sistema Internacional de Unidades 
como o sistema predominante de medida. 
Sistema Internacional de Unidades (sigla SI do francês Système international d'unités) é a 
forma moderna do sistema métrico e é geralmente um sistema de unidades de medida concebido 
em torno de sete unidades básicas e da conveniência do número dez. É o sistema mais usado do 
mundo de medição, tanto no comércio todos os dias e na ciência. O SI um conjunto 
sistematizado e padronizado de definições para unidades de medida, utilizado em quase todo o 
mundo moderno, que visa a uniformizar e facilitar as medições e as relações internacionais daí 
decorrentes. 
O antigo sistema métrico incluía vários grupos de unidades. O SI foi desenvolvido em 
1960 do antigo sistema metro-quilograma-segundo, ao invés do sistema centímetro-grama-
segundo, que, por sua vez, teve algumas variações. Visto que o SI não é estático, as unidades são 
criadas e as definições são modificadas por meio de acordos internacionais entre as muitas 
nações conforme a tecnologia de medição avança e a precisão das medições aumenta. 
O sistema tem sido quase universalmente adotado. As três principais exceções são a 
Myanmar, a Libéria e os Estados Unidos. O Reino Unido adotou oficialmente o Sistema 
Internacional de Unidades, mas não com a intenção de substituir totalmente as medidas 
habituais. 
4.2 UNIDADES PRINCIPAIS 
� Metro (m) – É o caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de 
tempo de 1/299 792 458 de um segundo. 
� Quilograma (kg) – É igual à massa do protótipo internacional, feito com uma 
liga platina - irídio, dentro dos padrões de precisão e confiabilidade que a ciência 
permite. 
� Segundo (s) – É a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente 
à transição entre os dois níveis hiperfinos do átomo de césio-133, no estado 
fundamental. 
14 
 
4.3 UNIDADES DERIVADAS DO SI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
4.4 MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 ESCRITA DE UNIDADES 
Os princípios gerais relativos à escrita de símbolos das unidades foram adotadas pela 
9ª CGPM, em 1948, alguns comentários são apresentados a seguir: 
� Os símbolos usados para discriminar quantidades físicasdevem ser apresentados 
em itálico, mas os símbolos das unidades são digitados em romano (ex: F = 23 N); 
� As unidades derivadas de nomes próprios devem ser escritas com a primeira letra 
em maiúsculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minúsculo (ex: 
newton, N; pascal, Pa, metro, m), exceto o litro, que pode ser escrito em 
minúsculo ou maiúsculo ( l ou L ); 
� O símbolo da unidade é geralmente descrito pela primeira letra do nome da 
unidade (ex: grama, g e não gm; segundo, s e não seg ou sec), com algumas 
exceções (ex: mol, cd e Hz). Também, o símbolo da unidade não deve ser seguido 
por um ponto e o seu plural não é seguido de "s" (ex: 3 kg e não 3 kg. ou 3 kgs); 
� A palavra "grau" e seu símbolo "°" devem ser omitidos da unidade de temperatura 
termodinâmica, T (isto é, usa-se apenas kelvin ou K e não Kelvin ou °K), mas são 
retidos quando se quer designar temperatura Celcius, t (ex: graus Celcius ou °C). 
16 
 
� Os símbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 106 são 
escritos em maiúsculo, enquanto que todos os outros são escritos em minúsculo 
(ex: mega, M; hecto, h); 
� Um prefixo nunca deve ser usado sozinho (ex: 106/m³, mas não M/m³); 
� Não deve ser colocado espaço entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos 
devem ser evitados (ex: 1 pF, e não 1 p F ou 1 µµF; 1 nm, e não 1mµm); 
� O agrupamento formado pelo símbolo do prefixo ligado ao símbolo da unidade 
constitui-se em um novo e inseparável símbolo, de modo que pode ser elevado a 
potências positivas ou negativas e ser combinado com outros símbolos de 
unidades para formar símbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente 
se aplica à unidade como um todo, incluindo o seu prefixo (ex: 1 cm3 = (10-2 m)3 
= 10-6 m3; 1 cm-1 = (10-2 m) -1 = 102 m-1; 1µs-1= (10-6 s) -1 = 106 s-1; 1 V/cm 
= (1 V)/(10-2 m) = 102 V/m); 
� Quando um múltiplo ou submúltiplo de uma unidade é escrito por completo, o 
prefixo deve ser também escrito por completo, começando com letra minúscula 
(ex: megahertz, e não Megahertz ou Mhertz); 
� O quilograma é a única unidade de base cujo nome, por razões históricas, contém 
um prefixo. Seus múltiplos e submúltiplos são formados adicionando-se os 
prefixos à palavra "grama" (ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e não 1 
microquilograma ou 1µkg); 
� A multiplicação de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto"elevado", 
ou deixando-se um espaço entre as unidades (ex: ou N m); 
� A divisão pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra 
de fração horizontal ou por um expoente negativo (ex: m/s, ou , ou ), mas o uso 
repetido da barra inclinada não é permitido (ex: m/s², mas não m/s/s; m kg/ (s³ A), 
mas não m kg/s³/A). Para se evitar má interpretação, quando mais de uma unidade 
aparece no denominador, deve-se utilizar parêntesis ou expoentes negativos (ex: 
W/(m² K4) ou W m-2 K-4); 
� Os nomes das unidades não devem ser misturados com os símbolos das operações 
matemáticas (ex: pode-se escrever "metro por segundo", mas não metro/segundo 
ou metro segundo-1); 
� Quando o produto de duas unidades é escrito por extenso, recomenda-se o uso de 
espaço entre elas, mas nunca o uso do ponto. É tolerável o emprego de hífen 
nestes casos (ex: deve-se escrever newton metro ou newton-metro, mas não 
newtonmetro). Números com mais de quatro dígitos devem ser separados por um 
17 
 
espaço a cada grupo de tres dígitos. Nunca utilizar pontos ou vírgulas nas 
separações, para evitar confusões com as marcações de decimais (ex: 299 792 
458, mas não 299.792.458 ou 299,792,458). Esta convenção é também aplicada à 
direita do marcador de decimais (ex: 22,989 8); 
� O valor numérico e o símbolo da unidade devem ser separados por um espaço, 
mesmo quando usados como um adjetivo (ex: 35 mm, mas não 35mm ou 35-mm); 
� Deve-se colocar um zero antes do marcador de frações decimais (ex: 0,3 J ou 0.3 J 
ao invés de ,3 J ou .3 J); 
� Sempre que possível, o prefixo de uma unidade deve ser escolhido dentro de um 
intervalo adequado, geralmente entre 0,1 e 1000 (ex: 250 kN; 0,6 mA). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
5. UNIDADES NO SI E NO ST (Sistema Técnico – Mecânica) 
Força: N (Newton – SI); kgf (ST); 
Pressão: N/m² - Pa (Pascal) – Mpa (MegaPascal); kgf/cm²; 
 Bar; mca; mmHg; atm 
 (1 Pa = 1 N/m²; 1 Mpa = 1 N/ mm²) 
Torque: N.m; kgf.m; 
5.1 FATORES DE CONVERSÃO 
1 Pound = 0,436 kgf 
1 PSI = 0,07 kgf/cm² 
1 Mpa = 10,197 kgf/cm² 
1 atm (atmosfera) = 1,033 kgf/cm² = 760 mm Hg 
1 mca = 9806,65 N/m² 
1 mca (metros coluna de água) = 1 kgf/cm² 
1 kgf = 9,81 N 
1 Polegada = 2,54 cm 
g (aceleração da gravidade) = 9,81 m/s² 
1 HP = 736 W = 75 kgf.m/s 
1 ton = 1000 kgf 
1 l = 1 dm³ = 0,003 m³ 
1 CV = 0,9863 HP = 0,7351 kW 
1 HP = 745 W 
1 bar = 0,98066482 kgf/cm² 
1 bar = 105 N/m² 
km/h para m/s = dividir por 3,6 
m/s para km/h = multiplicar por 3,6 
19 
 
6. PRECISÃO E ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS 
Quando a precisão de um número é necessária, deve-se aprender a aplicar as regras de 
arredondamento. É muito importante saber que precisão desnecessária desperdiça tempo e 
dinheiro. Por exemplo: Ao se expressar o número de rolamentos 6208 existentes no 
almoxarifado de uma determinada indústria, a resposta será expressa somente por um número 
inteiro, pois em nenhuma hipótese existirá no almoxarifado 10,4 ou 9,7 rolamentos, e isto sim 10 
rolamentos. 
Quando pesamos uma caixa e encontramos como resposta 100 N (3 algarismos 
significativos), nunca se deve se dar como resposta 100,000 N se a precisão não exigir (6 
algarismos significativos), pois isto significaria ler a escala em 0,001 N (milésimo de newton) o 
que é absolutamente inadequado para o caso. 
As regras principais de arredondamento são: 
1 - Manter inalterado o dígito anterior se o dígito subsequente for menor que ("5"<5). 
Exemplo: Suponha-se o número 365,122 arredondando o número acima se tem: 365,12 - para 5 
algarismos significativos 365,1 - para 4 algarismos significativos; 
2 - Acrescer uma unidade ao último dígito a ser mantido quando o posterior for "~5" 
(maior ou igual a 5). Exemplo: Suponha-se o número 26,666 arredonda-se o número para: 26,67 
- para 4 algarismos significativos 26,7 - para 3 algarismos significativos 27 - para 2 algarismos 
significativos; 
3 - Manter inalterado o último dígito se o primeiro dígito a ser desprezado for "5" seguido 
de "zeros". Exemplo: Seja o número 34,650 arredonda-se para: 34,6 - para 3 algarismos 
significativos; 
4 - Aumentar o último dígito em uma unidade se o número for ímpar e se o último dígito 
for "5" seguido de "zeros". Exemplos: Sejam os números 235,5 e 343,50 arredonda-se o número 
235,5 para: 236 - 3 algarismos significativos; arredonda-se o número 343,50 para: 344 - 3 
algarismos significativos. 
 
 
 
20 
 
7. POTÊNCIA DE DEZ 
7.1 DEFINIÇÃO 
Dado certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido in = 
potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores igual a (i). 
Exemplos da definição: 
Potência = 2³ 
2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8 
Potência = 35 
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243 
Notação: 2³ = 8 
 2 - BASE 
 3 - EXPOENTE 
 8 - POTÊNCIA 
Notação: 35 = 243 
 3 - BASE 
 5 - EXPOENTE 
 243 - POTÊNCIA 
Alguns casos particulares: 
1) Expoente igual a um (1) 
(1/2)¹ = 1/2 
5¹ = 5 
3¹ = 3 
2) Expoente igual à zero (0) 
5º = 1 
6º = 1 
7º = 1 
Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será 
iguala 1. 
21 
 
Exemplos da definição: 
1) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125 
2) 4º = 1 
3) 10º = 1 
4) 20¹ = 20 
7.2 PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS 
7.2.1 DIVISÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE 
Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e 
subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema. 
Exemplos: 
1) 24 ÷ 2 = 24-1 = 23 
2) 35 ÷ 3² = 35-2 = 32 
3) 46 ÷ 4³ = 46-3 = 43 
Temos então: Im ÷ In = Im-n , I#0 
7.2.2 PRODUTO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE 
Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base 
comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema. 
Exemplos: 
1) 24 x 2 = 24+1 = 25 
2) 35 x 3² = 35+2 = 37 
3) 46 x 4³ = 46+3 = 49 
Temos então: Im x In = Im+n 
7.2.3 POTÊNCIA DE POTÊNCIA 
Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a 
base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos. 
 
 
 
22 
 
Exemplos: 
1) (23)4 = 212 , pois = 23 x 23 x 23 x 23 
2) (32)³ = 36 , pois = 32 x 32 x 32 
3) (42)5 = 410 , pois = 42 x 42 x 42 x 42 x 42 
Temos então: (In)m = In.m 
7.2.4 POTÊNCIA DE UM PRODUTO 
Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta 
potência. 
Exemplos: 
1) (b5ya³ )4 = b²0y4a12 
2) (c²d²e5 )² = c4d4e10 
3) (d³a4 )³ = d9a12 
Temos então: (I.T)m = I m . T m 
7.2.5 POTÊNCIA COM EXPOENTE NEGATIVO 
Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual 
o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o 
expoente positivo. 
 Exemplos: 
1) 2-4 = 1/24 = 1/16 
2) 3-³ = 1/3³ = 1/27 
3) 4-² = ¼² = 1/16 
Temos então: (I)-m = 1/I m I#0 
7.2.6 POTÊNCIA DE FRAÇÃO 
Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, 
respectivamente, a esta potência. 
1) (a/b)4 = a4/b4 = b#0 
2) (a2 /b4)³ = a6/b12 = b#0 
3) (a³ /b²)³ = a9/b6 = b#0 
23 
 
Temos então: (a/b)m = am/bm b #0 
7.2.7 POTÊNCIA DE DEZ 
Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para 
isto guarde bem estas técnicas: 
1) Para se elevar 10n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da 
potência a direito do número 1. 
Exemplos: 
a) 104 = 10000 
b) 106 = 1000000 
c) 107 = 10000000 
2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da 
potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se 
escreveu. 
Exemplos: 
a) 10-4 = 0,0001 
b) 10-6 = 0,000001 
c) 10-7 = 0,0000001 
 3) Decompondo números em potências de 10 
Exemplos (números maiores que 1): 
a) 300 = 3.100 = 3.10² 
b) 7000 = 7.1000 = 7.10³ 
c) 10.000 = 1.10000 = 1.104 
Exemplos (números menores que 1): 
a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-³ 
b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4 
c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5 
 
24 
 
7.2.7 POTÊNCIA DE NÚMEROS RELATIVOS 
a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo. 
Veja: (+2)² = 4 / / (-2)4 = 16 
b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência. 
Veja: (+3)³ = 27 / / (-3)³ = -27 
Observação importante: -22 # (-2) ² , pois -2² = -4 e (-2) ² = 4. A diferença está que na 
primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal 
e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme 
colocado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
8. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
8.1 ADIÇÃO COM DENOMINADOR COMUM 
A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo 
denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que 
realize-se a soma de todos os numeradores e mantenha-se este denominador comum. 
 
 
Pode-se observar que todas elas possuem o denominador 7. Neste caso a fração final terá 
como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como terá o mesmo denominador 7: 
 
 
8.2 ADIÇÃO COM DENOMINADORES DIFERENTES 
 
 
Aqui não se pode simplesmente realizar a soma dos numeradores. Primeiramente deve-se 
converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o mínimo 
múltiplo comum dos denominadores. 
Será o MMC (3, 5, 13) = 195. Assim, todas as frações terão o denominador comum 195. 
O novo numerador de cada uma deve ser apurado, simplesmente dividindo-se 195 pelo 
seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador 
original: 
 
Para 1/3 temos que: 195 : 3 . 1 = 65, logo: 1/3 = 65/195; 
Para 2/5 temos que: 195 : 5 . 2 = 78, logo: 2/5 = 78/195; 
Para 3/13 temos que: 195 : 13 . 3 = 45, logo: 3/13 = 45/195. 
Obtêm-se assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contém o 
denominador 195. Agora resta proceder como no primeiro exemplo: 
 
 
26 
 
No caso de adição de frações mistas deve-se colocar a parte fracionária toda com o 
mesmo denominador e depois realizar separadamente a soma das partes inteiras e das partes 
fracionárias: 
 
Pode-se também transformar as frações mistas em impróprias antes de realizar a operação 
de soma: 
 
 
8.3 SUBTRAÇÃO COM DENOMINADOR COMUM E DIFERENTE 
A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as 
frações contenham um denominador comum. Quando as frações possuírem um mesmo 
denominador, apenas se subtrai um numerador do outro, mantendo-se este denominador comum. 
 
 
Observa-se que todas as frações possuem o denominador 9. Neste caso a fração final terá 
como numerador a diferença dos numeradores, assim como irá manter o denominador 9: 
 
 
Nesse outro exemplo, como as frações não possuem todas o mesmo denominador, 
primeiramente deve-se a apurar o MMC (9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador comum. 
 
 
Sabendo que o MMC(9, 3, 7) = 63. Assim será utilizado 63 como o denominador comum. 
 
Para encontrar as frações equivalentes às do exemplo acima, que possuam o denominador 
igual a 63, para cada uma delas irá de se dividir 63 pelo seu denominador e em seguida 
multiplicar o resultado pelo seu numerador: 
Para 8/9 temos que: 63 : 9 . 8 = 56, logo: 8/9 = 56/63 
Para 1/3 temos que: 63 : 3 . 1 = 21, logo: 1/3 = 21/63 
Para 2/7 temos que: 63 : 7 . 2 = 18, logo: 2/7 = 18/63 
Realizando a subtração: 
27 
 
 
 
Assim como na adição, no caso da subtração de frações mistas também se deve colocar a 
parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizar separadamente a subtração 
das partes inteiras e das partes fracionárias: 
 
 
Também se podem transformar as frações mistas em impróprias antes de realizar a 
operação de subtração: 
 
 
8.4 MULTIPLICAÇÃO 
Conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações provavelmente é a mais simples 
das operações aritméticas que as envolvem. Diferentemente da adição e da subtração, a 
multiplicação não requer que se tenha um denominador comum. Para realizar-se o produto de 
frações, basta que multiplicar os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos 
seus denominadores. 
 
Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou não, realiza-se a 
multiplicação conforme mostrado abaixo: 
 
 
 
A multiplicação de frações mistas deve ser precedida da conversão das mesmas em 
frações impróprias: 
 
 
8.5 DIVISÃO 
A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu 
numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novasfrações. 
28 
 
 
 
Realizando-se a inversão das divisoras e mudando-se de divisão para multiplicação, 
teremos: 
 
Realizando-se a multiplicação, teremos: 
 
 
A divisão de frações mistas segue o mesmo principio, no entanto deve-se primeiramente 
convertê-las em frações impróprias: 
 
 
8.6 MÚLTIPLAS OPERAÇÕES 
Assim como nas operações aritméticas com números naturais, nas operações aritméticas 
com frações, a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração, por isto 
em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, deve-se primeiro realizar as 
operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração. 
 
 
Primeiramente executa-se a multiplicação: 
 
 
 
 
Em seguida executa-se a divisão, invertendo a fração e transformando a divisão em uma 
multiplicação: 
 
 
 
 
 
29 
 
Utiliza-se o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o denominador comum das frações e realiza-
se a soma e a subtração: 
 
 
Finalmente, obtêm-se o resultado da expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
9. ALGUMAS DEFINIÇÕES DA MECÂNICA 
Mecânica Aplicada 
Ramo da ciência que, através da aplicação dos princípios de mecânica, busca entender, 
explicar e prever as ações e reações de corpos em repouso ou movimento; 
Mecânica do Contínuo 
Ramo da ciência que lida com meios contínuos, incluindo sólidos e fluidos; 
Mecânica dos Sólidos 
Estuda a física de sólidos contínuos, com forma definida quando em repouso; 
Elasticidade 
Descreve o comportamento de materiais que retomam sua forma original após a aplicação 
de esforços mecânicos; 
Plasticidade 
Descreve o comportamento de materiais que têm sua forma original modificada após a 
aplicação de esforços mecânicos; 
Resistência dos Materiais 
Estuda a resistência de materiais de engenharia e seu comportamento mecânico sob ação 
de carregamentos. 
9.1 MÁQUINAS DE ENSAIO – ENSAIO DE TRAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
9.2 ENSAIOS DE TRAÇÃO – ALGUMAS NORMAS TÉCNICAS 
• ASTM E8:2004 – Standard Test Methods for – Tension Testing of Metallic 
Materials 
• ISO 527:1993 Parts 1-5 – Plastics - Determination of tensile properties 
• ISO 6892:1998 – Metallic materials - Tensile testing at ambient temperature 
• NBR-ISO 6892:2002 – Materiais metálicos - Ensaio de tração à temperatura 
ambiente 
• NBR 6673:1981 – Produtos planos de aço – Determinação das propriedades 
mecânicas a tração - Método de ensaio 
9.3 ENSAIOS DE TRAÇÃO – CORPO DE PROVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.4 ENSAIOS DE TRAÇÃO – DIAGRAMA DO ENSAIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
9.5 ENSAIOS DE TRAÇÃO – RELAÇÃO MATERIAL DÚCTIL / FRÁGIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.6 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtonia: 
• espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, 
o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto 
de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são 
conhecidos como as coordenadas do ponto; 
• tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O 
tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado; 
• força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a 
produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de 
aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um 
vetor. 
9.7 ALGUMAS CONVERSÕES DE UNIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
10. VÍNCULOS ESTRUTURAIS 
10.1 INTRODUÇÃO 
Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os 
movimentos de uma estrutura. Nas estruturas planas, podemos classificá-los em 3 tipos. 
10.2 VÍNCULO SIMPLES OU MÓVEL 
Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção normal ao plano de 
apoio, fornecendo-nos desta forma, uma única reação (normal ao plano de apoio). 
 
 
 
10.3 VÍNCULO DUPLO OU FIXO 
Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas direções, na direção 
normal e na direção paralela ao plano de apoio, podendo desta forma nos fornecer, desde que 
solicitado, duas reações, sendo uma para cada plano citado. 
 
 
 
 
10.4 ENGASTAMENTO 
Este tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção, impedindo também a 
rotação do mesmo, através de um contra momento, que bloqueia a ação do momento de 
solicitação. 
 
 
 
 
 
 
35 
 
11. ESTRUTURA 
Denomina-se estrutura o conjunto de elementos de construção, composto com a 
finalidade de receber e transmitir esforços. As estruturas planas são classificadas através de sua 
estaticidade, em três tipos. 
11.1 ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS 
Estes tipos de estruturas são instáveis quanto à estaticidade, sendo bem pouco utilizadas 
no decorrer do nosso curso. A sua classificação como hipoestáticas é devido ao fato de o número 
de equações da estática ser superior ao número de incógnitas. 
 
 
 
 
 
 
11.2 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
A estrutura é classificada como isostática quando o número de reações a serem 
determinadas coincide com o número de equações da estática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
11.3 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
A estrutura é classificada como hiperestática, quando as equações da estática são 
insuficientes para determinar as reações nos apoios. Para tornar possível a solução destas 
estruturas, devemos suplementar as equações da estática com as equações do deslocamento, que 
serão estudadas posteriormente em resistência dos materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.4 TIPOS DE APOIOS E REAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.5 APOIOS MAIS UTILIZADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
12. TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
Define-se como força normal ou axial aquela que atua perpendicularmente (normal) 
sobre a área da seção transversal de peça. 
 
 
 
 
 
 
A peça estará tracionada quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido 
dirigido para o seu exterior. A peça estará comprimida, quando a força axial aplicada estiver 
atuando com o sentido dirigido para o interior. 
 
 
 
 
 
 
Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforço de tração ou compressão, 
quando uma carga normal F atuar sobre a área da seção transversal da peça, na direção do eixo 
longitudinal. Quando a carga atuar com o sentido dirigido para o exterior da peça ("puxada"), a 
peça estará tracionada. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior da peça, a barra 
estará comprimida ("empurrada"). 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
13. CONCEITO DE TRAÇÃO43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
14. TENSÃO NORMAL σ 
A carga normal F, que atua na peça, origina nesta, uma tensão normal que é determinada 
através da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a área da seção transversal da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
14.1 UNIDADE DE TENSÃO NO SI (Sistema Internacional) 
A unidade de tensão no SI é o Pascal, que corresponde à carga de 1N atuando sobre uma 
superfície de 1 m². 
 
 
 
 
 
A unidade MPa (rnega pascal, corresponde à aplicação de 106 N (um milhão de newtons) 
na superfície de um metro quadrado (m²). Como: 
 conclui-se que: 
 
 
MPa corresponde à carga de 1N atuando sobre a superfície de 1 mm². 
 
 
 
 
47 
 
15. MÓDULO DE ELASTICIDADE – LEI DE HOOKE 
Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no ano de 1678, 
constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga normal, sofre variação 
na sua dimensão linear inicial, bem como na área da seção transversal inicial. 
Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a 
deformação específica é ε = δ / L . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE, 
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra: 
 
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente 
proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e 
à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra. 
Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou alongamento, constatando que: 
• quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior o 
alongamento, e que, quanto maior a área da seção transversal e a rigidez do material, medido 
através do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando daí a equação: 
 
 
Como podemos escrever a Lei de Hooke: 
 
 
 
 
 
 
O alongamento será positivo, quando a carga aplicada tracionar a peça, e será negativo 
quando a carga aplicada comprimir a peça. Observa-se que a carga se distribui por toda área da 
seção transversal da peça. 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformação longitudinal (ε) e a 
deformação transversal (εt). 
As tensões σ são proporcionais às deformações ε. 
A constante E é chamada de Módulo de Elasticidade do material. Para aços em geral é 
adotado: E = 2,1 x 106 kgf/cm². 
σ = Eε onde: 
σ = tensão normal; E = módulo de elasticidade do material; ε = deformação específica 
15.1 DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL ε 
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento (u.c) de uma peça 
submetida à ação de carga axial. Sendo definida através das relações: 
 
 
 
 
 
49 
 
15.2 DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL εt 
Determina-se através do produto entre a deformação unitária (ε) e o coeficiente de 
Poisson (v) . 
 
 Como pode-se escrever: 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
16. MATERIAIS DÚCTEIS OU FRÁGEIS 
16.1 MATERIAL DÚCTIL 
O material é classificado como dúctil, quando submetido a ensaio de tração, apresenta 
deformação plástica, precedida por uma deformação elástica, para atingir o rompimento, como 
por exemplo, o cobre, latão, alumínio, bronze, aço e o níquel. 
16.2 DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DO AÇO ABNT 1020 
O Diagrama de Tensão Deformação representa graficamente os diversos pares de 
valores para tensão normal σ e a correspondente deformação ε, até ser atingida a ruptura do 
elemento. Para aços-carbono em geral, quando o teor de carbono cresce, a resistência do aço σr 
cresce mas ao mesmo tempo diminui a deformação de ruptura εr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
O gráfico representa o caso típico do aço doce (baixo teor de carbono). Até o ponto A, o 
gráfico é uma reta. Neste trecho é válida a lei de Hooke, que diz: as deformações são 
diretamente proporcionais às tensões que as produzem. O ponto A é o limite de elasticidade e a 
tensão correspondente é a Tensão de Proporcionalidade σp. 
No trecho AB ainda se verifica a elasticidade, mas já não é pura, pois, tem-se um misto 
de deformações elásticas e deformações permanentes. De fato, cessando as solicitações, o 
material não readquire completamente o formato primitivo, mas tenderá a este, permanecendo 
parcialmente deformado. 
Depois do ponto B a tensão sofre oscilações desordenadas enquanto o material vai se 
deformando com grande fluidez. Este fenômeno é chamado de escoamento e a tensão 
correspondente é a Tensão de Escoamento σe. Convém salientar que o escoamento é 
caraterístico nos aços doces e outros materiais. Ele marca o início das grandes deformações 
permanentes. 
Continuando a curva do ensaio, nota-se que a curva toma um aspecto definido até atingir 
o ponto F, onde se verifica a ruptura do corpo. Este ponto é o limite de ruptura e a tensão 
atingida é a Tensão de Ruptura σr. 
Todos os materiais apresentam, com variantes mais ou menos acentuadas, o mesmo 
comportamento e o diagrama terá sempre aspecto semelhante, apesar de alguns trechos se 
confundirem para alguns materiais e se evidenciarem para outros. No aço duro, por exemplo, não 
se verifica o escoamento enquanto o chumbo e o estanho são caracterizados por isto. 
16.3 LIMITE DE PROPORCIONALIDADE σp 
É a tensão correspondenteao ponto A. É a tensão máxima que pode ser aplicada à barra 
sem que apareçam deformações permanentes. Após a retirada da carga, as deformações elásticas 
desaparecem. 
16.4 LIMITE DE ESCOAMENTO σe 
É a tensão correspondente ao ponto B. A partir desse ponto aumentam as deformações 
sem que se altere a tensão. É dito que o material passa a escoar-se. Para os aços-carbono em 
geral, pode-se considerar coincidentes os limites de proporcionalidade e de escoamento. 
52 
 
16.5 RESITÊNCIA À TRAÇÃO σmax 
É a tensão correspondente ao ponto E. É a máxima tensão possível para o material do 
elemento estrutural. 
16.6 LIMITE DE RUPTURA σr 
É a tensão correspondente ao ponto F. É quando a peça ou elemento estrutural entra em 
colapso por ruptura à tração. 
Materiais são ditos homogêneos quando apresentam as mesmas propriedades mecânicas 
em todos os seus pontos. 
16.7 MATERIAL FRÁGIL 
O material é classificado como frágil, quando submetido a ensaio de tração e não 
apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica para o rompimento., como por 
exemplo, o ferro fundido (FºFº), concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, cristal, acrílico e 
baquelite, entre outros. 
16.8 DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DO MATERIAL FRÁGIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16.9 ESTRICÇÃO 
No ensaio de tração, à medida que aumenta-se a intensidade de carga normal aplicada, 
observa-se que a peça apresenta alongamento na sua direção longitudinal e uma redução na 
seção transversal. Na fase de deformação plástica do material, essa redução da seção transversal 
começa a se acentuar, apresentando estrangulamento da seção na região de ruptura. Essa 
propriedademecânica é denominada Estricção, sendo determinada através da expressão: 
53 
 
 
 
 
 
16.10 COEFICIENTE DE SEGURANÇA k 
O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de construção, 
visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo. O projetista poderá 
obter o coeficiente em normas ou determiná-lo em função das circunstâncias apresentadas. Os 
esforços são classificados em três tipos. 
 
14.6.1 CARGA ESTÁTICA 
A carga é aplicada na peça e permanece constante, como exemplo, um parafuso 
prendendo uma luminária ou uma corrente suportando um lustre. 
 
 
 
 
 
14.6.2 CARGA INTERMINTENTE 
A carga é aplicada gradativamente na peça, fazendo com que o seu esforço atinja o 
máximo, utilizando para isso um determinado intervalo de tempo. Ao atingir o ponto máximo, a 
carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo de tempo utilizado para se atingir o máximo, 
fazendo com que a tensão atuante volte a zero. E assim sucessivamente. Por exemplo, o dente de 
uma engrenagem . 
 
 
 
 
 
54 
 
14.6.3 CARGA ALTERNADA 
Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de máximo positivo para máximo 
negativo ou vice-versa, constituindo-se na pior situação para o material. Por exemplo, eixos, 
molas, amortecedores, etc... 
 
 
 
 
 
 
14.6.4 DETERMINAÇÃO DO COEFIOCIENTE DE SEGURANÇA k 
Para determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias apresentadas, 
deverá ser utilizada a expressão a seguir 
 
 
• valores para x (fator de tipo de material) 
x = 2 para materiais comuns 
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga 
• valores para y (fator do tipo de solicitação) 
y = 1 para carga constante 
y = 2 para carga interminente 
y = 3 para carga alternada 
• valores para z (fator do tipo de carga) 
z = 1 para carga gradual 
z = 1,5 para choques leves 
z = 2 para choques bruscos 
 
 
55 
 
• valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação) 
w = 1 a 1,5 para aços 
w = 1,5 a 2 para fofo 
Para carga estática, normalmente utiliza-se aplicado a σe (tensão de 
escoamento do material), para o material dúctil e ou aplicado a σr (tensão de ruptura do 
material) para o material frágil. 
Para o caso de cargas interminentes ou alternadas, o valor de k cresce como nos mostra a 
equação para sua obtenção. 
16.11 TENSÃO ADMISSÍVEL σADM 
A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas circunstâncias apresentadas. 
Geralmente, essa tensão deverá ser mantida na região de deformação elástica do material. Porém, 
há casos em que a tensão admissível poderá estar na região da deformação plástica do material, 
visando principalmente a redução do peso de construção como acontece no caso de aviões, 
foguetes ou mísseis. Nesse estudo será na região elástica, que é o que freqüentemente ocorre na 
prática. A tensão admissível é determinada através da relação σe (tensão de escoamento), 
coeficiente de segurança k para os materiais dúcteis; σr (tensão de ruptura), coeficiente de 
segurança k para os materiais frágeis. 
 
 
 
 
 
 
56 
 
17. ANÁLISE DOS FATORES PARA ESCOLHA O COEFICIENTE DE 
SEGURANÇA 
17.1 MODIFICAÇÕES QUE OCORREM NAS PROPRIEDADES DO MATERIAL 
 
 
 
 
 
17.2 QUANTIDADE DE APLICAÇÕES DA CARGA DURANTE A VIDA ÚTIL 
 
 
 
 
17.3 TIPO DE CARREGAMENTO PROJETADO 
 
 
 
 
 
17.4 MODO DE RUPTURA QUE PODE OCORRER 
 
 
 
 
 
 
17.5 MÉTODOS APROXIMADOS DE ANÁLISE 
 
 
 
57 
 
17.6 DETERIORAÇÃO POR FALTA DE MANUTENÇÃO OU CAUSAS 
NATURAIS IMPREVISÍVEIS 
 
 
 
17.7 IMPORTÂNCIA DE CERTO MEMBRO NA ESTRUTURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
18. PESO PRÓPRIO 
Em projetos de porte, é necessário levar em conta, no dimensionamento dos elementos de 
construção, o peso próprio do material, que será determinado através do produto entre o peso 
específico do material e o volume da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. AÇO E SUA CLASSIFICAÇÃO E OUTROS MATERIAIS 
Aço é um produto siderúrgico que se obtém através de via líquida, cujo teor de carbono 
não supere a 2%. 
19.1 CLASSIFICAÇÃO DO AÇO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
19.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS DO AÇO – COEFICIENTE DE POISSON (ν) 
 
 
 
 
 
 
 
19.3 CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• É comum encontrar-se o módulo de elasticidade em MPa (megapascal) 
 
 
 
 
 
60 
 
19.4 PESO ESPECÍFICO DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.5 COEFICIENTE DE DILATAÇÃO LINEAR DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
19.6 MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.7 TABELA DE TENSÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
20. REAÇÕES DE APOIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
21. TABELA DE TENSÕES 
 
65 
 
• Para tensão de ruptura a cisalhamento λc toma-se 0,6 a 0,8 da tensão de ruptura a 
tração σt. 
 
 
66 
 
22. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
23. CARGA RESULTANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
23.1 TRÊS DIMENSÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23.2 CARGAS COPLANARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
23.3 PONTOS IMPORTANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23.4 PONTOS IMPORTANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
24. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
24.1 EXEMPLO 1 
A barra circular representada na figura abaixo é de aço e possui: 
 d = 20 mm e comprimento l =0,8 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 
7,2 kN. Pede-se determinar para a barra: 
a) Tensão normal atuante (σ) 
b) O alongamento 
c) A deformação longitudinal (ε) 
d) A deformação transversal (εt) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
24.2 EXEMPLO 2 
A figura dada, representa duas barras de aço soldadas na secção BB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
24.3 EXEMPLO 3 
Uma barra circular possui d = 32 mm, e o seu comprimento . Ao ser tracionada 
por uma carga axial de 4 kN, apresenta um alongamento . Qual o material da 
barra? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
24.4 EXEMPLO 4 
Caleular a alongamento total de um fio de eobre com diametro 2 mm e eomprimento 50 
em quando Ihe e aplieada uma earga de 20 Kg. 
 
 
 
 
 
 
24.5 EXEMPLO 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.6 EXEMPLO 6 
Urn fio de comprimento 30 cm e diametro 1 mm foi submetido ao ensaio de traçãoo e 
com uma carga de 40 Kgf obteve-se umalongamento total de 0,08 mm. Calcular o alongamento 
unitário, alongamento percentual, tensao e modulo de elasticidade. 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.7 EXEMPLO 7 
Calcular a força necessaria para alongar em 1 mm um fio de cobre de comprimento 2 m e 
diametro 4 mm. 
 
 
 
 
24.8 EXEMPLO 8 
 
 
 
 
 
 
 
24.9 EXEMPLO 9 
Calcular a força capaz de romper um arame de aço ABNT 1030 e diametro 2 mm. 
 
 
 
 
 
 
75 
 
24.10 EXEMPLO 10 
Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030 destinado a manter suspenso um 
peso de 200 Kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.11 EXEMPLO 11 
Escolher a corrente destinada a resistir uma carga intermitente de 1 t. 
Material aço ABNT 1040. 
 
 
 
 
 
 
24.12 EXEMPLO 12 
No dispositivo da figura a bucha e de aço ABNT 1010 e o parafuso de aço ABNT 1030. 
Calcular os diâmetros do, d e D quando a porea exeree uma força axial de 3t. 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.13 EXEMPLO 13 
Escolher o cabo de acço para um elevador de baixa velocidade e co cabine de 300 Kg e 
carga maxima 700 Kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.14 EXEMPLO 14 
Calcular a espessura de um tubo de ferro fundido de diâmetro médio d = 70 mm 
destinado a suportar uma pressao interna maxima p = 40 Kgf/cm². 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
24.15 EXEMPLO 15 
Dimensionar a seção dos montantes da prensa da figura abixo. 
Dados: carga maxima P = 3,2 t. Material: ferro fundido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.16 EXEMPLO 16 
Para que as duas chapas da figura abaixo não escorreguem uma em relação a outra é 
necessario que os parafusos exerçam uma força de aderência de 6 t. Verificar se são suficientes 5 
parafusos W 1/2" de aço ABNT 1010. Se não determine o diâmetro dos parafusos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
24.17 EXEMPLO 17 
Determinar o diâmetro da barra BC da construção representada na figura abaixo. O 
material da barra é o aço ABNT 1010L com σrup = 220 MPa, e o coeficiente de segurança 
indicado para o caso é k = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
24.18 EXEMPLO 18 
Dimensionar a seção transversal da barra BC da construção representada da figura 
abaixo. A barra possuirá seção transversal quadrada de lado (a). O material da barra é o aço 
ABNT 1020 L com σrup = 280 MPa. Utilizar coeficiente de segurança k = 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
25. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d = 8,9 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a = 15 mm 
 
 
 
 
1) 
2) 
3) 
81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No sistema representado na figura abaixo, determine: 
a) O diâmetro d da peça suporte feito de aço SAE 1020; 
b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação do suporte sendo o material 
destes de aço SAE 1040. 
Admite-se uma carga estática. 
 
 d = 33,55 mm 
 qt. = 3 parafusos 
 
 
Determine no servo-motor de simples ação de carga intermitente, conforme figura abaixo, 
o diâmetro do cilindro (D), da haste do cilindro (d) e a bitola dos 12 parafusos que fixam a flange 
na parte inferior do motor. que tem pressão P = 10000 kgf. 
 
 
 
 d = 36,40 mm 
 D = 303 mm 
 di = 12,30 mm 
 
 
6) 
4) 
5) 
82 
 
Conforme figura abaixo, determine os diâmetros das barras (1) e (2), que são de aço SAE 
1020, para suportarem com segurança uma carga estática P = 12 t, sendo que o ângulo α = 90º. 
 
 d1 = 42,50 mm 
 d2 = 35,80 mm 
 
 
 
Conforme exercício (7) acima, determine os diâmetros das barras (1) e (2), se forem de 
aço SAE 1040, para suportarem com segurança a mesma carga estática P = 12 t, mas com o 
ângulo α = 120º. 
 d1 = d2 = 36,40 mm 
Conforme figura abaixo, determinar o diâmetro do parafuso de um macaco que deverá 
suportar com segurança, à compressão, uma carga P = 5 t, sabendo-se que o material é de aço 
SAE 1040 e o passo da rosca é de 5 mm. 
 
 
 di = 25,70 mm 
 de = 30,70 mm 
 
 
 
 
 
 
Conforme desenho acima, determine a carga P que pode ser aplicada, com segurança, a 
um macaco que possue um parafuso de 30 mm de diâmetro externo e uma rosca quadrada de 5 
mm de passo, feito de aço SAE 1040. 
 P = 4740 kgf 
 
7) 
8) 
9) 
10) 
83 
 
Na estrutura da figura abaixo, determine o diâmetro da barra (1), de aço SAE 1020 e o 
diâmetro do tirante (2), também do mesmo aço, para suportar com segurança uma carga estática 
P = 5 t. Sendo a distância a = 1 m e o ângulo α = 30º, qual o deslocamento do ponto (Ol) em 
razão das deformações das barras? 
 
 d1 = 38,90 mm 
 d2 = 36,20 mm 
 Ol = 0,01620 mm 
 
 
No caso da estrutura acima, recalcule os mesmos itens nas mesmas condições mas carga 
aplicada P = 1,5 t. 
 d1 = 17,90 mm 
 d2 = 15,10 mm 
 Ol = 0,0079 mm 
A luminária de massa 80 kg de peso é suportada por duas hastes de aço de diâmetros 15 
mm e 12 mm, respectivamente, e acopladas por um anel em A conforme figura ao lado. Calcule 
a intensidade da tensão em cada haste considerando o valor de θ = 50º. Determinar o ângulo da 
orientação de θ de AC, de forma que a tensão normal média na haste AC seja o duas e meia 
vezes o valor da tensão normal média da haste AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) 
12) 
13) 
84 
 
Sendo as duas hastes de alumínio, conforme figura ao lado, e suportando uma carga 
vertical P = 35 kN e o esforço de tração admissível máximo para o alumínio é de σadm = 135 
MPa, determinar seus respectivos diâmetros em AB e AC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P = 67,2 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) 
15) 
85 
 
26. CISALHAMENTO