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Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 4
Estática dos fluidos
Seção 1: Variação de pressão estática num fluido 
incompressível 
Seção 2: Efeito de força de contato em fluido 
incompressível confinado (Lei ou Princípio de Pascal)
Seção 3: Deslocamento de êmbolos por fluidos 
incompressíveis 
A partir do estudo deste capítulo, espera-se que o 
estudante possa visualizar o que é a pressão em 
um fluido e como é medida, aplicando em situações 
que envolvam variação de profundidade dentro de 
um fluido. Também, deve isualizar e aplicar as leis 
de Pascal e Stevin em sistemas hidráulicos que 
permitem obter vantagem mecânica. 
FREITAS, L. A moral na obra de Piaget: um projeto inacabado. São Paulo: Cortez, 2003, p. 56. 
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Capítulo 4 
Para início de estudo
Um fluido é considerado estático quando todas as partículas que o constituem 
não estiverem em movimento. De outra forma, se estiverem em movimento, 
devem ter a mesma velocidade relativa em relação a um referencial inercial, isto 
é, nos quais são válidas as leis de Newton. No equilíbrio estático, um fluido está 
submetido somente a forças de pressão normais e forças volumétricas. Assim, 
enfatizaremos a avaliação das distribuições de pressão estática e alguns efeitos 
importantes atribuídos a essas distribuições que descrevem o comportamento de 
um fluido estático.
Seção 1
Variação de pressão estática num fluido 
incompressível.
Para avaliarmos as variações de pressão, , as quais um fluido 
está submetido, vamos considerar um elemento diferencial de fluido. As 
forças que agem sobre o elemento fluido são devidas à gravidade (peso), e as 
tensões no fluido vizinho (pressões), conforme mostram as Figuras 4.1 e 4.2, 
respectivamente. (SISSON; PITTS, 2001).
Figura 4.1 – Representação de um elemento diferencial de fluido incompressível submetido à 
ação da gravidade
Fonte: Elaboração do autor (2014).
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
Figura 4.2 – Representação de um elemento diferencial de fluido incompressível submetido às forças 
em todas as direções.
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Para um fluido em equilíbrio estático, aplica-se a 1ª lei de Newton, , a 
partir da qual se obtêm as três equações escalares 4.1, 4.2 e 4.3, que garantem 
a condição de equilíbrio para o elemento diferencial de fluido (SISSON; PITTS, 
2001) 
 (Eq. 4.1)
 (Eq. 4.2)
 (Eq. 4.3)
Seguindo a dedução matemática para a obtenção de uma equação que permita 
quantificar a pressão exercida sobre um elemento fluido, divide-se cada uma das 
equações (4.1, 4.2 e 4.3) por , e , respectivamente, e tomando o limite 
quando , e tendem a zero, obtêm-se:
 (Eq. 4.4)
 (Eq. 4.5)
 (Eq. 4.6)
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Capítulo 4 
 é a força externa por unidade de volume, a qual pode ser representada na 
forma vetorial através da equação 4.7.
 (Eq. 4.7)
em que: é a força de pressão total por unidade de volume num ponto;
 é a força de por unidade volume num ponto.
A equação 4.7 pode também ser escrita da seguinte maneira, conforme a 
equação 4.8.
 (Eq. 4.8)
As equações 4.4, 4.5 e 4.6 indicam que, com as hipóteses feitas, a pressão é 
independente das coordenadas x e z, dependendo, apenas, da coordenada 
y. A partir dessa abordagem, verifica-se que a pressão é uma função de uma 
só variável e podemos usar, então, uma derivada total (direcional) no lugar da 
derivada parcial. Reescrevendo, então, a equação 4.8 adotando a notação de 
derivada total, tem-se a equação 4.9.
 (Eq. 4.9)
Para determinar a variação de pressão num fluido incompressível ( )
num campo gravitacional constante ( ), considerando que a pressão 
no nível de referência é designada por , a pressão , no local y é obtida por 
integração da equação 4.10.
 (Eq. 4.10)
Com o resultado da integração da equação 4.10, considerando a superfície do 
corpo fluido da Figura 4.1 (tomada como referência) e admitindo (- ), 
tem-se a equação 4.11 conhecida como equação fundamental da hidrostática. 
(SISSON; PITTS, 2001). 
A soma das pressões atmosférica e efetiva é denominada de pressão absoluta. 
(SISSON; PITTS, 2001) .
 (Eq. 4.11)
ou
 (Eq. 4.12)
Em que é a massa específica do líquido.
 é a aceleração da gravidade local.
 é a profundidade (altura da coluna de líquido). 
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
A equação 4.12 exibe um comportamento linear, conforme ilustra a Figura 4.3.
Figura 4.3 – Variação da pressão com profundidade em um fluido líquido
Fonte: Elaboração do autor (2014).
A pressão efetiva ou pressão hidrostática é dada pela equação 4.13, a qual pode 
ser reescrita em função do peso específico do fluido, conforme a equação 4.14.
 (Eq. 4.13)
 (Eq. 4.14)
A diferença entre as pressões absoluta e atmosférica é denominada de pressão 
relativa ou pressão manométrica (FOX et al., 2006).
 (Eq. 4.15)
MANOMETRIA
A manometria é uma das técnicas mais convenientes para medir pressões, a 
qual consiste em determinar o deslocamento produzido numa coluna contendo 
um fluido (ou fluidos). Na medida de pressões elevadas, geralmente é utilizado o 
mercúrio como o fluido manométrico. Essa escolha é devido ao seu alto valor de 
peso específico. Algumas vezes é utilizada a água para medir pressões em gases. 
(FOX et al., 2006).
 • Manômetros
Manômetros são aparelhos simples, de baixo custo, utilizados para se medir 
diferença de pressão, obtida pela diferença na altura da coluna de dois líquidos. 
Existem vários tipos de manômetros, entre eles, o manômetro com tubos em U: o 
manômetro de tubo aberto (Figura 4.4), e o manômetro diferencial (Figura 4.5). Há 
também o manômetro de tubo inclinado (Figura 4.6) (FOX et al., 2006). 
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Capítulo 4 
Figura 4.4 – Manômetro de tubo em U
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Figura 4.5 – Manômetro diferencial
Fonte: Elaboração do autor (2014).
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
Figura 4.6 – Manômetro de tubo inclinado
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Duas leis governam o comportamento dos fluidos estáticos: A lei de Stevin e a 
lei de Blaise Pascal. A lei de Stevin refere-se à pressão exercida por uma coluna 
de líquido, enquanto que a lei de Blaise Pascal refere-se à pressão transmitida 
por um líquido confinado em uma tubulação. Veremos essas leis em detalhes ao 
longo dessa seção.
LEI DE STEVIN
A lei de Stevin estabelece que a pressão no interior de um fluido aumenta 
linearmente com a profundidade. (FOX ET AL., 2006) 
Esse comportamento é dado pela equação 4.12 e ilustrado pela Figura 4.3, 
considerando que a pressão inicial é não nula. Para manômetros abertos, a 
pressão inicial é a pressão atmosférica. 
VASOS COMUNICANTES
Vaso comunicante é um sistema formado por diversos ramos iguais ou em várias 
formas, que se comunicam entre si. Numa situação em que a superfície livre de um 
líquido que ocupa as diferentes partes do recipiente é horizontal, ou seja, o líquido 
sobe à mesma altura h em todos os ramos, verifica-se o princípio dos vasos 
comunicantes. Independente do formato de cada ramo, a pressão é igual, em 
todos os pontos localizados a uma mesma altura h, , em qualquer 
um dos ramos, conforme ilustra a Figura 4.7. A pressão no fundo de cada um dos 
ramos é a mesma. Esse fenômeno é conhecido como paradoxo hidrostático.
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Capítulo 4 
Figura 4.7 – Vasos comunicantes contendo líquido
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Regras práticas e úteis para escrever as equações dos manômetros quando há 
tubos interligados contendo fluidos diferentes.
Quaisquer dois pontos na mesma elevação (nível), num trecho contínuo do mesmo 
líquido, estão submetidos à mesma pressão;
A pressão aumenta à medida que se percorre, para baixo, uma coluna de líquido;
Quando temos um conjunto de tubos interligados contendo fluidos diferentes, inicia-
se por um menisco e adicionam-se as pressões resultantes das colunas do fluido, 
quando percorremos para baixo, e subtraem-seas pressões resultantes quando 
percorremos para cima. 
Para fixar esses conceitos, observe o seguinte exemplo adaptado do 
livro Introdução à Mecânica dos Fluidos. (FOX et al., 2006, p. 56):
1º) Na figura abaixo, o manômetro diferencial está totalmente cheio com 
os líquidos água, mercúrio e óleo. Obtenha a expressão para a diferença 
de pressão entre os pontos A e B. Considere:
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
Figura 4.8 – Manômetro diferencial
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Resolução
A expressão para a diferença de pressão entre os pontos A e B é obtida 
iniciando-se pelo ponto A e obtendo-se a equação entre os pontos 
sucessivos ao longo do manômetro. Lembrando que a diferença de 
pressão é dada por , tem-se as equações 4.16, 4.17, 4.18, 
4.19 e 4.20.
 (Eq. 4.16)
 (Eq. 4.17)
 (Eq. 4.18)
 (Eq. 4.19)
 (Eq. 4.20)
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Capítulo 4 
Para facilitar a substituição das equações acima, vamos reescrevê-las 
conforme as equações 4.21, 4.22, 4.23, 4.24 e 4.25.
 (Eq. 4.21)
 (Eq. 4.22)
 (Eq. 4.23)
 (Eq. 4.24)
 (Eq. 4.25)
Substituindo as equações 4.22, 4.23, 4.24 e 4.25 na equação 4.21 
temos:
 
A diferença de pressão entre os pontos A e B é obtida em sua forma 
final, pela equação 4.26.
 (Eq. 4.26)
Para fixar esses conceitos, observe o seguinte exemplo elaborado pelo 
autor.
2º) Na figura abaixo, o compartimento A contém um gás cuja densidade 
é desprezível, comparada à densidade dos líquidos. Considere: 
 , , , , , 
 e determine, em Pa, a pressão relativa ou manométrica 
em A.
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
Figura 4.9 – Manômetro de tubo aberto apenas em um menisco
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Resolução:
Vamos aplicar a regra prática para manômetros e, a partir dela, obter a 
pressão no ponto A.
 
Como a pressão relativa ou manométrica é definida como 
 temos que:
 
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Capítulo 4 
Um sistema manométrico pode ser representado também conforme a Figura 4.10.
Figura 4.10 – Sistema manométrico
Fonte: Elaboração do autor (2014).
O cálculo da pressão em um sistema semelhante ao mostrado na Figura 4.10 
é realizado empregando a convenção para o manômetro A, conforme ilustra a 
Figura 4.11. A parte externa indica que o manômetro está exposto a um ambiente 
externo, que pode ser a atmosfera livre ou outro reservatório. A parte interna 
indica que o manômetro se comunica com um ambiente interno (reservatório). 
Figura 4.11 – Representação de um manômetro em um sistema
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Observe o seguinte exemplo:
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
3º) Determine a pressão no reservatório 1, mostrado na Figura 4.12 
abaixo, considerando que o manômetro C acusa a pressão de 
. O líquido contido na coluna é o mercúrio, cuja massa específica é 
. 
Figura 4.12 - Manômetro diferencial com dois meniscos abertos para atmosfera
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Resolução:
Considerando que a massa específica do ar é muito menor do que a do 
mercúrio, podemos desprezá-la. 
 
Lembrando que a pressão em um ponto de uma coluna de líquido é 
igual à pressão em outro ponto qualquer que tenha a mesma altura no 
mesmo líquido.
 
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Capítulo 4 
A pressão absoluta no ponto B é obtida pela equação 4.12.:
 
A pressão no ponto B é igual à pressão no ponto A, logo, temos 
.
Considerando que a massa específica do ar é desprezível em relação 
a do mercúrio, a pressão na interface (Hg-Ar) do reservatório é 
.
Para calcular a pressão dentro do reservatório 1, aplicamos a equação 
4.15, que determina a pressão manométrica. Nessa situação, a pressão 
absoluta (dentro) equivale à pressão no reservatório 1. A pressão de fora 
equivale à pressão acusada pelo manômetro C.
Seção 2 
Efeito de força de contato em fluido incompressível 
confinado - lei ou princípio de pascal
A lei de Blaise Pascal estabelece que a pressão exercida num ponto de um fluido 
em equilíbrio estático, ou seja, em repouso ou que se movimenta uniformemente, 
é igual em todas as direções. Esse comportamento é dado pela equação 4.12 e 
ilustrado pela Figura 4.3, considerando a pressão inicial não nula.
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
De outra forma, podemos dizer que o acréscimo de pressão, em um ponto de um 
fluido em equilíbrio estático, ou seja, em repouso ou que se move com velocidade 
constante, transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.
Para um fluido líquido que se encontra confinado num recipiente, conforme 
mostra a figura 4.10, é válido o Princípio de Pascal. (SISSON; PITTS, 2001).
Uma importante aplicação desse princípio é encontrada em máquinas hidráulicas, 
as quais são capazes de multiplicar forças. Por exemplo, os elevadores 
hidráulicos dos postos de gasolina e sistemas de freios e amortecedores de 
diversos tipos de automóveis.
Figura 4.13. Recipiente contendo fluido
Fonte:Elaboração do autor (2014).
Aplicando o princípio de Pascal, tem-se que a variação de pressão num ponto 
do fluido se transmite integralmente a todos os demais pontos do fluido. Ao 
aplicarmos uma força no ponto A da Figura 4.13, uma variação de pressão 
que será transmitida igualmente para o ponto B do fluido. Assim, podemos 
representar a relação estabelecida que envolve a área do êmbolo (pistão) e a força 
aplicada (ou resultante) por meio da equação 4.27.
 (Eq. 4.27)
Lembrando que e , podemos reescrever a equação 4.27, 
conforme a equação 4.28.
 (Eq. 4.28)
Em que: é a área do êmbolo (pistão) do tubo A;
 é a área do êmbolo (pistão) do tubo B;
 é a força aplicada no êmbolo (pistão) do tubo A; 
 é a força aplicada no êmbolo (pistão) do tubo B.
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Capítulo 4 
O deslocamento do êmbolo (pistão), devido à ação de uma força aplicada ao 
sistema, pode ser determinado pelo conceito da conservação do trabalho. Para 
isso, inicialmente, precisamos estabelecer algumas relações. O trabalho de uma 
força é dado pela equação 4.29. (HALLIDAYA; RESNICK, 2009).
 . (Eq. 4.29)
Considerando que o produto escalar resulta num escalar, podemos substituir a 
força na equação 4.29 e reescrevê-la conforme a equação 4.30.
 (Eq. 4.30)
Podemos empregar a equação 2.30 para expressar os trabalhos realizados pelas 
forças na entrada, e na saída do sistema, . Aplicando 
o princípio da conservação do trabalho, temos que o trabalho realizado na 
entrada deve ser igual ao trabalho realizado na saída. . Igualando os 
dois trabalhos, conforme a equação 2.31, podemos simplificar a pressão nos 
dois membros da equação, visto que ela é igual em todos os pontos do fluido. 
Dessa forma, podemos expressar o deslocamento dos êmbolos de um sistema 
hidráulico, mostrado na Figura 4.10, por meio da equação 4.32. (HALLIDAY; 
RESNICK, 2009). 
 (Eq. 4.31)
 (Eq. 4.32)
Observe o exemplo a seguir onde será aplicada a lei de Pascal.
4º) A figura abaixo mostra um bloco de concreto sobre um macaco 
hidráulico. No interior desse dispositivo existe óleo. Os êmbolos 
possuem áreas iguais a e . Sobre o êmbolo 
menor é aplicada uma força cujo módulo é 10000 N e, dessa forma, o 
bloco é equilibrado. Considere e determine:
a) A massa do bloco.
b) Se o deslocamento do êmbolo menor foi de 30 cm, qual o 
deslocamento do êmbolo maior? 
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
Figura 4.14 - Elevador hidráulico
Fonte: Elaboração do autor (2014).
Resolução:
a) Aplicando a lei de Pascal, a pressão aplicada no ramo esquerdo da 
prensa hidráulica será transmitida integralmente a todas as partes do 
fluido, o que resulta em uma vantagem mecânica da força exercida pelo 
óleo sobre o êmbolo maior, onde está apoiado o bloco de concreto. 
Temos que:
 
 
Como 
b) Aplicando a relação entre área e deslocamento, temos:
 
O deslocamento do êmbolo maior é 4 vezes menor do que o 
deslocamento do êmbolo menor.Esse resultado é oriundo da relação 
entre o tamanho das áreas.
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Capítulo 4 
Atividades de autoavaliação
1. A figura desta questão mostra um reservatório contendo ar e água, separados 
por um êmbolo(Pistão). Na parte superior do reservatório, o ar está sob pressão 
de . O êmbolo tem área com faces iguais a e peso . 
Calcule:
a) ( ) A pressão no ponto A;
b) ( ) A intensidade da força que atua sobre um tampão, cuja área da seção 
transversal e igual a 
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Fundamentos de Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos 
2. Determine a pressão manométrica no ponto a, considerando que os líquidos 
A e B têm densidades relativas, respectivamente, iguais a 0,75 e 1,2. O líquido 
em torno do ponto a é água e o tanque da esquerda está aberto para atmosfera, 
conforme mostra a figura dessa questão.
3. A figura dessa questão mostra um sistema em que a leitura no manômetro B é 
fornecida. Considerando que o líquido contido na coluna é o mercúrio, determine, 
em metros de coluna de mercúrio, m.c.hg, a leitura do manômetro A.
A 
ar ar 
B 1 2 
20 cm 
 
112
Capítulo 4 
4. Em um posto de gasolina, um tanque subterrâneo de gasolina sofreu infiltração 
de água. Se a densidade da gasolina é 0,68, determine, em metros de coluna 
d’água, m.c.a.:
a) ( ) A pressão na interface gasolina-água.
b) ( ) A pressão no fundo do tanque.