Fórmulas e Elementos da Pirâmide

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Pirâmide�:
Tip�� � fórmula� da� pirâmide�
Definição de pirâmide:
Denomina-se pirâmide o conjunto de todos
os segmentos (VP), em que P ∈ ABCD…
Elementos:
Vértice:
É o ponto V fora do plano da base
Base:
É o polígono ABCD… que pertence ao plano
Altura:
É a distância h do vértice ao plano da
base
Arestas da base:
São os lados do polígono que formam a
base
Arestas laterais:
São os lados dos triângulos que formam as
faces laterais
Nomenclatura:
Nomeia-se uma pirâmide de acordo com o
polígono que está na sua base
Pirâmide regular:
Uma pirâmide é regular se, e somente se,
possuir na base um polígono regular e a
projeção ortogonal do vértice coincidir
com o centro da base
Elementos:
Apótema da pirâmide (A):
Segmento que une o vértice da
pirâmide ao ponto médio de uma das
arestas da base
Apótema da base (a):
Segmento que une o centro da base ao
ponto médio de uma das arestas da base
Relações entre os elementos de uma
pirâmide:
Imagine uma pirâmide regular de aresta
lateral L, aresta da base b, altura h,
apótema da base a, apótema da pirâmide A
e raio do polígono da base R
A2 = h2 + a2
L2 = A2 + (b/2)2 → L2 = h2 + R2
Pirâmide�:
Tip�� � fórmula� da� pirâmide�
Áreas:
Em uma pirâmide, pode-se distinguir dois
tipos de superfícies: as laterais e a
base
Área lateral:
É a soma das áreas dos triângulos que
formam as faces laterais da pirâmide
AL = A1 + A2 + A3 + …
Área da base:
É a área do polígono da base
Área total:
É a soma da área lateral com a área da
base
AT = AL + AB
OBS: No caso de uma pirâmide regular
qualquer de aresta da base igual a b e
apótema da pirâmide igual a A, tem-se:
AL = n (b.A) como n.b = p
2 2
Logo: AL = p . A
Volume:
É possível decompor um prisma triangular
em 3 pirâmides triangulares equivalentes
logo, o volume de cada pirâmide
corresponde 1/3 volume do prisma:
Vprisma = V1 + V2 + V3 → 3Vpirâmide
Vpirâmide = Vprisma
3
Pirâmide de base qualquer:
Através do princípio de cavalieri pode
generalizar o raciocínio anterior para o
cálculo de uma pirâmide de base qualquer
Logo, Vpirâmide = Vprisma → Vpirâmide = AB . H
3
Pirâmides semelhantes:
Ao seccionar uma pirâmide por um plano
paralelo ao plano de sua base,
determina-se outra pirâmide, menor e
semelhante à primeira, de modo que:
As arestas laterais e a altura sejam
divididas na mesma razão:
VA’ = VB’ = … h = k
VA VB H
Logo, pode-se definir as seguintes
relações:
Relação de área:
SA’B’C’ = k
2
SABC
Relação de volume:
VA’B’C’ = k
3
VABC
Então:
h = x (razão linear)
H y
Pirâmide�:
Tip�� � fórmula� da� pirâmide�
h2 = s (razão entre áreas)
H2 S
h3 = v (razão entre volumes)
H3 V
Em que:
→ x e y são arestas homólogas
correspondentes
→ s e S são áreas correspondentes (menor
e maior)
→ v e V são volumes correspondentes
(menor e maior)
Tronco de pirâmide de bases paralelas:
A área lateral é a diferença entre as
áreas laterais da pirâmide maior e da
menor, nessa ordem
AT = AL + AB + Ab
Vtronco = Vgrande – Vpequena
OBS: No caso de troncos de pirâmides
regulares, as faces laterais serão
trapézios isósceles e as bases serão
polígonos regulares semelhantes
Tetraedro regular:
Uma pirâmide triangular com todas as
arestas congruentes é denominada
tetraedro regular
No ∆VGC, VG = h e CG é 2/3 da altura do
∆ABC (G é baricentro)
Logo: CG = a√3
3
Aplicando o teorema de Pitágoras no
referido triângulo, tem-se:
Cálculo da altura:
h = a√6
3
Cálculo do volume:
V = a3√2
12
Cálculo da área total:
O tetraedro regular apresenta quatro
triângulos equiláteros congruentes nas
faces
Logo: AT = a
2√3