1 PIRÂMIDES - FORMULAS - Celso Brasil

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Pirâmides
Celso do Rozário Brasil
Tipos de pirâmides
Elementos de uma pirâmide
	
	(a) Área da base (
Como a base é um triâgulo retângulo tendo AB e AC como catetos, devemos ter:
(b) Área de uma face lateral (:
A face lateral da pirâmide triangular é um triângulo isósceles de base AB e altura m:
(c) A área lateral vale: 
(d) A área total vale: 
(e) O volume vale: 
Tetraedro Regular 
O tetraedro regular é uma pirâmide que possui as seis arestas iguais.
A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17 cm, o seu volume, em cm³, é:
(a) 520
(b) 640
(c) 680
(d) 750
(e) 780
Solução
	
	(i) Note que o segmento AO é igual à metade da diagonal do quadrado ABCD, logo:
(ii) O triângulo VOA destacado é retângulo em “O”, assim sendo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(iii) Área da base
Como a base é um quadrado, devemos ter:
²
(iv) Volume
(FUVEST) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC. Então, o volume da pirâmide AMCD e vértice V é:
	(a) 1
(b) 1,5
(c) 2
(d) 2,5
(e) 3
	
 Solução
Volume da pirâmide = 4
	
	
	(i) Os triângulos EOC e VNC são semelhantes, logo:
(ii) A base da pirâmide menor é o trapézio AMCD, logo:
Volume
Uma pirâmide regular hexagonal tem 2 cm de altura e a aresta de sua base mede 4 cm, Calcule:
(a) O apótema da base;
(b) O apótema da pirâmide;
(c) A aresta lateral;
(d) A área da base;
(e) A área lateral; 
(f) A área total;
(g) O volume
Solução
(a) O apótema da pirâmide
	
	(i) Note que o apótema da base é igual à altura do triângulo equilátero de ldo 4 cm. Logo:
(b) O apótema da pirâmide:
No triângulo retângulo VOM, temos:
	
	
(c) A aresta lateral
No triângulo VMC, temos:
	
	
(d) A área da base:
Como a base equivale a 6 vezes à área de um triângulo equilátero de lado 4 cm, temos:
	
Observação: A área da base também pode ser calculada multiplicando-se a área de um triângulo por 6:
(e) A área lateral:
A área lateral é igual a seis vezes a área do triângulo VBC, temos:
	
	
(f) A área total:
A área total é a soma da área lateral mais a área da base. Logo:
Área total = área da base + área lateral
(g) O volume
Solução:
Considere uma pirâmide triangular. Sabe-se que a altura da pirâmide é de 5m e a aresta lateral mede 9m. Calcule a medida do centro da base até um vértice da base.
Obs:
A altura, aresta lateral e a medida do centro da base até um vértice qualquer da base formam um triângulo retângulo. Dessa forma, tendo dois lados desse triângulo retângulo podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular o terceiro lado.
Uma pirâmide de base quadrada tem 18m de altura e 20m de apótema lateral. Calcule a área da base e o volume da pirâmide.
Com essas informações vamos utilizar o Teorema de Pitágoras e calcular o apótema da base. Sabendo que o apótema da base é a metade do lado da base , então calculamos a medida do lado da base (aresta da base). Por último, calculamos a área da base. A área do quadrado é igual ao quadrado do lado da base.
Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. Calcule o volume, em cm³.
Primeira passo: estabelecer a relação que existe entre a altura (h), aresta lateral (l) e o raio da circunferência circunscrita (r).
Segundo passo: é calcular a medida do lado da base. Faremos isso usando o Teorema de Pitágoras. O diâmetro (d) será a hipotenusa e os lados da base (b) serão os catetos.
Terceiro passo: Agora que temos a medida do lado da base, vamos calcular a área da base da pirâmide que é um quadrado. A área do quadrado é o lado elevado ao quadrado.
Quarto passo: Com todos esses dados podemos calcular o volume da pirâmide.
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m³, então, o volume do cubo, em m³, é igual a:
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
e) 21
Nesse exercício é fundamental perceber que a medida dos lados da base da pirâmide é igual medida da altura da pirâmide que é igual à medida dos lados do cubo. Sabendo disso, basta aplicar a fórmula do volume da pirâmide para encontrar a medida do lado do cubo. Tendo a medida do lado do cubo, basta elevar ao cubo para calcular o volume do cubo.
EXERCÍCIOS
01. (FEI – MAUÁ) Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice. Pede-se x de modo que a áreas laterais da pirâmide se altura x e do tronco de pirâmide de altura h – x sejam iguais.
02. (EUMT – LONDRINA) O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura abaixo é:
a) 300
b) 240
c) 225
d) 210
e) 180
03. (MAUÁ) Dado o Tetraedro de aresta L, determine, em função de L, o volume V do cone circular circunscrito, isto é, do cone que tem vértice do Tetraedro e base circunscrita à face do Tetraedro.
04. (MAUÁ)  Dado um Tetraedro regular de aresta L, determine, em função de L, a área lateral A do cilindro reto circunscrito, isto é, do cilindro que tem uma base circunscrevendo uma face do Tetraedro e altura igual à altura do Tetraedro.
05. (LONDRINA) O tetraedro regular ABCD tem centro O. O ângulo diedro de faces OAB e OAC mede:
a) 30°
b) 60°
c) 120°
d) 135°
e) 150°
06. (SJRP – JUNDIAI) Os vértices de um tetraedro regular de volume 1m³ são centros das faces de outro tetraedro regular. O volume deste outro tetraedro vale:
a) 1 m³
b) 3m³
c) 9m³
d) 27m³
e) 81m³
07. (MAUÁ) Na pirâmide VABC os ângulos AVB, BVC e CVA são retos. Calcular a distância de V ao Plano ABC sabendo-se que VA = VB = VC = 1m.
08. (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:
a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c)  O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a
09. (UnB) Sejam Pi e P2 duas pirâmides de mesma altura. A base de Pi é um quadrado e a de P2 um triângulo de área igual a do quadrado. Então, a área lateral de Pi é:
a) sempre maior do que a de P2;
b) sempre menor do que a de P2;
c) sempre igual a de P2;
d) n.d.a
Respostas:
01.
02. B 
03.
04.
05. D
06. D
07.
  
08. C
09. D
	
	
	
	
Solução
	
	
Solução
Aresta do cubo = 10 cm
Altura da pirâmide = 8 cm
Apótema lateral = 10 cm
Pelos dados acima, devemos ter:
	Perceba que com a altura e a apótema lateral temos um triângulo retângulo. Vamos supor que o outro cateto seja x.
Então, pelo Teorema de Pitágoras:
10² = 8² + x²
100 = 64 + x²
x² = 36
x = 6.
Como a pirâmide é de base quadrada, então a aresta da base é igual a duas vezes a medida que encontramos acima.
Assim, 2x = 12 cm.
O volume da pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
(i) Volume da pirâmide
 cm³
(ii) Ao colocarmos a água, obtemos um paralelepípedo de dimensões 10 x 10 x h.
O volume de água será igual ao volume desse paralelepípedo.
Logo,
384 = 10.10.h
100h = 384
h = 3,84 cm.
(UNIRIO) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m³, então, o volume do cubo, em m³, é igual a: 
a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
Solução:
O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura, ou seja:
O volume de um cubo é igual ao produto de suas dimensões. Considerando que a aresta do cubo seja x, então o volume é igual a:
V = x³
Pela figura, a área da base da pirâmide é igual a Ab = x². Já a altura é igual a h = x.
Como o volume da pirâmide é igual a 6 m³, então:
x³ = 6.3
x³ = 18.
Portanto, o volume do cubo é igual a 18 m³
(EsPCEx 2009). Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11m² por galão.
O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é:
a) 6
b) 7
c)9
d) 10
e) 11
Nosso objetivo é calcular a área lateral do tronco de pirâmide regular, ou seja, devemos calcular a área de um dos trapézios e multiplicar por 4.
As medidas da base maior e da base menor já foram informadas na figura.
Vamos descobrir a medida da altura dos trapézios.
Na figura acima é possível observar que a altura (x) do trapézio pode ser calculada através do Teorema de Pitágoras:
x² = 3,2² + 2,4²
x² = 3,2² + 2,4²
x² = 10,24 + 5,76
x² = 16
x = √16
x = 4 m
Calculando a área do trapézio cuja altura, base menor e base maior medem, respectivamente 4 m, 2,4 m e 7,2 m.
 
Como cada trapézio possui área de 19,2 m², a área lateral do tronco da pirâmide regular será:
4 . 19,2 = 76,8 m²
 
Se cada galão pinta uma área de 11 m²:
76,8 / 11 = 6,98
 
Daí, são necessários 7 galões.
Resposta: B
(Escola Naval 2011). As bases de um tronco de pirâmide triangular regular têm de perímetro, respectivamente, 54√3 m e 90√3 m . Se θ é o ângulo formado pela base maior com cada uma das faces laterais e a altura do tronco medindo 6√3m , então tg²θ vale
a) 1/3
b) √3/3
c) 1
d) √3
e) 3
Resolução
Trata-se de uma pirâmide regular e triangular, ou seja, as bases do tronco de pirâmide têm formato de triângulos equiláteros. Desta forma, para basta dividir o perímetro por 3 para calcular a medida de cada lado da base. Veja:
54√3 / 3 = 18√3 m
90√3 / 3 = 30√3 m
 Calculando o apótema dos triângulos equiláteros, bases do tronco de pirâmide:
Base superior:
 
Base inferior:
Veja na figura porque calculamos a medida dos apótemas:
Veja que:
DE = apótema da base superior
AC = apótema da base inferior
DA = EB = altura do tronco de pirâmide
BC = AC – DE
Calculando tgθ:
Calculando tg²θ:
tg²θ = (√3)² = 3
Resposta: E
(CESGRANRIO) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. O volume dessa pirâmide é:
Solução:
Uma pirâmide quadrangular é uma pirâmide de base quadrada e todas as arestas medem x:
Uma pirâmide regular é uma pirâmide cujo polígono da base é regular e a pirâmide é reta (Lembrete: polígonos regulares são equiângulos e equiláteros).
Se a pirâmide é reta, o vértice está alinhado com o centro da base, ou seja, se nós traçarmos a altura “O” está bem no meio da base.
Vamos traçar uma reta de O até a face lateral direita.
Como “O” é o centro da base, porque a pirâmide é reta, então OC mede a metade do lado do quadrado, ou seja, x/2 m.
por fim, vamos traçar uma reta “a” de C até V:
Note que “a” é altura do triângulo da face lateral direita:
A altura de um triângulo equilátero divide a base ao meio, logo w mede a metade de x:
Por Pitágoras:
Agora note o triângulo retângulo VOC na pirâmide:
Por Pitágoras:
A base é um quadrado de lado x e portanto de área x2.
Finalmente, o volume da pirâmide é:
(Enem 2016) A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada e é formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se calcular a área da superfície da cobertura da tenda.
A área da superfície da cobertura da tenda, em função de y e x, é dada pela expressão:
Solução:
O que é a questão pede é a área lateral da pirâmide (a área de cobertura da tenda).
A área lateral é a soma das áreas dos 4 triângulos, que são iguais, das faces laterais.
A base mede y
Traçando a altura da pirâmide até o centro da base, temos:
Agora vamos traçar uma reta de O até a face lateral direita:
Como O é o centro da base, então mede a metade do lado do quadrado, ou seja, 
por fim, vamos traçar uma reta “a” de C até V:
Note o triângulo retângulo VOC. Por Pitágoras nós temos:
Note também que “a” é a altura do triângulo da face lateral direita:
A altura do triângulo é “a” e a base é “y”. Portanto, a área do triângulo é:
Esta é a área de uma face lateral. Como nós temos quatro triângulos, a área lateral da pirâmide será:
Área Lateral: 
Resposta: (a)
(Enem 2016) A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.
O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é:
(a) 97,0 (b) 136,8 (c) 173,7 (d) 189,3 (e) 240,0
Solução:
A base é um quadrado com lados medindo 214 metros e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais medem 204 m.
De acordo com os dados do problema, devemos ter a seguinte configuração para a pirâmide:
Mas nós não temos o valor de “a”. Vamos descobri-lo.
Note também que “a” é a altura do triângulo da face lateral direita:
A altura de um triângulo isósceles ou equilátero divide a base ao meio, ou seja, w é a metade de 214, w = 107 metros:
Resposta: (b)
(ACAFE 2016) Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 21 cm de altura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo à base, de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8/27 do volume da pirâmide original.
A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número:
Segundo a questão, ela é seccionada por um plano paralelo à base.
Digamos que a uma distância x do vértice.
O que a questão quer é 21 -x.
Ao seccionarmos uma pirâmide com um plano paralelo à base, nós geramos 2 sólidos: 1 tronco de pirâmide (na parte inferior) e uma pirâmide menor (na parte superior)
As pirâmides pequena e grande são semelhantes, pois a pequena foi gerada a partir da grande. Logo:
Portanto, suas medidas são proporcionais, ou seja, considere que a altura da grande dividida pela altura da pequena é k,
Se duas pirâmides são semelhantes e a razão entre uma medida da pirâmide maior e a medida correspondente da pirâmide menor é k, então, podemos afirmar que, a razão entre o volume da grande, vg, e o volume da pequena, vp, é:
Segundo a questão o volume da pirâmide obtida é 8/27 da pirâmide original, ou seja:
Substituindo vp em eq2, temos:
Substituindo k em eq1:
Solução
Gabarito letra e.
Solução:
Solução:
 
Solução:
Temos uma pirâmide regular hexagonal:
Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta cujo polígono da base é regular.
Polígonos regulares são equiângulos e equiláteros.
Logo, a base da pirâmide é um hexágono com todos os lados de mesmo tamanho.
(PUC - SP 1995) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8√2 cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17 cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
(a) 520 (b) 640 (c) 680 (d) 750 (e) 780
Solução
De acordo com os dados do problema, devemos ter:
Como “O” é o centro da base, OC mede a metade do lado do quadrado, ou seja, 4√2 m
por fim, vamos traçar uma reta “a” de C até V:
Note que “a” é altura do triângulo da face lateral direita:
a altura de um triângulo isósceles divide a base ao meio, logo w mede a metade de 8√2
Por Pitágoras
a2 +(4√2)2 = 172
a2 = 257 cm
Agora note o triângulo retângulo VOC na pirâmide:
Por Pitágoras
h2 +(4√2)2 = a2
h2 +32 = 257
h = 15 m
A base é um quadrado de lado 8√2 portanto, de área 128 cm2.
Finalmente, o volume da pirâmide é:
Resposta: (b)
(UECE 1998) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 2√2 cm e uma aresta lateral mede √22 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é:
Solução
Pelos dados do problema, devemos ter:
Note que O é o centro da base, OC mede a metade do lado do quadrado, ou seja, √2 cm.
Traçando uma reta “a” de C até V
Note que “a” é a altura do triângulo da face lateral direita:
Agora note o triângulo retângulo VOC na pirâmide.
(UECE) A medida da altura de uma pirâmide é 10 m e sua base é um triângulo retângulo isósceles cuja medida da hipotenusa é 6 m. Pode-se afirmar corretamente quea medida do volume dessa pirâmide, em m3, é igual a:
(a) 60 (b) 30 (c) 15 (d) 45.
Solução
Pelos dados do problema, devemos ter:
A base é um triângulo retângulo.
A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2.
Portanto, a área da base da pirâmide é:
Assim sendo, o volume da pirâmide é:
Resposta: (b)
(UFRGS) Considere uma pirâmide regular de base quadrada, construída a partir do padrão plano abaixo. Se a altura da pirâmide é o dobro do lado "a" da base, o valor de h no padrão é:
Solução
h é a altura das faces laterais da pirâmide.
Segundo a questão a pirâmide é regular, logo, ela é reta.
Se a pirâmide é reta, o vértice está alinhado com o centro da base, ou seja, se nós traçarmos a altura.
O está bem no meio da base.
O lado da base mede “a” e altura mede “2a”
Vamos traçar uma reta de O até a face lateral direita:
Como O é o centro da base, OC mede a metade do lado do quadrado, a/2
por fim, vamos traçar uma reta h de C até V, h é o valor que nós procuramos:
(UFPR) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?
Solução
A base da pirâmide é um quadrado de lado 4 cm. Portanto. a área da base é: 
Montando a pirâmide com os dados fornecidos no enunciado, temos:
Por ser a altura de um triângulo equilátero, “a” divide a base em dois segmentos de retas iguais, ou seja, w é a metade da base do triângulo, que equivale a 2 cm:
Como:
(UFRGS) Considere o paralelepípedo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H e a pirâmide de vértices B, F, G, H, inscrita no paralelepípedo, representados na figura a seguir.
A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é:
(a) 1/6 (b) 1/5 (c) 1/4 (d) 1/3 (e) 1/2
Solução
Digamos que o segmento AB mede “a”, BG mede “c” e BC mede “b”. Assim sendo, HG também mede “a”. e GF mede “b” 
Vamos considerar que o triângulo HGF é a base da nossa pirâmide e GB é a altura.
Note que o ângulo HĜF da face superior do paralelepípedo é reto.
Logo, o triângulo HGF é retângulo.
A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2.
Portanto a área de HGF é:
Assim sendo, o volume da pirâmide é:
Já o volume de um paralelepípedo, é simplesmente o produto das 3 dimensões:
A razão (r) entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é:
Resposta: (a)
Para a feira cultural da escola, um grupo de alunos irá construir uma pirâmide reta de base quadrada. A pirâmide terá 3 m de altura e cada aresta da base medirá 2 m. A lateral da pirâmide será coberta com folhas quadradas de papel, que poderão ser cortadas para um melhor acabamento. Se a medida do lado de cada folha é igual a 20 cm, o número mínimo dessas folhas necessárias à execução do trabalho será. Utilize √10 = 3,2
(a) 285 (b) 301 (c) 320 (d) 333 (e) 420
Solução
 A pirâmide tem 3 m de altura e cada aresta da base tem 2 m:
A questão diz que “A lateral da pirâmide será coberta com folhas”, mas qual é a área lateral ?
A área lateral, é a soma das áreas dos triângulos das faces laterais:
Devemos ter:
Note o triângulo retângulo VOC. Por Pitágoras nós temos
3² +1² = a²
a² = 10
Note também que “a” é altura do triângulo da face lateral direita:
Como a pirâmide tem 4 faces laterais congruentes, então a área lateral é:
De acordo com o enunciado, a medida do lado de cada folha é igual a 20 cm ou 0,2 m. Logo, a área de cada folha vale:
Podemos usar a seguinte regra de três simples:
Área quantidade de folha
 0,04.......................................1
12,8........................................x
Resposta: (c)
(UFMG) Observe a figura:
	
	Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC, que possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se sobre o prolongamento da aresta do cubo. O segmentos e interceptam as arestas desse cubo, respectivamente nos pontos N e P e o segmento mede 1 cm. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm³:
(a) 1/6
(b) 1/4
(c) 1/2
(d) 1/8
Solução
	
	(i) A pirâmide menor (MNPD) e a maior (MABC) são sólidos semelhantes.
(ii) O segmento AC é a diagonal do quadrado ABCD, logo, sua medida vale:
(iii) Por semelhança de sólidos, devemos ter:
(iv) Note que os triângulos NDP e ABC são semelhantes, logo:
(v) A área desse triângulo vale:
(vi) Volume da pirâmide menor MNPD:
Resposta: Letra B
	
	
Solução
	
	(i) A base da pirâmide é o quadrado ABCD de lado 230 m. Logo, a área dessa base vale:
(ii) Note que OC = AC/2, ou seja, OC vale a metade da diagonal AC do quadrado ABCD, assim sendo:
(iii) O triângulo VOC é retângulo em O, logo, 
(iv) Volume da pirâmide
Resposta: Letra B