Lista de Cálculo III - UFV Campus Rio Paranaíba

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Lista 1 de Calculo III
Universidade Federal de Vic¸osa Campus Rio
Parana´ıba
O teste do discriminante:
Entendendo que casos degenerados ocasionais podem ocorrer, a curva quadra´tica
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 e´:
a) Uma para´bola se B2 − 4AC = 0
b) Uma elipse se B2 − 4AC < 0
c) Uma hipe´rbole se B2 − 4AC > 0
1. Use o discriminante B2−4AC para decidir se as equac¸o˜es nos exerc´ıcios representam
para´bolas, elipses ou hipe´rboles. (10.3; Pa´g. 23)
(a) x2 − 3xy + y2 − x = 0
(b) 3x2 − 7xy +√17y2 = 1
(c) x2 + 2xy + y2 + 2x− y + 2 = 0
(d) x2 + 4xy + 4y2 − 3x = 6
(e) xy + y2 − 3x = 5
(f) 3x2 − 5xy + 2y2 − 7x− 14y = −1
(g) x2 − 3xy + 3y2 + 6y = 7
(h) 6x2 + 3xy + 2y2 + 17y + 2 = 0
2. Nos exerc´ıcios a seguir, sa˜o dadas equac¸o˜es parame´tricas e intervalos de paraˆmetro
para o movimento de uma part´ıcula no plano xy. Identifique a trajeto´ria da part´ıcula
determinando uma equac¸a˜o cartesiana para ela. (Os gra´ficos va˜o variar com a
equac¸a˜o usada.)Indique a parte do gra´fico descrita pela part´ıcula e a direc¸a˜o do
movimento. (10.4; Pa´g. 29)
1
(a) x = cos t, y = sen t; 0 ≤ t ≤ pi
(b) x = 4 cos t, y = 5 sen t; 0 ≤ t ≤ pi
(c) x = t, y =
√
t; t ≥ 0
(d) x = −sec t, y = tg t; −pi
2
< t <
pi
2
(e) x = t, y =
√
4− t2; 0 ≤ t ≤ 2
(f) x = −cosh t, y = senh t; −∞ < t <∞
3. Represente graficamente graficamente cada um dos seguintes pontos (dados em co-
ordenadas polares). Depois, determine todas as ocorreˆncias polares de cada ponto.
(10.5; Pa´g. 34)
(a) (2, pi/2)
(b) (2, 0)
(c) (−2, pi/2)
(d) (−2, 0)
4. Determine as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos (dados em coordenadas
polares). (10.5, Pa´g. 34)
(a) (
√
2, pi/4)
(b) (1, 0)
(c) (0, pi/2)
(d) (−√2, pi/4)
(e) (−3, 5pi/6)
(f) (5, tg−1(4/3))
(g) (−1, 7pi)
(h) (2
√
3, 2pi/3)
5. Desenhe os conjuntos dos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as equac¸o˜es
e inequac¸o˜es dos exerc´ıcios a seguir: (10.5; Pa´g. 35)
(a) r ≥ 1
(b) θ = 2pi/3, r ≤ −2
(c) θ = pi/2, r ≥ 0
(d) 0 ≤ θ ≤ pi, r = −1
(e) −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2, 1 ≤ r ≤ 2
6. Substitua as equac¸o˜es polares nos exerc´ıcios a seguir pela equac¸a˜o cartesiana equi-
valente. Depois escreva ou identifique o gra´fico. (10.5; Pa´g. 34)
2
(a) r sen θ = −1
(b) r = 4 cossec θ
(c) r sen θ = r cos θ
(d) r =
5
sen θ − 2 cos θ
(e) r = 4 tg θ sec θ
(f) r2 + 2r2 cos θ sen θ = 1
(g) r2 = −6r sen θ
(h) r = 2 cos θ + 2 sen θ
(i) r sen
(
2pi
3
− θ
)
= 5
7. Substitua as equac¸o˜es cartesianas nos exerc´ıcios a seguir pela equac¸a˜o polar equiva-
lente. (10.5; Pa´g. 35)
(a) x = y
(b) x2 − y2 = 1
(c) y2 = 4x
(d) (x− 5)2 + y2 = 25
8. Determine todas as coordenadas polares da origem. (10.5; Pa´g. 35)
9. Identifique as simetrias nas curvas nos exerc´ıcios a seguir. Depois, esboce as curvas.
(10.6; Pa´g. 40)
(a) r = 1− sen θ
(b) r = 1 + 2 sen θ
(c) r2 = cos θ
(d) r2 = −cos θ
10. Desenhe as lemniscatas nos exerc´ıcios abaixo. Que simetria essas curvas teˆm (10.6;
Pa´g. 40)?
(a) r2 = 4 cos 2θ
(b) r2 = 4 sen 2θ
(c) r2 = −sen 2θ
(d) r2 = −cos 2θ
11. Determine os coeficientes angulares das curvas nos exerc´ıcios abaixo. Esboce as
curvas com suas tangentes nesses pontos. (10.6; Pa´g. 40)
(a) Cardio´ide r = −1 + sen θ; θ = 0, pi
(b) Rosa´cea de quatro pe´talas r = sen 2θ; θ = ±pi/4, ±3pi/4
3
12. Desenhe os limac¸ons nos exerc´ıcios a seguir. Equac¸o˜es de limac¸ons teˆm a forma
r = a± b cos θ ou r = a± b sen θ. (10.6; Pa´g. 40)
(a) Limac¸ons com um lac¸o interno
i. r =
1
2
+ cos θ ii. r =
1
2
+ sen θ
(b) Limac¸ons ovais
i. r = 2 + cos θ ii. r = −2 + sen θ
13. Esboce a regia˜o definida pela desigualdade. (10.6; Pa´g. 40)
(a) 0 ≤ r ≤ 2− 2 cos θ
14. Mostre que (1/2, 3pi/2) esta´ na curva r = −sen (θ/3). (10.6; Pa´g. 40)
15. Determine os pontos de intersecc¸a˜o dos pares de curvas nos exerc´ıcios a seguir. (10.6;
Pa´g. 41)
(a) r = 2 sen θ, r = 2 sen 2θ
(b) r2 =
√
2 sen θ, r2 =
√
2 cos θ
(c) r2 = sen 2θ, r2 = cos 2θ
(d) r = 1, r2 = 2 sen 2θ
16. Desenhe o gra´fico da equac¸a˜o r = 1− 2 sen 3θ. (10.6; Pa´g. 41)
17. As coordenadas polares sa˜o perfeitas para definir espirais. Desenhe as espirais a
seguir.
(a) r = θ
(b) r = −θ
(c) Uma espiral logar´ıtmica: r = e
θ
10
(d) Uma espiral hiperbo´lica: r = 8
θ
4
(e) Uma espiral equila´tera: r = ±10/√θ (Use cores diferentes para cada um dos
dois ramos.)
18. Determine as a´reas das regio˜es nos exerc´ıcios a seguir.(10.7; Pa´g. 46)
(a) Interior do limac¸on oval r = 4 + 2 cos θ
(b) Interior de uma pe´tala da rosa´cea de quatro pe´talas r = cos 2θ.
(c) Interior de um lac¸o da lemniscata r2 = 4 sen 2θ
19. Determine as a´reas das regio˜es nos exerc´ıcios abaixo. (10.7; Pa´g. 46)
(a) Regia˜o comum aos c´ırculos r = 2 cos θ e r = 2 sen θ
(b) Regia˜o comum ao c´ırculo r = 2 e a` cardio´ide r = 2(1− cos θ)
(c) Regia˜o interior a` lemniscata r2 = 6 cos 2θ e exterior ao c´ırculo r =
√
3
(d) Regia˜o interior ao c´ırculo r = −2 cos θ e exterior ao c´ırculo r = 1
(e) Regia˜o interior ao c´ırculo r = 6 e acima da reta r = 3 cossec θ
20. Determine a a´rea da regia˜o sombreada da figura a seguir. (10.7; Pa´g. 46)
21. Parece que o gra´fico de r = tg θ, −pi/2 < θ < pi/2 poderia ser assinto´tico a´s retas
x = 1 e x = −1. E´ verdade? Justifique sua resposta. (Consultar o gra´fico do
exerc´ıcio anterior). (10.7; Pa´g. 47)
5
22. Determine os comprimentos das curvas nos exerc´ıcios a seguir. (10.7 Pa´g. 47)
(a) A espiral r = θ2, 0 ≤ θ ≤ √5
(b) A cardio´ide r = 1 + cos θ
(c) O segmento parabo´lico r = 6/(1 + cos θ), 0 ≤ θ ≤ pi/2
(d) A curva r = cos3(θ/3), 0 ≤ θ ≤ pi/4
(e) A curva r =
√
1 + cos 2θ, 0 ≤ θ ≤ pi√2
23. Determine as a´reas das superf´ıcies geradas pela revoluc¸a˜o das curvas dos exerc´ıcios
a seguir, em torno do eixo indicado. (10.7; Pa´g. 47)
(a) r =
√
cos 2θ, 0 ≤ θ ≤ pi/4, eixo y
(b) r2 = cos 2θ, eixo x
24. Determine equac¸o˜es polares e cartesianas para as retas nos exerc´ıcios a seguir. (10.8;
Pa´g. 52)
(a)
(b)
25. Esboce as retas nos exerc´ıcios a seguir e determine suas equac¸o˜es cartesianas. (10.8;
Pa´g. 53)
(a) r cos
(
θ − pi
4
)
=
√
2 (b) r cos
(
θ − 2pi
3
)
= 3
26. Determine a equac¸a˜o polar da forma r cos(θ − θ0) = r0 para cada uma das retas
dos exerc´ıcios abaixo. (10.8; Pa´g. 53)
6
(a)
√
2x+
√
2y = 6
(b) y = −5
27. Determine as equac¸o˜es dos c´ırculos nos exerc´ıcios abaixo. (10.8; Pa´g. 53)
(a) (b)
28. Esboce os c´ırculos dos exerc´ıcios a seguir. Deˆ as coordenadas polares de seus centros
e identifique seus raios. (10.8; Pa´g. 53)
(a) r = 4 cos θ (b) r = −2 cos θ
29. Determine as equac¸o˜es polares dos c´ırculos nos exerc´ıcios a seguir. Esboce cada
c´ırculo no plano coordenado e rotule-os com suas equac¸o˜es polares e cartesianas.
(10.8; Pa´g. 53)
(a) (x− 6)2 + y2 = 36
(b) x2 + (y − 5)2 = 25
(c) x2 + 2x+ y2 = 0
(d) x2 + y2 + y = 0
30. Nos exerc´ıcios a seguir, deˆ as equac¸o˜es parame´tricas e os intervalos de paraˆmetro
para o movimento da part´ıcula no plano xy. Identifique a trajeto´ria da part´ıcula
determinando as equac¸o˜es cartesianas que ela satisfaz. Desenhe o gra´fico da equac¸a˜o
cartesiana e indique a direc¸a˜o do movimento e o trecho percorrido pela part´ıcula.
(Cap´ıtulo 10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 56)
(a) x = (1/2) tg t, y = (1/2) sec t; −pi/2 < t < pi/2
(b) x = −cos t, y = cos2 t; 0 ≤ t ≤ pi
7
31. Esboce a regia˜o definida pela desigualdade em coordenadas polares. (Cap´ıtulo 10,
exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 56)
(a) 0 ≤ r ≤ 6 cos θ
32. Combine cada gra´fico do exerc´ıcio abaixo (33) com suas equac¸o˜es. Ha´ mais equac¸o˜es
do que gra´ficos, portanto algumasequac¸o˜es na˜o teˆm gra´fico correspondente. (Cap´ıtulo
10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 56)
(a) r = cos 2θ
(b) r cos θ = 1
(c) r =
6
1− 2 cos θ
(d) r = sen 2θ
(e) r = θ
(f) r2 = cos 2θ
(g) r = 1 + cos θ
(h) r = 1− sen θ
(i) r =
2
1− cos θ
(j) r2 = sen 2θ
(k) r = −sen θ
(l) r = 2 cos θ + 1
33. a)Rosa´cea de quatro pe´talas, b)Espiral, c)Limac¸on, d)Lemniscata, e)C´ırculo, f)Cardio´ide,
g)Para´bola, h)Lemniscata.
(a)
(b)
(c)
(d)
8
(e)
(f)
(g)
(h)
34. Determine os pontos de intersec¸a˜o das curvas dadas pelas equac¸o˜es em coordenadas
polares nos exerc´ıcios abaixo. (Cap´ıtulo 10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 57)
(a) r = sen θ, r = 1 + sen θ
(b) r = 1 + cos θ, r = 1− cos θ
(c) r = 1 + sen θ, r = −1 + sen θ
(d) r = sec θ, r = 3 sen θ
35. Esboce as retas nos exerc´ıcios abaixo. Determine tambe´m a equac¸a˜o cartesiana de
cada reta. (Cap´ıtulo 10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 57)
(a) r cos
(
θ +
pi
3
)
= 2
√
3
(b) r = 2 sec θ
(c) r = −(3/2)cossec θ
36. Determine as equac¸o˜es cartesianas dos c´ırculos nos exerc´ıcios abaixo. Esboce cada
c´ırculo no plano coordenado e rotule-o com as duas equac¸o˜es, cartesiana e polar.
(Cap´ıtulo 10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 57)
(a) r = −4 sen θ
9
(b) r = 2
√
2 cos θ
37. Determine as equac¸o˜es polares para os c´ırculos nos exerc´ıcios abaixo. Esboce cada
c´ırculo no plano coordenado e rotule-o com as duas equac¸o˜es, cartesiana e polar.
(Cap´ıtulo 10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 57)
(a) x2 + y2 + 5y = 0
(b) x2 + y2 − 3x = 0
38. Esboce as sec¸o˜es coˆnicas cujas equac¸o˜es polares sa˜o dadas nos exerc´ıcios abaixo.
Deˆ as coordenadas polares dos ve´rtices e no caso das elipses determine tambe´m os
centros. (Cap´ıtulo 10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 57)
(a) r =
2
1 + cos θ
(b) r =
6
1− 2 cos θ
39. Nos exerc´ıcios a seguir, sa˜o dadas as excentricidades das sec¸o˜es coˆnicas com um
foco na origem do sistema de coordenadas polares do plano e com a diretriz cor-
respondente a esse foco. Determine a equac¸a˜o polar de cada coˆnica. (Cap´ıtulo 10,
exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 57)
(a) e = 2, r cos θ = 2
(b) e = 1/2, r sen θ = 2
40. Determine as a´reas das regio˜es do plano coordenado polar descritas nos exerc´ıcios
abaixo. (Cap´ıtulo 10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 57)
(a) Delimitado pelo limac¸on r = 2− cos θ.
(b) Dentro da ”figura oito”r = 1 + cos 2θ e fora do c´ırculo r = 1.
41. Determine o comprimento das curvas dadas pelas equac¸o˜es polares nos exerc´ıcios
abaixo.(Cap´ıtulo 10, exerc´ıcios Pra´ticos, Pa´g. 57)
(a) r = −1 + cos θ
10
(b) r = 8 sen3(θ/3), 0 ≤ θ ≤ pi/4
42. Nos exerc´ıcios a seguir, associe a equac¸a˜o com a superf´ıcie que ela define. Ale´m disso,
identifique cada superf´ıcie pelo tipo (parabolo´ide, elipso´ide, etc.). As superf´ıcies
sera˜o apresentadas no pro´ximo exerc´ıcios (43). (12.6; Pa´g. 217)
(a) x2 + y2 + 4z2 = 10
(b) z2 + 4y2 − 4x2 = 4
(c) 9y2 + z2 = 16
(d) y2 + z2 = x2
(e) x = y2 − z2
(f) x = −y2 − z2
(g) x2 + 2z2 = 8
(h) z2 + x2 − y2 = 1
(i) x = z2 − y2
(j) z = −4x2 − y2
(k) x2 + 4z2 = y2
(l) 9x2 + 4y2 + 2z2 = 36
43. (a)
(b)
(c)
(d)
11
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
44. Desenhe as superf´ıcies nos pro´ximos exerc´ıcios. (12.6; Pa´g. 218)
12
(a) x2 + y2 = 4
(b) z = y2 − 1
(c) x2 + 4z2 = 16
(d) z2 − y2 = 1
(e) 9x2 + y2 + z2 = 9
(f) 4x2 + 9y2 + 4z2 = 36
(g) z = x2 + 4y2
(h) z = x2 + 4y2
(i) z = 8− x2 − y2
(j) x = 4− 4y2 − z2
(k) x2 + y2 = z2
(l) 4x2 + 9z2 = 9y2
(m) x2 + y2 − z2 = 1
(n) (y2/4) + (z2/9)− (x2/4) = 1
(o) (x2/4) + (y2/4)− (z2/9) = 1
(p) z2 − x2 − y2 = 1
(q) x2 − y2 − (z2/4) = 1
(r) y2 − x2 = z
(s) x2 + y2 + z2 = 4
(t) z = 1 + y2 − x2
(u) y = −(x2 + z2)
(v) 16x2 + 4y2 = 1
(w) x2 + y2 − z2 = 4
(x) x2 + z2 = y
(y) x2 + z2 = 1
(z) 16y2 + 9z2 = 4x2
45. Desenhe a superf´ıcie nos exerc´ıcios abaixo. (12.6; Pa´g 218)
(a) 9x2 + 4y2 + z2 = 36
(b) x2 + y2 − 16z2 = 16
(c) z = −(x2 + y2)
(d) x2 − 4y2 = 1
(e) 4y2 + z2 − 4x2 = 4
(f) x2 + y2 = z
(g) yz = 1
(h) 9x2 + 16y2 = 4z2
46. (12.6; Pa´g. 218)
(a) Expresse a a´rea A da sec¸a˜o transversal cortada do elipso´ide
x2 +
y2
4
+
z2
9
= 1
pelo plano z = c como uma func¸a˜o de c. (A a´rea de uma elipse com semi-eixos
a e b e´ piab.)
13
(b) Use fatias perpendiculares ao eixo z para encontrar o volume do elipso´ide no
item (a).
(c) Agora encontre o volume do elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
Sua fo´rmula da´ o volume de uma esfera de raio a se a = b = c?
47. Nos exerc´ıcios a seguir, r(t) e´ a posic¸a˜o de uma part´ıcula no plano xy no instante t.
Encontre equac¸o˜es em x e y cujo gra´fico represente a trajeto´ria da part´ıcula. Depois
encontre os vetores acelerac¸a˜o e velocidade da part´ıcula no instante t dado. (13.1;
Pa´g. 238)
(a) r(t) = (t+ 1)i + (t2 − 1)j, t = 1
(b) r(t) = eti +
2
9
e2tj, t = ln 3
48. Nos exerc´ıcios a seguir, deˆ os vetores posic¸a˜o de part´ıculas movendo-se ao longo de
va´rias curvas no plano xy. Em cada um dos casos, encontre os vetores velocidade e
acelerac¸a˜o da part´ıcula nos intervalos dados e esboce-os como vetores sobre a curva.
(13.1; Pa´g. 238)
(a) Movimento no c´ırculo x2 + y2 = 1
r(t) = (sen t)i + (cos t)j; t = pi/4 e pi/2
(b) Movimento na ciclo´ide x = t - sen t, y = 1 - cos t
r(t) = (t− sen t)i + (1− cos t)j; t = pi e 3pi/2
49. Nos exerc´ıcios a seguir, r(t) e´ a posic¸a˜o de uma part´ıcula no espac¸o no instante t.
Encontre os vetores velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula. Depois encontre o mo´dulo
da velocidade e a direc¸a˜o do movimento ao valor de t dado. Escreva a velocidade
da part´ıcula naquele instante como o produto do mo´dulo de sua velocidade e de sua
direc¸a˜o. (13.1; Pa´g. 238)
14
(a) r(t) = (t+ 1)i + (t2 − 1)j + 2tk, t = 1
(b) r(t) = (2 cos t)i + (3 sen t)j + 4tk, t = pi/2
(c) r(t) = (2 ln(t+ 1))i + t2j +
t2
2
k, t = 1
50. Nos exerc´ıcios a seguir, r(t) e´ a posic¸a˜o de uma part´ıcula no espac¸o no instante t.
Encontre o aˆngulo entre os vetores acelerac¸a˜o e velocidades no instante t = 0. (13.1;
Pa´g. 239)
(a) r(t) = (3t+ 1)i +
√
3tj + t2k
(b) r(t) = (ln(t2 + 1))i + (tg−1 t)j +
√
t2 + 1k
51. No exerc´ıcio a seguir, r(t) e´ o vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula no espac¸o no instante
t. Encontre o instante (ou os instantes), ao intervalo de tempo dado, em que os
vetores velocidade e acelerac¸a˜o sa˜o ortogonais. (13.1; Pa´g. 239)
(a) r(t) = (t− sen t)i + (1− cos t)j, 0 ≤ t ≤ 2pi
52. Calcule as integrais nos exerc´ıcios abaixo. (13.1; Pa´g. 239)
(a)
∫ 1
0
[
t3i + 7j + (t+ 1)k
]
dt
(b)
∫ pi
4
−pi
4
[
(sen t)i + (1 + cos t)j + (sec2 t)k
]
dt
(c)
∫ 4
1
[
1
t
i +
1
5− tj +
1
2t
k
]
dt
53. Resolva os problemas de valor inicial nos exerc´ıcios a seguir para r como uma func¸a˜o
vetorial de t. (13.1; Pa´g. 239)
(a) Equac¸a˜o diferencial:
dr
dt
= −ti− tj− tk
Condic¸a˜o inicial: r(0) = i + 2j + 3k
(b) Equac¸a˜o diferencial:
dr
dt
=
3
2
(t+ 1)1/2i + e−tj +
1
t+ 1
k
Condic¸a˜o inicial: r(0) = k
15
(c) Equac¸a˜o diferencial:
d2r
dt2
= −32k
Condic¸a˜o inicial: r(0) = 100k e
∣∣∣∣drdt
∣∣∣∣
t=0
= 8i + 8j
54. A reta tangente a uma cuva lisa r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k em t = t0 e´ a reta
que passa pelo ponto (f(t0), g(t0), h(t0)) e e´ paralela a v(t0), o vetor velocidade da
curva em t0. Nos exerc´ıcios a seguir, encontre equac¸o˜es parame´tricas para a reta
que e´ tangente a` curva dada em dado valor parame´trico t = t0. (13.1; Pa´g. 239)
(a) r(t) = (sen t)i + (t2 − cos t)j + etk, t0 = 0
(b) r(t)= (a sen t)i + (a cos t)j + btk, t0 = 2pi
55. Cada uma das equac¸o˜es de (a) a (e) descreve o movimento de uma part´ıcula que
tem a mesma trajeto´ria - o c´ırculo unita´rio x2 + y2 = 1. Embora a trajeto´ria de
cada part´ıcula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a ”dinaˆmica”, de
cada part´ıcula e´ diferente. Para cada part´ıcula, responda a`s questo˜es a seguir (i a
iv). (13.1; Pa´g. 239)
(a) r(t) = (cos t)i + (sen t)j, t ≥ 0
(b) r(t) = cos (2t)i + sen (2t)j, t ≥ 0
(c) r(t) = cos (t− pi/2)i + sen (t− pi/2)j, t ≥ 0
(d) r(t) = (cos t)i− (sen t)j, t ≥ 0
(e) r(t) = cos (t2)i + sen (t2)j, t ≥ 0
i. A part´ıcula tem mo´dulo de velocidade constante? Em caso afirmativo,
qual mo´dulo?
ii. O vetor acelerac¸a˜o da part´ıcula e´ sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii. A part´ıcula se move no sentido hora´rio ou anti-hora´rio ao redor do c´ırculo?
iv. A part´ıcula comec¸a no ponto (1, 0)?
56. No instante t = 0, uma part´ıcula esta´ localizada no ponto (1, 2, 3) Ela percorre uma
linha reta ate´ o ponto (4, 1, 4), tem mo´dulo de velocidade 2 em (1, 2, 3) e acelerac¸a˜o
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constante 3i− j + k. Encontre uma equac¸a˜o para o vetor posic¸a˜o r(t) da part´ıcula
no instante t. (13.1; Pa´g. 240)
57. Movimento ao longo de uma para´bola
Uma part´ıcula se move ao longo do topo de uma para´bola y2 = 2x da esquerda
para a direita a uma velocidade constante de 5 unidades por segundo. Encontre a
velocidade da part´ıcula enquanto ela se move sobre o ponto (2, 2). (13.1; Pa´g. 240)
58. Movimento ao longo de uma elipse
Uma part´ıcula se move ao longo da elipse (y/3)2 + (z/2)2 = 1 no plano yz de tal
maneira que sua posic¸a˜o no instante t seja
r(t) = (3 cos t)j + (2 sen t)k.
Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo de |v| e |a|. (Sugesta˜o: Encontre os valores
extremos |v|2 e |a|2 primeiro e extraia a raiz quadrada depois.) (13.1; Pa´g. 240)
Todos os exerc´ıcios foram extra´ıdos do livro Ca´lculo, volume 2,
de George B. Thomas. A sec¸a˜o e pa´gina de cada exerc´ıcio
encontra-se dispon´ıvel apo´s o enunciado, entre pareˆnteses, para
que o gabarito possa ser consultado.
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