p2 calculo numerico 15_1

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N.o: 69 Área 2 – Cálculo Numérico – 2015/1 – Nome:
Q. 1. Considere os pontos x = −1 : 0.1 : 2.5; y = −10 cos(x) + sin(20x);
a) Encontre a curva f(x) = a+ bx que melhor se ajusta a esses dados.
b) Estime o valor do ajuste em x =
√
5.
c) Encontre a curva g(x) = Ceax − 7 que melhor se ajusta a esses dados.
d) Encontre a curva h(x) = a+ bx2 que melhor se ajusta a esses dados.
Q. 2. Conside a matriz A=[6,1,1; 1, 6, 1; 3,0,6]; e o método da potência com translação.
a) Uando x = [1, 0, 0] e σ = −7. Obtenha o autovalor de A para qual a sequência converge.
b) Estime L tal que para σ < L encontramos o menor autovalor e para σ > L encontramos o maior autovalor.
Q. 3. Considere os vetores x = [0, 1, 2, 3] e y = [sin(0), sin(1), sin(2), sin(3)].
a) Interpole o valor em x = 1.7 utilizando todos os pontos.
b) Estime o valor de x < 1.5 tal que y(x) = 0.7.
Q. 4. Considere o custo de uma comparação (<,>,==) igual ao custo de 1 flop.
1. n=147
2. for k=1:n-1
3. . M=A(k,k); im=k; jm=k;
4. . for i=1:k
5. . . for j=1:k
6. . . . if A(i,j)>M then
7. . . . . im=i; jm=j;
8. . . . end
9. . . end
10. . end
11. . B( k,k:n)=A(im,k:n);
12. end
a) Quantos flops são necessários nas linhas 5-9, quando k = n?
b) Quantos flops são necessários nas linhas 4-10, quando k = 5 ?
c) Quantos flops são necessários nas linhas 4-10, quando k = 1 ?
d) Quantos flops são necessários para o algoritmo todo (linhas 1-12)?
Q. 5. Considere as matrizes e os vetores
B= ones(4,4); bu=(1:4)’
I= eye(4,4); bd=(5:8)’;
Z=zeros(4,4);
C=3*I+B
Mx =
(
C B
0 C
)(
xu
xd
)
=
(
bu
bd
)
= b
a) Estime a solução de Cxd = bd.
b) Estime a solução de Mx = b
c) Explique resumidamente como reduzir o custo do item b) através da solução de sistemas menores.
d) Assumindo que resolver o sistema com LU é O(n3/3), qual o custo da solução no item c).