Lista 6 - Otimização Não Linear - Problemas em Uma Variável

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LISTA 6 
 
Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca 
Departamento de Engenharia de Produção 
Disciplina: Pesquisa Operacional II 
Tema: Introdução à Otimização Não Linear; Problemas em Uma Variável 
Professor: Ormeu Coelho 
1 – Empregue o método da Secção Áurea para aproximar a solução ótima do programa não linear 
abaixo descrito, considerando um intervalo de incerteza não superior a 𝜖 = 0,8. 
max 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 
s. a.: −3 ≤ 𝑥 ≤ 5 
2 – Empregue o método da Secção Áurea para aproximar a solução ótima do programa não linear 
abaixo descrito, considerando um intervalo de incerteza não superior a 𝜖 = 0,6. 
max 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑒𝑥 
s. a.: −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 
3 – Seriam necessárias no mínimo quantas iterações para aproximar as soluções dos exercícios 1 e 2 
com um intervalo de incerteza 𝜖 = 0,1? 
4 – Considere a função definida por 𝑓(𝑥) = 48𝑥 − 60𝑥2 + 𝑥3. 
(a) Use as derivadas primeira e segunda para determinar um mínimo local de 𝑓(𝑥). 
(b) Use as derivadas primeira e segunda para mostrar que 𝑓(𝑥) não possui ponto extremo ℝ. 
5 – O custo de produzir 𝑥 unidades de um produto durante um mês é 𝑥2 dólares. Encontre o 
método de custo mínimo de produzindo 60 unidades durante os próximos três meses. Você pode 
generalizar esse resultado para o caso em que o custo de produção 𝑥 unidades durante um mês é 
uma função convexa crescente? 
6 – Empregue o método da Secção Áurea para aproximar as soluções dos problemas de PNL 
indicados abaixo, considerando um intervalo de confiança não superior a 𝜖 = 0.04. 
(a) max 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2 
s. a.: 0 ≤ 𝑥 ≤ 4,8 
 
(b) max 𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 7𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 
s. a.: −4 ≤ 𝑥 ≤ 1 
7 – Cinco dos principais clientes de uma loja estão localizados como na figura abaixo. Determine a 
localização da loja de modo a minimizar a soma dos quadrados das distâncias que cada cliente teria 
que viajar para até ela. Você pode generalizar esse resultado no caso de 𝑛 clientes localizados nos 
pontos 𝑥1, 𝑥2,, . . . , 𝑥𝑛? 
 
 
 
3 4 5 3 17 
8 – Acerca das funções abaixo descritas, mostre que: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é uma função convexa em ℝ. 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 é uma função convexa em ℝ. 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥1/2 é uma função côncava em ℝ+. 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é ao mesmo tempo convexa e côncava em ℝ. 
 
9 – Diga se as funções abaixo são côncavas, convexas ou se não se encaixam em nenhuma das duas 
definições. 
a) 𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
2 + 3𝑥1𝑥2 + 𝑥2
2 , tal que (𝑥1, 𝑥2) ∈ ℝ
2. 
b) 𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
2 + 𝑥2
2, tal que (𝑥1, 𝑥2) ∈ ℝ
2. 
c) 𝑓(𝑥1, 𝑥2) = −𝑥1
2 − 𝑥1𝑥2 − 2𝑥2
2 , tal que (𝑥1, 𝑥2) ∈ ℝ
2. 
d) 𝑓(𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3) = −𝑥1
2 − 𝑥2
2 − 2𝑥3
2 +
1
2
𝑥1𝑥2, tal que (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ ℝ
3. 
 
10 – Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥1
2 + 𝑏𝑥1𝑥2 + 𝑐𝑥2
2 definida em ℝ2. Para quais valores dos 
coeficientes a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥1
2 + 𝑏𝑥1𝑥2 + 𝑐𝑥2
2 será convexa? E para quais valores a mesma 
será côncava?