Mackenzie EM 2 Série - Matemática (Caderno de Atividades) - Livro do Professor - Livro 1 - Capítulo 2

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As funções 
trigonométricas 
e suas representações 
GRÁFICAS
C
A
PÍ
T
U
LO
 2
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 201
PRIMEIRAS IDEIAS
32. Determine quantos pontos es-tão na intersecção do gráfico da 
função 
e o gráfico da função:
A. b. 
C. 
1 1
infinitos
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒙
𝒚
2
3
4
5
6
1
–1
–2
𝒙
𝒚
2
3
4
5
1
–2
–1
202 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
33. Determine os valores de a, b, c e d em cada uma das seguintes funções, cujos 
gráficos estão representados abaixo:
A. 
b. 
a = 3, b = 2, pois 3 + 2 [–1, 1] = [1,5]
a = 1, b = 3, c = 2, pois 1 + 3 [–1, 1] = [–2,4] e o período 
da função f(x) = sen x ficou dividido por 2.
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒙
𝒚
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
𝒚
A
B C 𝒙
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 203
C. , 
sendo o menor valor positivo possível.
34. Determine a área do triângulo que tem vértices nos pontos , B e C, em que B e C são as intersecções 
do gráfico da função com o 
eixo das abscissas.
a = –2, b = 1, c = 2, d = , pois –2 + 1 [–1, 1] = [–3,–1] 
e o período ficou dividido por 2 e houve um deloca-
mento de unidades para a esquerda (em relação à 
função f(x) = cos x).
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒚
𝒙
204 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
35. Determine o número de intersecções dos gráficos das funções f e g, com 
domínio no intervalo , tais que 
 e .
36. Um arco , do quarto quadrante, é tal que sec x = 2. Determine:
A. C. b. d. e. 
1
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒚
𝒙5
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 205
37. Construa o gráfico da função , definida .
38. Determine o período e a imagem de cada uma das seguintes funções. Para os casos 
em que houver uma constante a, determi-
ne se essa constante é par, ímpar ou se 
pode assumir qualquer valor inteiro.
A. 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
206 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
b. e. 
C. f. 
d. g. 
é ímpar
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 207
h. 
i. 
j. 
39. (Enem PPL 2014) Uma pessoa usa um programa de computa-
dor que descreve o desenho da 
onda sonora correspondente a 
um som escolhido. A equação 
da onda é dada, num sistema 
de coordenadas cartesianas, 
por em 
que os parâmetros são 
positivos. O programa permite 
ao usuário provocar mudanças 
no som, ao fazer alterações nos 
valores desses parâmetros. A 
pessoa deseja tornar o som 
mais agudo e, para isso, deve 
diminuir o período da onda.
O(s) único(s) parâmetro(s) que 
necessita(m) ser alterado(s) é(são) 
A. .
b. .
C. .
d. e .
e. e .
é par 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
208 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
40. (Fuvest 1995) Dentre os números abaixo, o mais próximo de sen 50o é: 
A. 0,2
b. 0,4
C. 0,6
d. 0,8
e. 1,0 
41. (FGV 2005) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de 
clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos da-
dos observados, estima-se que o número de 
clientes possa ser calculado pela função trigono-
métrica , onde 
 é o número de clientes e , a hora da obser-
vação ( é um inteiro tal que ).
Utilizando essa função, a estimativa da diferença 
entre o número máximo e o número mínimo de 
clientes dentro do supermercado, em um dia 
completo, é igual a
A. 600.
b. 800.
C. 900.
d. 1 500.
e. 1 600.
42. (Fuvest 1997) Sendo 9__10 , com __
2
, tem-se
A. 
 
b. 
 
C. 
 
d. 
 
e. sen 2α < sen α < sen π__
 3
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
4
𝒚
𝒙
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 209
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
43. (Fuvest 1996) A figura abaixo mostra parte do gráfico da função:
44. (VUNESP 2004) Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura h em metros de seu 
amigo em relação ao solo é dada pela expressão 
 , onde o tempo é dado em segundos e a medida angu-
lar em radianos.
A. Determine a altura em que seu amigo estava 
quando a roda começou a girar ( ).
b. Determine as alturas mínima e máxima que 
seu amigo alcança e o tempo gasto em uma 
volta completa (período). 
6,5 m.
O período da função é igual a 2π/(π/12) = 24. A altura 
mínima: 1,5 m; altura máxima: 21,5 m; período: 24 s.
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
X
O
M
�
210 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
45. (Unifesp 2002) Seja a função f: dada por f (x) = sen x.
Considere as afirmações seguintes.
1. A função f (x) é uma função par, isto é, 
f (x) = f (–x), para todo x real.
2. A função f (x) é periódica de período 2π , 
isto é, f (x + 2π) = f (x), para todo x real.
3. A função f (x) é sobrejetora.
4. f (0) = 0, f ( 3
π) = 32 e f ( 2
π) = 1.
São verdadeiras as afirmações
A. 1 e 3, apenas.
b. 3 e 4, apenas.
C. 2 e 4, apenas.
d. 1, 2 e 3, apenas.
e. 1, 2, 3 e 4.
A. d. 
b. e. 
C. 
46. (Fuvest 2001) O quadrado adiante tem O como centro e M como ponto médio de um de seus la-
dos. Para cada ponto X pertencente aos lados do 
quadrado, seja 𝜃 o ângulo MÔX, medido em radia-
nos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor 
representa a distância de O a X, em função de 𝜃, é: 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒚
𝒙
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 211
A. 
2
3 
b. 
2
2 
C. 
2
1 
d. 
2
1 
e. 
2
3
47. (VUNESP 1998) Sabe-se que h é o menor número positivo para o qual 
o gráfico de y = sen (x – h) é 
Então, é igual a: 
48. (VUNESP 2007) Podemos supor que um atleta, enquan-to corre, balança cada um de seus braços ritmicamente 
(para frente e para trás) segundo a equação
onde é o ângulo compreendido entre a posição do 
braço e o eixo vertical e é o tempo 
medido em segundos, . Com base nessa equação, 
determine quantas oscilações completas (para frente e 
para trás) o atleta faz com o braço em 6 segundos. 
 9
π 3
8π 4
3
8 oscilações completas.
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
212 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
49. (UEL 2006) Uma bomba de água aspira e expira água a ca-
da três segundos. O volume 
de água da bomba varia entre 
um mínimo de 2 litros e um 
máximo de 4 litros. Dentre as 
alternativas a seguir, assinale a 
expressão algébrica para o vo-
lume (y) de água na bomba, 
em função do tempo (�). 
A. 3
π 
b. 3
2π 
C. 3
π 
d. 3
2π 
e. 3
π 
50. (Unifesp 2008) Considere a função 
definida para todo x real.
A. Dê o período e o conjunto imagem da função f .
b. Obtenha todos os valores de x no 
intervalo [0,  1 ], tais que . 
O período da função é e o conjunto 
imagem é .
Para , (Não pertence ao intervalo dado.)
Para , .
Para , .
Para , (Não pertence ao intervalo dado.)
Resposta: 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
�(s)
V(L/s)
Aspiração Expiração
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 213
A. 
b. 
C. 
d. 
 
 
e. 
51. (VUNESP 2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos 
pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem 
como na quantidade de ar inalada e expelida. A veloci-
dade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um 
indivíduo está representada pela curva do gráfico, con-
siderando apenas um ciclo do processo.
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo 
de aspiração e expiração completo ocorre a cada 5 segundos e que 
a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 L/s, a ex-
pressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva 
representada na figura é: 
52. (Mackenzie 2014) Seja . Se 
 e , então vale
A. somente 1
b. somente –1
C. –1 ou 0
d. –1 ou 1
e. 1 ou 0 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
214 | MATEMÁTICA| 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
53. (Mackenzie 1996)
i. 
ii. 
iii. 
Relativamente às desigualdades 
acima, é correto afirmar que: 
A. todas são verdadeiras. 
b. todas são falsas. 
C. somente I e II são verdadeiras. 
d. somente II e III são verdadeiras. 
e. somente I e III são verdadeiras. 
54. (VUNESP 2003) Uma máquina produz diariamente dezenas de certo tipo 
de peças. Sabe-se que o custo de pro-
dução e o valor de venda 
são dados, aproximadamente, em 
milhares de reais, respectivamente, 
pelas funções:
O lucro, em reais, 
obtido na produ-
ção de 3 dezenas 
de peças é
A. 500
b. 750
C. 1 000
d. 2 000
e. 3 000
55. (Fuvest 1995) O menor valor de , com real, é: 
A. 
b. 
C. 
d. 1
e. 3
56. (FGV 2005) Considere a fun-ção . Os 
valores máximo e mínimo de 
 são, respectivamente:
A. 1 e −1
b. 1 e 0
C. 2 e – 
d. 2 e 0
e. 2 e 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒙
𝒚
–2
2
0 6
P
Q
𝒚
𝒙2 3 4 5 610
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 215
57. (VUNESP 2003) Observe o gráfico.
Sabendo-se que ele representa uma 
função trigonométrica, a função é
A. –2 cos (3x)
b. –2 sen (3x)
C. 2 cos (3x)
d. 3 sen (2x)
e. 3 cos (2x)
58. (Mackenzie 2009) Considerando o esboço do gráfico da função , entre e a 
reta que passa pelos pontos P e Q define com 
os eixos coordenados um triângulo de área:
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
2
3
1
0
216 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
59. (Mackenzie 1998) A função real definida por f (x) = k ∙ cos (px), 
k > 0 e p tem período 7π e 
conjunto imagem [–7,7]. Então, 
k ∙ p vale: 
A. 7
b. 7––
2
C. 2
d.
 
2––
7
e. 14
60. (FGV 2010) 
A. Construa o gráfico das funções 
f (x) = 2 + sen x e 
g (x) = 2 + cos 2x para 0 ≤ x 2π .
b. Admita que f (x) e g(x) indiquem as co-
tações das ações das empresas F e G na 
bolsa de valores de São Paulo no inter-
valo de horas 0 ≤ x ≤ 2π (x = 0 indica 
12h00 e x = 2π ≈ 6 ,28 indica, aproxi-
madamente, 18h17). Determine 
alge bricamente (equações e/ou inequa-
ções) o intervalo de horas, com 
0 ≤ x ≤ 2π , em que a cotação das ações 
da empresa F foi maior ou igual à cota-
ção das ações da empresa G. 
12h31min ≤ x ≤ 14h37min
ou x = 16h43min.
g
f
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒚
𝒙
�
0
B
P
M A
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 217
61. (Mackenzie 1998) Se e são números reais positivos tais que 
o conjunto imagem da função 
f (x) = 2k + p ∙ cos (px + k) é 
[–2, 8], então o período de é: 
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
62. (FGV 2013) No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco 
mede . Assim, PM é igual a
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
A. 
b. 
C. 
d. 
e. 
63. (Fuvest 1998) Qual das afirmações a seguir é verdadeira? M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
� B
P
O
T
A
t
r
u
v
z
s
218 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2
64. (Mackenzie 1997) Dentre os valores 
abaixo, assinale 
aquele que mais 
se aproxima de 
.
A. −0,4
b. 
C. 
d. 1
e. 0,5
65. (Mackenzie 2001) 
i. 
ii. 
iii. 
Das afirmações acima: 
A. todas são verdadeiras. 
b. todas são falsas. 
C. somente II e III são verdadeiras. 
d. somente II é verdadeira. 
e. somente I e II são verdadeiras. 
66. (AFA 2012) Considere A o conjunto mais amplo possível na função real , dada por . Sobre a função é correto afir-
mar que
A. 
b. é periódica com período igual a . 
C. é decrescente se 
.
d. é ímpar. 
67. (AFA 2014) No ciclo trigonométrico da figura abaixo acrescentou-se as 
retas r, s, t e z. 
Nestas condições, a soma das 
medidas dos três segmentos em 
destaque, AT, TP e PB, pode ser 
calculada, como função de por:
A. 
b. 
C. 
d. 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e
𝒚
�
B
C
A1
1 𝒙
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 1 | CAPÍTULO 2 | 219
68. (AFA 2013) Sejam as funções reais f, g e h defi-nidas por , , e 
 , nos seus domínios mais am-
plos contidos no intervalo . 
A(s) quantidade(s) de interseção(ões) dos gráficos 
de f e g; f e h; g e h é (são), respectivamente
A. 0, 0 e 4
b. 3, 1 e 4
C. 2, 3 e 4
d. 0, 2 e 3 
69. (Unifesp 2003) Com base na figura, que representa o círculo trigonométrico e os 
eixos da tangente e da cotangente,
A. calcule a área do triân-
gulo ABC, para .
b. determine a área do tri-
ângulo ABC, em função 
de 4
π 2
π .
 
 
M
at
er
ia
l p
ar
a 
an
ál
is
e