matematica_simulado de funções

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PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do 
detentor dos direitos autorais.
Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores 
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
 Márcio F. Santiago Calixto
 Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila 
 Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
 Haroldo Costa Silva Filho
 Jayme Andrade Neto
 Renato Caldas Madeira
 Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
 Marco Antonio Noronha
 Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
 Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
 Hélio Apostolo
 Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva 
 Marcelo Piccinini 
 Rafael F. de Menezes
 Rogério de Sousa Gonçalves
 Vanessa Silva
Geografia	 	 	 Duarte	A.	R.	Vieira
 Enilson F. Venâncio
 Felipe Silveira de Souza 
 Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — 
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
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Funções: Função 
Afim, Função 
Inversa e Função 
Composta
Funções
Pode-se entender uma função como um dispo-
sitivo que responde a perguntas com duas caracte-
rísticas especiais: toda pergunta tem resposta e a 
resposta a cada pergunta é única.
Isso faz com que as funções sejam amplamente 
utilizadas tanto em Matemática como em outras ciên-
cias, pois permitem representar por meio de números 
os fenômenos observados em experimentos.
Definição: Seja f uma relação de A em B, isto é, 
f ⊂ A x B, dizemos que f é uma função de A em B se, 
e somente se, para todo elemento x ∈ A existir um só 
elemento y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f, ou seja, y = f (x).
Portanto, para que uma relação de A em B seja 
uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja asso-
ciado um único y ∈ B.
Entretanto, pode existir y ∈ B que não este-
ja associado a nenhum elemento pertencente ao 
conjunto A ou que esteja associado a mais de um 
elemento de A.
Os dois diagramas seguintes representam 
relações de A em B, mas não funções de A em B. O 
primeiro porque existe um elemento de A que não 
está associado a nenhum elemento de B, e o segundo 
porque existe um elemento de A que está associado 
a mais de um elemento de B.
A
Bfa 
b 
c 
d 
e 
f
A
Bfa 
b 
c 
d 
e 
f
O diagrama de flechas a seguir representa uma 
relação de A em B que também é uma função de A 
em B:
A
B
fa 
b 
c 
d 
e 
f
Domínio de f: D (f) = A
Contradomínio de f: B
Imagem de f: Im(f) ⊂ B
O domínio de f é o conjunto dos elementos de 
A que são os primeiros termos dos pares ordenados 
ou o conjunto origem das flechas.
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O conjunto B é chamado contradomínio de f 
que são os segundos termos dos pares ordenados 
do produto cartesiano ou o conjunto dos possíveis 
destinos das flechas.
O conjunto imagem é um subconjunto de B 
formado pelos elementos que são segundos termos 
dos pares ordenados da função ou o conjunto dos ele-
mentos que são efetivamente destino de flechas.
No diagrama acima deve-se observar que de 
todo elemento do conjunto A deve partir exatamente 
uma flecha. Já os elementos do conjunto B podem 
receber uma ou mais flechas ou até não receber 
nenhuma flecha.
Notação:
f: A → B ou f = {(x , y)∈AxB  y = f (x)}
x → f(x)
Chamam-se funções reais de variável real, 
aquelas cujo domínio e contradomínio são subcon-
juntos dos reais.
Nesse caso, costuma-se definir a função apenas 
pela “regra de correspondência” e adota-se como 
domínio o maior subconjunto possível de R.
As funções reais de variável real podem ser 
representadas graficamente no plano cartesiano or-
togonal. O gráfico da função é composto por todos 
os pares ordenados que compõem a função.
Em virtude da definição de função, toda reta 
vertical, que passa por um ponto do domínio, in-
tercepta o gráfico da função em exatamente um 
ponto.
A análise do gráfico da função permite identi-
ficar o seu domínio e a sua imagem, como pode ser 
visto a seguir:
Zero ou raiz da função é o número x, cuja ima-
gem é nula, isto é, f(x) = 0. Esses pontos são identi-
ficados como os pontos onde o gráfico intercepta o 
eixo das abscissas (Ox).
É possível, também, identificar o sinal da função 
em cada trecho do domínio. Os pontos de imagem 
positiva encontram-se acima do eixo das abscissas 
(parte positiva do eixo das ordenadas) e os de ima-
gem negativa abaixo (parte negativa do eixo das 
ordenadas).
– – 1 2 4 7
y = f (x)
x–
++ +
Funções iguais
Duas funções f e g são iguais se, e somente se, 
tiverem o mesmo domínio, e f(x) = g(x) para todo 
x no domínio. Isso é equivalente a dizer que todos 
os pares ordenados que compõem as funções são 
iguais.
Funções monotônicas
Chama-se monotônica ou monótona a função que 
é sempre crescente ou decrescente no seu domínio.
Seja a função f: A → B
f é1) crescente (não-decrescente) se ∀ x, y ∈ 
A, tais que x < y ⇒ f (x) ≤ f (y).
f é 2) decrescente (não-crescente) se ∀ x, y ∈ 
A, tais que x < y ⇒ f (x) ≥ f (y).
f é 3) estritamente crescente (crescente) se ∀ 
x, y ∈ A, tais que x < y ⇒ f (x) < f (y).
f é4) estritamente decrescente (decrescente) 
se ∀ x, y ∈ A, tais que x < y ⇒ f (x) > f (y).
São funções crescentes f(x) = 3x – 1, f(x) = 2x 
e f(x) = x3.
São funções decrescentes f(x)=–2x + 5, f(x) = 
(1/2)x e f(x) = –x3.
As funções f(x) = x2 e f(x) = sen x não são cres-
centes e nem decrescentes em R. 
Esses conceitos acima mencionados são facil-
mente notados no gráfico da função. Nas funções 
crescentes o gráfico “sobe” para a direita, enquanto 
nas funções decrescentes o gráfico desce para a 
direita.
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yy
x x00
Já a função a seguir não é monótona, pois é 
decrescente numa parte do domínio e crescente em 
outra.
y
x0
Paridade
Seja A um conjunto tal que x ∈ A ⇒ −x ∈ A e 
a função f: A → B
f é par ⇔ f(–x) = f(x), ∀x ∈ A → o gráfico é 
simétrico em relação ao eixo Oy, pois (x, y) ∈ f ⇔ 
(–x, y) ∈ f.
f é ímpar ⇔ f(–x) = –f(x), ∀x ∈ A → o gráfico 
é simétrico em relação à origem, pois (x,y) ∈ f ⇔ 
(–x,–y) ∈ f.
Se uma função não é nem par nem ímpar, dize-
mos que ela não possui paridade.
São funções pares f(x) = x2 e f(x) = cos x. São 
funções ímpares f(x) = x3 e f(x) = sen x. A função f(x) 
= x2 + x – 1 não é par nem ímpar.
Abaixo são mostrados gráficos desses dois tipos 
de funções:
y
x0
y
x0
f(x) = x2 → par
 f(x) = sen x → ímpar
Tipologia das funções
Sejam a função f: A → B
f é sobrejetora quando todo elemento de B está 
associado por f a pelo menos um elemento de A, ou 
seja, quando a imagem é igual ao contradomínio. No 
diagrama, todo elemento recebe seta. No gráfico, 
retas horizontais traçadas no contradomínio inter-
ceptam o gráfico em pelo menos um ponto. n(A) ≥ 
n(B), se A e B forem finitos.
f é sobrejetora ⇔ ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A tal que (x, y) 
∈ f ou y = f (x)
f é injetora quando elementos distintos de A 
estão associadosa elementos distintos de B. No 
diagrama, não há elemento em B que receba mais 
de uma seta. No gráfico, retas horizontais cruzam 
seu gráfico em no máximo um ponto. n(A) ≤ n(B), se 
A e B forem finitos.
f é injetora ⇔ ∀ x1 , x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f 
(x2) ou ∀ x1 , x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
f é bijetora se, e somente se, for sobrejetora e 
injetora. Todo elemento de B está associado por f a 
um único elemento de A. No diagrama, todo elemento 
de B recebe uma seta. No gráfico, retas horizontais 
traçadas pelo contradomínio cruzam o gráfico em 
exatamente um ponto. n(A) = n(B), se A e B forem 
finitos.
Os diagramas de flechas abaixo exemplificam 
essas definições:
1) Sobrejetora
a 
b 
c 
A B
f
d 
e 
2) Injetora
a 
b 
c 
A B
d 
e 
f
g
f
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3) Bijetora
a 
b 
c 
A B
d 
e 
f
f
Função limitada
A função f é limitada se ∃ K > 0, tal que ∀ x ∈ 
D (f) ⇒f (x)  < K.
A função f(x) = sen x é uma função limitada, 
pois ∀x ∈ R, –1 ≤ sen x ≤ 1. A função f(x) = x2 não é 
limitada, pois ∀ k > 0, ∃ x, tal que f(x) = x2 > k.
Função periódica
A função f é periódica ⇔ ∃ p > 0 tal que f (x) = f(x 
+ p), ∀x ∈ D (f).
Isso significa que os valores da função se repe-
tem em intervalos de tamanho p.
O menor número positivo p é chamado período 
da função.
Os exemplos mais comuns de funções perió-
dicas são as funções trigonométricas. A função f(x) 
= sen x, por exemplo, é uma função periódica de 
período 2π.
Função definida por várias 
sentenças abertas
Uma função f pode ser definida por várias sen-
tenças abertas, cada uma das quais ligada a um 
domínio Di contido no domínio de f.
Exemplo: `




≥
<≤
<
=→
1x para 1
1 x 0 para 2
0 x para 1
 f(x) que tal R Rf:
Função constante
É a função que assume o mesmo valor em todo 
o seu domínio.
f (x) = c, ∀ x ∈ D(f)
O gráfico de uma função constante com domínio 
nos reais é uma reta paralela ao eixo dos x (horizon-
tal) e passando pelo ponto (0, c). Sua imagem é o 
conjunto Im = {c}. 
Exemplo: `
f(x) = 5 e f(x) = –3
y
x
(0, c)
0
No estudo das funções, muitas vezes é neces-
sário saber que valor do domínio leva a determinado 
resultado na imagem. A função inversa associa os 
valores da imagem aos do domínio.
Novamente, pensando na função como um 
dispositivo que responde a perguntas, a função 
inversa poderia ser entendida como um dispositivo 
que informa qual a pergunta, dado que a resposta 
é conhecida.
A função composta também é de grande impor-
tância, pois diversos processos ocorrem por meio da 
aplicação sucessiva de funções. A função composta 
permite identificar o resultado dessas diversas fun-
ções como se fossem uma única função.
Função composta
Dados os conjuntos A, B e C e as funções f: A → 
B definida por y = f (x) e g: B → C definida por z = g 
(y), chama-se função composta de g com f a função 
h = (g o f) : A → C, definida por:
z = (g o f) (x) = g (f (x))
Assim, a função (gof) pode ser entendida como 
uma função única que apresenta o mesmo resultado 
que as aplicações sucessivas de f e g.
A função (gof) só é definida quando a imagem 
de f está contida no domínio de g.
Os conceitos acima podem ser melhor entendi-
dos observando-se o diagrama de flechas a seguir:
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2 •
3 •
4 •
1 •
2 •
3 •
4 •
• 0
• 2
• 4
• 6
• 8 
A
B
C
f
g
h = gof
A composição de funções não é comutativa: g o 
f ≠ f o g. Pode acontecer também que somente uma 
das funções (fog) ou (gof) esteja definida.
A sentença aberta que define (gof) (x) = g (f (x)) 
é obtida de g(x) substituindo-se x pela expressão 
de f (x).
Exemplo: `
Sejam as funções reais f(x) = x2 + 4x – 5 e g(x) = 2x – 3. 
As expressões de (fog) e (gof) podem ser calculadas 
como segue:
(fog) (x) = f(g(x)) = f (2x – 3) = (2x – 3)2 +4⋅(2x – 3) 
– 5 = 4x2 – 4x – 8 
(gof) (x) = g(f(x) = g(x2 + 4x – 5) = 2 . ( x2 – 4x – 5) – 3 
= 2x2 + 8x – 13
Função inversa
Se f é uma função bijetora de A em B, a relação 
inversa de f é uma função de B em A chamada função 
inversa de f e denotada por f-1 e também é bijetora.
(x , y) ∈ f ⇔ (y , x) ∈ f – 1
Uma função só possui inversa se ela for bi-
jetora.
A função inversa é composta pelos pares orde-
nados obtidos pela inversão da ordem dos elementos 
dos pares ordenados da função original. Assim, se a 
função f: A → B associa cada elemento x ∈ A a um 
elemento correspondente y ∈ B, a função f-1, inversa 
de f, associa a cada elemento y ∈ B o elemento cor-
respondente x ∈ A.
O domínio da função inversa é a imagem da 
função original e a imagem da função inversa é o 
domínio da função original.
D (f – 1) = Im (f) e Im (f – 1) = D (f)
Esses conceitos podem ser observados nos 
diagramas de flecha seguintes:
a
b
c
d
e
f
d
e
f
a
b
c
A B B A
f f-1
As relações a seguir também são úteis:
1.ª) (f-1) -1 = f
2.ª) ∀ x ∈ A, f-1 (f (x)) = x
3.ª) ∀ x ∈ B, f (f-1 (x)) = x 
A primeira significa que a função inversa da 
função inversa é igual à função original.
A segunda e terceira relações significam que 
a composição entre a inversa e a função em qual-
quer ordem é a função identidade, ou seja, resulta 
no elemento sobre o qual a função foi aplicada.
Os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação 
à bissetriz dos quadrantes ímpares (B13 ), como pode 
ser visto no exemplo abaixo:
• –8(–2; –8)
•
•
•
y
8
2
1–2–8
–2
–1 2 8 x
(8; 2)
(2; 8)
(–8; –2)
bissetrizf: y = x3
3
xy:3–f =
Obtenção da expressão da 
função inversa
1.º Método:
Na sentença y = f(x), trocamos x por y e y por 
x, obtendo x = f(y).
Em seguida, expressamos y em função de x, 
transformando algebricamente a expressão x = f (y) 
em y = f-1 (x).
Exemplo: `
A função inversa da função bijetora f: R →→ R, definida 
por y = 2x – 4 pode ser calculada utilizando a regra 
prática:
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1.º) permutar as variáveis: x = 2y – 4
2.º) expressar y em função de x: x = 2y – 4 ⇒ 2y = x + 
4 ⇒ y = x + 4 .
 2
A função inversa é então f −1: R→R, definida por ⇒ 
y = x + 4 .
 2
2.º Método:
Basta utilizar a expressão vista anteriormente f 
(f−1 (x)) = x e então obter a expressão de f−1(x).
Exemplo: `
A função inversa da função bijetora f: → , definida por 
y = 2x – 4 também pode se calculada como segue:
f (f - 1 (x)) = x ↔ 2⋅( f -1(x)) –4 = x ↔ 
2⋅( f−1(x)) = x + 4 ↔f –1(x) = x + 4
 2
Função identidade
É uma função de R em R que a cada elemento 
x ∈ R associa o próprio x.
f (x) = x , ∀ x ∈ R
O gráfico da função identidade é a bissetriz dos 
quadrantes ímpares (β13) e sua imagem é o conjunto 
dos números reais: Im = R.
y
x
(2; 2)
(1; 1)
(0; 0)
(–1; –1)
(–2; –2)
Função linear
É uma função de R em R que a cada elemento x 
∈ R associa o elemento ax ∈ R com a ≠ 0
f (x) = a ⋅ x , a ≠ 0
O gráfico da função linear é uma reta que passa 
pela origem e sua imagem é o conjunto dos números 
reais: Im = R.
(1; 2)
(0; 0)
2
1
y
x
A função f(x) =ax, com a > 0 e definida de R+ em 
R+ é uma restrição da função linear que representa uma 
proporcionalidade. 
Sendo f(x1) = y1 e f(x2) = y2, pode-se escrever
A relação acima é chamada de proporção, as 
grandezas x e y são ditas diretamente proporcionais e 
o coeficiente a é chamado fator de proporcionalidade.
Um exemplo comum é a massa de um corpo 
que é proporcional ao seu volume e a relação entre 
eles é o fator de proporcionalidade chamado massa 
específica (ou densidade).
Função afim
É uma função de R em R definida por
f (x) = ax + b
onde a e b são constantes reais e a ≠ 0.
A função identidade (a = 1 e b = 0) e a fun-ção linear (b = 0) são casos particulares da função 
afim.
A função afim é uma função polinomial do 1.º 
grau, seu gráfico é uma reta não-paralela a nenhum 
dos eixos coordenados e sua imagem é o conjunto 
dos números reais: Im = R.
O coeficiente a é chamado coeficiente angular 
e representa a taxa de variação média da função 
∆
∆
y
x
 que é igual à tangente do ângulo de inclinação 
da reta. Sendo θ o ângulo de inclinação da reta, 
tem-se
tg θ = a
a > 0 → θ é agudo → função crescente
a < 0 → θ é obtuso → função decrescente
O coeficiente b é chamado coeficiente linear e 
é o ponto onde a reta intercepta o eixo Oy, ou seja, 
a reta passa no ponto (0, b).
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O gráfico intercepta o eixo dos x em um único 
ponto que é a raiz da equação f(x) = 0 dada por x 
= −b/a.
Abaixo são mostrados gráficos da função afim 
para a negativo e positivo.
•
•
y = ax +b
a > 0
b
–b/a x
y
θ
•
x
y
θ
•
θ
x1 x2
•
y
θ
• x-b/a
b
y = ax + b
a < 0
y
θ
x
θ
Dx
Dy
Dx

Dy



Sinais da função afim
Conhecendo o gráfico da função afim pode-se 
realizar o seu estudo de sinais, isto é, identificar o 
sinal da função em cada trecho do seu domínio, como 
representado nas figuras seguintes:
•
y > 0
y < 0
y 
x
Caso a > 0
)
a
b
–(x <
)
a
b
–(x <
)
a
b
–(x >
•
y > 0
y < 0
y 
x
Caso a < 0
)
a
b
–(x < )a
b
–(x <
)
a
b
–(x >
Posições relativas entre retas
A análise dos coeficientes angulares das retas 
permite identificar a posição relativa entre as retas.
Assim, sejam a reta r dada pela equação y = ax 
+b e a reta s dada pela equação y = a’x +b’, a relação 
entre seus gráficos é mostrada abaixo:
a = a’ e b ≠ b’ → retas paralelas
a = a’ e b = b’ → retas coincidentes
a ≠ a’ → retas concorrentes
a.a’ = −1 → retas perpendiculares
Isso permite também discutir sistemas de equa-
ções do primeiro grau a duas variáveis.
(PUC-SP) Qual dos gráficos seguintes representa uma 1. 
função de +* em ?
a) 
b) 
c) 
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d) 
e) 
Solução: ` C
O gráfico da letra a representa uma função de em +*.
O gráfico da letra b também representa uma função de 
 em +*.
O gráfico da letra c representa uma função de +* em 
 .
O gráfico da letra d representa uma função de em +.
O gráfico da letra e não representa uma função.
(FUVEST-SP)2. A figura abaixo representa o gráfico de 
uma função da forma 
 
3.x1–para
cbx
ax
f(x) ≤≤
+
+
=
 
3.x1–para
cbx
ax
f(x) ≤≤
+
+
=
••
•
•
•
y
x
– 1
– 1
– 3
1
2 3
1/5
–1/3
Pode-se concluir que o valor de b é:
-2a) 
-1b) 
0c) 
1d) 
2e) 
Solução: ` D
A análise do gráfico mostra que os pontos (–1, – 3); (0, –1) 
e (2, 0) pertencem à função. Assim,
2 a
f ( 2 ,0 ) 0 a 2
b.2 c
0 a
f ( 0 , 1) 1 c 2
b.0 c
1 2
f ( 1, 3 ) 3 b 1
b.( 1) 2
+
= = ⇒ = −
+
+
− = = − ⇒ =
+
− −
− − = = − ⇒ =
− +
(PUC-RS) O domínio da função real dada por3. 
 4–x
x1
f(x)
+ =
 é:
{xa) ∈Rx > –1 e x < 4}
{xb) ∈Rx < –1 ou x ≥ 4}
{xc) ∈Rx ≥ –1 e x ≤ 4}
{xd) ∈Rx ≤ –1 ou x > 4}
{xe) ∈Rx ≥ –1 e x < 4}
Solução: ` D
O domínio da função é o maior subconjunto dos reais 
para o qual a função é definida. Nesse caso, a expressão, 
sobre a raiz de índice par, deve ser não-negativa e o 
denominador não pode ser nulo.
O diagrama a seguir mostra a variação do espaço em 4. 
função do tempo referente a um ponto material. De-
termine:
t (s)
S (m)
6
4
0 2 6 8
o espaço inicial do movimento;a) 
o instante em que o ponto material atinge o b) 
marco zero;
o intervalo de tempo durante o qual a veoci-c) 
dade do móvel é positiva;
o intervalo de tempo durante o qual a veloci-d) 
dade do móvel é negativa;
o intervalo de tempo durante o qual o móvel e) 
se encontra em repouso.
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Solução: `
O espaço inicial é a posição em t = 0s, ou seja, a) 
s(0)= 4 m.
O instante no qual a posição do ponto material é b) 
zero, o que ocorre quando t = 8 s.
Velocidade do móvel é positiva quando o espaço c) 
aumenta com o tempo, ou seja, quando a função é 
crescente; isso ocorre entre 0 s e 2 s.
A velocidade do móvel é negativa quando o espaço d) 
diminui com o tempo, ou seja, quando a função é 
crescente; isso ocorre entre 0 s e 2 s.
O móvel está em repouso quando o valor do espaço e) 
não se altera, isto é, quando a função permanece 
constante; isso ocorre entre 2 s e 6 s.
(PUC SP) Se 5. 
x–1
1f(x)= , então (fo(fof)) (x) é igual a:
2xa) 
3xb) 
4xc) 
xd) 
-xe) 
Solução: ` D
(fo (fof) (x) = f (f (f (x) ) ) = f (f ( 1
1 – x
) )= 
f 
1
 1
1- 
1 - x
 = 
f (1 – x
– x
) = 1
1 – x
– x
 = x
1-
(CESGRANRIO) Seja f: x6. → f(x) a função cujo grá-
fico é:
y
0 x
O gráfico que mais bem representa a função inversa 
f−1: x → f−1(x) é:
a) 
x
y
0
b) 
y
0 x
c) 
y
x0
d) 
x
y
0
e) 
y
x0
Solução: ` E
Basta observarmos o gráfico da função original e procurar 
dentre as opções um gráfico que seja simétrico a ele em 
relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
O melhor gráfico é o da opção E.
A função c (x) = 5. 7. 
x – 32
9
 
pode ser usada para a 
conversão de uma temperatura x na escala Fahrenheit para 
uma temperatura na escala Celsius. A função k (x) = x + 
273 pode ser utilizada para a conversão de uma temperatura 
x na escala Celsius para uma temperatura na escala Kelvin. 
Obtenha uma expressão para a conversão direta da escala 
Fahrenheit para a escala Kelvin. Qual a temperatura em que 
essas duas escalas fornecem o mesmo valor numérico?
Solução: `
Basta efetuar a composição das funções.
K(c(x)) = K 5. x – 32
9
 = 5. x – 32
9
 + 273 = 
5x + 2297
9
Para que as duas temperaturas sejam iguais, devemos 
fazer
K(c(x)) = x ⇒ 5x + 2297
9
= x ⇒ x = 547,25° F = 547,25 k 
(UERJ-1998) A promoção de uma mercadoria em um 8. 
supermercado está representada, no gráfico abaixo, por 
seis pontos de uma mesma reta.
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•
•
•
•
•
•
150
50
5 20 30 quantidade de unidades 
compradas
valor total da compra (R$)
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, 
na promoção, pagará por unidade, em reais, o 
equivalente a:
4,50a) 
5,00b) 
5,50c) 
6,00d) 
Solução: ` A
O valor total da compra f(x) está associado à quantidade 
de unidades compradas x por uma reta. Assim,
f(x) = ax + b
Os pontos (5, 150) e (30, 50) pertencem à reta, então
f(5) = 150 ⇒ 5a + b = 150
f(30) = 50 ⇒ 30a + b = 50
Subtraindo a primeira equação da segunda:
25a = –100 ⇔ a = –4
5 (–4) + b = 150 ⇔ b = 170
Logo, f(x) = –4x + 170
Numa compra de 20 unidades, tem-se x = 20 e o valor da 
compra f(20) = –4 ⋅ 20 + 170 = 90. O valor por unidade 
será então 90/20 = 4,5.
(UNICAMP 1992) Calcule a e b positivos na equação 9. 
da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto 
(3, 1) e forme com os eixos coordenados um triângulo 
de área igual a 6.
Solução: ` a = 1 e b = 3.
Os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados 
são os pontos para os quais x = 0 e y = 0.
x = 0 ⇒ a ⋅ 0 + by = 6 ⇒ y = 6/b
y = 0 ⇒ ax + b ⋅ 0 = 6 ⇒ x = 6/a
Como mostrado no gráfico a seguir.
a
6
b
6
0 x
y
A área do triângulo é 62
a
6.
b
6
= , logo a ⋅ b = 3.
A reta passa pelo ponto (3, 1), daí 3a + b = 6 ⇒ b = 
6 – 3a
Substituindo a expressão de b na equação anterior.
a⋅(6 – 3a) = 3 ⇒ a2 – 2a + 1 = 0 ⇒ ⇒ a = 1 e 
b = 6 – 3 ⋅ 1 = 3
(UFJF 2000) O esboço de gráfico abaixo mostra a tem-10. 
peratura de uma região de 3h da madrugada até às 9h 
da manhã do mesmo dia. 
y
x
3
–5
10
0 9
Determine o horário em que a temperatura atingiu a) 
0º C.
Determine otempo em que a temperatura perma-b) 
neceu negativa.
Determine o tempo em que a temperatura perma-c) 
neceu positiva.
Solução: `
A reta passa pelos pontos (3, –5) e (9, 10). Supondo a) 
que a equação da reta seja f(x) = ax + b, tem-se:
f(3) = 3a + b = –5
f(9) = 9a + b = 10
Fazendo a segunda equação menos a primeira.
6a = 15 ⇒ a = 
5
2
3 ⋅ (5/2) + b = –5 ⇒ b = – 25
2
Logo, f (x) = 
5
2
 x –
25
2
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O horário em que a temperatura atingiu 0º C é o 
valor de x tal que f(x) = 0.
f (x) = 
5
2 x –
25
2
 = 0 ⇒ x = 5
Logo, a temperatura atingiu 0ºC às 5h.
A temperatura permaneceu negativa para 3 b) ≤ x < 5, 
ou seja, durante 2h.
A temperatura permaneceu positiva para 5 < x c) ≤ 9, 
ou seja, durante 4h.
(UNICAMP - 1999) A troposfera, que é a primeira 11. 
camada da atmosfera, estende-se do nível do mar até a 
altitude de 40 000 pés; nela, a temperatura diminui 2º C 
a cada aumento de 1 000 pés na altitude. Suponha que 
em um ponto A, situado ao nível do mar, a temperatura 
seja de 20ºC. Pergunta-se:
Em que altitude, acima do ponto A, a temperatura a) 
é de 0ºC?
Qual é a temperatura a 35 000 pés acima do mesmo b) 
ponto A?
Solução: `
Como a taxa de variação é constante, a temperatura f(x) 
pode ser relacionada com a altura x por uma função do 
1º grau.
f(x) = ax + b
temperatura ao nível do mar é 20ºC ⇒ f(0) = b = 20 a 
temperatura diminui 2º a cada aumento de 1 000 pés:
⇒ a = ∆y
∆x
 = 
–2
1000 = 
–1
500
Logo, f (x) 
–x
500 + 20
Deve-se encontrar x tal que f(x) = 0a) 
 
f (x) –x
500
 + 20 = 0 ⇒ 
–x
500 = –20 ⇒ x = 10 000
 Resposta: A temperatura é de 0ºC a 10 000 pés.
Deve-se obter o valor da função para x = 35 000b) 
 f (35000) = 
–35 000
500
 + 20 = –50
 A temperatura é –50ºC.
(UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram 1. 
ao Maracanã 90 000 torcedores. Três portões foram 
abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número 
constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, 
abriram-se mais três portões e o fluxo constante de 
pessoas aumentou. Os pontos que definem o número 
de pessoas dentro do estádio em função do horário de 
entrada estão contidos no gráfico abaixo:
12 15 17 horário
n.° de pessoas
45 000
30 000
90 000
Quando o número de torcedores atingiu 45 000, o 
relógio estava marcando 15 horas e:
20min.a) 
30min.b) 
40min.c) 
50min.d) 
(UERJ) A estatura de um adulto do sexo feminino pode 2. 
ser estimada, através das alturas de seus pais, pela 
expressão:
(y - 13) + x
2
Considere que x é a altura da mãe e y a do pai, em cm. 
Somando-se ou subtraindo-se 8,5cm da altura estimada, 
obtém-se, respectivamente, as alturas máxima ou mínima 
que a filha adulta pode atingir. Segundo essa fórmula, se 
João tem 1,72m de altura e sua esposa tem 1,64m, sua 
filha medirá, no máximo:
1,70ma) 
1,71mb) 
1,72mc) 
1,73md) 
(UERJ) A velocidade angular W de um móvel é inversa-3. 
mente proporcional ao tempo T e pode ser representada 
pelo gráfico abaixo.
2
w (radianos/segundo)
0,5 
T (segundo)
 
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Quando W é igual a 0,8π rad/s, T, em segundos, cor-
responde a:
2,1a) 
2,3b) 
2,5c) 
2,7d) 
(UERJ) Uma panela, contendo um bloco de gelo a −40º 4. 
C, é colocada sobre a chama de um fogão. A evolução 
da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo 
x, em minutos, é descrita pela seguinte função real:
20x – 40 se 0 ≤ x < 2
 0 se 2 ≤ x ≤ 10
10x – 100 se 10 < x ≤ 20
 100 se 20 < x ≤ 40
T(x) = 
O tempo necessário para que a temperatura da água 
atinja 50º C, em minutos, equivale a:
4,5a) 
9,0b) 
15,0c) 
30,0d) 
(UFRJ 2002) Considere as funções polinomiais 5. f, g e h, 
cujos gráficos são dados a seguir.
x
–5 –3 –2 –1
–4
y
0
1 2 3
4 5
–2
–4
–6
2
4
6
h
f
g
Determine os valores reais de x no intervalo [-5, 5] para 
os quais valem as desigualdades: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).
(UFRJ) Dada a função f: R6. → R definida por:
x3 – 4x se x ≤1
2x – 5 se x > 1
f(x) =
determine os zeros de f.
(PUC-RJ) A função 7. :
é sempre positiva.a) 
pode assumir qualquer valor real.b) 
pode assumir o valor 1/3.c) 
pode assumir o valor −1/6.d) 
pode assumir o valor 1/2.e) 
(PUC-RJ) Dada a função f(x) = (x + 1)⋅(x8. 2 – x + 1), deter-
mine:
f(−1) e f(0)a) 
Ache as soluções reais da equação f(x) = 9b) 
(U9. FF) Determine o domínio da função real da variável 
real f, definida por f(x) = x
2 - 4x + 3
 4 x - 1
(10. UFF) Classifique cada afirmativa abaixo, em verdadeira 
ou falsa, justificando.
∀ )( x ∈ R, x < 0, -x sempre existe em R.
∀ )( x ∈ R, log (–x) não existe em R.
∀ )( x ∈ R, se (x – a)2 = (x – b)2 então a = b.
∀ )( x ∈ R, 2–x < 0.
∀ )( x ∈ R, sen x ≤ 1.
(UFF) Considere o11. polinômio p(x) = x3 – 3x + 2 e a fun-
ção real de variável real f definida por .
Sabe-se que uma das raízes de p(x) é 1. Escreva o 
domínio de f sob a forma de intervalo.
(UFF) O gráfico da função f está representado na figura:12. 
Sobre a função f é falso afirmar que:
f(1) + f(2) = f(3)a) 
f(2) = f(7)b) 
f(3) = 3f(1)c) 
f(4) – f(3) = f(1)d) 
f(2) + f(3) = f(5)e) 
(UERJ) Nicole pediu a seu irmão João que pensasse 13. 
em um número e efetuasse as seguintes operações, 
nesta ordem:
multiplicar o número pensado por 5;1.° ) 
adicionar 6 ao resultado;2.° ) 
multiplicar a soma obtida por 4;3.° ) 
adicionar 9 ao produto;4.° ) 
multiplicar a nova soma por 5.5.° ) 
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João comunicou que o resultado é igual a K.
As operações que Nicole deve efetuar com K, para 
“adivinhar” o número pensado, equivalem às da seguinte 
expressão:
(K – 165) : 100a) 
(K – 75) : 100b) 
K : 100 + 165c) 
(K + 165) : 100d) 
(UERJ) Considere a função f:14. 
2
Determine suas raízes.a) 
Calcule b) 
(UFF) Considere as funções reais de variável real 15. f e 
g definidas por f(x) = 3x +1 e g(x) = −2x −2. Deter-
mine:
a função h = fog;a) 
as inversas de f e g.b) 
(UFF) Considere as funções reais bijetivas 16. f e g tais 
que:
x f(x) g(x)
−1 1 2
0 2 1
1 0 −1
2 −1 0
Determine, justificando, os valores de:
(f o g) (1)a) 
(g o f b) –1) (2)
(f c) –1 o g–1) (-1)
(f d) –1 o g) (2)
(UFF) Dada a função real de variável real 17. f tal que 
f (2x + 1) = 
x2 - 1 
2x , x ≠ 1 e x ≠ –1, determine:
a expressão de f(x);a) 
o domínio da função f.b) 
(UFF) Sejam T: M 18. → M e S: M → M as funções repre-
sentadas a seguir.
Com respeito à função composta ToS, tem-se:
ToS(3) = S(3)a) 
ToS(1) = S(3)b) 
ToS(3) = T(2)c) 
ToS(2) = T(1)d) 
ToS(4) = ToS(1)e) 
(UFF) Dada a função real de variável real 19. f, definida 
por: 
f(x) = 
x + 1
x - 1
, x ≠ 1:
determine (fof) (x);a) 
escreva uma expressão para f b) –1(x).
(UFF) Considere 20. f e g funções reais de variável real, 
definidas por f(x) = e g (x) = log (1– x).
Determine o domínio de f.a) 
Defina a inversa de g.b) 
(UFCE) . Seja 21. f uma função real de variável real definida 
por f(x) = x2 + c, c > 0 e c ∈ R, cujo gráfico é 
y
x
(0, c)
x2
Então o gráfico que melhor representa f(x + 1) é:
a) 
y
x
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 b) 
y
x
c) 
y
x
d) 
y
x
e) 
y
x
(UNIRIO) Considere as funções:22. 
f: R R
x y = x −3
g: R R
x y = 2x
h: R R
x y = x 
Determine o conjunto-imagem da função fogoh.
(UNESP) Dadas as funções f(x) = x23. 2 + 2x +1 e 
g(x) = x −1,
encontre a função composta (fog) (x);a) 
resolva a equação: (fog) (y) = 0, onde y = cos x.b) 
(FATEC) Um pai dividiu a quantia deR$750,00 entre seus 24. 
três filhos. A quantia recebida por Carlos correspondeu 
a 10/7 da recebida por André e esta correspondeu a 
7/8 da recebida por Bruno. É verdade que:
Carlos recebeu R$60,00 a mais que Bruno.a) 
André recebeu R$100,00 a menos que Carlos.b) 
Bruno recebeu R$70,00 a menos que Carlos.c) 
Carlos recebeu R$100,00 a mais que André.d) 
André recebeu R$40,00 a menos que Bruno.e) 
(UERJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupa-25. 
das. Algumas, por quatro pessoas; outras, por apenas 
duas pessoas, num total de 38 fregueses.
O número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas 
é:
4a) 
5b) 
6c) 
7d) 
(UERJ) O Real Enferrujou26. 
“[...] as moedas de 1 e 5 centavos oxidam antes do previsto 
[...] Até agora, apenas 116 milhões entre os sete bilhões de 
moedas em circulação têm nova roupagem lançada pelo 
governo no dia 1.º julho [...]” (ISTOÉ, 09 set. 1998)
Desses 116 milhões de moedas, metade é de R$0,50, 
a metade do número restante é de R$0,10, a metade 
do que sobrou é de R$0,05 e as últimas moedas são 
de R$0,01. O total de moedas de R$0,01 corresponde, 
em reais, a:
14.500,00a) 
29.000,00b) 
145.000,00c) 
290.000,00d) 
(UERJ) Observe o gráfico:27. 
P
ro
d
uc
t 
A
ud
it
/E
xp
an
d
.
Se o consumo de vinho branco alemão, entre 1994 e 1998, 
sofreu um decréscimo linear, o volume total desse consumo 
em 1995, em milhões de litros, corresponde a:
6,585a) 
6,955b) 
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7,575c) 
7,875d) 
(UENF) Um tanque com capacidade para 1 200 litros 28. 
de água tem um furo no fundo por onde a água escoa 
a uma razão constante. Considere V o volume do tan-
que, em litros, e t o tempo de escoamento, em horas, 
relacionados pela equação: V = 1 200 – 12t
Estando o tanque totalmente cheio, calcule:
o volume de água no tanque, após 30 horas de esco-a) 
amento;
o tempo necessário para que ele se esvazie total-b) 
mente.
(UENF) Nos jogos válidos por um campeonato de 29. 
futebol, cada vitória dá ao time três pontos, enquanto 
cada empate vale um ponto. Se perder, o time não ganha 
pontos. Um jornal publicou uma tabela com a classifica-
ção dos três melhores times. Entretanto, dois números da 
tabela não puderam ser identificados, sendo substituídos 
pelas letras x e y, conforme é mostrado abaixo:
Time
Pontos 
ganhos
n.º de 
vitórias
n.º de 
empates
Corinthians 24 8 0
Flamengo x 6 0
Atlético 16 y 1
Calcule o valor de:
x;a) 
y.b) 
(UENF) Um atleta está treinando em uma pista reti-30. 
línea e o gráfico abaixo apresenta dados sobre seu 
movimento.
4
2
V (m/s)
0 5 10 t (s) 
A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 
0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado. 
Calcule essa distância.
(UENF) O gráfico a seguir representa, em bilhões de 31. 
dólares, a queda das reservas internacionais de um 
determinado país no período de julho de 2000 a abril 
de 2002.
35,6
22
12bi
lh
õe
s 
de
 d
ól
ar
es
julho
2000
junho
2001
abril
2002
(Veja, 01 mai. 2002. Adaptado)
Admita que, nos dois intervalos do período considerado, 
a queda de reservas tenha sido linear. Determine o total 
de reservas desse país, em bilhões de dólares, em maio 
de 2001.
(UERJ) A função que descreve a dependência temporal 32. 
da posição S de um ponto material é representada pelo 
gráfico abaixo.
s(m)
t(s)
12
8
4
0
–4
1 2 3 4 5
Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo 
S = A + Bt + Ct2 , os valores numéricos das constantes 
A, B e C são, respectivamente:
0, 12, 4a) 
0, 12, 4b) 
12, 4, 0c) 
12, –4 , 0d) 
(UERJ) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingres-33. 
sos ganhos para um show. Se cada um de seus filhos 
ganhar quatro ingressos, sobrarão cinco ingressos; se 
cada um ganhar seis ingressos, ficarão faltando cinco 
ingressos. Podemos concluir que Jorge ganhou o nú-
mero total de ingressos correspondente a:
15a) 
25b) 
29c) 
34d) 
(UFRJ) João, Pedro e Maria se encontraram para bater 34. 
papo em um bar. João e Pedro trouxeram R$50,00 cada 
um, enquanto Maria chegou com menos dinheiro. Pedro, 
muito generoso, deu parte do que tinha para Maria, 
de forma que os dois ficaram com a mesma quantia. A 
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seguir, João resolveu também repartir o que tinha com 
Maria, de modo que ambos ficassem com a mesma 
quantia. No final, Pedro acabou com R$4,00 a menos 
do que os outros dois. Determine quanto Maria possuía 
quando chegou ao encontro.
(PUC-RJ) João dá a Pedro tantos reais quanto Pedro 35. 
possui. Em seguida, Pedro dá a João tantos reais quanto 
João possui. Se terminaram com R$180,00 cada um, 
quantos reais cada um deles possuía inicialmente?
João possuía R$100,00 e Pedro R$80,00.a) 
João possuía R$200,00 e Pedro R$225,00.b) 
João possuía R$135,00 e Pedro R$280,00.c) 
João possuía R$225,00 e Pedro R$135,00.d) 
João possuía R$100,00 e Pedro R$135,00.e) 
(UFF) Na figura a seguir estão representadas as retas 36. 
r e s.
 
Sabendo que a equação da reta s é x = 3 e que OP 
mede 5 cm, a equação de r é:
y = 3/4xa) 
y = 4/3xb) 
y = 5/3xc) 
y = 3 xd) 
y = 5 xe) 
(UFF) As empresas Alfa e Beta alugam televisores do 37. 
mesmo tipo. A empresa Alfa cobra R$35,00 fixos pelos 
primeiros 30 dias de uso e R$1,00 por dia extra. A em-
presa Beta cobra R$15,00 pelos primeiros 20 dias de 
uso e R$1,50 por dia extra. Após n dias o valor cobrado 
pela empresa Beta passa a ser maior do que o cobrado 
pela empresa Alfa. O valor de n é:
25a) 
35b) 
40c) 
45d) 
50e) 
(UNIRIO) Saiu na Veja, em 2003 “A conta do GNV – 38. 
Quanto vale converter seu carro para o gás natural.
Calcule o gasto de combustível de seu carro por 1) 
quilômetro. Se ele faz 10km por litro de gasolina, e 
o litro custa 2 reais, o gasto é de 20 centavos por 
quilômetro.
A grosso modo, um metro cúbico de gás natural 2) 
rende quilometragem 20% superior à de 1 litro de 
gasolina e 40% acima da obtida com 1 litro de álco-
ol. Portanto, com GNV o carro do item 1 fará 12 qui-
lômetros por metro cúbico a 1 real o metro cúbico, 
esse veículo gastará 8 centavos por quilômetro.”
Se você pagar R$2.100,00 para fazer a conversão do 
seu automóvel para GNV, a economia será feita a partir 
da seguinte quilometragem.
18 000kma) 
17 500kmb) 
17 000kmc) 
16 500kmd) 
16 000kme) 
(UERJ) Considere a função f, definida para todo x real 1. 
positivo, e seu respectivo gráfico.
y
x
0 a b 3a 3b
f(x) = 1
 x
Se a e b são dois números positivos (a < b), a área 
do retângulo de vértices (a,0), (b,0) e (b, f(b)) é igual 
a 0,2.
Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) 
e (3b, f(3b)).
(UFF) Determine o domínio da função de variável real 2. f 
definida por 
−
=
−
2( x 1)
1
f(x)
1 10
(UFJF) A figura a seguir representa, no plano cartesiano, 3. 
o gráfico de uma função y = f(x) definida no intervalo 
[-2,5].
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04
Com base neste gráfico, é incorreto afirmar que:
y
4
3
2
1
0
–1
1 2 3 4 5
–1–2
x
f(4) > f(5).a) 
o conjunto imagem de f contém o intervalo [−1, 4].b) 
f(x) < 0 se −2c) ≤ x ≤ 0.
f(f(1)) = 0.d) 
o conjunto {xe) ∈ [−2, 5]  f(x) = 3} possui exata-
mente dois elementos.
(UNIRIO) Considere a função real f : A4. → R, onde R denota 
o conjunto dos números reais, cujo gráfico é apresentado 
a seguir, sendo o eixo das ordenadas e a reta de equação 
y = 3, assíntotas da curva que representa f : x → y = 
f(x).
y
x
3
0
Determine o domínio e o conjunto-imagem de f.a) 
Esboce o gráfico da função g: Bb) → R; x → y = f(x 
−2) −4
(UNIRIO) Seja f a função real na variável x definida por 5. 
+ −
=
+ − −
1 x + 1 x
f(x)
1 x 1 x 
Determine o domínio de definição Dda função.a) 
Mostre que, para todo xb) ∈ D, tem-se 
+ +
=
+
21 1 x 
f(x)
1 x 
(UFF) Considere a função real de variável real f e a fun-6. 
ção g tal que Dom(g) = [–1,4] e g (x) = f (2x) – 1.
O gráfico de g é representado na figura a seguir.
Pede-se:
a expressão que define g;a) 
a imagem de g;b) 
a expressão que define f no intervalo [0,4].c) 
(UFF) Para a função f: N*7. → N*, que a cada número 
natural não-nulo associa o seu número de divisores 
positivos, considere as afirmativas:
existe um natural não-nulo n tal que f(n) = n.I. 
f é crescente.II. 
f não é injetiva.III. 
Assinale a opção que contém a(s) afirmativa(s) 
correta(s):
apenas II.a) 
apenas I e III.b) 
I, II e III.c) 
apenas I.d) 
apenas I e II.e) 
(UFF) Uma função real de variável real 8. f é tal que 
  = π  
1
f
2
 
e f(x +1) = x f(x) para todo x ∈ R. O valor 
de f(7/2) é:
πa) 
7b) π
π
2c) 
15 π
8
d) 
7 π
15
e) 
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(UNESP) Uma pessoa parte de carro de uma cidade 10. 
X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em 
horas), a distância que falta para percorrer até o destino 
é dada, em dezenas de quilômetros, pela função D, 
definida por:
D(t) = 4 2
t 7
1
t 1
+ −  +
Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a 
distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi:
40kma) 
60kmb) 
80kmc) 
100kmd) 
120kme) 
(UFF) Sejam 11. f e g funções reais de uma variável real 
dadas por 






 3x + 4 , se x ≥ 1 x2 + 1 , se x > 3
f(x) e g(x)
 5x + 2 , se x < 1 5x - 5 , se x ≤ 3
Pede-se:
g[f(2)]a) 
fb) −1[g(0)]
(UFJF ) Responda aos itens I e II, observando os gráficos 12. 
das duas funções f e g de R em R, respectivamente, do 
1.º e 2.º graus, representados abaixo.
y
x
f
g
Sobre a função h = f + g de R em R, definida por I. 
h(x) = f(x) + g(x), é correto afirmar que:
possui ponto de máximo.a) 
possui ponto de mínimo.b) 
é uma função crescente.c) 
é uma função decrescente.d) 
é uma função constante.e) 
Sobre a função h = fog de R em R, definida por h(x) II. 
= f(g(x)), é correto afirmar que:
possui ponto de máximo.a) 
possui ponto de mínimo.b) 
é uma função crescente. c) 
é uma função decrescente.d) 
é uma função constante.e) 
(UFF) Considere as funções reais 13. f, g e h definidas 
por f(x) = log2 x 
2 , g(x) = log2 x e h(x) = log 2/3 x. 
Determine o valor de h (g (f(4))).
(UFCE) Considere a função f(x) = 14. 
cx
dx + 3
 definida para 
todo número real x tal que dx + 3 0, onde c e d são 
constantes reais. Sabendo que f(f(x)) = x e f(5)(3) = 
f(f(f(f(f(3))))) = –3/5, podemos afirmar que c2 +d2 é 
igual a:
(UFF) Na figura, o ponto R representa a localização, 9. 
à beira-mar, de uma usina que capta e trata o esgoto 
de certa região. Com o objetivo de lançar o esgoto 
tratado no ponto T, uma tubulação RQT deverá ser 
construída.
800 m
2 km
Q R
cais
T
P
x
O ponto T situa-se a 800m do cais, em frente ao 
ponto P, que dista 2km de R, conforme ilustração 
acima.
O custo da tubulação usada no trajeto retilíneo 
RQ, subterrâneo ao longo do cais, é de 100 reais 
por quilômetro, e o custo da tubulação usada na 
continuação QT, também retilínea, porém submarina, 
é de 180 reais por quilômetro.
Sendo x a medida de PQ, a função f que expressa 
o custo, em real, da tubulação RQT em termos de x, 
em quilômetro, é dada por:
f(x) = 2 – x + a) 800 + x
f(x) = 200 – 100x + 180 b) 0,64 + x2
f(x) = c) 0,64 + x2 + x2 + x
f(x) = 200 + d) 0,64 + x2 
f(x) = 200 – 100x + 0,8xe) 2
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5a) 
25b) 
61c) 
113d) 
181e) 
(UFF) Considere a função f definida por 15. 
 4x , | x | < 4
 f(x) = Pede-se:
 
x3 , | x | ≥ 4
f(0);a) 
(fof) (–2);b) 
o valor de m tal que f(m) = –125;c) 
f d) –1 (1/4).
(UFMG) Nesta figura, está representado o gráfico da 16. 
função y = f(x), cujo domínio é o conjunto {x ∈ R: –6 ≤ x 
≤ 6} e cuja imagem é o conjunto {y ∈ R: -2 ≤ y ≤ 3}:
y
x
1
3
2
4
6
0
-2
-3
-6
Sendo g(x) = f(x) +2 e h(x) = f(x +2),
1. Determine g(0) e h(0).
2. Esboce o gráfico de: 
y = g(x)a) 
y = h(x)b) 
3. Determine os domínios das funções g e h.
(UFRN) Uma calculadora apresentava, em sua tela, o 17. 
resultado da soma dos gastos do mês realizados por 
um pai “coruja” que permitiu a seu filho apertar algu-
mas teclas, alterando esse resultado. O pai observou 
que o menino havia apertado as teclas , + , 
1 e , nessa ordem e uma única vez.
Para recuperar o resultado que estava na tela, o pai 
deverá apertar as teclas
x2a) , 1 , - e x2 .
x2b) , - , 1 e x2 .
x2c) , + , 1 e x2 .
x2d) , 1 , + e x2 .
(UNIRIO) Sob pressão constante, conclui-se que 18. 
o volume V, em litros, de um gás e a temperatura T, 
em graus Celsius, estão relacionados por meio da 
equação:
V = Vo + 
Vo
273
 T ,
onde Vo denota o volume do gás a 0ºC. Assim, a 
expressão que define a temperatura como função 
do volume V é:
Vo
273
T = V – Voa) 
V – Vo
273 Vo
T =b) 
273V – Vo
Vo
T =c) 
V – 273Vo
Vo
T =d) 
V – Vo
Vo
T = 273e) 
(ITA) Sejam f, g: R 19. R definidas por f(x) = x3 e g(x) = 
103⋅cos 5x. Podemos afirmar que
f é injetora e par e g é ímpar.a) 
g é sobrejetora e gof é par.b) 
f é bijetora e gof é ímpar.c) 
g é par e gof é ímpar.d) 
f é ímpar e gof é par.e) 
(UFF) Considere as retas 20. r, s e t cujas equações são, 
respectivamente, x/p + y = 1, x – py = p e 2x + 3y = 6, 
com p ≠ 0. 
Determine:
o valor de a) p para o qual r, s e t interceptam-se em 
um único ponto M;
as coordenadas do ponto de interseção M.b) 
(UFF) Com relação ao triângulo ABC sabe-se que:21. 
o ponto A pertence ao eixo das abscissas; •
o ponto B pertence ao eixo das ordenadas; •
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a equação da reta que contém os pontos A e C é x + •
y + 5 = 0;
a equação da reta que contém os pontos B e C é 2x – •
y – 2 = 0.
Determine as coordenadas dos pontos A, B e C.
(UFF) Um motorista de táxi cobra, em cada corrida, o va-22. 
lor fixo de R$3,20 mais R$0,80 por quilômetro rodado.
Indicando por a) x o número de quilômetros rodados 
e por P o preço a pagar pela corrida, escreva a ex-
pressão que relaciona P com x.
Determine o número máximo de quilômetros roda-b) 
dos para que, em uma corrida, o preço a ser pago 
não ultrapasse R$120,00.
(UFF) Um restaurante cobra, no almoço, até as 16h, o preço 23. 
fixo de R$15,00 por pessoa. Após as 16 h, esse valor cai 
para R$12,00. Em determinado dia, 50 pessoas almoçaram 
no restaurante, sendo x o número de pessoas que almo-
çaram até as 16h. Sabendo que o custo de um almoço 
é R$ 8,00 por pessoas e o lucro obtido pelo restaurante 
naquele dia foi maior que R$250,00 e menor que R$300,00, 
determine o menor e maior valor possível de x.
(UFF) Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros 24. 
de água, começa a receber água a uma razão constante 
de três litros por segundo, ao mesmo tempo que uma 
torneira deixa escoar água desse reservatório a uma 
razão, também constante, de um litro por segundo. 
Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante 
em que o reservatório começou a receber água, de-
termine:
o volume de água no reservatório decorridos dez a) 
segundos (t = 10) a partir do instante inicial;
uma expressão para o volume (V), em litro, de água b) 
no reservatório em função do tempo decorrido (t), 
em segundo, a partir do instante inicial.
(UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três 25. 
opções de pagamento:
Opção I: R$40,00 de taxa de adesão anual, mais a) 
R$1,20 por DVD alugado.
Opção II: R$20,00 de taxa de adesão anual, mais b) 
R$2,00 por DVD alugado.Opção III: R$3,00 por DVD alugado, sem taxa de c) 
adesão.
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$56,00 no ano. 
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento 
para o seu caso? Justifique a sua resposta.
(UFRJ) Maria faz hoje 44 anos e tem dado um duro 26. 
danado para sustentar suas três filhas: Marina, de 10 
anos; Marisa, de 8 anos; e Mara, de 2 anos. Maria 
decidiu que fará uma viagem ao Nordeste para visitar 
seus pais, no dia do seu aniversário, quando sua idade 
for igual à soma das idades de suas três filhas. Com que 
idade Maria pretende fazer a viagem?
(UFF) A reta r contém o ponto P( −5, 0), tem coeficiente 27. 
angular negativo e forma, com os eixos coordenados, 
um triângulo de área igual a 20. Determine a equação 
de r.
(UFF) Um grande poluente produzido pela queima 28. 
de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido de enxofre). 
Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na 
revista “Science” em 1972 concluiu que o número (N) 
de mortes por semana, causadas pela inalação de 
SO2, estava relacionado com a concentração média 
(C), em mg/m3, do SO2 conforme o gráfico abaixo: os 
pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento 
de reta da figura.
C0 100 700
97
115
N
Com base nos dados apresentados, a relação entre N e 
C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser dada por:
N = 100 – 700Ca) 
N = 94 + 0,03Cb) 
N = 97 + 0,03Cc) 
N = 115 – 94Cd) 
N = 97 + 600Ce) 
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B1. 
A2. 
C3. 
C4. 
x5. ∈ [0, 1] ∪ [3, 5] 
–2, 0 e 5/26. 
C7. 
8. 
f(-1) = 0 ea) f(0) = 1
2b) 
Df = {x9. ∈ R x ≥ 3}
V, F, V, F, V10. 
Dom f = (– 2, 1)11. ∪ (1, + ∞)
E 12. 
A 13. 
14. 
0 ea) 3 3
8b) 
15. 
h(x) = –6x – 5a) 
1 1x 1 x 2f (x) e g (x)
3 2
− −− − −= =b) 
16. 
1a) 
–1b) 
1c) 
1d) 
17. 
2
2(x 1)
f(x)
x 2x 3
−
=
− −
a) 
D(f) = {xb) ∈ R  x < −1 ou x > 3}
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_0
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C18. 
19. 
x a) 
1 x 1f (x)
x 1
− +=
−
b) 
20. 
Df = { xa) ∈ R  x ≥ 1/2}
gb) –1 (x) = 1 –10x 
B21. 
Im (fogoh) = [ -3; + 22. ∞ [
23. 
(fog) (x) = xa) 2
S {x | x k , k Z}
2
π
= = + π ∈b) 
A24. 
B25. 
C26. 
D27. 
28. 
840a) 
100 horas.b) 
29. 
18a) 
5b) 
12,5m.30. 
24,26 bilhões de dólares.31. 
D32. 
B33. 
R$34,00.34. 
D35. 
B36. 
C37. 
B38. 
0,21. 
Df = {x2. ∈ R  –1 < x < 1}
D3. 
4. 
D(f) = R* e Im(f) = R −{3}a) 
Gráfico.b) 
y
x
0 2
–1
5. 
D(f) = {xa) ∈ R  −1 ≤ x < 0 ou 0 < x ≤ 1}
Demonstração.b) 
Basta racionalizar a expressão de f.
2 2
2 2
( 1 x + 1 x ) 1 1 x
f(x)
x( 1 x ) ( 1 x )
+ − + −
= =
+ + −
6. 
 x, 1 x 0
 0, 0 x 1
g(x)
2x 2, 1 x 2
2, 2 x 4
− − ≤ <
 ≤ <=  − ≤ <
 ≤ ≤
a) 
b) [0,2]
c) 1, 0 x 2f(x)
x 1 , 2 x 4
≤ <
 − ≤ ≤
B7. 
D8. 
B9. 
C10. 
11. 
101a) 
–7/5b) 
12. 
bI) 
aII) 
–113. 
B14. 
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15. 
0a) 
–512b) 
–5c) 
1/16d) 
(1.) g(0) = 2 e h(0) = −2 16. 
(2.)
a) 
x
g(x)
2 6-3
3
-6
5
b) 
-8
-5
-2
X
h (x)
1
3
4
(3.)
D(g) = {x R: −6 ≤ x ≤6} e D(h) = {x R: −8 ≤ x ≤ 4}
B17. 
E18. 
E19. 
20. 
p = 3a) 
(3, 0)b) 
21. 
A (–5, 0) 
B (0, –2)
C (–1, –4)
22. 
P = 3,20 +0,80xa) 
146km.b) 
O menor valor possível para x é 17 e o maior valor pos-23. 
sível para x é 33.
24. 
420 litros.a) 
V(t) = 400 +2tb) 
Não, a melhor opção seria a opção III.25. 
56 anos.26. 
y = (-8/5) x - 827. 
B28. 
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