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Apresentação do Problema 1.10 do livro de mecânica analítica do Nivaldo. LEONARDO CARNEIRO QUARESMA - 201708140055 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE FÍSICA Para que seja obtido a Lagrangiana e as equações de Lagrande, é preciso verificar o esquema do pêndulo elástico na Fig. 01: Onde: – Comprimento natural r – deformação da mola – Constante Elástica da Mola – Massa Definindo os eixos de coordenadas na Fig. 02 temos: Dessa forma, é possível que seja feita a decomposição das coordenadas e usando o triângulo retângulo na Fig. 03: Com isso, teremos: Fig. 02 Com isso, utilizando os valores de e . Na qual vai ser derivado para que sejam encontrados e . Dessa forma, é obtido: Com os valores de e determinados, vai ser encontrada a energia cinética do sistema, onde a energia cinética é considerada: Dessa forma, teremos: Dessa forma, a Energia Cinética é: Calculando os Produtos Notáveis e . Obtemos: ( Desse modo, temos que: Colocando em evidência e eliminando os pares simétricos, temos: Utilizando a relação trigonométrica: Teremos: Para encontramos a Energia Potencial precisamos observar a Fig. 04. Fig. 04 Onde: é o deslocamento da Mola é o comprimento Natural Então temos: Onde: é a variação do espaço Observamos que no sistema, é envolvido Energia Potencial Gravitacional () por conta de que a massa é colocada em uma determinada altura y, e Energia Potencial Elástica() por causa da Mola que existe no sistema que faz um deformação. Dessa forma, a Energia Potencial Total () é dada pela: Onde: Considerando, e , e como já temos o valor de y e de , obtemos: Obs.: Tomando como referencial a origem do sistema, temos que a Energia Potencial Gravitacional é negativa. Dessa forma, a Energia Potencial Total fica: Lagrangiana que é dada por: Onde é Energia Cinética e é a Energia Potencial. Desse modo, utilizando a energia cinética e a energia potencial do sistema, teremos: ] Com isso encontramos a equação de Lagrange do sistema. Para seja encontrada as equações de movimento teremos que usar a equação de Euler-Lagrange que é dada por: Onde e são coordenadas generalizadas. Utilizando , , e como coordenadas generalizadas, a equação de Euler-Lagrange fica: Para e , teremos: Para e , teremos: Com isso podemos encontrar as equações de movimento para ambas coordenadas generalizadas. Utilizando: e Teremos: Como a derivada parcial só é derivável em relação a l. Simplificaremos a expressão e teremos: Derivando em relação a l, teremos: Simplificando a expressão teremos: Agora, vai ser demonstrado: = Como a derivada parcial só é derivável em relação a , simplificaremos a expressão e vai ser obtidos: = Dessa forma teremos: = = Agora usaremos: = ) Derivando: = E dessa forma, a equação de movimento para l é: Igualando a equação de movimento para l , teremos: Agora encontraremos a equação de movimento para utilizando: e Teremos: Como a derivada parcial só é derivável em relação a . Simplificaremos a expressão e teremos: Derivando em relação a , teremos: Agora, vai ser demonstrado: Como a derivada parcial só é derivável em relação a , simplificaremos a expressão e vai ser obtidos: Dessa forma, teremos: Com isso vamos fazer: Teremos: Derivando: Logo a equação do movimento para é: Igualando a zero temos:
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