Pêndulo de Foucault

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Pêndulo de Foucault 
Tiago de Carvalho Borella 
 
 
1. Contextualização e apresentação do problema 
 
 Ao se tratar do movimento de corpos, normalmente, algumas simplificações são feitas para 
deixar o cálculo mais simples, outras valem em um intervalo previamente determinado. A pergunta 
que se aponta como pertinente é: quando esse intervalo é falho, e que se torna necessário fazer 
considerações um pouco mais complexas para descrever um fenômeno? 
 Devido ao fato de um corpo estar acelerando, já começam a aparecer movimentos sem uma 
causa aparente. Imagine um passageiro dentro de um ônibus, de repente o ônibus freia e uma pessoa, 
observando o ônibus de fora, percebe que a pessoa de dentro é jogada para frente sem nenhuma força 
ter sido exercida sobre ela. Outra pergunta pertinente: o que está ocorrendo nessa situação? 
 Quando um objeto está acelerado, somente por esse fato já aparecerem efeitos que não 
parecem obedecer a segunda lei de Newton. Esses fenômenos são trabalhados na Mecânica Clássica 
como referenciais não inerciais. Esses referenciais podem ser calculados e serão desenvolvidos mais 
detalhadamente na seção de referencial teórico. Neste desenvolvimento é possível observar que, para 
certos referenciais aparecem forças fictícias que parecem estar atuando sobre um corpo sem uma 
causa aparente. Essas forças fictícias podem ser Força de Euler, Força de Coriolis, Força de 
Translação e Força Centrífuga. 
 Este trabalho tem enfoque na Força de Coriolis, devido aos efeitos que ela tem no pêndulo de 
Foucault. Um objeto em movimento na superfície da Terra já está sujeito a uma força de Coriolis 
devido à rotação da Terra. O pêndulo de Foucault demonstra exatamente isso, um pêndulo comprido, 
com peso suficiente e com liberdade para “girar” em qualquer direção descrevendo uma trajetória 
não linear, dependente de um ângulo entre o fio e a “normal, dependente da velocidade angular da 
Terra e da latitude em que se encontra o pêndulo. 
 A partir disso, é possível montar uma simulação de referenciais não inerciais no software 
InsightMaker para ilustrar um dos fenômenos que resultam num evento, em que, forças fictícias 
atuam sobre o pêndulo de Focault? Esse pêndulo é famoso por “provar” que a Terra é redonda, pois 
ele só teria esse comportamento não linear, caso a velocidade de rotação da Terra estivesse 
interferindo em seu deslocamento. 
 
2. Referencial Teórico 
 
Nesta seção são apresentadas as equações que serão utilizadas para modelar o pêndulo de 
Foucault no InsightMaker. Para ilustrar o que está sendo calculado, serão utilizadas imagens dos 
Slides de Aula. 
Figura 1 - Sistema de Coordenadas para dois referenciais diferentes 
 
 
A partir da imagem (Figura 1), é possível chegar na seguinte equação, sendo que a única 
mudança que deve ser feita é considerar que, no referencial “O”, o eixo e1 segue similar à como se 
comporta o e1’, e ω é a velocidade angular do referencial “O”, chegando-se na seguinte equação: 
𝑟 = 𝑅0⃗⃗ ⃗⃗⃗ + 𝑟′⃗⃗⃗ (1) 
Derivando essa equação se chega na seguinte equação 
𝑣𝑖𝑒𝑖⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑉𝑖𝑒𝑖⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑣′𝑒𝑖′⃗⃗⃗⃗⃗ + xi
𝑑𝑒𝑖′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑑𝑡
 (2) 
 O quarto termo da equação acima mostra que esse vetor depende da velocidade angular que é 
da forma 𝜔 𝑥 𝑒𝑖′⃗⃗⃗⃗⃗, com isso chegando equação a seguir: 
�⃗� = 𝑉0⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑣′⃗⃗⃗ ⃗ + �⃗⃗⃗� 𝑥 𝑟′⃗⃗⃗ (3) 
 Para se obter a aceleração se deriva novamente: 
�⃗� = 𝐴𝑜⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑎′⃗⃗⃗ ⃗ + �⃗⃗⃗� 𝑥 𝑣𝑖′𝑒𝑖′⃗⃗⃗⃗⃗ + �⃗⃗⃗̇� 𝑥 𝑟′⃗⃗⃗ + �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗⃗� 𝑥 𝑟′⃗⃗⃗ (4) 
 Simplificando a equação se tem o seguinte resultado para a aceleração fictícia: 
 𝑎′⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝑜⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑎′⃗⃗⃗ ⃗ + 2�⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗� + �⃗⃗⃗̇� 𝑥 𝑟′⃗⃗⃗ + �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗⃗� 𝑥 𝑟′⃗⃗⃗ (5) 
 Multiplicando tudo pela massa se tem a seguinte expressão: 
𝐹′⃗⃗⃗⃗ = �⃗� + 𝐹0⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐶𝑜𝑟.⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐹𝐸𝑢𝑙.⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐹𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖.⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (6) 
 Com base na equação 6 se observa que o termo �⃗� é igual a -m𝐴𝑜⃗⃗⃗⃗⃗⃗ que é a força fictícia de 
translação, a 𝐹𝐶𝑜𝑟.⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ que é −𝑚2�⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗�, a 𝐹𝐸𝑢𝑙.⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ que é −𝑚�⃗⃗⃗⃗̇� 𝑥 𝑟′
⃗⃗⃗⃗ e a força centrífuga que é -
m�⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗⃗� 𝑥 𝑟′⃗⃗⃗ . 
 Para o pêndulo de Foucault, assumindo que a velocidade angular permanece e é constante, a 
única força que terá um impacto significativo no deslocamento do pêndulo será a força de Coriolis, 
levando em conta que a velocidade angular é muito baixa e quando elevada ao quadrado, como no 
caso da força centrífuga, faz com que o valor seja desprezível, portanto, na simulação somente serão 
utilizadas as contribuições da força de Coriolis. 
 
Figura 2 - Pêndulo de Focault 
 
 Levando em conta a Figura 2, é possível perceber que duas forças reais atuam no pêndulo, a 
Força peso e a Tensão no fio do pêndulo. Para o caso de pequenos ângulos é razoável fazer a 
aproximação de que o módulo da Tensão é igual ao Peso. Fazendo os cálculos e extraindo o termo de 
Coriolis obtém-se a seguinte equação: 
𝑚𝑎′⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑚�⃗� + �⃗⃗� − 2𝑚�⃗⃗⃗� 𝑥 𝑣′⃗⃗⃗ ⃗ (7) 
 Na aproximação de pequenos ângulos, a contribuição da velocidade em z’ é desprezível frente 
à contribuição da velocidade em y’. Essa relação é desenvolvida com bastante cuidado nos slides de 
aula. Para mais informações, verificar os slides 68 e 69. Com essas deduções feitas, resta somente as 
duas componentes da aceleração no eixo x e y que, levando em consideração todos os cálculos feitos 
e, considerando que L é o comprimento do fio, g é a gravidade, 𝜔𝑇 é a velocidade angular da Terra e 
λ é a latitude, chega-se nas seguintes equações acopladas: 
 
�̈� = −
𝑔
𝐿
𝑥′ + 2𝑦′̇ 𝜔𝑇𝑠𝑒𝑛(𝜆) (8) 
�̈� = −
𝑔
𝐿
𝑦′ − 2𝑥′̇ 𝜔𝑇𝑠𝑒𝑛(𝜆) (9) 
 
O termo x’ e y’ acontece devido aos deslocamentos de ângulos pequenos e o termo g/L é uma 
simplificação da força gravitacional tangencial à trajetória do pêndulo. Com esses resultados e, 
principalmente, com as equações 8 e 9, é possível modelar o movimento do pêndulo no InsightMaker. 
 
3. Delineamento computacional 
 
 Nesta seção será discutida a montagem da modelagem no software Insight Maker. A simulação 
é encontrada no link a seguir: Pêndulo de Foucault. Primeiramente, foram criadas as variáveis que 
são constantes, como no caso da simulação o “wt”, o “g”, e o “L”. Depois disso, foram criados os 
dois stocks que iriam ter uma variação. 
 Primeiramente, foi criado o stock “x” e logo em seguida foi criado o stock “Vx”, depois disso, 
foram criados os stocks “y” e “Vy”. Nesses stocks foram acoplados flows que têm uma equação 
vinculada a cada um desses stocks. No caso de “x” e “y” os flows tem simplesmente o valor de “Vx” 
e “Vy” para fazer a sua variação. Já, as velocidades têm como o seu flow, as acelerações ligadas a 
cada coordenada, portanto, o “Vx “terá um flow com a equação 8 vinculada a ele e, o “Vy” terá a 
equação 9 vinculada a ele. É interessante perceber que as acelerações de “x” e “y” dependem das 
velocidades do outro. Analisando a equação 8, é possível perceber que a aceleração de “x” varia como 
g/L como parte real e a outra parte dependeda velocidade em “y” e, o mesmo acontece com a 
aceleração em “y”, portanto, dentro do software, um dos valores ou de “x” ou de “y” devem iniciar 
com 0 e o outro com um valor maior que 0. Nesse meio tempo, os links ente os stocks e as variáveis 
foram feitos. 
 Para os valores das variáveis, foram usados valores arbitrários para o comprimento e, para a 
latitude são utilizados os valores reais da velocidade angular da terra e da gravidade. Importante 
lembrar que a unidade angular padrão do site é em radianos. 
 
4. Resultados 
 
Nesta seção são apresentados os resultados obtidos no software e discutidos brevemente. 
Primeiramente é apresentada uma imagem do corpo da modelagem (Figura 3). 
 
 
 
 
https://insightmaker.com/insight/tf56iZFFEEJbpHTG4WxHv/P-ndulo-de-Foucault
Figura 3 – Modelagem no InsightMaker 
 
 
É possível observar, na Figura 3, os links entre as variáveis. Esses links devem ser feitos de 
forma cautelosa, pois um erro nos links pode causar um erro grande no fim da modelagem e, que é 
difícil de se identificar, uma vez feito. No entanto, tendo uma certa cautela, esse erro é simples de se 
prevenir. 
 É apresentado, nas Figura 4, 5 e 6, o resultado da simulação do Pêndulo em função de X x Y, 
X x tempo e, Y x tempo: 
Figura 4 – x vesus tempo 
 
 
 
Figura 5 – y versus tempo 
 
 
 
Figura 6 – x versus y 
 
 
O resultado mais importante é o de x versus y, pois mostra como o pêndulo se comportaria, 
caso o observador estivesse observando-o de cima. O tempo, que decorreu a simulação, foi escolhido 
de forma arbitrária e, o método utilizado para fornecer a resolução foi por Runge-Kutta. 
 
5. Conclusões 
 
Respondendo à questão levantada no primeiro tópico, afirma-se que sim, é possível montar 
uma simulação no InsightMaker do pêndulo de Focault. Para tal, é necessário ter um bom 
conhecimento de forças fictícias e seus equacionamentos. 
Com base na Figura 6, é possível verificar que o pêndulo tende a se deslocar para os lados e 
para cima, levando em conta um observador que está olhando de cima para o caminho que o pêndulo 
traça abaixo. Essa mudança e “giro”, são as contribuições da força de Coriolis no pêndulo. 
Na simulação, foram acoplados sliders para que a pessoa que esteja interagindo com a 
simulação, possa observar como muda o desenho do pêndulo com um comprimento de fio maior ou 
menor, ou, em latitudes diferentes. 
Foi muito interessante montar a simulação, pois é possível se visualizar uma solução numérica 
para um problema que parece difícil de se resolver somente com um papel e lápis. Isso demonstra a 
utilidade do software para o aprendizado e, também para descrever fenômenos complexos que são os 
de referenciais não inerciais e de forças fictícias. 
 
6. Referências Bibliográficas 
 
HEIDEMANN, Leonardo Albuquerque. Mecânica Clássica para a Licenciatura. Porto Alegre. 29 jul. 
2023. Apresentação de Slides. 75 slides. Disponível em: 
https://moodle.ufrgs.br/pluginfile.php/6194844/mod_resource/content/1/Referenciais_n%C3%A3o_
Inerciais_v2023_1.pdf 
PEREIRA, Rodrigo Weber. Mecânica Clássica para a Licenciatura. Porto Alegre. 29 
jul. 2023. Apresentação de Slides. 75 slides. Disponível em: 
https://moodle.ufrgs.br/pluginfile.php/6194844/mod_resource/content/1/Referenciais_n%C3%A3o_
Inerciais_v2023_1.pdf 
ZURITA, Marcelo. Pêndulo de Foucault: o experimento que comprovou a rotação da 
Terra há quase 2 séculos. Disponível em: https://olhardigital.com.br/2023/05/02/ciencia-e-
espaco/pendulo-de-foucault-o-experimento-que-comprovou-a-rotacao-da-terra-ha-quase-
2-seculos/. Acesso em: 03 ago. 2023. 
 
https://moodle.ufrgs.br/pluginfile.php/6194844/mod_resource/content/1/Referenciais_n%C3%A3o_Inerciais_v2023_1.pdf
https://moodle.ufrgs.br/pluginfile.php/6194844/mod_resource/content/1/Referenciais_n%C3%A3o_Inerciais_v2023_1.pdf
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