AP01_gabas

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Universidade Federal do Ceará 
Departamento de Engenharia Mecânica 
TE0312 – Dinâmica das Máquinas para Energias Renováveis 
AP01 – 29/01/2021 
Prof. Francisco Ilson da Silva Júnior 
Nome: ______________________________________________ matrícula: _________ 
 
 
Questão 1: (3,0 pontos) Usando a formulação de Euler-Lagrange, determine a equação 
diferencial do movimento do sistema a seguir composto pelas barras AB, CD e AD 
sujeitas às restrições de deslocamento indicadas e ação da gravidade (Pontos B e C 
fixos). Considere que as barras possuem massas e comprimentos segundo descrição da 
figura. Utilize ( )t e ( )t como coordenada e velocidade generalizada, 
respectivamente, para descrição do sistema dinâmico. 
 
 
L T V= − 
0
d L L
dt  
  
− = 
  
 
 
 
Solução: 
 
( )
2
2
21 12
2 3 2
ml
T M l 
 
= + 
 
, sendo gv l= 
 
2 cos cos
2
l
V mg Mgl = − − 
 
( )
( )
2
2
2
2 2
1 1
2 2 cos cos
2 3 2 2
1 2 3
cos
2 3
ml l
L T V L M l mg Mgl
m M
L l M m gl
   
 
 
= − → = + + + 
 
+ 
= + + 
 
 
 
 
( )
2 22 3 2 3
3 3
sin
L m M d L m M
l l
dt
L
M m gl
 
 


 +  +     
= → =     
      

= − +

 
 
O que resulta na seguinte EDO: 
 
( )
( )
22 3 sin 0
3
3
sin 0
2 3
m M
l M m gl
M mg
l m M
 
 
+ 
+ + = 
 
+
+ =
+
 
 
 
Questão 2: (3,0 pontos) Usando a formulação de Euler-Lagrange, determine a equação 
diferencial do movimento do sistema. Considere a posição inicial descrita na figura, a 
qual a mola não está distendida. A barra OA possui massa M. Utilize ( )t e ( )t = 
como coordenada e velocidade generalizada para descrição do sistema dinâmico. 
 
 
L T V= − 
0
d L L
dt  
  
− = 
  
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
( )
2
2
21
2 3
m a
T = 
 
21sin
2
V mga k x= +  
 
0
0
2 2 2 2
2
2 cos 2 1 cos
f
f f
x x x
x a
x a a a x a 
 = −
=
= + − → = −
 
 
( )
2
2 2
21 1
sin
2 3 2
m a
L T V L mga k x = − → = − −  
 
 
2 24 4
3 3
cos
L ma d L ma
dt
L d x
mga k x
d
 
 

 
  
= → = 
  
 
= − − 

 
Utilizando a seguinte relação trigonométrica: 
 
2 1 cossin 2 sin 1 cos
2 2 2
  

−
= → = − 
 
Resultando em: 
2 sin 2
2
cos
2
x a a
d x
a
d



 = −

= −
 
 
O que resulta na seguinte EDO: 
 
24
cos 2 2 sin cos 0
3 2 2
ma
mga k a a a
 
 
 
+ + − = 
 
 
 
 
Questão 3: (4,0 pontos) As medidas de vibração obtidas em um procedimento dinâmico 
com efeito cruzado são: 
0
1,0
0
1,1
0
1,2
0
1
2,6 / 45
2,8 / 60
3,2 /150
5,0 / 45t
V mm
V mm
V mm
m g
=
=
=
=
 
0
2,0
0
2,1
0
2,2
0
2
3,3 /130
5,8 / 210
4,7 / 65
5,0 / 45t
V mm
V mm
V mm
m g
=
=
=
=
 
 
Usando as expressões, determine as massas de correção, bem como as suas 
representações nos planos do eixo a ser balanceado descritos a seguir. 
 
 
 
2,0 1,1 1,0 1,0 2,1 2,0
2
2,1 2,0 1,2 1,0 2,2 2,0 1,1 1,0
( ) ( )
( )( ) ( )( )
V V V V V V
Q
V V V V V V V V
− − −
=
− − − − −
 
2,0 1,2 1,0 1,0 2,2 2,0
1
2,1 2,0 1,2 1,0 2,2 2,0 1,1 1,0
( ) ( )
( )( ) ( )( )
V V V V V V
Q
V V V V V V V V
− − −
=
− − − − −
 
1 1 1
2 2 2
c t
c t
m Q m
m Q m
=
=
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1,0
1,1
1,2
1,84 1,84
1,40 2,42
2,77 1,60
V j
V j
V j
= +
= +
= − +
 
2,0
2,1
2,2
2,12 2,53
5,02 2,90
1,99 4,26
V j
V j
V j
= − +
= − −
= +
 
 
 
0
1 1 10,55 0,59 4,01 47,13cQ j m g = + → = → = 
 
0
2 2 20,29 0,40 2,47 53,61cQ j m g = + → = → =