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No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (2,−1) = (−9, 15, 0) e T (4,−3) = (−19, 35, 2). Se o
valor de T (−2, 0) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) 3.
(B) 0.
(C) 4.
(D) 1.
(E) 5.
(F) 2.
(G) −1.
(H) −2.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) ∈ R6 |
x1 + x2 + x3 − x4 − 2x5 − 2x6 = 2,
x1 − x2 + 2x3 + x4 − 3x5 − 3x6 = 6,
x1 − 3x2 + 3x3 + 3x4 − 4x5 − 4x6 = 10}.
(A) 1
(B) 4
(C) 5
(D) 3
(E) 6
(F) 2
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo.
II - O conjunto de todos v ∈ R7 tais que todas entradas
de Av são positivas, onde A é uma matriz 9× 7.
III - O conjunto das matrizes A3×3 onde a22 = −a33 (aij
é a entrada da matriz A da linha i, coluna j).
IV - O conjunto unitário contendo o vetor (1, 1, 1, 1) ∈ R4.
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas II e III.
(B) Apenas II e IV.
(C) Apenas III e IV.
(D) Apenas I e III.
(E) Apenas I e IV.
(F) Apenas I e II.
Q4: Seja W = span
{
−1 + x2, x+ x3, x− x2
}
.
Sabendo-se que 12x+6x3 + k ∈W , pode-se concluir que
k vale:
(A) −6.
(B) −5.
(C) −4.
(D) −10.
(E) −3.
(F) −8.
(G) −7.
(H) −9.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se A é quadrada (ou seja, m = p), então TA é bijetiva.
II - Se TC é injetiva, então TA é injetiva.
III - Se TC é sobrejetiva, então TA é sobrejetiva.
IV - Se TA e TB são ambas bijetivas, então TC é bijetiva.
(A) Apenas II e IV são verdadeiras.
(B) Apenas III e IV são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Apenas I e IV são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−2, 3), (−1, 1), (2,−41) e (3,−7), isto é, o
polinômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co contém
estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é utili-
zando a base de Newton,
β =
{
(x+ 2)(x+ 1)(x− 2),
(x+ 2)(x+ 1), (x+ 2), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) 10.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 3.
(E) 4.
(F) 6.
(G) 9.
(H) 5.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.1No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.1No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.1
No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
2
−1
−2
−2
1
,

2
3
0
−3
−3
0
,

1
1
1
−1
−1
−1


N = span


2
5
−4
−5
−5
4
,

1
4
−5
−4
−4
5
,

1
3
−3
−3
−3
3


Calcule dim(M +N):
(A) 3.
(B) 5.
(C) 4.
(D) 6.
(E) 2.
(F) 1.
(G) 0.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

−17
10
41
−30
 e β=


1
−1
−2
2
 ,

−2
3
2
−6
,

1
0
−3
1
 ,

3
−1
−9
4

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule o valor de d.
(A) 2.
(B) −3.
(C) −2.
(D) −1.
(E) 4.
(F) −4.
(G) 3.
(H) 1.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1 − xi)(xi − xi−1)(xi+1 − xi−1). Para
o intervalo [−2, 8], considere a seguinte malha: x0 =
−2, x1 = 2, x2 = 3 e x3 = 8. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábola que interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

− 14
1
4 0 0
− 112 −
1
4
1
3 0
0 − 514
3
10
2
35
0 0 − 15
1
5

(B)

− 14
1
4 0 0
− 120 −
3
4
4
5 0
0 − 56
4
5
1
30
0 0 − 15
1
5

(C)

− 14
1
4 0 0
− 18 0
1
8 0
0 − 536
1
20
4
45
0 0 − 15
1
5

(D)

−1 1 0 0
− 23
1
2
1
6 0
0 − 14 0
1
4
0 0 − 12
1
2

(E)

−1 1 0 0
− 56
4
5
1
30 0
0 − 235 −
3
10
5
14
0 0 − 12
1
2

(F)

−1 1 0 0
− 45
3
4
1
20 0
0 − 112 −
1
4
1
3
0 0 − 12
1
2

No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.2No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.2No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.2
No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes
Q10: Calcule a dimensão do espaço-linha da matriz
A =

1 2 1 2 1 −2
1 1 3 4 3 −1
−1 −1 −5 0 1 3
−2 −2 −5 −13 −14 4
−1 −4 5 0 4 −1
 .
(A) 6
(B) 5
(C) 2
(D) 0
(E) 4
(F) 3
(G) 1
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 30 graus e uma projeção T sobre o eixo y.
A matrix que representa a transformação linear RT é:
(A)
[ √
3
2 −
1
2
− 12 −
√
3
2
]
(B)
[
0 0
1
2
√
3
2
]
(C)
[√
3
2 0
1
2 0
]
(D)
[
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2
]
(E)
[√
3
2 −
1
2
0 0
]
(F)
[
0 − 12
0
√
3
2
]
(G)
[√
3
2
1
2
1
2 −
√
3
2
]
(H)
[
−
√
3
2 −
1
2
− 12
√
3
2
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 12
−3
 =
 −3−6
3
 , A
 1−1
0
 =
 33
0

e A
 −2−5
8
 =
 −3−7
5
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Pode-se a�rmar que A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
(C) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
(D) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Se a dimensão do núcleo de T : R66 → R57 é maior ou
igual a 15, então a dimensão da imagem de T é menor ou
igual a 42.
II - Se a dimensão da imagem de T : R56 → R48 é maior
ou igual a 35, então a dimensão do núcleo de T é menor
ou igual a 13.
III - Se a dimensão da imagem de T : R99 → R107 é menor
ou igual a 84, então a dimensão do núcleo de T é maior
ou igual a 15.
IV - Se a dimensão do núcleo de T : R23 → R35 é menor
ou igual a 15, então a dimensão da imagem de T é maiorou igual a 8.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e IV são verdadeiras.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II e IV são verdadeiras.
(F) Apenas III e IV são verdadeiras.
Q14: A única transformação linear abaixo que NÃO é
INJETIVA é:
(A) Uma rotação de 210 graus em torno do eixo x em R3,
seguida da projeção no plano 4x− 8 y − 4 z = 0 em R3.
(B) A re�exão em torno do plano 2x + y − 6 z = 0 em
R3.
(C) A rotação de 120 graus no sentido anti-horário em
torno da origem em R2, seguida da re�exão em torno da
reta span {(−6,−1)} do R2.
(D) Um cisalhamento em R2.
(E) Uma rotação de 60 graus em torno do eixo x em R3,
seguida da re�exão em torno do plano 7x+ 8 y + 7 z = 0
em R3.
(F) Uma rotação de 90 graus em torno do eixo x em R3.
(G) Uma rotação de 60 graus em torno da origem em
R2.
No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.3No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.3No. 1: Adriano Brito De Sa Fernandes p.3
No. 2: Adriely Martins Da Silva
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (1, 3) = (−1,−2,−12) e T (−3,−2) = (−4, 13, 8). Se o
valor de T (−10,−9) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) 62.
(B) 67.
(C) 61.
(D) 63.
(E) 64.
(F) 65.
(G) 60.
(H) 66.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 |
x1 − 2x2 − 2x3 + 2x4 − x5 = 2,
− 2x1 + 2x2 + 5x3 − 5x4 + 3x5 = −1,
x1 + 2x2 − 5x3 + 5x4 − 2x5 = −3}.
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 5
(E) 1
(F) 6
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto unitário contendo o vetor nulo do R7.
II - O conjunto de todos v ∈ R2 tais que todas entradas
de Av são positivas, onde A é uma matriz 4× 2.
III - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo.
IV - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo
2 tais que p(8) = 9p(5).
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas I e II.
(B) Apenas I e IV.
(C) Apenas II e IV.
(D) Apenas III e IV.
(E) Apenas I e III.
(F) Apenas II e III.
Q4: Seja W = span
{
1 + x2, −x+ x3, x+ x2
}
.
Sabendo-se que 2x+9x2+2x3+k ∈W , pode-se concluir
que k vale:
(A) 3.
(B) 0.
(C) 4.
(D) 6.
(E) 5.
(F) 2.
(G) 7.
(H) 1.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se A é quadrada (ou seja, m = p), então TA é bijetiva.
II - Se TC é bijetiva, então TA e TB são ambas bijetivas.
III - Se TC é sobrejetiva, então TA é sobrejetiva.
IV - Se TC é injetiva, então TB é injetiva.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II e IV são verdadeiras.
(E) Apenas III e IV são verdadeiras.
(F) Apenas I e IV são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−2, 2), (0,−4), (1, 2) e (3, 122), isto é, o po-
linômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co contém
estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é utili-
zando a base de Newton,
β =
{
(x+ 2)(x)(x− 1),
(x+ 2)(x), (x+ 2), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) 4.
(B) 0.
(C) 7.
(D) 3.
(E) 1.
(F) 6.
(G) 2.
(H) 5.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
No. 2: Adriely Martins Da Silva p.1No. 2: Adriely Martins Da Silva p.1No. 2: Adriely Martins Da Silva p.1
No. 2: Adriely Martins Da Silva
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
−2
2
1
−1
2
,

−1
5
0
−2
2
−3
,

−1
5
3
−1
1
−2


N = span


1
−5
6
7
−3
7
,

−2
1
−3
6
3
0
,

−1
−4
−9
6
3
1


Calcule dim(M +N):
(A) 5.
(B) 3.
(C) 0.
(D) 4.
(E) 6.
(F) 1.
(G) 2.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

−14
37
−31
−34
 e β=


2
−4
2
6
 ,

−2
7
−5
−9
,

1
−4
6
−1
 ,

2
−3
3
0

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule o valor de d.
(A) −2.
(B) 1.
(C) −3.
(D) −1.
(E) −4.
(F) 2.
(G) 4.
(H) 3.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1−xi)(xi−xi−1)(xi+1−xi−1). Para o
intervalo [4, 10], considere a seguinte malha: x0 = 4,
x1 = 6, x2 = 9 e x3 = 10. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábola que interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

− 12
1
2 0 0
− 514
3
10
2
35 0
0 − 130 −
4
5
5
6
0 0 −1 1

(B)

− 12
1
2 0 0
− 310
1
6
2
15 0
0 − 112 −
2
3
3
4
0 0 −1 1

(C)

− 12
1
2 0 0
− 14 0
1
4 0
0 − 16 −
1
2
2
3
0 0 −1 1

(D)

− 13
1
3 0 0
− 524
2
15
3
40 0
0 − 110 0
1
10
0 0 − 15
1
5

(E)

− 13
1
3 0 0
− 215 −
1
6
3
10 0
0 − 514
3
10
2
35
0 0 − 15
1
5

(F)

− 13
1
3 0 0
− 112 −
2
3
3
4 0
0 − 56
4
5
1
30
0 0 − 15
1
5

No. 2: Adriely Martins Da Silva p.2No. 2: Adriely Martins Da Silva p.2No. 2: Adriely Martins Da Silva p.2
No. 2: Adriely Martins Da Silva
Q10: Calcule a dimensão do espaço-coluna da matriz
A =

1 1 2 −1 1
2 4 5 −3 3
−2 −4 −6 4 −2
−2 −4 −7 8 0
−2 −6 −8 3 −3
−1 1 −3 8 4
 .
(A) 1
(B) 0
(C) 4
(D) 6
(E) 5
(F) 3
(G) 2
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 300 graus e uma projeção T sobre o eixo y.
A matrix que representa a transformação linear RT é:
(A)
[
1
2 −
√
3
2
−
√
3
2 −
1
2
]
(B)
[
0 0
−
√
3
2
1
2
]
(C)
[
1
2
√
3
2
0 0
]
(D)
[
0
√
3
2
0 12
]
(E)
[
− 12 −
√
3
2
−
√
3
2
1
2
]
(F)
[
1
2
√
3
2√
3
2 −
1
2
]
(G)
[ 1
2 0
−
√
3
2 0
]
(H)
[
− 12
√
3
2√
3
2
1
2
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 26
4
 =
 26
4
 , A
 −10
−5
 =
 23
−2

e A
 15
1
 =
 −1−4
−4
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Pode-se a�rmarque A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
(C) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
(D) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Se a dimensão da imagem de T : R31 → R22 é maior
ou igual a 9, então a dimensão do núcleo de T é menor ou
igual a 13.
II - Se a dimensão da imagem de T : R69 → R76 é menor
ou igual a 56, então a dimensão do núcleo de T é maior
ou igual a 13.
III - Sabendo que T : R34 → R26 e Tv 6= 0 para algum v,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 33.
IV - Se a dimensão do núcleo de T : R56 → R70 é menor
ou igual a 17, então a dimensão da imagem de T é maior
ou igual a 53.
(A) Apenas I e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e IV são verdadeiras.
(D) Apenas III e IV são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
Q14: A única transformação linear abaixo que NÃO é
INJETIVA é:
(A) A rotação de 120 graus no sentido anti-horário em
torno da origem em R2, seguida da re�exão em torno da
reta span {(5,−5)} do R2.
(B) A projeção no plano 7x− 7 y + 8 z = 0 em R3.
(C) Uma rotação de 60 graus em torno do eixo y em R3,
seguida da re�exão em torno do plano 9x+ 7 y + 9 z = 0
em R3.
(D) Um cisalhamento em R2.
(E) A re�exão em torno do plano 6x+y+6 z = 0 em R3,
seguida de uma rotação de 150 graus em torno do eixo y
em R3.
(F) Uma rotação de 90 graus em torno da origem em R2.
(G) A re�exão em torno do plano 3x+ 8 y − 7 z = 0 em
R3.
No. 2: Adriely Martins Da Silva p.3No. 2: Adriely Martins Da Silva p.3No. 2: Adriely Martins Da Silva p.3
No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (−2,−3) = (−6, 23,−16) e T (−1, 1) = (−3,−1,−3). Se
o valor de T (−4,−11) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) 19.
(B) 18.
(C) 24.
(D) 17.
(E) 21.
(F) 20.
(G) 23.
(H) 22.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) ∈ R6 |
x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 + 2x5 − 2x6 = 5,
x1 − 4x2 + x3 − 3x4 + x5 − 4x6 = 16,
x1 − 4x2 + 4x3 − 2x4 − x5 − 5x6 = 16}.
(A) 4
(B) 2
(C) 5
(D) 1
(E) 3
(F) 6
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto das matrizes A3×3 onde a22 = −a33 (aij é
a entrada da matriz A da linha i, coluna j).
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo
2 tais que p(6) = 9 + p(3).
III - O conjunto de todos v ∈ R7 tais que Av = 0, onde
A é uma matriz 2× 7.
IV - O conjunto unitário contendo o vetor (1, 1, 1, 1) ∈ R4.
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas III e IV.
(B) Apenas I e II.
(C) Apenas II e IV.
(D) Apenas I e IV.
(E) Apenas I e III.
(F) Apenas II e III.
Q4: Seja W = span
{
1 + x2, −x+ x3, x+ x2
}
.
Sabendo-se que 2x+11x2+4x3+k ∈W , pode-se concluir
que k vale:
(A) 5.
(B) 8.
(C) 7.
(D) 2.
(E) 6.
(F) 9.
(G) 4.
(H) 3.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se TC é bijetiva, então TA e TB são ambas bijetivas.
II - Se TA é bijetiva, então A é quadrada (ou seja, m = p).
III - Se TC é sobrejetiva, então TB é sobrejetiva.
IV - Se TC é injetiva, então TB é injetiva.
(A) Apenas III e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e IV são verdadeiras.
(F) Apenas II e IV são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−2, 2), (−1, 4), (0, 4) e (3, 172), isto é, o po-
linômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co contém
estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é utili-
zando a base de Newton,
β =
{
(x+ 2)(x+ 1)(x),
(x+ 2)(x+ 1), (x+ 2), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) 4.
(B) 5.
(C) 3.
(D) 7.
(E) 1.
(F) 6.
(G) 2.
(H) 0.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto p.1No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto p.1No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto p.1
No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
−2
−1
−1
−1
−1
,

−2
2
0
0
0
1
,

1
2
3
3
3
1


N = span


1
−6
−5
−5
−5
−3
,

1
0
1
1
1
0
,

−2
8
6
6
6
4


Calcule dim(M +N):
(A) 3.
(B) 4.
(C) 2.
(D) 0.
(E) 1.
(F) 6.
(G) 5.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

−15
−11
22
−44
 e β=


1
1
−2
3
 ,

−2
−1
2
−5
,

2
0
−2
2
 ,

−1
−3
4
−8

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule o valor de d.
(A) 3.
(B) 4.
(C) 1.
(D) −3.
(E) −1.
(F) −2.
(G) 2.
(H) −4.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1 − xi)(xi − xi−1)(xi+1 − xi−1). Para
o intervalo [−3, 9], considere a seguinte malha: x0 =
−3, x1 = 0, x2 = 4 e x3 = 9. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábola que interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

− 14
1
4 0 0
− 536
1
20
4
45 0
0 − 130 −
4
5
5
6
0 0 −1 1

(B)

− 13
1
3 0 0
− 421
1
12
3
28 0
0 − 536
1
20
4
45
0 0 − 15
1
5

(C)

− 14
1
4 0 0
− 120 −
3
4
4
5 0
0 − 12 0
1
2
0 0 −1 1

(D)

− 13
1
3 0 0
− 112 −
2
3
3
4 0
0 − 56
4
5
1
30
0 0 − 15
1
5

(E)

− 14
1
4 0 0
− 328 −
1
12
4
21 0
0 − 112 −
2
3
3
4
0 0 −1 1

(F)

− 13
1
3 0 0
− 16 0
1
6 0
0 − 524
2
15
3
40
0 0 − 15
1
5

No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto p.2No. 3: Afonso Mateus Da SilvaPinto p.2No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto p.2
No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto
Q10: Calcule a dimensão do espaço-coluna da matriz
A =

1 2 1 2 −1 2
−2 −3 −4 −2 0 −5
−2 −6 2 −8 6 −2
−1 −4 3 −6 5 0
1 3 −1 4 −3 1
 .
(A) 6
(B) 0
(C) 2
(D) 4
(E) 3
(F) 5
(G) 1
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 150 graus e uma projeção T sobre o eixo x.
A matrix que representa a transformação linear RT é:
(A)
[ √
3
2 −
1
2
− 12 −
√
3
2
]
(B)
[
0 − 12
0 −
√
3
2
]
(C)
[
−
√
3
2 −
1
2
− 12
√
3
2
]
(D)
[
−
√
3
2 −
1
2
0 0
]
(E)
[√
3
2
1
2
1
2 −
√
3
2
]
(F)
[
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2
]
(G)
[
−
√
3
2 0
1
2 0
]
(H)
[
0 0
1
2 −
√
3
2
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 −3−9
−6
 =
 −26
−4
 , A
 312
3
 =
 −37
−8

e A
 27
4
 =
 −24
−5
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(C) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Se a dimensão do núcleo de T : R35 → R27 é maior ou
igual a 16, então a dimensão da imagem de T é menor ou
igual a 11.
II - Se a dimensão da imagem de T : R76 → R88 é menor
ou igual a 60, então a dimensão do núcleo de T é maior
ou igual a 16.
III - Sabendo que T : R84 → R80 e Tv 6= 0 para algum v,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 83.
IV - Se a dimensão do núcleo de T : R49 → R60 é menor
ou igual a 16, então a dimensão da imagem de T é maior
ou igual a 44.
(A) Apenas I e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Apenas II e IV são verdadeiras.
(F) Apenas III e IV são verdadeiras.
Q14: A única transformação linear abaixo que é INJE-
TIVA é:
(A) A re�exão em torno do plano 7x− 2 y − 7 z = 0 em
R3, seguida da projeção na reta span {(1,−5, 9)} do R3.
(B) A projeção no plano x+ 3 y + z = 0 em R3.
(C) A projeção na reta span {(1,−7)} do R2.
(D) A re�exão em torno do eixo x em R2, seguida da
projeção na reta span {(3,−4)} do R2.
(E) Uma rotação de 90 graus em torno do eixo y em R3,
seguida da projeção no plano 4x+ 7 y + 8 z = 0 em R3.
(F) A re�exão em torno do plano 6x + 4 y − 7 z = 0 em
R3.
(G) A projeção na reta span {(−2,−5)} do R2, seguida
da re�exão em torno do eixo y em R2.
No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto p.3No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto p.3No. 3: Afonso Mateus Da Silva Pinto p.3
No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (−1, 3) = (−14, 3, 14) e T (1,−2) = (10,−3,−10). Se o
valor de T (−2, 7) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) 7.
(B) 10.
(C) 8.
(D) 12.
(E) 11.
(F) 9.
(G) 5.
(H) 6.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 |
x1 − x2 − 2x3 − x4 − x5 = 8,
x1 + x2 − x3 − 2x4 − 2x5 = 3,
− 2x1 + 6x2 + 5x3 − x4 − 2x5 = −24}.
(A) 6
(B) 2
(C) 1
(D) 3
(E) 4
(F) 5
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2
tais que p(3) = 7p(5).
II - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo.
III - O conjunto unitário contendo o vetor (1, 1, 1, 1) ∈ R4.
IV - O conjunto de todos v ∈ R9 tais que Av = 0, onde
A é uma matriz 4× 9.
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas I e III.
(B) Apenas II e III.
(C) Apenas III e IV.
(D) Apenas I e IV.
(E) Apenas I e II.
(F) Apenas II e IV.
Q4: Seja W = span
{
1 + x2, −x+ x3, x+ x2
}
.
Sabendo-se que 4x+9x2+2x3+k ∈W , pode-se concluir
que k vale:
(A) 3.
(B) −2.
(C) 0.
(D) −1.
(E) −3.
(F) 1.
(G) 2.
(H) −4.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se A é quadrada (ou seja, m = p), então TA é bijetiva.
II - Se TC é bijetiva, então TA e TB são ambas bijetivas.
III - Se TC é sobrejetiva, então TA é sobrejetiva.
IV - Se TC é injetiva, então TB é injetiva.
(A) Apenas III e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas II e IV são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e IV são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−3, 2), (−2, 0), (−1, 2) e (1, 42), isto é, o po-
linômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co contém
estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é utili-
zando a base de Newton,
β =
{
(x+ 3)(x+ 2)(x+ 1),
(x+ 3)(x+ 2), (x+ 3), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) 5.
(B) 1.
(C) −1.
(D) 2.
(E) 0.
(F) 6.
(G) 3.
(H) 4.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.1No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.1No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.1
No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
2
2
−2
−1
1
,

2
1
5
−6
−1
4
,

2
7
4
−4
−1
−2


N = span


−1
−8
−1
1
−1
6
,

2
7
5
−4
−6
−1
,

−1
1
−4
5
6
−4


Calcule dim(M +N):
(A) 3.
(B) 6.
(C) 2.
(D) 1.
(E) 0.
(F) 4.
(G) 5.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

13
31
8
12
 e β=


−2
−6
2
−6
 ,

−2
−3
−4
3
,

−1
0
−3
4
 ,

1
1
4
−2

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule o valor de d.
(A) 1.
(B) −1.
(C) 4.
(D) 2.
(E) 3.
(F) −2.
(G) −3.
(H) −4.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1 − xi)(xi − xi−1)(xi+1 − xi−1). Para
o intervalo [−1, 7], considere a seguinte malha: x0 =
−1, x1 = 1, x2 = 6 e x3 = 7. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábolaque interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

− 12
1
2 0 0
− 14 0
1
4 0
0 − 16 −
1
2
2
3
0 0 −1 1

(B)

− 15
1
5 0 0
− 235 −
3
10
5
14 0
0 − 310
1
6
2
15
0 0 − 13
1
3

(C)

− 12
1
2 0 0
− 310
1
6
2
15 0
0 − 112 −
2
3
3
4
0 0 −1 1

(D)

− 15
1
5 0 0
− 130 −
4
5
5
6 0
0 − 34
2
3
1
12
0 0 − 13
1
3

(E)

− 12
1
2 0 0
− 514
3
10
2
35 0
0 − 130 −
4
5
5
6
0 0 −1 1

(F)

− 15
1
5 0 0
− 340 −
2
15
5
24 0
0 − 16 0
1
6
0 0 − 13
1
3

No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.2No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.2No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.2
No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos
Q10: Calcule a dimensão do espaço-coluna da matriz
A =

1 1 2 2 −2
2 −1 3 5 −3
−2 1 −4 −4 2
−2 1 −2 −4 6
2 −4 1 11 1
−1 2 1 −9 −1
 .
(A) 5
(B) 3
(C) 2
(D) 6
(E) 4
(F) 1
(G) 0
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 240 graus e uma projeção T sobre o eixo x.
A matrix que representa a transformação linear RT é:
(A)
[
1
2
√
3
2√
3
2 −
1
2
]
(B)
[
1
2 −
√
3
2
−
√
3
2 −
1
2
]
(C)
[
0
√
3
2
0 − 12
]
(D)
[
− 12 −
√
3
2
−
√
3
2
1
2
]
(E)
[
− 12
√
3
2√
3
2
1
2
]
(F)
[
0 0
−
√
3
2 −
1
2
]
(G)
[
− 12
√
3
2
0 0
]
(H)
[
− 12 0
−
√
3
2 0
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 −24
2
 =
 39
6
 , A
 −37
2
 =
 −2−4
−6

e A
 −33
7
 =
 −3−8
−7
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Pode-se a�rmar que A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
(C) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Se a dimensão do núcleo de T : R24 → R35 é me-
nor ou igual a 14, então a dimensão da imagem de T é
maior ou igual a 21.
II - Sabendo que T : R87 → R79 e que existem vetores u
e v linearmente independentes tais que Tu 6= 0 e Tv 6= 0,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 86.
III - Sabendo que T : R64 → R57 e Tv 6= 0 para algum v,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 63.
IV - Se a dimensão do núcleo de T : R84 → R74 é maior
ou igual a 14, então a dimensão da imagem de T é menor
ou igual a 60.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas II e IV são verdadeiras.
(C) Apenas III e IV são verdadeiras.
(D) Apenas I e IV são verdadeiras.
(E) Apenas I e III são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
Q14: A única transformação linear abaixo que NÃO é
SOBREJETIVA é:
(A) Um cisalhamento em R2.
(B) Uma rotação de 240 graus em torno do eixo y em R3,
seguida da re�exão em torno do plano 2x+ 9 y + 5 z = 0
em R3.
(C) A rotação de 210 graus no sentido anti-horário em
torno da origem em R2, seguida da re�exão em torno da
reta span {(4, 2)} do R2.
(D) A re�exão em torno do plano 3x− 6 y − 8 z = 0 em
R3, seguida de uma rotação de 150 graus em torno do eixo
x em R3.
(E) Uma rotação de 60 graus em torno do eixo x em R3.
(F) A projeção na reta x−2 y = 0 do R2, seguida de uma
rotação de 30 graus em torno da origem em R2.
(G) Uma rotação de 240 graus em torno da origem em
R2.
No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.3No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.3No. 4: Alessandro Barbosa Vantuir Dos Santos p.3
No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (−3, 4) = (10,−7,−9) e T (−2,−1) = (3,−12,−6). Se o
valor de T (7,−13) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) −3.
(B) 0.
(C) −2.
(D) 2.
(E) −1.
(F) 3.
(G) −4.
(H) 1.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 |
x1 + x2 − 2x3 − 2x4 − x5 = 1,
2x1 + 4x2 − 6x3 − 6x4 − x5 = −4,
− x1 − 5x2 + 3x3 + 7x4 − 3x5 = 19}.
(A) 3
(B) 6
(C) 4
(D) 1
(E) 2
(F) 5
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto de todos v ∈ R3 tais que Av = 0, onde A
é uma matriz 5× 3.
II - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo.
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo
2 tais que p(4) = 8 + p(7).
IV - O conjunto das matrizes A3×3 onde a22 + a33 = 9
(aij é a entrada da matriz A da linha i, coluna j).
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas II e III.
(B) Apenas II e IV.
(C) Apenas I e IV.
(D) Apenas I e II.
(E) Apenas III e IV.
(F) Apenas I e III.
Q4: Seja W = span
{
1 + x2, x+ x3, x− x2
}
.
Sabendo-se que 6x+ x2 + 3x3 + k ∈W , pode-se concluir
que k vale:
(A) −2.
(B) 0.
(C) 2.
(D) −1.
(E) 4.
(F) 5.
(G) 1.
(H) 3.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se TC é sobrejetiva, então TB é sobrejetiva.
II - Se TA é bijetiva, então A é quadrada (ou seja, m = p).
III - Se TC é bijetiva, então TA e TB são ambas bijetivas.
IV - Se TC é injetiva, então TB é injetiva.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas II e IV são verdadeiras.
(D) Apenas III e IV são verdadeiras.
(E) Apenas I e IV são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−3, 3), (−2, 1), (0,−21) e (2, 13), isto é, o po-
linômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co contém
estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é utili-
zando a base de Newton,
β =
{
(x+ 3)(x+ 2)(x),
(x+ 3)(x+ 2), (x+ 3), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) 2.
(B) −3.
(C) 0.
(D) −1.
(E) 3.
(F) 4.
(G) 1.
(H) −2.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.1No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.1No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.1
No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
−2
−2
−1
−2
1
,

1
−5
−4
−2
0
3
,

1
−8
−6
−3
2
5


N = span


−2
1
2
1
6
0
,

−1
−1
0
0
4
1
,

−1
−4
−2
−1
6
3


Calcule dim(M +N):
(A) 6.
(B) 1.
(C) 3.
(D) 5.
(E) 4.
(F) 2.
(G) 0.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

11
8
−19
25
 e β=


1
1
−1
3
 ,

3
1
−9
3
,

1
−1
−6
0
 ,

1
2
4
10

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule ovalor de d.
(A) 3.
(B) −1.
(C) −4.
(D) 4.
(E) −3.
(F) −2.
(G) 2.
(H) 1.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1−xi)(xi−xi−1)(xi+1−xi−1). Para o
intervalo [0, 9], considere a seguinte malha: x0 = 0,
x1 = 5, x2 = 6 e x3 = 9. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábola que interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

−1 1 0 0
− 56
4
5
1
30 0
0 − 235 −
3
10
5
14
0 0 − 12
1
2

(B)

− 15
1
5 0 0
− 110 0
1
10 0
0 − 340 −
2
15
5
24
0 0 − 13
1
3

(C)

− 15
1
5 0 0
− 130 −
4
5
5
6 0
0 − 34
2
3
1
12
0 0 − 13
1
3

(D)

− 15
1
5 0 0
− 235 −
3
10
5
14 0
0 − 310
1
6
2
15
0 0 − 13
1
3

(E)

−1 1 0 0
− 23
1
2
1
6 0
0 − 14 0
1
4
0 0 − 12
1
2

(F)

−1 1 0 0
− 34
2
3
1
12 0
0 − 215 −
1
6
3
10
0 0 − 12
1
2

No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.2No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.2No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.2
No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior
Q10: Calcule a dimensão do espaço-coluna da matriz
A =

1 2 1 1 −2 2
2 1 −4 5 −1 7
−1 −1 −2 1 −5 −9
−1 −4 −4 2 10 6
2 2 −4 5 −11 −3
 .
(A) 1
(B) 3
(C) 6
(D) 0
(E) 5
(F) 4
(G) 2
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 30 graus e uma re�exão T através do eixo
y. A matrix que representa a transformação linear TR é:
(A)
[
0 − 12
0
√
3
2
]
(B)
[
0 0
1
2
√
3
2
]
(C)
[
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2
]
(D)
[√
3
2 0
1
2 0
]
(E)
[√
3
2
1
2
1
2 −
√
3
2
]
(F)
[√
3
2 −
1
2
0 0
]
(G)
[
−
√
3
2 −
1
2
− 12
√
3
2
]
(H)
[ √
3
2 −
1
2
− 12 −
√
3
2
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 22
−2
 =
 1−1
1
 , A
 10
−2
 =
 10
3

e A
 −30
7
 =
 −13
3
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(C) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
(D) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Sabendo que T : R46 → R39 e Tv 6= 0 para algum
v, então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 38.
II - Sabendo que T : R76 → R69 e que existem vetores u
e v linearmente independentes tais que Tu 6= 0 e Tv 6= 0,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 75.
III - Se a dimensão da imagem de T : R108 → R100 é
maior ou igual a 87, então a dimensão do núcleo de T é
menor ou igual a 13.
IV - Se a dimensão do núcleo de T : R21 → R32 é menor
ou igual a 14, então a dimensão da imagem de T é maior
ou igual a 7.
(A) Apenas III e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas II e IV são verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e IV são verdadeiras.
Q14: A única transformação linear abaixo que é SO-
BREJETIVA é:
(A) A re�exão em torno do eixo x em R2, seguida da
projeção na reta span {(7,−5)} do R2.
(B) A projeção no plano 6x− 9 y − 3 z = 0 em R3.
(C) A rotação de 210 graus no sentido anti-horário em
torno da origem em R2, seguida da re�exão em torno da
reta span {(2, 1)} do R2.
(D) A projeção na reta 9x − 3 y = 0 do R2, seguida de
uma rotação de 30 graus em torno da origem em R2.
(E) A projeção na reta span {(−2,−2)} do R2.
(F) A re�exão em torno do plano 9x + 3 y − 5 z = 0 em
R3, seguida da projeção na reta span {(−1, 9, 9)} do R3.
(G) Uma rotação de 120 graus em torno do eixo y em R3,
seguida da projeção no plano x+ y − 3 z = 0 em R3.
No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.3No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.3No. 5: Alexandre Antonio De Oliveira Lopes Junior p.3
No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (−1, 2) = (−5,−6,−2) e T (−3, 4) = (−13,−10,−6). Se
o valor de T (6,−10) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) 63.
(B) 66.
(C) 64.
(D) 68.
(E) 65.
(F) 69.
(G) 62.
(H) 67.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 |
x1 − 2x2 + 2x3 − x4 = −7,
2x1 − 6x2 + 2x3 − 4x4 = −16,
2x1 − 6x2 + 5x3 − 2x4 = −18}.
(A) 2
(B) 3
(C) 5
(D) 6
(E) 1
(F) 4
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto de todos v ∈ R9 tais que Av = 0, onde A
é uma matriz 5× 9.
II - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo.
III - O conjunto das matrizes A3×3 onde a22 = −a33 (aij
é a entrada da matriz A da linha i, coluna j).
IV - O conjunto unitário contendo o vetor (1, 1, 1, 1) ∈ R4.
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas II e III.
(B) Apenas II e IV.
(C) Apenas I e IV.
(D) Apenas III e IV.
(E) Apenas I e II.
(F) Apenas I e III.
Q4: Seja W = span
{
1 + x2, −x+ x3, x− x2
}
.
Sabendo-se que −2x+6x3+k ∈W , pode-se concluir que
k vale:
(A) 0.
(B) 4.
(C) 3.
(D) −2.
(E) −1.
(F) 2.
(G) 1.
(H) −3.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se TC é injetiva, então TA é injetiva.
II - Se TC é sobrejetiva, então TA é sobrejetiva.
III - Se TA é bijetiva, então A é quadrada (ou seja,m = p).
IV - Se TC é bijetiva, então TA e TB são ambas bijetivas.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e IV são verdadeiras.
(D) Apenas I e IV são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas III e IV são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−1, 3), (1,−1), (2,−6) e (3,−37), isto é, o
polinômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co contém
estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é utili-
zando a base de Newton,
β =
{
(x+ 1)(x− 1)(x− 2),
(x+ 1)(x− 1), (x+ 1), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) −9.
(B) −5.(C) −6.
(D) −7.
(E) −3.
(F) −8.
(G) −4.
(H) −2.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.1No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.1No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.1
No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
2
2
2
−2
1
,

−1
−5
−4
0
1
0
,

−2
−1
−4
−4
4
−1


N = span


−2
2
−4
−7
5
−2
,

1
8
10
−9
6
−9
,

−1
−8
−4
−3
−1
−1


Calcule dim(M +N):
(A) 0.
(B) 3.
(C) 5.
(D) 2.
(E) 1.
(F) 4.
(G) 6.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

11
31
24
2
 e β=


−1
−2
−1
2
 ,

2
7
5
−1
,

2
7
6
2
 ,

−1
0
0
0

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule o valor de d.
(A) −4.
(B) 4.
(C) 3.
(D) −1.
(E) −3.
(F) 1.
(G) −2.
(H) 2.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1−xi)(xi−xi−1)(xi+1−xi−1). Para o
intervalo [2, 10], considere a seguinte malha: x0 = 2,
x1 = 7, x2 = 8 e x3 = 10. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábola que interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

− 15
1
5 0 0
− 340 −
2
15
5
24 0
0 − 215 −
1
6
3
10
0 0 − 12
1
2

(B)

−1 1 0 0
− 56
4
5
1
30 0
0 − 340 −
2
15
5
24
0 0 − 13
1
3

(C)

−1 1 0 0
− 34
2
3
1
12 0
0 − 16 0
1
6
0 0 − 13
1
3

(D)

−1 1 0 0
− 23
1
2
1
6 0
0 − 310
1
6
2
15
0 0 − 13
1
3

(E)

− 15
1
5 0 0
− 110 0
1
10 0
0 − 235 −
3
10
5
14
0 0 − 12
1
2

(F)

− 15
1
5 0 0
− 130 −
4
5
5
6 0
0 − 23
1
2
1
6
0 0 − 12
1
2

No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.2No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.2No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.2
No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado
Q10: Calcule a dimensão do espaço-linha da matriz
A =

1 −2 1 −2 −1 −1
1 −3 0 −1 −2 −3
−2 2 −4 6 0 −2
−2 6 0 2 4 6
−1 3 0 1 2 3
 .
(A) 5
(B) 0
(C) 2
(D) 1
(E) 3
(F) 6
(G) 4
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 150 graus e uma re�exão T através do eixo
x. A matrix que representa a transformação linear RT é:
(A)
[ √
3
2 −
1
2
− 12 −
√
3
2
]
(B)
[
−
√
3
2 −
1
2
0 0
]
(C)
[
0 − 12
0 −
√
3
2
]
(D)
[
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2
]
(E)
[√
3
2
1
2
1
2 −
√
3
2
]
(F)
[
−
√
3
2 0
1
2 0
]
(G)
[
0 0
1
2 −
√
3
2
]
(H)
[
−
√
3
2 −
1
2
− 12
√
3
2
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 −36
3
 =
 −3−3
3
 , A
 −10
5
 =
 −1−3
7

e A
 −1−1
7
 =
 −1−4
10
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(C) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
(D) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Se a dimensão do núcleo de T : R99 → R91 é maior ou
igual a 13, então a dimensão da imagem de T é menor ou
igual a 78.
II - Se a dimensão da imagem de T : R88 → R75 é maior
ou igual a 72, então a dimensão do núcleo de T é menor
ou igual a 16.
III - Sabendo que T : R97 → R94 e que existem vetores u
e v linearmente independentes tais que Tu 6= 0 e Tv 6= 0,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 96.
IV - Se a dimensão do núcleo de T : R62 → R70 é menor
ou igual a 15, então a dimensão da imagem de T é maior
ou igual a 55.
(A) Apenas III e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas I e IV são verdadeiras.
(D) Apenas II e IV são verdadeiras.
(E) Apenas I e III são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
Q14: A única transformação linear abaixo que é SO-
BREJETIVA é:
(A) Uma rotação de 210 graus em torno do eixo x em
R3.
(B) A projeção na reta span {(2, 1)} do R2, seguida da
re�exão em torno do eixo y em R2.
(C) A re�exão em torno do eixo x em R2, seguida da
projeção na reta span {(−1,−5)} do R2.
(D) A projeção na reta span {(9, 6)} do R2.
(E) Uma rotação de 120 graus em torno do eixo x em R3,
seguida da projeção no plano 6x+ 7 y − 3 z = 0 em R3.
(F) A re�exão em torno do plano 5x + 6 y + 9 z = 0 em
R3, seguida da projeção na reta span {(−9, 3, 4)} do R3.
(G) A projeção na reta x−7 y = 0 do R2, seguida de uma
rotação de 30 graus em torno da origem em R2.
No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.3No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.3No. 6: Alexandre Magno Ferreira Machado p.3
No. 7: Alexandre Pintor Da Silva
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (1, 2) = (−1,−1,−14) e T (−3, 3) = (3,−15,−3). Se o
valor de T (7,−13) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) 70.
(B) 71.
(C) 75.
(D) 73.
(E) 76.
(F) 72.
(G) 77.
(H) 74.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) ∈ R6 |
x1 − x2 + 2x3 + x4 − 2x5 + x6 = 0,
− 2x1 + 4x2 − 2x3 − 4x4 + 2x5 − 4x6 = 2,
− x1 + 3x2 − 3x3 − 2x4 − x5 − 2x6 = −6}.
(A) 5
(B) 3
(C) 2
(D) 6
(E) 4
(F) 1
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo.
II - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo
2 tais que p(9) = 7p(4).
III - O conjunto unitário contendo o vetor (1, 1, 1, 1) ∈ R4.
IV - O conjunto de todos v ∈ R2 tais que Av = 0, onde
A é uma matriz 8× 2.
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas II e III.
(B) Apenas I e IV.
(C) Apenas I e III.
(D) Apenas II e IV.
(E) Apenas I e II.
(F) Apenas III e IV.
Q4: Seja W = span
{
−1 + x2, −x+ x3, x− x2
}
.
Sabendo-se que x− 2x2 + 4x3 + k ∈W , pode-se concluir
que k vale:
(A) −1.
(B) 1.
(C) −4.
(D) −5.
(E) 0.
(F) −2.
(G) −3.
(H) 2.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se TC é sobrejetiva, então TA é sobrejetiva.
II - Se TC é injetiva, então TA é injetiva.
III - Se TC é bijetiva, então TA e TB são ambas bijetivas.
IV - Se TA é bijetiva, então A é quadrada (ou seja, m =
p).
(A) Apenas II e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas III e IV são verdadeiras.
(D) Apenas I e IIsão verdadeiras.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e IV são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−3,−2), (−1,−4), (1,−22) e (2,−52), isto
é, o polinômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co
contém estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é
utilizando a base de Newton,
β =
{
(x+ 3)(x+ 1)(x− 1),
(x+ 3)(x+ 1), (x+ 3), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) −4.
(B) −2.
(C) −3.
(D) −6.
(E) −5.
(F) −1.
(G) 0.
(H) −7.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.1No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.1No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.1
No. 7: Alexandre Pintor Da Silva
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
−2
−1
−2
1
−1
,

−1
4
0
0
−3
0
,

1
0
−2
−4
−1
−2


N = span


−2
2
3
6
0
3
,

−1
6
−1
−2
−5
−1
,

−1
−2
3
6
3
3


Calcule dim(M +N):
(A) 4.
(B) 3.
(C) 1.
(D) 2.
(E) 0.
(F) 6.
(G) 5.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

10
1
25
27
 e β=


−2
−2
−2
−4
 ,

1
−1
3
4
,

−2
1
−3
−5
 ,

1
−1
4
3

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule o valor de d.
(A) 1.
(B) 3.
(C) −2.
(D) 2.
(E) 4.
(F) −3.
(G) −1.
(H) −4.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1 − xi)(xi − xi−1)(xi+1 − xi−1). Para
o intervalo [−4, 6], considere a seguinte malha: x0 =
−4, x1 = 1, x2 = 4 e x3 = 6. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábola que interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

− 15
1
5 0 0
− 130 −
4
5
5
6 0
0 − 23
1
2
1
6
0 0 − 12
1
2

(B)

− 15
1
5 0 0
− 340 −
2
15
5
24 0
0 − 215 −
1
6
3
10
0 0 − 12
1
2

(C)

− 13
1
3 0 0
− 215 −
1
6
3
10 0
0 − 16 −
1
2
2
3
0 0 −1 1

(D)

− 13
1
3 0 0
− 112 −
2
3
3
4 0
0 − 12 0
1
2
0 0 −1 1

(E)

− 13
1
3 0 0
− 524
2
15
3
40 0
0 − 130 −
4
5
5
6
0 0 −1 1

(F)

− 15
1
5 0 0
− 110 0
1
10 0
0 − 235 −
3
10
5
14
0 0 − 12
1
2

No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.2No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.2No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.2
No. 7: Alexandre Pintor Da Silva
Q10: Calcule a dimensão do espaço-linha da matriz
A =

1 2 −1 −1 −2 −1
1 4 −3 1 0 3
−1 −3 2 0 1 −1
−1 −3 2 0 1 −1
2 2 0 −4 −6 −6
 .
(A) 3
(B) 5
(C) 1
(D) 4
(E) 6
(F) 0
(G) 2
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 330 graus e uma projeção T sobre o eixo y.
A matrix que representa a transformação linear TR é:
(A)
[ √
3
2 0
− 12 0
]
(B)
[
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2
]
(C)
[
0 0
− 12
√
3
2
]
(D)
[√
3
2
1
2
0 0
]
(E)
[
−
√
3
2 −
1
2
− 12
√
3
2
]
(F)
[√
3
2
1
2
1
2 −
√
3
2
]
(G)
[
0 12
0
√
3
2
]
(H)
[ √
3
2 −
1
2
− 12 −
√
3
2
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 2−4
4
 =
 22
−6
 , A
 1−3
4
 =
 −1−3
7

e A
 −10
3
 =
 10
−1
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(C) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
(D) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Se a dimensão da imagem de T : R82 → R93 é menor
ou igual a 76, então a dimensão do núcleo de T é maior
ou igual a 17.
II - Sabendo que T : R96 → R92 e que existem vetores u
e v linearmente independentes tais que Tu 6= 0 e Tv 6= 0,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 94.
III - Se a dimensão do núcleo de T : R75 → R82 é menor
ou igual a 12, então a dimensão da imagem de T é maior
ou igual a 63.
IV - Sabendo que T : R67 → R63 e Tv 6= 0 para algum v,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 66.
(A) Apenas II e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Apenas I e IV são verdadeiras.
(F) Apenas III e IV são verdadeiras.
Q14: A única transformação linear abaixo que NÃO é
SOBREJETIVA é:
(A) Um cisalhamento em R2.
(B) Uma rotação de 90 graus em torno do eixo y em R3,
seguida da re�exão em torno do plano 2x+ y + z = 0 em
R3.
(C) A re�exão em torno do plano 4x + 7 y − 8 z = 0 em
R3, seguida de uma rotação de 90 graus em torno do eixo
y em R3.
(D) A rotação de 150 graus no sentido anti-horário em
torno da origem em R2, seguida da re�exão em torno da
reta span {(7, 4)} do R2.
(E) A re�exão em torno do plano 8x − 2 y + 8 z = 0 em
R3.
(F) A projeção na reta span {(2, 3)} do R2.
(G) Uma rotação de 240 graus em torno do eixo x em
R3.
No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.3No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.3No. 7: Alexandre Pintor Da Silva p.3
No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (3, 2) = (−6,−14, 14) e T (−1, 4) = (2, 0, 14). Se o valor
de T (5,−6) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) −44.
(B) −37.
(C) −42.
(D) −41.
(E) −40.
(F) −43.
(G) −39.
(H) −38.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 |
x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = −1,
− 2x1 − 5x2 + 3x3 + 6x4 = 5,
2x1 + 8x2 − 2x3 − 8x4 = −8}.
(A) 4
(B) 1
(C) 2
(D) 5
(E) 6
(F) 3
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2
tais que p(2) = 8 + p(5).
II - O conjunto unitário contendo o vetor (1, 1, 1, 1) ∈ R4.
III - O conjunto de todos v ∈ R4 tais que Av = 0, onde
A é uma matriz 7× 4.
IV - O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo.
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas I e III.
(B) ApenasII e III.
(C) Apenas III e IV.
(D) Apenas I e IV.
(E) Apenas II e IV.
(F) Apenas I e II.
Q4: Seja W = span
{
1 + x2, x+ x3, x− x2
}
.
Sabendo-se que 8x+ x2 + 3x3 + k ∈W , pode-se concluir
que k vale:
(A) 4.
(B) 6.
(C) 7.
(D) 0.
(E) 5.
(F) 1.
(G) 3.
(H) 2.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se TC é bijetiva, então TA e TB são ambas bijetivas.
II - Se TA é bijetiva, então A é quadrada (ou seja, m = p).
III - Se TC é sobrejetiva, então TB é sobrejetiva.
IV - Se TC é injetiva, então TB é injetiva.
(A) Apenas III e IV são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I e IV são verdadeiras.
(D) Apenas II e IV são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−3,−1), (0,−7), (2,−31) e (3,−85), isto é, o
polinômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co contém
estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é utili-
zando a base de Newton,
β =
{
(x+ 3)(x)(x− 2),
(x+ 3)(x), (x+ 3), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) 1.
(B) 0.
(C) −4.
(D) −5.
(E) −1.
(F) −2.
(G) −3.
(H) 2.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior p.1No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior p.1No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior p.1
No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
−2
−2
1
1
−2
,

2
−1
−5
4
3
−2
,

−1
−4
2
−6
−1
−1


N = span


1
4
−6
4
5
3
,

−2
−2
8
−5
−6
−1
,

−2
1
9
−2
−7
0


Calcule dim(M +N):
(A) 0.
(B) 5.
(C) 4.
(D) 3.
(E) 2.
(F) 6.
(G) 1.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

−12
−5
16
−5
 e β=


1
1
−1
−2
 ,

−1
0
3
1
,

3
2
−3
1
 ,

2
1
−2
1

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule o valor de d.
(A) −2.
(B) 4.
(C) −1.
(D) −3.
(E) 3.
(F) 1.
(G) 2.
(H) −4.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1−xi)(xi−xi−1)(xi+1−xi−1). Para o
intervalo [2, 12], considere a seguinte malha: x0 = 2,
x1 = 6, x2 = 11 e x3 = 12. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábola que interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

− 14
1
4 0 0
− 112 −
1
4
1
3 0
0 − 16 −
1
2
2
3
0 0 −1 1

(B)

− 14
1
4 0 0
− 536
1
20
4
45 0
0 − 130 −
4
5
5
6
0 0 −1 1

(C)

− 15
1
5 0 0
− 235 −
3
10
5
14 0
0 − 14 0
1
4
0 0 − 12
1
2

(D)

− 15
1
5 0 0
− 445 −
1
20
5
36 0
0 − 112 −
1
4
1
3
0 0 − 12
1
2

(E)

− 14
1
4 0 0
− 18 0
1
8 0
0 − 120 −
3
4
4
5
0 0 −1 1

(F)

− 15
1
5 0 0
− 130 −
4
5
5
6 0
0 − 23
1
2
1
6
0 0 − 12
1
2

No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior p.2No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior p.2No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior p.2
No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior
Q10: Calcule a dimensão do espaço-linha da matriz
A =

1 2 1 2 −2
1 4 2 0 −4
2 8 7 2 −6
1 0 3 4 1
1 −2 2 12 6
−2 0 −3 −6 0
 .
(A) 2
(B) 1
(C) 5
(D) 3
(E) 6
(F) 0
(G) 4
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 150 graus e uma projeção T sobre o eixo x.
A matrix que representa a transformação linear RT é:
(A)
[
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2
]
(B)
[√
3
2
1
2
1
2 −
√
3
2
]
(C)
[
−
√
3
2 −
1
2
− 12
√
3
2
]
(D)
[
0 − 12
0 −
√
3
2
]
(E)
[ √
3
2 −
1
2
− 12 −
√
3
2
]
(F)
[
−
√
3
2 0
1
2 0
]
(G)
[
0 0
1
2 −
√
3
2
]
(H)
[
−
√
3
2 −
1
2
0 0
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 −2−2
2
 =
 −3−9
−3
 , A
 −1−3
3
 =
 −1−1
−3

e A
 20
1
 =
 −1−1
−2
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(C) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
(D) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Se a dimensão do núcleo de T : R59 → R50 é maior ou
igual a 14, então a dimensão da imagem de T é menor ou
igual a 36.
II - Sabendo que T : R91 → R83 e que existem vetores u
e v linearmente independentes tais que Tu 6= 0 e Tv 6= 0,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 90.
III - Se a dimensão do núcleo de T : R24 → R36 é menor
ou igual a 16, então a dimensão da imagem de T é maior
ou igual a 8.
IV - Se a dimensão da imagem de T : R79 → R73 é maior
ou igual a 61, então a dimensão do núcleo de T é menor
ou igual a 12.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e IV são verdadeiras.
(D) Apenas III e IV são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas I e IV são verdadeiras.
Q14: A única transformação linear abaixo que NÃO é
INJETIVA é:
(A) Uma rotação de 150 graus em torno do eixo y em R3,
seguida da re�exão em torno do plano x + 3 y + 3 z = 0
em R3.
(B) Uma rotação de 210 graus em torno da origem em
R2.
(C) Um cisalhamento em R2.
(D) A rotação de 60 graus no sentido anti-horário em
torno da origem em R2, seguida da re�exão em torno da
reta span {(3,−3)} do R2.
(E) A re�exão em torno do plano 4x + 2 y − 7 z = 0 em
R3, seguida de uma rotação de 120 graus em torno do eixo
x em R3.
(F) A projeção no plano 3x+ 2 y + z = 0 em R3.
(G) A re�exão em torno do plano 4x− 9 y + 3 z = 0 em
R3.
No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior p.3No. 8: Alex Cicero Da Fonseca Junior p.3No. 8: Alex Cicero Da FonsecaJunior p.3
No. 9: Alex De Melo Xavier
Lista 1
Professores Cláudio, Felipe, Marco, Mário,
Mílton, Paulo e Thiago
Maio de 2022.
Q1: Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz:
T (−2, 1) = (2, 0, 2) e T (−1, 3) = (11,−5, 6). Se o valor de
T (−4, 7) = (a, b, c), o valor de a+ b+ c é:
(A) 34.
(B) 33.
(C) 29.
(D) 35.
(E) 28.
(F) 30.
(G) 31.
(H) 32.
Q2: Calcule a dimensão do subespaço a�m de�nido por
U = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) ∈ R6 |
x1 − 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 = 3,
− 2x1 + 6x2 − 2x3 − 5x4 − 6x5 − 2x6 = −10,
− 2x1 + 2x2 − 5x3 − x4 − x5 − 8x6 = −1}.
(A) 5
(B) 1
(C) 6
(D) 4
(E) 2
(F) 3
Q3: Considere os conjuntos abaixo:
I - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2
tais que p(2) = 9p(4).
II - O conjunto unitário contendo o vetor nulo do R8.
III - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo.
IV - O conjunto de todos v ∈ R3 tais que todas entradas
de Av são positivas, onde A é uma matriz 6× 3.
São subespaços vetoriais:
(A) Apenas II e IV.
(B) Apenas I e II.
(C) Apenas I e III.
(D) Apenas II e III.
(E) Apenas I e IV.
(F) Apenas III e IV.
Q4: Seja W = span
{
1 + x2, −x+ x3, x− x2
}
.
Sabendo-se que 3x− x2 + 2x3 + k ∈W , pode-se concluir
que k vale:
(A) 5.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 7.
(F) 6.
(G) 8.
(H) 4.
Q5: Considere as matrizes Am×p e Bp×n e as transforma-
ções lineares TA : Rp → Rm e TB : Rn → Rp a elas associ-
adas. A composição dessas duas transformações, TA ◦TB ,
está associada à matriz Cm×n dada por C = AB. Deno-
tamos por TC a transformação associada a C. Considere
as a�rmativas abaixo:
I - Se TA é bijetiva, então A é quadrada (ou seja, m = p).
II - Se TC é sobrejetiva, então TA é sobrejetiva.
III - Se TC é bijetiva, então TA e TB são ambas bijetivas.
IV - Se TC é injetiva, então TA é injetiva.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e IV são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas III e IV são verdadeiras.
(F) Apenas II e IV são verdadeiras.
Q6: Deseja-se encontrar p(x), o polinômio interpolador
dos pontos (−1,−1), (0,−4), (2, 8) e (3, 35), isto é, o po-
linômio de grau menor ou igual a 3 cujo grá�co contém
estes pontos. Uma forma conveniente de fazê-lo é utili-
zando a base de Newton,
β =
{
(x+ 1)(x)(x− 2),
(x+ 1)(x), (x+ 1), 1
}
.
Calcule [p]β = (c1, c2, c3, c4), as coordenadas de p na base
β. Assinale abaixo o valor de c1.
Dica: não encontre primeiro as coordenadas do polinômio
na base canônica {x3, x2, x, 1} para só depois convertê-lo
à base de Newton! Modele o problema (isto é, monte o sis-
tema linear pertinente) diretamente na base de Newton.
Observação: aprecie o quão mais fácil se torna resolver
o problema de interpolação com o uso de uma base con-
veniente. Se tiver curiosidade, pesquise sobre a base de
Lagrange. Com esta base, o sistema linear �ca ainda mais
simples! Mas os polinômios �cam bem mais complicados.
Como em tantas coisas, não se pode ganhar em todas as
frentes.
(A) 1.
(B) 2.
(C) −3.
(D) 3.
(E) 0.
(F) 4.
(G) −1.
(H) −2.
Q7: Dados M e N , dois subespaços de V, de�ne-se a
soma M + N como o subespaço composto por todos os
vetores que se expressam como a soma de um vetor de M
com um vetor de N :
M +N =
{
~v ∈ V
∣∣∣ ~v = ~m+~n, com ~m ∈M e ~n ∈ N }.
No. 9: Alex De Melo Xavier p.1No. 9: Alex De Melo Xavier p.1No. 9: Alex De Melo Xavier p.1
No. 9: Alex De Melo Xavier
Sejam M,N ⊂ R6 dados por:
M = span


1
−2
1
−2
−1
−2
,

−2
5
−3
3
1
3
,

1
−3
2
−1
0
−1


N = span


1
−4
3
0
1
0
,

1
0
−1
−4
−3
−4
,

2
−2
0
−6
−4
−6


Calcule dim(M +N):
(A) 5.
(B) 2.
(C) 4.
(D) 0.
(E) 3.
(F) 6.
(G) 1.
Q8:
Sejam o vetor v e a base β de R4 dados por
v=

3
13
−10
14
 e β=


3
9
−6
6
 ,

2
4
−2
2
,

3
11
−5
5
 ,

−2
−7
8
−10

.
Denotando por [v]β = (a, b, c, d) as coordenadas de v com
relação à base β, calcule o valor de d.
(A) −2.
(B) −3.
(C) −1.
(D) 1.
(E) 3.
(F) 2.
(G) 4.
(H) −4.
Q9: Dados valores amostrais de uma função f : [a, b] →
R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos
mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos
a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os
valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi)
da seguinte forma:
� para os pontos extremos,
g0 =
y1 − y0
x1 − x0
e
gN =
yN − yN−1
xN − xN−1
;
� para os pontos interiores,
gi = −
(xi+1 − xi)2
α
yi−1
+
(xi+1 − xi)2 − (xi − xi−1)2
α
yi
+
(xi − xi−1)2
α
yi+1,
onde α = (xi+1−xi)(xi−xi−1)(xi+1−xi−1). Para o
intervalo [2, 11], considere a seguinte malha: x0 = 2,
x1 = 7, x2 = 8 e x3 = 11. Escreva a matriz que
representa a transformação linear que leva os valores
da função nos valores da aproximação da derivada,
T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).
Observação: O leitor atento deve ter reconhecido a fór-
mula para a aproximação da derivada nos extremos: trata-
se simplesmente da inclinação da reta secante passando
pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula
para os pontos interiores parece mais misteriosa. Pois
bem, trata-se da derivada em xi da parábola que interpola
os pontos (xi−1, yi−1), (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda,
ser calculada como uma média ponderada entre as incli-
nações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos
(xi−1, yi−1) e (xi, yi) ou utilizando-se (xi, yi) e (xi+1, yi+1).
Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente,
(xi+1 − xi) e (xi − xi−1) (peso maior para o ponto mais
próximo).
(A)

−1 1 0 0
− 23
1
2
1
6 0
0 − 14 0
1
4
0 0 − 12
1
2

(B)

−1 1 0 0
− 34
2
3
1
12 0
0 − 215 −
1
6
3
10
0 0 − 12
1
2

(C)

− 15
1
5 0 0
− 130 −
4
5
5
6 0
0 − 34
2
3
1
12
0 0 − 13
1
3

(D)

− 15
1
5 0 0
− 110 0
1
10 0
0 − 340 −
2
15
5
24
0 0 − 13
1
3

(E)

−1 1 0 0
− 56
4
5
1
30 0
0 − 235 −
3
10
5
14
0 0 − 12
1
2

(F)

− 15
1
5 0 0
− 235 −
3
10
5
14 0
0 − 310
1
6
2
15
0 0 − 13
1
3

No. 9: Alex De Melo Xavier p.2No. 9: Alex De Melo Xavier p.2No. 9: Alex De Melo Xavier p.2
No. 9: Alex De Melo Xavier
Q10: Calcule a dimensão do espaço-linha da matriz
A =

1 1 2 1 2 2
−2 0 −2 −6 −6 −8
−1 −3 −3 1 −2 4
−1 −3 −6 8 5 −1
1 0 0 6 6 3
 .
(A) 1
(B) 5
(C) 0
(D) 4
(E) 6
(F) 2
(G) 3
Q11: Considere em R2 duas transformações lineares: Uma
rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por
um ângulo de 150 graus e uma projeção T sobre o eixo x.
A matrix que representa a transformação linear RT é:
(A)
[
−
√
3
2 0
1
2 0
]
(B)
[
0 0
1
2 −
√
3
2
]
(C)
[
−
√
3
2 −
1
2
− 12
√
3
2
]
(D)
[
−
√
3
2
1
2
1
2
√
3
2
]
(E)
[
0 − 12
0 −
√
3
2
]
(F)
[
−
√
3
2 −
1
2
0 0
]
(G)
[√
3
2
1
2
1
2 −
√
3
2
]
(H)
[ √
3
2 −
1
2
− 12 −
√
3
2
]
Q12: Sabe-se que A3×3 é tal que
A
 2−6
6
 =
 22
4
 , A
 3−7
15
 =
 35
10

e A
 2−3
15
 =
 25
10
 .
Assinale a a�rmação verdadeira:
(A) Não se pode a�rmar se A~x = ~b tem solução para
qualquer ~b.
(B) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução única para
qualquer ~b.
(C) Pode-se a�rmar que A~x = ~b não tem solução para
certos valores do vetor ~b.
(D) Pode-se a�rmar que A~x = ~b tem solução para qualquer
~b, mas não se pode garantir unicidade.
Q13: Em cada a�rmativa abaixo, T é uma transforma-
ção linear distinta. Considere as a�rmativas abaixo:
I - Se a dimensão do núcleo de T : R99 → R86 é maior ou
igual a 17, então a dimensão da imagem de T é menor ou
igual a 69.
II - Se a dimensão do núcleo de T : R76 → R86 é menor
ou igual a 13, então a dimensão da imagem de T é maior
ou igual a 63.
III - Se a dimensão da imagem de T : R66 → R57 é maior
ou igual a 45, então a dimensão do núcleo de T é menor
ou igual a 12.
IV - Sabendo que T : R26 → R18 e Tv 6= 0 para algum v,
então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 25.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Apenas