MATEMÁTICA ELEMENTAR PARA ENGENHEIROS - FINAL

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MATEMÁTICA ELEMENTAR 
PARA ENGENHEIROS 
 
Questões resolvidas e comentadas 
das últimas provas de engenheiro de 
petróleo da PETROBRAS 
 
• JUNHO 2008 
• DEZEMBRO 2008 
• MAIO 2010 
• FEVEREIRO 2011 
• AGOSTO 2011 
• MAIO 2012 
 
 
 
 
 
 Gilson Oliveira 
 APRESENTAÇÃO 
 Prezado leitor. 
 O título deste trabalho é Matemática ELEMENTAR para Engenheiros. 
 E tem como público alvo os engenheiros (recém ou já formados há algum tempo), que vão prestar concurso 
para alguma área de engenharia da PETROBRAS e, por razões diversas, não têm tempo para fazer cursinhos e/ou 
fazer um planejamento de estudos que inclua temas da Matemática que ficaram lá atrás, em um passado já 
distante, nos bons tempos de ensino médio (antigo 2º grau) e no ciclo básico da faculdade de engenharia. 
 Inicialmente eu pensei que poderia ser útil para vários engenheiros prestadores de serviços que trabalham na 
sede da PETROBRAS em Macaé – RJ e, por morarem em cidades vizinhas como Campos dos Goytacazes ou 
Quissamã, por exemplo, perdem muito tempo em seus deslocamentos diários casa-trabalho-casa. Como só lhes 
sobra o final de semana para família e outros afazeres, não há tempo disponível para fazer uma boa revisão dos 
assuntos que costumam aparecer nas provas. Mesmo que houvesse cursinhos, como no centro do RJ, como esses 
colegas encontrariam tempo para as aulas no Sábados? 
 Com o passar do tempo, incentivado sobretudo pelo meu amigo Rafael Hohl, comecei a acreditar que poderia 
ter alguma utilidade também para o pessoal que trabalha no ambiente off-shore como profissional de nível técnico, 
mas tem formação em engenharia e pretende fazer os mesmos concursos e por razões as mais variadas possíveis, 
também não têm tempo de frequentar as salas de aulas de cursinhos. 
 Hoje acredito que este trabalho pode ter alguma utilidade até mesmo para quem ainda estuda engenharia e 
pretende fazer concursos para a PETROBRAS no futuro. Enfim, acredito que terá alguma utilidade para alguém. Para 
mim, por exemplo foi espetacular, pois me obrigou a revisitar temas da Matemática com os quais não lidava há 
algum tempo. 
 Como falaremos de Matemática Elementar, não espere encontrar aqui deduções complexas da Matemática 
Superior ou problemas extremamente difíceis que desafiam aos cérebros mais brilhantes. Você não encontrará 
rotacionais, divergentes ou equações diferenciais parciais nas páginas que seguem. Se quiser uma sugestão para 
esta área, recomendo a coleção Matemática Superior para Engenharia, do Professor Erwin Kreyszig, que está na 9ª 
edição, de 2009, pelo grupo LTC/gen. Eu tenho os três volumes em casa e são minhas bíblias quando estou aflito em 
temas deste ramo da Matemática. 
 O foco aqui é a Matemática Elementar. 
 Sendo assim, para começar os trabalhos, proponho a você que tente sugerir mentalmente, por alguns 
segundos, um desenvolvimento matemático, um caminho para responder às seguintes perguntas: 
 1ª) Qual a medida do lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio R ? Se esse 
triângulo fosse a base de uma pirâmide reta de altura H; qual seria o volume dessa pirâmide ? 
 2ª) Dados log 2 = 0,3 , log 3 = 0,48 e log 5 = 0,7, qual o valor de log 600 ? 
 3ª) Dada a função f(x) = -x² + 4 , qual a área da região limitada entre seu gráfico e o eixo das abcissas ? 
 Eu tenho certeza absoluta de que você tem o sentimento, o “feeling” de que essas questões são bastante 
fáceis, de que as ferramentas matemáticas que as resolvem são simples e de que elas são “fichinha” se comparadas, 
por exemplo, às equações diferenciais ordinárias e integrais indefinidas que você resolveu durante o ciclo básico do 
seu curso de engenharia. 
 Eu sei também que você domina esses assuntos e que nada aqui causa estranheza, afinal de contas a afinidade 
com essas “coisas” foi um dos motivos pelos quais você optou, um dia, por fazer o tal curso de engenharia. Do 
contrário, teria ido para uma faculdade de medicina ou direito, estou certo? 
 O problema é que, com o passar do tempo, “a gente” vai esquecendo o correto manuseio daquelas 
“ferramentas”. Como eu costumo dizer para meus colegas que são engenheiros: com o tempo, “a mão vai ficando 
pesada” e fica complicado resolver de imediato uma questãozinha simples como a 2ª lá em cima. Coisa que 
qualquer jovem no 2º ano do ensino médio sabe resolver. Ou deveria saber. 
 Para complicar, as questões de Matemática que “caem” nas provas para Engenheiro de Petróleo da 
PETROBRAS são, em sua grande maioria, de Matemática Elementar. Nas provas para as demais áreas da engenharia 
(de equipamentos, por exemplo), sempre aparece uma e outra questão também retirada do mesmo banco da 
Cesgranrio. E são questões que abordam justamente aqueles assuntos que nós estudamos um dia, lá no passado, 
antes mesmo dos bancos da universidade e de cuja mecânica de resolução não lembramos mais. 
 A figura que está na capa deste livro, por exemplo, é da questão nº 43 da prova de Engenheiro de Petróleo Jr., 
aplicada em Fevereiro de 2011 e exigia do candidato uma simples lembrança da linda, apaixonante, desafiadora e 
fascinante Geometria Plana, tão negligenciada nos currículos dos dias atuais. 
 Mas qual é o parâmetro que eu uso para definir a tal Matemática Elementar? Qual é a minha referência? 
 A brilhante coleção de 10 livros chamada Fundamentos de Matemática Elementar, dos Professores Gelson 
Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos Murakami e outros, da Editora Atual (9ª edição – 2013), que por tantos anos tem feito 
parte da construção do embasamento matemático de milhares de jovens Brasil afora. Eu me incluo neste conjunto, 
orgulhosamente, mesmo tendo sido um aluno mediano durante todos os meus anos como aluno do Colégio Naval, 
nos anos 1980 e longe (mas muito longe mesmo!!!) de ser um aluno excelente em Matemática, principalmente na 
UFF (Niteroi- RJ), onde estudei algumas coisas malucas do bacharelado na Rainha das Ciências, segundo Gauss. 
 Aliás, eu defendo a tese de que os cursos de bacharelado e licenciatura em Matemática em todo o Brasil 
deveriam habilitar os Professores a ter completo domínio (se não de todos, mas ao menos de uma grande maioria) 
dos volumes daquela coleção, mas isso é motivação para um outro livro que estou escrevendo, onde estruturo 
melhor esta opinião. 
 Assim, objetivando ajudar de alguma forma ao pessoal que está “com a mão pesada” e que vai fazer concurso 
para os cargos de engenharia da PETROBRAS é que me dediquei, com muito prazer, a este labor. 
 Seguem alguns esclarecimentos adicionais que considero importantes: 
• Não apresento a solução de cada questão, mas uma solução para a questão; você vai ver a forma como 
eu resolveria o problema, não significando em hipótese alguma que essa seja a melhor maneira. 
A experiência mostra que sempre tem alguém em qualquer lugar que apresenta uma solução muito mais 
genial para um problema qualquer de Matemática. Então, apresento apenas uma forma de resolver os 
problemas; a minha forma. Se lhe parecer ridícula, me desculpe, mas foi uma solução que eu encontrei, 
dentro das minhas limitações de conhecimento. 
• Nem sempre eu consegui resolvera questão (ou as questões) sem recorrer aos livros; isto aconteceu com 
mais frequência em estatística e álgebra linear. 
 Afinal de contas, quem é que usa todo santo dia o conceito de dimensão de uma base ou coeficiente de 
variação, por exemplo, a menos dos especialistas? 
No final das soluções e no final do livro eu cito algumas obras como referências para “livros de cabeceira” 
que podem ajudar a qualquer momento. Eu tenho todos em casa; são algumas de minhas bíblias. 
Obviamente, há sites variados de cursinhos e de outros Professores que apresentam melhores 
desenvolvimentos para as mesmas questões que apresento aqui. 
 Todavia, um detalhe que merece atenção é que as soluções de alguns sites são postadas muitas vezes em 
fóruns; em consequência, há uma diversidade de opiniões sobre as questões que fogem ao controle dos 
criadores das páginas e eu já encontrei alguns, digamos, equívocos em soluções “postadas” em sites. 
 
• No final de cada prova, eu sugiro uma sequência de questões em que eu tentaria resolvê-la; ela segue 
uma ordem crescente de dificuldade que é pessoal. Não quero dizer que uma questão que é fácil para 
mim seja fácil para você, mas o que eu quero lhe mostrar é que todas as provas têm questões que são 
fáceis, fáceis para a grande maioria dos candidatos e que não adianta ficar perdendo tempo, na hora “H” 
do concurso, tentando resolver uma questão que é difícil para a maioria das pessoas. 
• O fato de ter considerado as provas de engenheiro de petróleo é simples: as questões de Matemática que 
aparecem nas provas de engº de equipamentos (uma ou duas por prova) são retiradas do mesmo banco 
de questões e, com algumas variações para terminais e dutos, são as mesmas. Assim, considero que esse 
conjunto de questões poderá servir para uma boa revisão daqueles assuntos que você praticou no 
passado mas que hoje parecem um monstro porque você está “com a mão pesada”. 
• Quando necessárias, as construções geométricas que fiz para o desenvolvimento de algumas questões 
estão do jeito que eu as desenhei originalmente no manuscrito. Acredito que estão inteligíveis e as 
mantenho aqui porque não encontrei alguém que se dispusesse a melhorá-las com algum software. 
• Os erros que porventura existirem, seja nos cálculos ou em língua portuguesa, são de minha total 
responsabilidade e aceito com muita gratidão a contribuição de todos para corrigi-los; assim, estarei 
aprendendo mais ainda a lidar com a rainha das ciências; e de quebra melhorando o meu português, é 
claro. 
• Um agradecimento especial vai para a colega Tamara Carvalho que me ensinou nesta fase final a organizar 
os arquivos de modo que tudo ficasse mais fácil para você, caro leitor. 
 
 Por fim, gostaria de enfatizar a minha tese: “ a prova de engº de petróleo não é uma prova para quem acerta 
as questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis.” Acredito que se você fizer a adaptação desta 
tese para a sua prova, independente dos assuntos com os quais for lidar, acho que este trabalho de alguma forma 
terá sido útil. 
 
 Bons estudos, muito trabalho e superação. E fé em Deus, sempre. 
 
 
 Gilson Gonçalves de Oliveira ( e-mail : gilsonsindicobm24@gmail.com) 
 
 Setembro de 2015. 
 
 
 
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ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIORENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIORENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIORENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIORENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
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20
08
LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES ABAIXO.
01 - Você recebeu do fiscal o seguinte material:
a) este  caderno,  com  o  enunciado  das  70  questões  das  Provas  Objetivas,  sem  repetição  ou  falha,  assim
distribuídas:
b) 1 CARTÃO-RESPOSTA destinado às  respostas às questões objetivas formuladas nas provas.
02 - Verifique se este material está em ordem e se o seu nome e número de  inscrição conferem com os que aparecem no
CARTÃO-RESPOSTA. Caso contrário, notifique IMEDIATAMENTE o fiscal.
03 - Após a conferência, o candidato deverá assinar no espaço próprio do CARTÃO-RESPOSTA, preferivelmente a caneta
esferográfica de tinta na cor preta.
04 - No CARTÃO-RESPOSTA, a marcação das letras correspondentes às respostas certas deve ser feita cobrindo a letra e
preenchendo  todo o espaço compreendido pelos  círculos,  a caneta esferográfica de tinta na cor preta,  de  forma
contínua e densa. A LEITORA ÓTICA é sensível a marcas escuras; portanto, preencha os campos de marcação
completamente,  sem  deixar  claros.
Exemplo:
05 - Tenha muito cuidado com o CARTÃO-RESPOSTA, para não o  DOBRAR, AMASSAR ou MANCHAR.
O CARTÃO-RESPOSTA SOMENTE poderá ser substituído caso esteja danificado em suas margens superior ou inferior
­BARRA DE RECONHECIMENTO PARA LEITURA ÓTICA.
06 - Para cada uma das questões objetivas, são apresentadas 5 alternativas classificadas com as letras (A), (B), (C), (D) e (E);
só uma responde adequadamente ao quesito proposto. Você só deve assinalar UMA RESPOSTA: a marcação em
mais de uma alternativa anula a questão, MESMO QUE UMA DAS RESPOSTAS ESTEJA CORRETA.
07 - As questões objetivas são  identificadas pelo número que se situa acima de seu enunciado.
08 - SERÁ ELIMINADO do Processo Seletivo Público o candidato que:
a) se utilizar, durante a realização das provas, de máquinas e/ou relógios de calcular, bem como de rádios gravadores,
headphones,  telefones  celulares  ou  fontes  de  consulta  de qualquer  espécie;
b) se ausentar da sala em que se realizam as provas levando consigo o Caderno de Questões e/ou o CARTÃO-RESPOSTA.
09 - Reserve os 30 (trinta) minutos finais para marcar seu CARTÃO-RESPOSTA. Os rascunhos e as marcações assinaladas
no Caderno de Questões NÃO SERÃO LEVADOS EM CONTA.
10 - Quando terminar, entregue ao fiscal O CADERNO DE QUESTÕES E O CARTÃO-RESPOSTA e ASSINE A LISTA DE
PRESENÇA.
Obs. O candidato só poderá se ausentar do recinto das provas após 1 (uma) hora contada a partir do efetivo início das
mesmas. Por  razões de segurança, o candidato não poderá  levar o Caderno de Questões, a qualquer momento.
11 - O TEMPO DISPONÍVEL PARA ESTAS PROVAS DE QUESTÕES OBJETIVAS É DE 4 (QUATRO) HORAS.
12 - As questões e os gabaritos das Provas Objetivas serão divulgados no primeiro dia útil após a realização das
provas na página da FUNDAÇÃO CESGRANRIO (www.cesgranrio.org.br).
A C D E
42
LÍNGUA
PORTUGUESA II
Questões
1 a 10
Pontos
1,0
Questões
11 a 20
Pontos
1,0
CONHECIMENTOS
ESPECÍFICOS
INFORMÁTICA
Questões
21 a 25
Pontos
1,0
Questões
26 a 40
41 a 55
56 a 70
Pontos
1,3
1,7
2,0
LÍNGUA
INGLESA I
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
2
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
7
23
Considere o aplicativo Microsoft Excel 2003 em português
com suas configurações padrões. Um usuário que deseja
atribuir à célula C1 o valor da célula B1 subtraído do valor
da célula A1 deve, na célula C1, especificar a seguinte fór­
mula:
(A) B1−A1
(B) =B1−A1
(C) C1=B1−A1
(D) C1=B$1−A$1
(E) SUB(B1, A1)
24
Suponha que um usuário esteja editando uma planilha de
cálculo  utilizando  a  versão  em português  do  aplicativo
Microsoft Excel 2003 com suas configurações padrões.
Uma possível forma de o usuário mesclar duas células
adjacentes é selecionar
(A) as duas células, selecionar a opção de formatar célula e
marcar a opção que indica que as duas células devem
ser mescladas.
(B) uma das células e selecionar a opção editar dimensões
da célula para configurá­las de modo a abranger a ou­
tra célula.
(C) a opção inserir fórmula, escolher a fórmula mesclar e
adicionar como argumento as duas células.
(D) a opção de inserir mescla de células e adicionar as
duas células a serem mescladas.(E) a opção de configurar planilha e indicar que aquelas duas
células devem ser unificadas como um único objeto.
25
Suponha que um usuário esteja editando uma apresenta­
ção, chamada pres1, utilizando a versão em português do
aplicativo Microsoft PowerPoint 2003 com suas configura­
ções padrões. Uma possível opção para o usuário inserir um
novo slide em pres1 é selecionar a opção
(A) Arquivo => Novo….
(B) Inserir => Novo arquivo…
(C) Inserir => Novo slide
(D) Formatar => Apresentação
(E) Editar => Slides
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
26
Em um concurso público serão chamados para contratação
imediata 20% dos candidatos com as maiores notas.
As notas obtidas seguem uma distribuição normal com
média 5,5 e desvio padrão 3. A nota mínima para que o
candidato seja chamado para contratação imediata é,
aproximadamente,
(A) 7,0 (B) 7,5
(C) 8,0 (D) 8,5
(E) 9,0
27
A tabela a seguir apresenta algumas estatísticas das ações
de três empresas dos setores de petróleo e química.
Os dados referem­se às últimas 80 semanas.
Considere as afirmações derivadas das estatísticas acima.
I ­ O coeficiente de variação das ações da empresa A é o
mesmo que o das ações da empresa C.
II ­ A rentabilidade média das ações da empresa B é maior
do que das demais e apresenta menor dispersão
relativa, ou seja, menor risco.
III ­ A rentabilidade média das ações da empresa C é menor
do que das demais e apresenta menor dispersão
relativa, ou seja, menor risco.
Estão corretas as afirmações
(A) I, apenas. (B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
28
Uma pesquisa foi feita com alguns moradores de uma cida­
de brasileira sobre a confiança em três redes de postos de
gasolina (A, B e C) e gerou as seguintes informações:
• 400 pessoas confiam na rede A, das quais 150 confiam
somente na rede A;
• 400 pessoas confiam na rede B, mas 450, não;
• 430 pessoas não confiam na rede C;
• 500 pessoas confiam em apenas uma das três redes;
• 300 pessoas confiam em exatamente duas das  três
redes, das quais 110 não confiam na rede B;
• 40 pessoas confiam nas três redes.
Com base nestas informações, analise as afirmativas a
seguir.
I ­ Foram entrevistadas 850 pessoas e a quantidade de
pessoas que não confiam na rede A é maior do que a
quantidade de pessoas que confiam.
II ­ A quantidade de pessoas que confia na rede C é maior
do que a quantidade de pessoas que confia na rede B
que é maior do que a quantidade de pessoas que confia
na rede A.
III ­ Apenas 20 pessoas não confiam em nenhuma das três
redes ou 150 pessoas confiam simultaneamente nas
redes A e C.
IV ­ A quantidade de pessoas que confia exclusivamente
na rede A é igual à quantidade de pessoas que confia
exclusivamente na rede B.
É(São) correta(s) APENAS a(s) afirmativa(s)
(A) I (B) I e II
(C) I e III (D) II e III
(E) II e IV
Rentabilidade média semanal
Desvio padrão
Rentabilidade mínima
Rentabilidade máxima
0,5
3,5
−7,6
11,9
0,6
3,9
−9,2
10,3
0,4
2,8
−5,1
8,2
Medidas estatísticas
Empresas
A
(%)
B
(%)
C
(%)
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
8
(A)
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6
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(B)
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2k
6
7
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6
xou2k
2
x|RIx
(C)
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6
7
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6
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(D)
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k
6
7
xouk
6
x|RIx
(E)
!
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�
�
�
�
�
� �
�
2k
2
x|RIx
(A)
192
2k5 3
(B)
96
2k5 3
(C)
24
2k3
(D)
96
2k3
(E)
192
2k3
29
Considere que f é uma função definida do conjunto D
em IR por f(x) = x2 − 4x + 8. Sendo Im a imagem de f, é
correto afirmar que, se
(A) D = [−2;0] então Im(f) = IR+
(B) D = [2;  [ então Im(f) = [0 ; 4]
(C) D = [2;  [ então Im(f) = IR+
(D) D = [0; 2] então Im(f) = [0 ; 8]
(E) D = [0; 2] então Im(f) = [4 ; 8]
30
Uma pirâmide reta de base quadrada tem todas as suas
arestas iguais a k. Um plano  , perpendicular à base BCDE,
corta as arestas laterais AB e AC em seus respectivos pon­
tos médios, P e Q. Determine o volume do sólido BMPQNC.
31
O conjunto de valores para x que resolvem 2cos2x = 1 – sen x é:
36
Qual  região  geométrica  é  definida  pela  expressão
216y24yy �		
  ?
(A) Ponto (B) Parábola
(C) Hipérbole (D) Elipse
(E) Circunferência
37
Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros
compostos de 3% ao mês. Após um período t, em meses, o
montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t?
(Dados:
 ln(1.000) = 6,91
  ln(1.159,27) = 7,06
  ln(1,03) = 0,03)
(A) 5 (B) 7
(C) 10 (D) 12
(E) 15
32
Resolvendo o sistema AX=B, onde
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�
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112
111
111
A ,
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�
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�
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c
b
a
X e
�
�
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�
�
	
1
4
6
B ,   temos  que
b2 − 4ac é igual a
(A) −1 (B) 0
(C) 1 (D) 2
(E) 3
33
A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética
(4,7,10,13...) é 1.425. É correto afirmar que n é
(A) primo. (B) múltiplo de 4.
(C) múltiplo de 6. (D) múltiplo de 7.
(E) múltiplo de 8.
34
Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de
refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de
refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada
marca, pode escolhê­las de N formas. O valor de N é
(A) 3 (B) 10
(C) 15 (D) 35
(E) 125
35
Uma reta perpendicular a uma das faces de um diedro forma
um ângulo de 40o com o semiplano bissetor. Assim, é cor­
reto afirmar que a medida do diedro é
(A) 20o (B) 40o
(C) 80o (D) 100o
(E) 120o
A
B
C
D
E
P
Q
M
N
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
9
A
B
VA = 3 nós
VB = 4 nós
P
�
�
�
�
�
v4y3x
u2yx
38
João tomou um empréstimo de R$150,00 junto a uma finan­
ceira, e se comprometeu a quitá­lo em dois meses, pelo
valor de R$200,00, o que inclui uma taxa de abertura de cré­
dito no valor de R$18,50 mais os juros (compostos).
No momento do vencimento da dívida, João negociou um
novo empréstimo no valor de R$200,00 que pudesse ser pago
dois meses depois – uma prorrogação do prazo. A financeira
aceitou, mas acordou uma taxa de juros igual ao dobro da
inicial. Sabendo que a taxa de abertura de crédito só incidiu
sobre o empréstimo inicial, quanto João deverá pagar, no fim
do segundo empréstimo, em reais?
(A) 216,00
(B) 218,50
(C) 220,00
(D) 242,00
(E) 288,00
39
No IR4, os vetores x e y são determinados pelo sistema
Sabendo que u = (−1,0,2,3) e v = (2,1,0,5), o produto interno
de x e y é
(A) −27,5
(B) −26,1
(C) −24,5
(D) −23,5
(E) −21,3
40
A escala proposta por Charles Francis Richter (1900 – 1985)
para medir a magnitude de terremotos é definida por
M =  10 10log A 3.log (8. t) 2,92� � 	
em que:
­ M é a magnitude do terremoto na Escala Richter;
­ A é a amplitude máxima registrada no papel do sismógra­
fo, em milímetros;
­ t∆ é o tempo decorrido, em segundos, entre a chegada das
ondas primárias ou de compressão (ondas P) e a chegada
das ondas secundárias ou de cisalhamento (ondas S).
Certa vez, um sismógrafo registrou um abalo sísmico cuja am­
plitude máxima no sismograma era de 12 milímetros e cujo
intervalo  foi de 24 segundos. Considerando­se log
10
2 = 0,30
e log
10
3 = 0,48, a magnitude do abalo, na Escala Richter, foi
(A) 4,0
(B) 4,5
(C) 5,0
(D) 5,5
(E) 6,0
41
Considere os conjuntos a seguir.
I ­ {(1,−3,7) , (2,4,3)}
II ­ {(1,2,1) , (1,−1,0) , (2,3,4)}
III ­ 
!
�
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�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
	
		 431
111
,
321
112
,
110
201
É(São) linearmente dependente(s) APENAS o(s) conjunto(s)
(A) II (B) III
(C) I eII (D) I e III
(E) II e III
42
Sabe­se que AX = B, onde
1 2 1
A = e B=
1 1 2
	
� � � �
� � � �
	 	
� � � �
.
O quadrado da norma de X é:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
43
Quanto  vale  a  área  da  região  delimitada  pelo  eixo  das
abscissas, as retas x = 0 e x =  , e o gráfico da função de
IR em IR cuja lei é f(x) = cos(2x)?
(A) 1
2
(B) 1
4
(C)
4
3 (D)
4
3 1
(E)
4
34
44
As unidades comumente utilizadas por veículos náuticos para
expressar distâncias e velocidades são, respectivamente, a
milha náutica e o nó. Um nó corresponde a 1 milha náutica
por hora.
A figura acima ilustra dois pequenos barcos que se movimen­
tam com velocidades constantes, em trajetórias perpendicula­
res. Quando os barcos A e B estão, respectivamente, a 0,8 e
0,6 milhas náuticas do ponto P, interseção das trajetórias, qual
a taxa, em nós, com a qual os barcos estão se aproximando
um do outro?
(A) 0,0 (B) 4,8
(C) 5,0 (D) 6,2
(E) 7,0
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
10
45
Se um cabo flexível estiver suspenso por suas extremida­
des, e essas extremidades estiverem na mesma altura, en­
tão o cabo assume, devido ao seu peso, a forma de uma
curva chamada catenária.
Considere a catenária dada pela função hiperbólica de IR em
IR cuja lei é f(x) = 2 +
2
cosh(x)
3
� . O valor mínimo de f(x)
(A) é 0
(B) é 
3
2
(C) é 2
(D) é 
3
8
(E) não existe
46
Seja g a função de IR em IR dada pela lei g(x) = x3 + x2 + 1.
Seja r a reta tangente ao gráfico da função g no ponto (–1,1).
É correto afirmar que a reta r intersecta o gráfico de g no
ponto
(A) (2,13)
(B) (1,3)
(C) (0,1)
(D) (–1, –1)
(E) (–2, –3)
47
Uma partícula com peso, em newtons, igual a P = (0,0, – P) é
abandonada do ponto A, cujas coordenadas, em metros, no
espaço são (0,0,c). A partícula desce descrevendo a trajetó­
ria retilínea AB. Sabendo­se que não há perdas devido a atri­
tos ou à resistência do ar, e que as coordenadas de B, em
metros, são (a,b,0), o trabalho realizado, em joules, pelo
peso dessa partícula é
(A) P. a
(B) P. b
(C) P. c
(D) P. 2 2 2a b c� �
(E) P.(a2 + b2 + c2)
v(m/s)
t(s)
1 2
12
3
O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 48 e
49.
Um ponto material realiza um movimento retilíneo. O arco
de parábola mostrado acima corresponde ao gráfico da
função horária de velocidade dessa partícula.
48
Sabendo que o ponto material  inicia  seu movimento na
posição S
0
 = 2 m, determine a sua posição, em metros, no
instante t = 1 segundo.
(A) 1,00
(B) 3,00
(C) 3,25
(D) 3,75
(E) 4,50
49
Qual a aceleração, em m/s2, do ponto material no instante
t = 1,5 segundo?
(A) 6,75
(B) 7,50
(C) 8,00
(D) 8,25
(E) 9,00
50
Um  raio  de  luz monocromática  propaga­se  num meio
transparente A, cujo  índice de refração é  3 . Esse raio
atinge a superfície horizontal que separa o meio A do meio
B, também transparente, e cujo índice de refração é  2 ,
com ângulo de incidência �, sofrendo refração. Esse raio
continua a se propagar pelo meio B até atingir a superfície
horizontal  que  separa  o meio  B  do meio  C,  também
transparente, cujo índice de refração é 1, com ângulo de
incidência �, sofrendo emergência rasante, ou seja, o ângulo
de refração é igual a 90o.
O valor de � é
(A) igual a 30o.
(B) maior do que 30o e menor do que 45o.
(C) igual a 45o.
(D) maior do que 45o e menor do que 60o.
(E) igual a 60o.
N ln N N ln N N ln N N ln N N ln N N ln N N ln N N ln N
0,01 -4,6052 0,26 -1,3471 0,51 -0,6733 0,76 -0,2744 1 0,0000 26 3,2581 51 3,9318 76 4,3307
0,02 -3,9120 0,27 -1,3093 0,52 -0,6539 0,77 -0,2614 2 0,6931 27 3,2958 52 3,9512 77 4,3438
0,03 -3,5066 0,28 -1,2730 0,53 -0,6349 0,78 -0,2485 3 1,0986 28 3,3322 53 3,9703 78 4,3567
0,04 -3,2189 0,29 -1,2379 0,54 -0,6162 0,79 -0,2357 4 1,3863 29 3,3673 54 3,9890 79 4,3694
0,05 -2,9957 0,30 -1,2040 0,55 -0,5978 0,80 -0,2231 5 1,6094 30 3,4012 55 4,0073 80 4,3820
0,06 -2,8134 0,31 -1,1712 0,56 -0,5798 0,81 -0,2107 6 1,7918 31 3,4340 56 4,0254 81 4,3944
0,07 -2,6593 0,32 -1,1394 0,57 -0,5621 0,82 -0,1985 7 1,9459 32 3,4657 57 4,0431 82 4,4067
0,08 -2,5257 0,33 -1,1087 0,58 -0,5447 0,83 -0,1863 8 2,0794 33 3,4965 58 4,0604 83 4,4188
0,09 -2,4079 0,34 -1,0788 0,59 -0,5276 0,84 -0,1744 9 2,1972 34 3,5264 59 4,0775 84 4,4308
0,10 -2,3026 0,35 -1,0498 0,60 -0,5108 0,85 -0,1625 10 2,3026 35 3,5553 60 4,0943 85 4,4427
0,11 -2,2073 0,36 -1,0217 0,61 -0,4943 0,86 -0,1508 11 2,3979 36 3,5835 61 4,1109 86 4,4543
0,12 -2,1203 0,37 -0,9943 0,62 -0,4780 0,87 -0,1393 12 2,4849 37 3,6109 62 4,1271 87 4,4659
0,13 -2,0402 0,38 -0,9676 0,63 -0,4620 0,88 -0,1278 13 2,5649 38 3,6376 63 4,1431 88 4,4773
0,14 -1,9661 0,39 -0,9416 0,64 -0,4463 0,89 -0,1165 14 2,6391 39 3,6636 64 4,1589 89 4,4886
0,15 -1,8971 0,40 -0,9163 0,65 -0,4308 0,90 -0,1054 15 2,7081 40 3,6889 65 4,1744 90 4,4998
0,16 -1,8326 0,41 -0,8916 0,66 -0,4155 0,91 -0,0943 16 2,7726 41 3,7136 66 4,1897 91 4,5109
0,17 -1,7720 0,42 -0,8675 0,67 -0,4005 0,92 -0,0834 17 2,8332 42 3,7377 67 4,2047 92 4,5218
0,18 -1,7148 0,43 -0,8440 0,68 -0,3857 0,93 -0,0726 18 2,8904 43 3,7612 68 4,2195 93 4,5326
0,19 -1,6607 0,44 -0,8210 0,69 -0,3711 0,94 -0,0619 19 2,9444 44 3,7842 69 4,2341 94 4,5433
0,20 -1,6094 0,45 -0,7985 0,70 -0,3567 0,95 -0,0513 20 2,9957 45 3,8067 70 4,2485 95 4,5539
0,21 -1,5606 0,46 -0,7765 0,71 -0,3425 0,96 -0,0408 21 3,0445 46 3,8286 71 4,2627 96 4,5643
0,22 -1,5141 0,47 -0,7550 0,72 -0,3285 0,97 -0,0305 22 3,0910 47 3,8501 72 4,2767 97 4,5747
0,23 -1,4697 0,48 -0,7340 0,73 -0,3147 0,98 -0,0202 23 3,1355 48 3,8712 73 4,2905 98 4,5850
0,24 -1,4271 0,49 -0,7133 0,74 -0,3011 0,99 -0,0101 24 3,1781 49 3,8918 74 4,3041 99 4,5951
0,25 -1,3863 0,50 -0,6931 0,75 -0,2877 1,00 0,0000 25 3,2189 50 3,9120 75 4,3175 100 4,6052
Tabela de logaritmos naturais (neperianos)
 Data de aplicação: 08/06/2008 
 (45 Específicas – 21 de Matemática) 
 Questão nº 36 > anulada 
 Tabelas fornecidas no caderno de questões: 
distribuição normal padrão e logaritmos neperianos. 
 
26) 
��%	���	��	�
��	
���� → �� − �� = �� ��, � → �ª	���	���� → �ª	���	��� 
(tabela de distribuição normal) 
 
Assim, temos ��	 = 0,85. 
Sabemos que � = !"# 		 (ESTATÍSTICA BÁSICA – MORETTIN – bibliografia 
final do livro), onde : 
�: %&'(á%*+	,&-'ã/ 
0: *%*12/	,&-'ã/ 
							3:4é-(&	-/6	*%*12/6 
7: -*6%(/	,&-'ã/ 
Neste caso, temos : 3 = 5,5		*	7 = 3 
Assim, 0,85 = !9,9: 	→ 0 = 8,05	 → 1/2&	4í1(4& = 8,0. LETRA (C). 
 
COMENTÁRIO: 
Para esta solução, consultei o livro ESTATÍSTICA BÁSICA, citado acima. 
Como não sou um praticante do tema, em uma prova deixaria essa aqui 
para os chutes finais e procuraria questões mais fáceis no caderno de 
questões. 
 
27) 
=> = 73 	→ ?
=>: @/*A(@(*12*	-*	%&'(&çã/7: -*6%(/	,&-'ã/3:4é-(& 
 
=>C = 3,50,5 = 7 
=>E = 3,90,6 = 6,5 
=>H = 2,80,4 = 7 
Daqui temos que =>C = =>H , logo item (I) correto. 
Rentabilidade média: ?K = 0,5%L = 0,6%= = 0,4% 
 
LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
Idem questão anterior. 
 
28 ) 
 
 
 
Preenchimento das regiões do diagrama conforme as informações 
disponíveis, em ordem distinta da apresentada : 
a) MN = 150 
f) M9 = 40 
e) MP = 110	*	MQ R MS = 190 
d) M: R MT R 150 = 500	 → M: R MT = 350 
c) 150 R MQ R M: = 430 → MQ R M: = 280 
b) 150 R 110 R MT = 450 → MT = 190	U+/V/, M: = 350 − 190 = 160W 
b’) 160 R 120 R 40 R MS = 400 → MS = 80 
Análise dos itens: 
I) U(universo)= MN R MQ R⋯R MT = 850 >Ok! →Não confiam na rede A=160+80+190=430 >Ok! 
→Confiam na rede A= 150+120+40+110=420 >Ok ! 
II) Confia em C: 110+40+80+190=420 
 Confia em B: 120+40+80+160=400 
 Confiaem A: 150+120+40+110=420 
 B < A item errado ! 
III) A sentença lógica , ∨ Z é verdadeira (construa uma tabela verdade!) se 
pelo menos uma entrada for verdadeira. 1UK ∩ =W = 150 
 Item Ok ! 
IV) Exclusiva para A=150 
 Exclusiva para B=160 
 Item errado ! 
COMENTÁRIO: 
A mecânica para este tipo de questão pode ser revista em FME-1, no 
capítulo sobre conjuntos. Apostilas de cursos pré-vestibulares também 
trazem inúmeras questões que podem ser resolvidas pelos diagramas de 
Venn. 
Aqui, chamamos as informações da pesquisa de a,b,c,d,e,f e a seguir 
preenchemos as regiões do diagrama na sequência a,f,e,d,c,b. 
Em minha opinião, a pegadinha do item III U, ∨ ZW derrubou muita gente. 
Se a questão fosse discursiva, poucos a resolveriam completamente. 
 
29) 
 
 ∆U-(6@'(4(1&12*W = −16		 → ∄	'&í^*6	'*&(6 
_ = 0 → AU0W = 8 
_` = −a2& 	→ _` = 2 
																																																			b` = !∆Pc → b` = 4 Logo, > = U2,4W 
 
Domínio: d = e0,2f 
Imagem: g4 =	 e4,8f > LETRA (E) 
 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil; no nível de ENEM. De qualquer forma, se você precisar 
rever a teoria, veja FME-1 (função quadrática). 
Esse é o tipo de questão que nós não podemos errar em qualquer 
concurso. O caminho é procurar as questões fáceis que estão distribuídas 
ao longo de todo o caderno de questões. 
As duas primeiras questões desse caderno são para derrubar uma grande 
maioria que não lida diariamente com estatística. 
30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
>N = ,('â4(-*		i − jMkNL 
>N = 13 ∙ mn4oQ ∙ n√24 	→ 	>N = n:√2192 >Q = ,'(64&	-*	a&6*	2'(&1Vq+&'UiMkNW 
>Q = 12rn√24 ∙ n4s ∙ n2 → >Q = n:√264 
Volume final = >t 
>t = 2>N R >Q → >t = 5n:√2192 									guvj	UKW. 
COMENTÁRIO: 
A visão em perspectiva poderia dificultar a identificação dos sólidos iwMxkNkQ e ijMkNL para a solução do problema. 
Questão capciosa. Certamente há outras soluções mais bonitas para ela. 
Para uma boa revisão de geometria espacial, FME-9. 
 
31) 
2U1 − 6*1Q_W = 1 − 6*1_ → 26*1Q_ − 6*1_ − 1 = 0 
Fazendo 6*1_ = & teremos: 2&² − & − 1 = 0 → z & = 1& = −1 2⁄ 
1ª possibilidade: 6*1_ = 1	 → _ = 	|Q R 2n} 
 
 
2ª possibilidade: 6*1_ = −1 2⁄ →	~_ = −} 6 R 2n}_ = 	7} 6 R 2n} 
 
 
 
 LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Equações trigonométricas estão em FME-3. Mas você não 
precisa resolver todo o capítulo para relembrar das 
propriedades fundamentais trigonométricas. Bastam algumas 
e a memória será retomada. 
32) 
Fazendo o produto das matrizes A e X, construiremos o sistema abaixo: 
? & R a R @ = 6& − a − @ = −42& − a R @ = 1 	→ ?
2& − a R @ = 1& R a R @ = 62& = 2 	→ & = 1	 
Substituindo o valor de & nas duas primeiras equações, teremos 
�2 − a R @ = 11 R a R @ = 6 	→ -/1-*	@ = 2	*	a = 3 
Assim, temos aQ − 4&@ = 1 > LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
Conhecimento básico de produto de matrizes e resolução de sistema por 
escalonamento. Questão fácil; pouca gente erra. Dúvidas? FME-4. 
33) 
																					x€ = U&N R &€W12 						→ 6/4&	-/6	2*'4/6	-*	q4&	i. K;		 &€ = &N R U1 − 1W'		 → 2*'4/	V*'&+	-&	i. K 
Para a P.A (4,7,10,13....) , teremos: 
&€ = 4 R U1 − 1W ∙ 3 → &€ = 1 R 31 
Assim, substituindo na soma dos termos, teremos: 
U4 R 1 R 31W12 = 1425 → U5 R 31W1 = 2850 → 31Q R 51 − 2850 = 0→ 1 = 30 
 > LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
A questão, em si, é fácil para quem lembrou das fórmulas da P.A. No final, 
apenas o trabalho para achar a “raiz” de 34225(discriminante da 
equação). 
Mesmo para quem não tem “de cabeça” estas duas fórmulas, é possível 
deduzi-las na hora. Acho que pouca gente deve ter tido dificuldade aqui. 
Lembrando sempre a tese que norteia este livro: “ a prova de engenheiro 
de petróleo não é uma prova para quem acerta questões difíceis; ela é 
uma prova para quem não erra as fáceis”. 
34) 
I) =9,: 	→ *6@/+ℎ(-&6	3	+&2&6, q4&	-(A*'*12*	-&	/q2'&; 
II) 02 latas com a mesma marca e 01 diferente : 5 x 4 = 20. 
 z5: *6@/+ℎ&	-*	q4&	4&'@&	,&'&	&6	02	,'(4*('&6	+&2&6;4: *6@/+ℎ&	-*	/q2'&6	4&'@&6	,&'&	&	3ª	+&2&; 
III) Todas as 3 latas iguais: 5 possibilidades (1ª cor ou 2ª cor ou 3ª cor ou 
4ª cor ou 5ª cor). 
TOTAL : 5 R 20 R =9,: = 5 R 20 R 10 = 35 
 LETRA (D). 
 
COMENTÁRIO: 
Questão difícil de análise combinatória, onde o apressado pensaria em 
fazer =9,: = 10 para marcar a letra (B) e erraria a questão. Eu mesmo 
errei na primeira vez que vi a questão e fui alertado por um colega. 
Análise Combinatória e Probabilidades são, em minha opinião, dois dos 
assuntos mais difíceis da Matemática Elementar. Algumas pessoas têm 
mais facilidade para resolver os problemas com puro raciocínio e outras 
preferem o algebrismo. Eu me incluo no segundo grupo. 
Para uma boa revisão, veja FME-5. 
 
35) 
 
 Pela vista superior, temos : ƒ = 50°	.					…/V/	KÔL = 100°. 
LETRA (D). 
COMENTÁRIO: 
Precisamos aprender a fazer provas. Quem perde tempo tentando fazer as 
questões na sequência em que elas aparecem pode perder um tempo 
enorme em algumas questões maisdifíceis e chegar “de cabeça quente” 
aqui, nesta etapa da prova. Principalmente se não tiver conseguido 
resolver alguma ou algumas questões. Isso abala o emocional do 
candidato. 
No começo da prova, é importantíssimo dar uma olhada em todo o 
caderno de questões, identificando as questões que são fáceis; aquelas 
que poucos erram. Começar por estas e só depois atacar as que são mais 
complicadas. 
O segredo, insisto, é não errar questões fáceis. 
36) ANULADA 
 
37) 
1159,27 = 1000U1,03W‡		, ˆq'/	6/a'*	ˆq'/, 2&_&	@/162&12*. 
Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados da equação, temos: 
lnU1159,27W = lnU1000W R +1U1,03W‡ 
Usando propriedades dos logaritmos e consultando a tabela, termos: 
7,06 = 6,91 R 2 ∙ lnU1,03W 	→ 2 = 5 > LETRA (A) 
 
COMENTÁRIO: 
Como a questão 35, fácil. Dessas que não podemos errar em prova. 
Decaimento radioativo e crescimento populacional são outras aplicações 
de equações exponenciais cujas resoluções podem passar pelo uso da 
tabela dos logaritmos. Para uma boa revisão, FME-2. 
38) 
z 200 − 18,50 = 181,50	Uˆq'/6	@/4,/62/6W+/V/, 150	6*'ã/	,&V/6	@/4	181,50U2&_&"	i"		-*	ˆq'/6W 
181,50 = 150U1 R (WQ, /1-*	2	%*4	-*	2	4*6*6. 
Assim, teremos: 
181,50150 = U1 R (WQ → 1R ( = 1,1 → ( = 0,1 → ( = 10% 
Novo empréstimo: ( = 20% 
Assim, teremos: 
 = 200U1 R 0,2WQ →  = 288								…vuMK	UvW. 
COMENTÁRIO: 
Semelhante à anterior. Erro aqui é fatal. 
Uma questão dessa errada separa você de uns 200 candidatos na 
classificação final. Pouquíssimos erram. 
Vale a pena lembrar: “a prova de eng° de petróleo não é uma prova para 
quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as 
fáceis”. 
39) 
z_ R 2b = q																				_U−3W3_ R 4b = % → z−3_ − 6b = −3q3_ R 4b = % 				 
Daqui segue que: 
−2b = −3q R % → −2b = −3U−1,0,2,3W R U2,1,0,5W → −2b= U5,1,−6,−4W → b = U−5 2 ,− 1 2 , 3	, 2W 
Como _ = q − 2b	, 2*'*4/6: 
_ = U−1,0,2,3W − 2Ž−5 2 ,− 12 , 3,2 	→ _ = U−1,0,2,3W R U5,1, −6,4W→ 
_ = U4,1,−4,−1W 
O produto escalar (ou produto interno) será dado por: 
_ ∙ b = 4 ∙ − 9Q‘ R 1 ∙ − NQ‘ R U−4W ∙ 3 R U−1W ∙ 2 = −24,5 > LETRA 
(C). 
COMENTÁRIO: 
O MP	1/	*1q1@(-&-/	6ó	6*'%*	,&'&	&66q62&'	/	@&1-(-&2/. Produto 
escalar, em sua expressão analítica, é o que definia a questão. Questão 
fácil. 
 
 
 
40) 
 Substituindo na expressão j = logN• K R 3 ∙ logN•U8 ∙ ∆2W − 2,92 os 
dados do problema, teremos: 
j = logN• 12 R 3 ∙ logN•U8 ∙ 24W − 2,92				 z +/V2 = 0,3+/V3 = 0,48 
Seguimos, lembrando que podemos escrever logN• 12 = log 12 e 
aplicando as propriedades de logaritmos: 
j = logU2Q ∙ 3W R 3 ∙ logU2: ∙ 3 ∙ 2:W − 2,92 
j = +/V2Q R +/V3 R 3Ulog 2³ R +/V3 R +/V2³W − 2,92 
j = 2+/V2 R +/V3 R 6+/V2³ R 3+/V3 − 2,92 
j = 2+/V2 R +/V3 R 18+/V2 R 3+/V3 − 2,92 
j = 20+/V2 R 4+/V3 − 2,92 
 j = 5 >>>> LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
Esta seria a primeira questão que eu resolveria nesta prova. É fácil, de 
aplicação imediata de propriedades dos logaritmos e não tem muitas 
contas trabalhosas. Ótima para acalmar a tensão inicial da prova e dar 
confiança para as demais que seguem. 
 
41) 
Álgebra Linear com aplicações (8ª ed.)- Anton e Rorres- Capítulo 5 – 
Espaços Vetoriais arbitrários. 
DEFINIÇÃO: Se —N = 0,—Q = 0,…—™ = 0	 é a única solução da equação 
vetorial —N%N R —Q%Q R⋯R—™%™ = 0 então o conjunto x = š%N, %Q, %:… . %™›	 é chamado L.I. Se existem outras soluções além da 
trivial, então x é chamado de L.D. 
 
Assim, vamos analisar cada item. 
I) Temos 02 vetores e nenhum é múltiplo escalar do outro; logo, é L.I. 
II) O determinante œ1 2 11 −1 02 3 4œ ≠ 0			 → é	…. g. 
 
III) 2 1 11 −2 3‘ = 1 ∙ 1 0 20 1 −1‘ R 1 ∙ 1 1 −11 −3 4 ‘ → ….d 
 
 >>>>> LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
Como você, talvez eu não lembraria desses conceitos na hora da prova; 
então deixaria esta questão para o final e continuaria na busca por 
questões mais fáceis, como a 40, antes desta. 
De todo modo, vale a pena ter o livro do Anton ou o livro do Lay 
(bibliografia no fim do livro) em casa para consultas eventuais. Sempre 
aparecem umas questões de “Algelin” na prova. 
 
42) 
Se A é de ordem 2x2 e B é de ordem 2x1, para que exista o produto 
A*X=B, então a matriz X tem que ser de ordem 2X1. 
Representando a matriz X por &a‘, teremos: 
 1 2−1 1‘ ∙ &a‘ = −1−2‘ → �& R 2a = −1−& R a = −2 → 0 = 			1−1‘ 
Considerando a matriz X como um vetor , sabemos que a norma ou 
módulo será calculada por: 
1/'4& = ž1² R U−1W² 	= 2 >>>>>>>>>>>>> LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
Um outro bom livro de Álgebra Linear é o do Prof. Antônio dos Santos 
Machado, citado na bibliografia. Ele é ótimo para uma revisão destes 
conceitos básicos de vetores. 
43) 
 
 
Ÿ ¡
 ¢ _ = 0 → b = cosU0W = 1_ = }2 → b = cosU}W = −1_ = }3 → b = cos m2}3 o = −1/2
 
 
K = ¦ cosU2_W R ¦ cosU2_W				 ; 			@/4/		 ¦ cosU2_W -_ = NQ 6*1U2_W,|/:|/P|/P• 
teremos: 
K = 12 6*1U2_W§} 4⁄0 	R	12 6*1U2_W§} 3⁄} 4⁄ 		 
																													K = NQR !√:P R NQ‘ = 1 − √:P = P!√:P >>>> 
LETRA (E). 
COMENTÁRIO: 
Questão lindíssima, mas capciosa por conta da “integral de 2x” necessária 
para a resolução, além da identificação no gráfico dos pontos que 
interessam, para limitar a curva. 
 
 
 
 
44) 
 
 
 
 
 
 
De ^² = _² R b² segue , por derivação implícita em relação ao tempo: 
2^ -^-2 = 2_ -_-2 R 2b -b-2 		→ 2-^-2 = 2 ∙ U0,8W ∙ 3 R 2 ∙ U0,6W ∙ 4 → 
→ -^-2 = 4,8 
>>> LETRA (B) 
 
COMENTÁRIO: 
Taxas relacionadas são um prato cheio para concursos na área de 
engenharia. Muita gente treina e, portanto, poucos erram. Um erro aqui 
separa o candidato colocado em 25º do colocado em 250º. 
Lembrando: “a prova d eng° de petróleo não é uma prova para quem 
acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
Além de estar preparados, precisamos “saber fazer prova”. 
 
45) 
 CATENÁRIA DADA POR: 					AU_W = 2 R Q: cosh	U_W 
x&a*4/6	Zq* coshU_W = *© R *!©2 
Logo, teremos: 
AU_W = 2 R 23 ∙ 12 ∙ U*© R *!©W → AU_W = 2 R *©3 R *!©3 		 
Segue com a primeira derivada da função: 
AªU_W = 13 *© − 13*!© 
Igualando a zero, teremos: 
13 *© = 13*!© → 		_ = 0	 ∶ %&+/'	Zq*	4(1(4(^&	&	Aq1çã/. 
Substituindo _ = 0 na função, acharemos seu valor mínimo: 
AU0W = 2 R 13 R 13 → 					AU0W = 83 
>>> LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Pouca gente lembra das funções hiperbólicas na hora da prova; então essa 
questão deve ter sido considerada difícil por boa parte dos candidatos. 
Tirante esse detalhe, o conceito exigido na questão é aplicação da 
primeira derivada para encontrar máximo de função. Fácil. 
 
46) 
VU_W = _: R _Q R 1 → VªU_W = 3_Q R 2_ 
VªU−1W = 1 → @/*A(@(*12*	&1Vq+&'	-&	'*2&	2&1V*12*Ub = 4_ R ℎW 
b = _ R ℎ	@/12é4	/	,/12/	U−1,1W, +/V/	ℎ = 2 
Assim, temos para reta tangente: b = _ R 2 
Intersecção da reta tangente com a função VU_W: 
_: R _Q R 1 = _ R 2 → _: R _Q − _ − 1 = 0 → 
→ _QU_ R 1W − U_ R 1W = 0 → U_Q − 1WU_ R 1W = 0 → _ = 1	* 
_ = −1	6ã/	'&í^*6. 
Assim, temos VU1W = 3	*	@/16*Zq*12*4*12*	/	,/12/	U1,3W >>> (B) 
COMENTÁRIO: Novamente, aplicação da primeira derivada. Fácil. 
 COMENTÁRIO FINAL 
 
 O neófito em concursos talvez tenha levado um choque se tentou 
resolver as questões na sequência 26,27 e 28. Acho que só o pessoal que 
gosta muito de estatística costuma fazer uma revisão envolvendo estes 
temas abordados. 
Estas questões, associadas às de número 39,41 e 45 devem ter tido um 
numero de erros considerável. No mais, aprova tinha (como sempre!) 
aquelas questões que nós jamais podemos errar. 
Eu começaria a resolver as questões pela de número 35; as questões 32, 
,46,44 e 40 também estão no pacote das questões que não podemos 
errar. 
Como tenho defendido desde o início, não adianta ser uma fera em 
Matemática; você precisa também “saber fazer prova”. E esse “saber 
fazer prova” consiste em buscar no caderno de questões, logo no 
comecinho da prova, aquelas que são fáceis para todo mundo; aquelas 
questões que poucos irão errar. Essas questões são de temas clássicos da 
Matemática Elementar e , no máximo, abordam uma aplicação de 
primeira derivada, como têm nos mostrado o histórico destas provas da 
PETROBRAS. 
Mesmo em provas que foram aplicadas pela CESPE/UNB a tônica foi 
sempre foi a mesma. Sempre houve questões fáceis distribuídas pelo 
caderno de questões. 
Então reafirmamos a nossa tese: “ a prova de eng. de petróleo não é uma 
prova para quem acerta as questões difíceis; ela é uma prova para quem 
não erra as fáceis”. 
Como tenho dito aos meus alunos: na hora da prova, assim que o fiscal 
autorizou a abertura do caderno de questões, a primeira coisa é “navegar” 
por todo o caderno, verificar todas as questões e marcar aquelas que são 
clássicas, de aplicação imediata. Aquelas que são fáceis para a grande 
maioria das pessoas. 
 Só a prática em resolver provas nos dá essa malícia. E esse tem sido nosso 
intento neste trabalho: acima de tudo, te ensinara fazer prova. 
 A Matemática eu tenho certeza que você, distinto leitor, tira de letra. 
Finalizando, minha sequência de resolução no dia da prova seria a 
seguinte: 
29, 35, 37, 33, 32, 40, 44, 46, 31, 38, 39, 42, 43, 45, 28, 30, 34, 41, 26 e 27. 
Estas duas últimas, sinceramente, ficariam para um chute final. 
Bons estudos.PROCESSO SELETIVO PÚBLICO 
PETROBRAS/PSP-RH-2/2008 – EDITAL N
o
 1
GABARITOS DO DIA 08/06/2008 
NÍVEL SUPERIOR 
LÍNGUA PORTUGUESA II 
1 - A 2 - E 3 - E 4 - B 5 - E 6 - A 7 - C 8 - A 9 - E 10 - C 
LÍNGUA INGLESA I
11 - D 12 - E 13 - A 14 - B 15 - B 16 - E 17 - C 18 - D 19 - E 20 - C 
INFORMÁTICA
21 - E 22 - A 23 - B 24 - A 25 - C 
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 
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65 – B 
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67 – A 
68 – E 
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26 – C 
27 – B 
28 – A 
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30 – B 
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32 – B 
33 – B 
34 – C 
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38 – B 
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40 – C 
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42 – A 
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35 – A 
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42 – A 
43 – C 
44 – C 
45 – E 
46 – C 
26 – C 
27 – B 
28 – C 
29 – E 
30 – A 
31 – B 
32 – C 
33 – C 
34 – D 
35 – D 
36 – D 
37 – A 
38 – E 
39 – C 
40 – C 
41 – B 
42 – C 
43 – E 
44 – B 
45 – D 
46 – B 
26 – C 
27 – A 
28 – B 
29 – D 
30 – E 
31 – C 
32 – E 
33 – C 
34 – D 
35 – A 
36 – C 
37 – D 
38 – D 
39 – D 
40 – E 
41 – B 
42 – E 
43 – A 
44 – C 
45 – A 
46 – B 
70 – B 70 – B 70 – E 70 – D 70 – D 70 – D 70 – A 70 – D 47 – C 47 – B 47 – D 47 – B 47 – B 47 – D 47 – E 47 – C 47 – C 70 – E 
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���������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 1 –
Nas questões de 51 a 120, marque, em cada uma, a única opção correta, de acordo com o respectivo comando. Para as devidas
marcações, use a folha de resposta, único documento válido para a correção da sua prova.
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
�������	
�
Com relação à função f (x) = x3 + 2x2 !4x + 5, assinale a opção
correta.
A Em três pontos do gráfico da f, a reta tangente é horizontal.
B A função f possui um máximo local no ponto .x =
2
3
C O gráfico da função f muda de concavidade nos pontos de
abcissas x = !2 e .
D .
E No intervalo (!2, !1), a função f é crescente.
�������	
�
Considere uma função , definida no domíniof: D→ R
. Em seu domínio, a função f éD = −∞ ∪ ∪ +∞( , ) ( , ) ( , )0 0 3 3
contínua e tem derivadas contínuas até a ordem 2. As retas x = 0
e x = 3 são assíntotas verticais de f e a reta y = 1 é assíntota
horizontal de f. O gráfico da f é apresentado na figura abaixo.
Com base no gráfico de f e nas informações acima, assinale a
opção correta.
A .lim ( )
x
f x
→−∞
= 1
B A função f não muda de concavidade.
C Se então .x ∈ ( , )0 3 f x f x( ) ( )× ′ > 0
D A função f é injetiva.
E Se então .x ∈ + ∞( , )3 ′ ≠f x( ) 0
�������	
Considere, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
xOy, a região de área finita e limitada pelos gráficos das funções
f(x) = x2 e g(x) = 9. Se a reta y = K divide essa região em duas
partes de áreas iguais, então K é tal que
A .K 3 27=
B .K
3
2
27
2
=
C .K 3
9
2
=
D K
3
2
9
4
= .
E .K 3
27
16
=
��������
y
x
1
2 3 4
–1
–1
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 2 –
�������	
�
A função , possui um ponto críticop t e e
t t
( ) ( )= × −
− −
100 50 10
em t
0
. Considerando 1,6 como valor aproximado de ln 5, então t
0
é igual a 
A 2.
B 5.
C 10.
D 15.
E 20.
�������	
No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, a equação
da reta tangente ao gráfico da função y = x2, que é paralela à reta
que contém os pontos (0, 0) e (2, 4) é dada por 
A .y x= −2 1
B .y x= −
1
2
1
C .y x= − +2 1
D .y x= − 2
E .y x= +
2
3
2
�������	
�
Considere uma função , satisfazendo às seguintesf :R R→
condições:! f (x), f N(x) e fO(x) são continuas em R.
! f N(!1) = f N(1) = f N(3) = 0;
! f N(x) > 0 no intervalo (1, 3);
! f N(x) < 0 em (!4, !1) c (!1, 1) c (3, + 4).
Nessa situação, é correto afirmar que a função f
A possui um mínimo local em x = !1.
B possui um máximo local em x = 1.
C é injetiva.
D possui um máximo local em x = 3.
E é necessariamente sobrejetiva.
�������	
�
Considere a função f definida por .f x
x
x
x
K x
( )
,
,
=
−
−
≠
=




2 1
1
1
1
se
se
Essa função será continua em todos os reais se K for igual a
A !1.
B 0.
C 1.
D 2.
E 3.
��������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 3 –
�������	
�
Considere vetores no espaço R4
e seja V o subespaço de R4 gerado por esses 3 vetores. Nesse caso,
a dimensão de V é igual a
A 0.
B 1.
C 2.
D 3.
E 4.
�������	
�
Considere, em R3, as retas r e s dadas parametricamente por,
 e , em que t 0 R.r
x t
y t
z t
:
= +
= +
= +





3 2
2
3
s
x t
y t
z t
:
=
= −
= −





2 1
3 1
Se (a, b, c) é o ponto de interseção dessas duas retas, então a + b + c é
igual a
A !2.
B !1.
C 2.
D 4.
E 5.
�������	��
Em R3, um vetor normal ao plano que contém os pontos (1, 2, 1),
(!1, 1, 1) e (2, 1, 1) é paralelo ao vetor
A (2, 1, 0).
B (0, 1, 0).
C (0, 0, 1).
D (-1, 1, 0).
E (1, 0, 0).
�������	��
Considere o subespaço 
V = (x, y, z, w) 0 R4: = .
Nesse caso, a dimensão de V é igual a
A 0.
B 1.
C 2.
D 3.
E 4.
�������	��
É correto afirmar que a matriz A =
A não é diagonalizável.
B possui apenas um auto-valor real.
C possui 3 auto-valores reais distintos.
D possui 2 auto-valores reais distintos.
E não possui auto-valores reais.
�������	�
Assinale a opção correta com relação ao sistema de
equações lineares .
A O sistema não possui solução.
B Cada equação do sistema representa uma reta em R3.
C As soluções do sistema pertencem à uma reta cujo vetor
direção é (!1, 1, 0).
D A solução do sistema pode ser escrito como
combinação linear dos vetores (1, 2, 1) e (!1, 2, !1).
E As soluções do sistema podem ser representadas
parametricamente por , em que t é um número
real.
�������	��
No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, a
equação 4x2 + 16y2 + 8x – 64y + 4 = 0 representa 
A uma hipérbole de centro (!1, 2).
B uma elipse de centro (!1, 2).
C uma parábola de vértice (!1, 2).
D uma circunferência de centro (!1, 2).
E duas retas que se cruzam no ponto (!1, 2).
��������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 4 –
�������	�
Considere o espaço euclidiano R2, munido de um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais, em que a unidade de medida é o
centímetro. Nesse caso, a região do plano representada pelo conjunto
de desigualdades lineares tem área igual a
A 0,25 cm2.
B 0,5 cm2.
C 1 cm2.
D 1,5 cm2.
E 2,0 cm2.
�������	��
Uma base para o espaço-solução do sistema homogêneo de duas
equações lineares a 4 incógnitas é 
A .
B .
C {(!1, 1, 0, 0)}.
D {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.
E {(0, 0, 0, 0)}.
�������	��
Um município é composto por uma região urbana e por uma região de
entorno, a região rural. Na região urbana vivem, hoje, 700 mil pessoas,
e 300 mil na região rural. A cada ano, 10% dos moradores da região
urbana se mudam para a região rural, e 15% das pessoas que vivem na
região rural se mudam para a região urbana. Represente por ReUrb o
número de habitantes na região urbana e por ReRur o número de
habitantes da região rural. Nessas condições o número de habitantes
A da região urbana aumentará em 10% a cada ano.
B da região rural aumentará em mais de 20% a cada ano.
C de cada uma dessas regiões poderá ser determinado pelo produto de
matrizes da forma
.
D do município diminuirá.
E de cada uma dessas regiões poderá ser determinado pelo produto de
matrizes da forma 
.
�������	��
Acerca dos determinantes das matrizes linha-equivalentes
A = e B = , assinale a opção
correta.
A det A = det B.
B det [A × B] > 0.
C det A = !det .
1 5 4
2 7 2
3 1 8−










D det A + det B = 0.
E det A + 2 × det B = 0.
��������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 5 –
�������	��
O lucro, ou prejuízo, semanal, em reais, de uma loja que vende x
unidades de determinado produto por semana é dado por
. Nessa situação, o lucro máximo da loja seráL x x x( ) = − +2 200
obtido quando x for igual a
A 10.
B 45.
C 90.
D 100.
E 150.
�������	��
Se log a = X e log b = Y, então
A log (a + b) = X + Y.
B log (ab) = X × Y.
C log ( )= .
a
b
X
Y
D log (a2b) = 2X + Y.
E log = .( )
1 1
a b
+
1 1
X Y
+
�������	��
No intervalo [0, 2B], a quantidade de soluções da equação
sen x + sen 2x = 0 é igual a 
A 1.
B 2.
C 3.
D 4.
E 5.
�������	��
Se x é um número real e exp(x2 – 5x + 6) = 1, então
A x = 2 ou x =3.
B x = 1 ou x = 2.
C x = 0 ou x = 3.
D x = !1 ou x = 0.
E x = !1 ou x = 4.
�������	�
Se A é uma matriz quadrada invertível, então 
A det [A × AT] = [det A]², em que AT é a matriz transposta da matriz
A.
B det [A + A] = 2 × det A. 
C det A + det AT = 0.
D det [A + A!1] = 0.
E det A = det A!1.
�������	��
Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por
L$, o imposto de renda é cobrado em função da renda
mensal do trabalhador da seguinte forma:
I isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou
inferior a L$ 10.000,00;
II 10% sobre a renda, menos L$ 1.000,00, se a renda
mensal do trabalhador for superior a L$ 10.000,00 e
inferior ou igual a L$ 20.000,00;
III 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador
for superior a L$ 20.000,00.
Se, para uma renda mensal igual a L$ x, o trabalhador
recolhe L$ I(x) de imposto, então é correto afirmar que
A A função I(x) é uma função escada.
B I(x) é uma função constante em cada intervalo do tipo
[10.000n, 10.000(n + 1)], para n = 0, 1, 2, ...
C I(x) é uma função estritamente crescente.
D A função I(x) é continua em x = 10.000.
E I(x) é uma função contínua em todos os pontos de seu
domínio.
�������	�
Se A1 = {2 , 4 , 6 , 8}, A2 = {2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16}
e A3 = {8, 16} são subconjunto do conjunto dos números
inteiros, então
A A1c A2 c A3 é um conjunto diferente de A1, de A2 e de
A3.
B A1 1 A3 d A2.
C A1 1 A2 é um conjunto unitário.
D A2 – A1 = A3.
E A1 1 A2 = A3.
�������	��
Se f (x) = x2 – 5x + 5 e g(x) = !1, então a desigualdade
f (x) < g(x) é válida para todo x 0 R tal que
A x < 2.
B x >3.
C 2 < x < 3.
D x > 2.
E x < 3.
��������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 6 –
�������	��
Considere que a porosidade de uma rocha reservatório seja uma
variável aleatória contínua — X — que se distribui de acordo com a
função de distribuição acumulada A partir dessas
informações, assinale a opção incorreta.
A A média de X é igual a 20.
B O desvio-padrão de X é superior a 3.
C A probabilidade P(X > 20) é igual a 0,5.
D A função de densidade de probabilidade de X é 
E Se Y é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída
no intervalo (0, 1), então .
�������	��
Para desenvolvimento de um projeto de perfuração, foram retiradas
aleatoriamente 5 amostras de uma rocha. Concluiu-se que a massa
específica dessa rocha é, em média, igual a 2,5 kg/m3. O desvio-padrão
amostral das massas específicas dessas amostras foi igual a 0,21 kg/m3.
Considerando essa situação e sabendo que a compressibilidade
uniaxial (C) é dada por C = (D2, em que D representa a massa
específica da rocha, e ( > 0 é uma constante de proporcionalidade, o
valorda média amostral de C é igual a
A 6,156 (.
B 6,218 (.
C 6,250 (.
D 6,261 (
E 6,282 (.
Texto para as questões 79 e 80
A plataforma P-43 da PETROBRAS é uma das maiores
plataformas marítimas do mundo. Ela mede 337 m de comprimento e
65 m de altura e a sua produção é de 150 mil barris de óleo por dia.
Internet: <www.petrobras.com.br> (com adaptações).
�������	��
A figura ao lado representa o ângulo de visão de
um observador, que vê a plataforma e um barco de
31 m de comprimento sob um ângulo de 60º,
estando o barco paralelo à plataforma. Nessa
situação, considerando 1,7 como valor aproximado
de , é correto afirmar que a distância d, em3
metros, entre o barco e a plataforma é
A inferior a 50.
B superior a 50 e inferior a 100.
C superior a 100 e inferior a 150.
D superior a 150 e inferior a 200.
E superior a 200.
��������
6
5
 m
337 m
337 m 
31 m 
observador
60
o
d
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 7 –
�������	��
Considere que foram construídos tanques no
formato de um cilindro circular reto e a parte
inferior é um cone circular reto. A altura total do
tanque é de 15 m, sendo de 1,2 m a altura da
parte cônica. O raio da parte cilíndrica e da base
do cone é igual a 20 m, como ilustrado na figura
ao lado. Se um barril de óleo equivale a 158 L, e considerando 3,14
como valor aproximado para B, é correto afirmar que a quantidade
mínima desses tanques necessária para armazenar a produção de
um dia da P– 43 é igual a
A 2.
B 3.
C 4.
D 5.
E 6.
�������	��
Em geral, os tanques dos caminhões que transportam combustível têm
a forma de um cilindro reto em que a base é uma elipse. Em um
projeto para a construção do tanque de um caminhão, a base elíptica
do tanque e o tanque, são mostrados nas figuras abaixo, onde a
unidade de medida no sistema de coordenadas é o metro e o valor de
b dependerá da capacidade do tanque.
Se o tanque tiver capacidade para , é correto afirmar que a
equação da elipse que servirá de base para o tanque é 
A .2 24 1x y+ =
B 4x2 + 9y2 = 1.
C .2 2 4x y+ =
D .2 24 4y x+ =
E 16x2 + 9y2 = 16.
�������	��
A figura a seguir é composta pelo retângulo PQRS, pelo
arco de circunferência MN e pelos lados do triângulo
isósceles TUV de base TV.
Considerando que esses três entes geométricos possuam o
mesmo eixo de simetria, designado por r, assinale a opção
incorreta.
A Os ângulos PNM e SMN são congruentes.
B O ponto U está, necessariamente, na reta determinada
pelos pontos médios dos segmentos PS e QR.
C A altura do triângulo TUV, relativa à base TV, é
perpendicular ao segmento MN.
D Os segmentos MN e TV são congruentes e
perpendiculares a r.
E O eixo r divide o pentágono TQRVU em dois trapézios
isósceles.
��������
1
5
 m
b
0 1 x
y
5 m
1
P M T Q
U
S N V R
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 8 –
�������	�
Considerando que, para uma dívida de R$ 6.951,00, serão
cobrados juros compostos mensais de 10%, julgue os itens a
seguir, acerca de diferentes formas de se quitar essa dívida.
I Ao final de dois meses da contratação, o devedor quitará sua
dívida por R$ 8.410,71.
II Em duas prestações mensais, iguais e consecutivas, a primeira
vencendo um mês após a contratação da dívida, a prestação
será de R$ 4.050,10.
III Em três prestações mensais, iguais e consecutivas, a primeira
vencendo no ato da contratação da dívida, a prestação será
inferior a R$ 2.600,00.
Assinale a opção correta.
A Apenas um item está certo.
B Apenas os itens I e II estão certos.
C Apenas os itens I e III estão certos.
D Apenas os itens II e III estão certos.
E Todos os itens estão certos.
�������	��
Um investidor aplica R$ 5.500,00 em uma instituição financeira
que paga juros compostos mensais de 0,8%. Tomando 1,1 como
o valor aproximado de 1,00812, é correto afirmar que o
rendimento dessa aplicação, em um ano, será igual a
A R$ 525,00.
B R$ 550,00.
C R$ 575,00.
D R$ 600,00.
E R$ 625,00.
�������	�
Com relação ao movimento de um projétil, assinale a opção
correta.
A O vetor aceleração é perpendicular à trajetória do projétil
durante todo o seu percurso.
B A trajetória do projétil, do ponto onde ele é lançado ao ponto
onde ele toca a superfície da terra, descreve um arco de
circunferência.
C Quando a resistência do ar é levada em consideração, o vetor
aceleração está na direção vertical.
D O alcance máximo de um projétil depende da velocidade de
lançamento e do ângulo de lançamento, sendo independente
do valor da aceleração da gravidade.
E Mesmo se a resistência do ar for levada em consideração, há
um sistema de referência no qual o movimento do projétil
pode ser tratado como um movimento bidimensional.
�������	��
As grandes indústrias automobilísticas fazem testes de
colisão nos quais carros são arremessados contra paredes. Em
alguns desses testes, os efeitos da colisão sobre um boneco, que
simula a presença de um ser humano, são estudados na presença
e na ausência de air bags.
Considerando o texto acima, assinale a opção correta, acerca de
impulso e trabalho. 
A O air bag funciona como um dispositivo protetor porque a
variação do momento linear do boneco devido à colisão é
maior quando não há air bags no veículo que quando esse
dispositivo está presente e é acionado.
B A variação do momento linear do boneco devido à colisão é
a mesma na presença e na ausência de air bags. No entanto,
quando o air bag é acionado durante a colisão, o intervalo de
tempo no qual ocorre a variação de momento linear do
boneco é maior, o que torna o air bag um dispositivo protetor.
C O impulso da força exercida pela parede sobre o carro é igual
à variação do momento total do carro multiplicada pela massa
do próprio carro.
D Em um gráfico da força exercida pela parede sobre o carro em
função do tempo, o impulso da força é igual à derivada da
força em relação ao tempo.
E Se a fração da energia cinética do carro que se transforma
em som, durante a colisão, for considerada desprezível,
então a colisão entre o carro e a parede pode ser tratada como
uma colisão elástica.
��������
 Data de aplicação: 21/12/2008 
 (70 Específicas – 34 de Matemática-05 anuladas) 
 CESPE/UNB – múltipla escolha 
 
51) 
Análise dos itens para ���� � �� � 2�	 
 4� � 5 
a) reta tangente → ����� 
 ����� � 3�	 � 4� 
 4 . Fazendo ���� � 0, teremos duas raízes reais e distintas → 
02 pontos. >>> ERRADA. 
b) 3�	 � 4� 
 4 � 0	���	��í���	 2 3	⁄ 	� 
 2 
Pode ser um mínimo local e ,de fato, o é. Basta verificar que � �	�� � ��	 	 e ��
2� � 13. 
>>> ERRADA. 
c) Muda de comportamento (crescente para decrescente em -2 e decrescente para 
crescente em 2/3) e não de concavidade. 
d)		��x��6x�4	→f �
 	�� � 6 �
 	�� � 4 � 0 >>> OK. 
e) �”��� � 6� � 4	 → ��&� � 
2 3	⁄ → '�(���(�)��	)*	&)��+�,*	 �
∞,
 	� .		 
 
 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil para quem fez uma boa revisão de Cálculo-I. Aplicações diretas de 1ª e 2ª 
derivadas. 
52) 
Análise das opções de acordo com o gráfico apresentado na questão. 
a) a reta / � 1 é uma assíntota; correto o limite em 
∞ . >>>> CORRETA. 
b) � � 2 é ponto de inflexão → mudança de concavidade. >>> ERRADA. 
c) há valores de � ∈ �0,2� tais que ���� ∙ ����� 2 0 >>> ERRADA 
d) é injetiva ( ou injetora) se, para dois elementos �3 4 �		5����)(�)���	�*	'*�í)&*	'�	�6)çã*, �&+���*�	���3� 4 ���	�. 
Como ��
1� � ��2� � 0	 → )ã*	é	&):��&+�. >>>>> ERRADA 
e) ���4� � 0 >>> ERRADA. 
COMENTÁRIO: 
Fácil também. Quem fez a anterior com tranquilidadenão teve problemas para esta 
questão. A base é a mesma: Cálculo-I. 
53) 
 
 
 
A reta / � ; divide a área AOB de forma que S(ACDB)=S(COD). 
Cálculo de S(AOB): 
<�=>?� � @ �9 
 �	�'��B� � 9� 
 �
�3 C 3
3 � 36 
Dado que S(COD)=18, temos : 
@ �; 
 �	�'�√EB√E � 18	 → G;� 
 �
�3 H 	C √;
√; � 18		 → 
→ �6I��&�6&)'*	*�	,&�&���	'�	&)��J��çã*, �����*�: 
																													;� 	⁄ 
 EL M⁄� � ;� 	⁄ 
 EL M⁄� � 18	 → ;� 	⁄ � 	 	 >>>>> (B) 
COMENTÁRIO: 
Também aplicação imediata dos conceitos vistos em Cálculo-I. Agora, com integral 
definida. Um começo de prova tranquilo, para quem fez uma boa revisão de Cálculo-I. 
54) 
N5*)�*	(�í�&(*	��	�O → 5���O� � 0,)5 � 1,6 
5���� � 100 PQ
 150R ∙ �BS �O⁄ 
 Q
 110R ∙ �BS 3O⁄ T → 
→ 5���� � 100 P
 150 ∙ �BS �O⁄ � 110 ∙ �BS 3O⁄ T 
Fazendo 5���O� � 0 , teremos: 
100 ∙ 150 ∙ �BSU �O⁄ � 100 ∙ 110 ∙ �BSU 3O⁄ � 0 
→ �BSU 3O⁄10 � �BSU �O⁄50 → �BSU�OVSU3O � 5 → �WSU�O � 5 
Agora, aplicaremos o ,) e, ambos os lados da equação a fim de encontrar �O 
,)�WSU �O⁄ � ,)5		 → WSU�O � 1,6			 → �O � 20 >>> (E) 
COMENTÁRIO: 
Questão linda, bem elaborada e que exige maturidade do candidato. Se fosse 
discursiva apresentaria um enorme índice de erros. 
Sempre vale a pena fazer uma boa revisão de logaritmos e suas propriedades; para 
exercitar, consulte o FME-2. 
55) 
Retas paralelas: mesmo coeficiente angular 
∗ Y���	Z6�	(*)�é�	*�	5*)�*�	�0,0�	�	�2,4�: (*��. �)J6,�� � � 
� � ∆]∆^ → � � 2 . Logo, sua equação será / � 2� 
																			∗ Y���	��)J�)��: / 
 /O � 2�� 
 �O� >>>>>> LETRA (A). 
COMENTÁRIO: 
Erro aqui é fatal em qualquer concurso. 
Lembrando: “a prova de eng. de petróleo não é uma prova para quem acerta questões 
difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
56) 
 
 
Análise das opções com base no rascunho do gráfico: 
(A) O mínimo local é em x=1; 
(B) O máximo local é em x=3; 
(C) Não é injetiva, pois �3 4 �		�	���3� � ���	� � 0 , contrariando a exigência para 
que uma função seja injetora; 
(D) x=3 é ponto de máximo local >>>> CORRETA; 
(E) é sobrejetiva se _` � ab	�(*)���'*�í)&* � &��J���. 
COMENTÁRIO: 
Parecida com a questão 52, abordando qualitativamente a primeira derivada e o 
comportamento da função. 
57) 
���� � �� � 1��� 
 1��� 
 1� � � � 1, ∀	�	 4 1 
 
 
 
Fazendo um rascunho do gráfico, veremos que ; � 2 é a resposta correta.>>> (D) 
COMENTÁRIO: 
Eu teria começado a prova pela questão 55; em seguida, faria esta. Questões bem 
fáceis, para acalmar os ânimos e manter o moral elevado para o resto da prova. 
58) 
Em particular, nessa questão, temos que +	 � +3 � +�. 
Assim, +3	�	+� formam uma base de d e dim�d� � 2. >>>>> LETRA (C) 
�3,0,1,1� � �1,
1,1,0� � �2,1,0,1� 
COMENTÁRIO: 
Não acredite o caro leitor que eu lembraria desta propriedade na hora da prova. Sem 
chances. Para resolver aqui, tive que consultar o livro do Anton (bibliografia) , capítulo 
5, espaços vetoriais. 
 
59) ANULADA 
 
60) 
 
 
 
 6hi � �1, 
1,0�		�		+i � �
2,
1,0� 
jhhi: +��*�	)*���,	�*	5,�)* 
jhhi � 6hi	�	+i		�5�*'6�*	+��*�&�,� 
Assim, teremos: 
jhhi � k & : ;1 
1 0
2 
1 0k → jhhi � �0,0, 
3� ∥ �0,0,1�	 >>>>> LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil. Poucos erram em prova. 
Se existem dúvidas quanto ao produto vetorial de dois vetores, inicialmente sugiro o 
livro do Prof. Antônio Machado ou Anton/Rorres ou David Lay (na bibliografia). 
61) 
A dimensão é igual ao número de “vetores-base”. 
� � 2/ � � � 3j � 0 → � � 
2/ 
 � 
 3j 
Logo, teremos: 
��, /, �, j� � �
2/ 
 � 
 3j, /, �, j� � 
� /�
2,1,0,0� � ��
1,0,1,0� � j�
3,0,0,1� 
Assim, temos 3 “vetores-base”. Logo, '&� � 3 >>>> LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Da mesma forma que na questão 58, tive de consultar as minhas bíblias para resolvê-
las (Anton e Rorres; David Lay – bibliografia). 
Acredito piamente que pouquíssimos candidatos lembram dessas propriedades na 
hora da prova. Se a prova fosse discursiva, essas questões 58 e 61 seriam as campeãs 
das deixadas em branco. 
Questões como a 57, 54 e 55 poucas pessoas erram; nós também não podemos errá-
las, pois aí residirá a distância entre as classificações. 
Conforme defendemos desde o começo do livro, “a prova de eng° de petróleo não é 
uma prova para quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra 
questões fáceis”. 
62) 
mú���*	'�	�6�*+�,*��� � *�'��	'�	����&�	Z6�'��'�. >>>> LETRA (C) 
 COMENTÁRIO: 
Outra propriedade de que eu não lembraria. Tive de consultar as bíblias Anton/Rorres 
e David C. Lay. 
63) 
N� � 2/ � � � 4								�&�
� � 2/ 
 � � 2		�&&� 
Resolvendo o sistema por adição, teremos 4/ � 6		�		/ � 3 2⁄ 
Substituindo na equação �&� vem: 
� � 2 ∙ Q32R � � � 4		 → � � � � 1 
Fazendo agora � � �, ���*�	� � 1 
 �. >>>>> LETRA (E). 
COMENTÁRIO: 
Erro aqui é fatal. Poucos erram questões deste tipo porque sempre fazem parte dos 
treinos em geometria analítica. Todo mundo estuda o tema” forma paramétrica de 
equação da reta”. 
Para uma boa revisão de geometria analítica, FME-7 ou o livro do Prof. Antônio 
Machado (bibliografia). 
64) 
4�	 � 16/	 � 8� 
 64/ � 4 � 0 
4�	 � 8� � 4 � 16/	 
 64/ � 0 → �2� � 2�	 � �4/ 
 8�	 
 64 � 0 → 
→ 4�� � 1�	 � 16�/ 
 2�	 � 64 → 		 �o 64� → 
→ �� � 1�	16 � �/ 
 2�	4 � 1 
>>> LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
Não podemos errar questão assim em prova. Circunferência, elipse e hipérbole são 
equações clássicas. Faça uma revisão com FME-7. 
65) 
 
 
 
 
 																																							p� � 2/ � 2											�����: / � 
 	^ � 1�� � / � 1													�����: / � 
� � 1�/ � 0																																			��&�*	>q�rrrrr 
s�&â)J6,*	=?_ u Á��� � 	<wxy 
<wxy � 12 k0 1 11 0 12 0 1k				p
=�0,1�?�1,0�_�2,0� 
																																																		< � 0,5			(�	 >>>>> LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Se não lembrasse do determinante, o colega poderia fazer também 
< � 12I���	�	�,�6�� � 	12 	�	?_rrrr	�	>=rrrr � 1�12 � 0,5	 
Não podemos errar questões como essa ! 
Se restam dúvidas de geometria analítica, FME-7 urgente. 
66) 
N 2� � 2/ � � � j � 0				�&�� � / 
 � � j � 0									�&&� 
		N 2� � 2/ � � � j � 0																																														3� 
 j � 0																																	�
2� ∙ �&&� � �&� 
 
3� 
 j � 0					�				� � j3 
3� � 3/ � 2j � 0 → � � / � 2j3 � 0 → � � 
/ 
 2j3 
Assim, temos: 
��, /, �, j� � Q
/ 
 2j3 , /, j3 ,jR � /�
1,10,0� � j�
23 , 0, 13 , 1� 
>>>> LETRA (A) 
COMENTÁRIO: 
Mais uma que eu só consegui fazer consultando a “bíblia” Anton/Rorres. Acho que 
você deve ter em casa pelo menos um dos citados na bibliografia para Álgebra Linear. 
 
 
67) 
68) 
 
69) 
z��� � 
�	 � 200� → z���� � 
2� � 200. 
Igualando a zero, encontraremos o valor que maximiza o lucro: 
2� � 200 � 0 → � � 100 >>> LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil para ninguém errar na prova. Erro aqui é fatal. 
70) 
{�*5�&�'�'�	*5����ó�&�	'*�	,*J��&��*�: 
log��	I� � log��	� � log�I� � 2 log��� � log�I� � 2q � € 
COMENTÁRIO: 
Facílima também. Mas se você ainda tem alguma dúvida sobre as propriedades dos 
“logs”, sugiro FME-2. Após resolver