Sistema lineares exercicios resolvidos

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Sistemas LinearesM14
Matemática 12
5 (Fuvest-SP) Um senhor feudal construiu um fosso,
circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme
a planta abaixo, com uma ponte para atravessá-lo.
5x 9 5y 9 5z = 125
3x 9 3z = 39 9 9y
128 9 2x = 2z
6 (UniFEI-SP) Resolver o sistema S: .
1
4
2
4
3
5x 9 5y 9 5z = 125
3x 9 3z = 39 9 9y
128 9 2x = 2z
S:
1
4
2
4
3
5x 0 y 0 z = 53
3x 0 z = 39 0 2y
27 0 x = 2z
1
4
2
4
3
Substituindo � em �:
(9 0 2y) 0 y = 3 Θ y = −2
Substituindo � em �:
x 0 (7 0 x) = 9 0 2 9 (−2) Θ x = −1
Em �: 7 0 (−1) = z Θ z = 6.
Obtemos o sistema:
x 0 y 0 z = 3 �
x 0 z = 9 0 2y �
7 0 x = z �
1
4
2
4
3
3x − 2y = 0
x 0 y = 0
Em questões como a 7, a resposta é dada pela soma dos
números que identificam as alternativas corretas.
7 (UFSC) Marque a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) correta(s).
(01) O número de elementos de uma matriz quadrada de
ordem 12 é 48.
(02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma
ordem.
(04) A soma das raízes da 
 
equação
x x x
x x
x
é4
4 4
0 8= .
(08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes
inversas.
(16) O sistema é indeterminado.
1
2
3
01. Incorreta
Como são 12 linhas e 12 colunas, o número de elementos é 12 Ο 12 = 144.
02. Incorreta
Para multiplicar duas matrizes, a quantidade de colunas da primeira
deve ser igual à quantidade de linhas da segunda.
04. Correta
 
x x x
x x
x
4
4 4
0= x3 0 4x2 0 16x − 4x2 − 4x2 − 4x2 = 0
x3 − 8x2 0 16x = 0
x(x2 − 8x 0 16) = 0
x’ = 0
x2 − 8x 0 16 = 0
x” = 4
08. Incorreta
Se uma matriz é inversível, sua inversa é única.
16. Incorreta
Portanto: 4
Θ x = 0 e y = 0 (sistema possível e determinado)
3x − 2y = 0
x 0 y = 0
1
2
3
8 (FGV-SP) Resolvendo o sistema
obtém-se para z o valor:
a) −3 b) −2 c) 0 d) 2 e) 3
x 0 y 0 z = 0
2x − y − 2z = 1,
6y 0 3z = −12
1
4
2
4
3
X
Resolvendo o sistema por escalonamento:
x 0 y 0 z = 0
2x − y − 2z = 1
6y 0 3z = −12
1
4
2
4
3
x 0 y 0 z = 0
−3y − 4z = 1
6y 0 3z = −12
1
4
2
4
3
muro interno
muro externo
σσ
σ
σ
fosso
ponte
muro interno
σσ
σ
σ σ σ σ
σa
b
Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro
externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa
no muro interno. Esse trajeto foi completado em 5 320
passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completas
no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta
completa no muro interno, completando esse novo tra-
jeto em 8 120 passos. Pode-se concluir que a largura σ
do fosso, em passo, é:
a) 36 b) 40 c) 44 d) 48 e) 50
Θ
Θ
X
Θ
2(a 0 2σ) 0 2(b 0 2σ) 0 2a 0 2b 0 σ = 5 320 Θ 1o dia
4(a 0 2σ) 0 4(b 0 2σ) 0 2a 0 2b 0 σ = 8 120 Θ 2o dia
Pelos dados do problema, temos:
4a 0 4b 0 9σ = 5 320
6a 0 6b 0 17σ = 8 120
1
2
3
12(a 0 b) 0 27σ = 15 960
12(a 0 b) 0 34σ = 16 240
1
2
3 Θ 7σ = 280 Θ σ = 40
4(a 0 b) 0 9σ = 5 320
6(a 0 b) 0 17σ = 8 120
1
2
3Θ
1
2
3
x 0 y 0 z = 0
−3y − 4z = 1
−5z = −10
1
4
2
4
3
x = 1
y = −3
z = 2
Θ
011_016_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3012