Elementos Geométricos Básicos

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02/06/2019 Estácio - Disciplina online
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Disciplina: Expressão grá�ca
Aula 2: Desenho geométrico básico
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Apresentação
Pegue uma folha de papel em branco e um lápis. Desenhe um retângulo e, dentro dele, trace linhas diagonais, interligando
seus vértices. Observe seu desenho e note quantos elementos geométricos fazem parte dele. O retângulo é um polígono, ou
seja, uma �gura formada por uma linha poligonal fechada. As linhas diagonais são segmentos de reta concorrentes entre si,
e o encontro entre as diagonais de�ne um ponto de interseção entre elas.
Se um desenho tão simples apresenta uma série de elementos geométricos, o mesmo ocorrerá com os desenhos mais
complexos. É importante ressaltar a você, estudante de engenharia, que é fundamental o domínio de conceitos e de algumas
construções geométricas básicas, que são usualmente aplicadas no desenho técnico. Esse será o assunto da aula de hoje:
elementos fundamentais da Geometria.
Objetivos
De�nir elementos fundamentais como ponto, linha e plano e elementos geométricos encontrados no desenho técnico
como retas, curvas, ângulos, circunferências e polígonos;
Classi�car a posição relativa entre os retas e circunferências;
Categorizar os polígonos, elementos formados por um conjunto de segmentos de reta consecutivos.
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Elementos fundamentais da geometria
São considerados elementos fundamentais da geometria:
Ponto
Elemento geométrico adimensional, representado pela
interseção entre duas linhas. Deve ser identi�cado
utilizando uma letra maiúscula do nosso alfabeto.
Linha
Elemento obtido por um conjunto in�nito de pontos
continuamente unidos. Deve ser identi�cada com uma
letra minúscula do nosso alfabeto.
Plano
Superfície gerada por, pelo menos, três pontos não
colineares (ou seja, não alinhados). Deve ser identi�cado
usando uma letra do alfabeto grego.
Reta ou linha reta
Uma reta é geometricamente a menor distância entre dois pontos. Quanto à direção, as retas podem ser verticais, horizontais ou
inclinadas. Quanto à posição relativa, podem ser:
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Semirreta
A colocação de um ponto em uma reta gera duas semirretas. A semirreta é identi�cada pela letra minúscula que dá nome à reta
original, com uma pequena seta orientada apontando para o sentido in�nito da reta. As semirretas podem ser verticais,
horizontais ou inclinadas, assim como as retas que as originaram.
Segmento de reta
A colocação de dois pontos em locais distintos em uma única reta de�ne, entre os pontos, um segmento de reta. O segmento é
identi�cado através das letras dos seus pontos extremos, utilizando um traço acima das letras. Os segmentos de retas podem ser
verticais, horizontais ou inclinados, assim como as retas que os originaram.
Os segmentos de reta possuem, como visto na imagem, um ponto inicial e um ponto �nal, ou seja, pontos extremos. Quando dois
ou mais segmentos de reta possuem o mesmo comprimento, são denominados segmentos congruentes. Quando pertencem a
uma mesma reta origem, são chamados de segmentos colineares. Por outro lado, quando possuem um ponto extremo inicial ou
�nal em comum, são segmentos consecutivos.
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Caso sejam colineares e consecutivos, serão denominados segmentos adjacentes.
Exemplo
Veja dois exemplos com a análise da relação entre segmentos de reta <galeria/aula2/anexo/a2_doc1.pdf> .
Curva ou linha curva
Uma linha reta é a representação geométrica da menor distância entre dois pontos. Se ao invés de percorrer a menor distância,
outro caminho for tomado, a representação geométrica desse caminho é uma linha curva. Observe na imagem a seguir.
Linha poligonal
Uma linha poligonal é formada por um conjunto de segmentos de retas consecutivos.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0036/galeria/aula2/anexo/a2_doc1.pdf
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Ângulo
Ângulo é a região delimitada por duas linhas retas que partem de um mesmo ponto ou por dois planos que partem de uma
mesma linha reta. A medida do ângulo mede a inclinação entre as retas (ou entre os planos). A imagem a seguir apresenta a
formação do ângulo por retas concorrentes (à esquerda) e por planos concorrentes (à direita).
Componentes de um ângulo
Os componentes de um ângulo são a abertura, o vértice e os lados. A abertura é a medida da inclinação entre os lados do ângulo,
que podem ser de�nidos por semirretas ou por segmentos de reta consecutivos, em que o vértice sendo o ponto comum entre
eles.
Podemos observar nos exemplos a seguir os componentes dos ângulos e a notação para representar os ângulos.
Exemplo
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Exemplo 1
Analisando a �gura, podemos observar que:
As semirretas r e s são os lados do ângulo;
𝛼 é a abertura do ângulo; e
O é o vértice do ângulo.
Notação: ou r   sÔ α̂
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Exemplo 2
Analisando a �gura, podemos observar que:
Os segmentos de reta e são os lados do ângulo;
𝛽 é a abertura do ângulo; e
P é o vértice do ângulo.
Notação: ou 
AB BC
A   BP̂ β̂
Classi�cação dos ângulos quanto à sua grandeza da abertura
O Sistema Internacional (SI) de medidas utiliza a unidade Radianos (RAD) para medir os ângulos. A forma comum de medir os
ângulos é utilizar a unidade Grau (º). π Radianos é a medida de um ângulo de 180º. Os ângulos podem ser classi�cados como:
Nulo
Ângulo com medida igual a 0º.
Agudo
Ângulo menor que 90º, não nulo.
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Reto
Ângulo com medida igual à 90º, ou seja, 𝜋/2 radianos.
Obtuso
Ângulo com medida entre 90º e 180º.
Raso ou ângulo de meia-volta
Ângulo com medida igual a 180º, ou seja, 𝜋 radianos.
Côncavo ou reentrante
Com medida entre 180º e 360º.
Pleno ou ângulo de volta inteira
Ângulo com medida igual a 360º.
Os principais tipos de ângulos estão apresentados na �gura a seguir.
Classi�cação dos ângulos quanto à sua soma da grandeza de
suas aberturas
Os ângulos podem ser classi�cados, em relação à soma da grandeza de suas aberturas, da seguinte forma:
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Complementares
A soma dos dois ângulos é igual a 90º.
Suplementares
A soma dos dois ângulos é igual a 180º.
Replementares
A soma dos dois ângulos é igual a 90º.
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 Elementos fundamentais da geometria.
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Circunferência
Circunferência é uma linha curva fechada cujos pontos são equidistantes de um único ponto central denominado centro. A porção
plana interna à circunferência é denominada círculo. A distância do centro até qualquer ponto da circunferência é denominada
raio.
Elementos de uma circunferência
Observe a �gura a seguir. A partir dela, vamos classi�car todos os elementos e a linhas com relação à posição em que se
encontram na circunferência.
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O ponto O é o centro da circunferência. é a corda da circunferência.EF
 é o raio da circunferência.= =OA OB OC é a �echa da circunferência.GH
 é o diâmetro da circunferência.BC é um arco da circunferência, delimitado pelos
pontos E e F.
EF
Atenção
A reta corta a circunferência nos pontos E e F. Logo, é uma reta secante à circunferência, o que signi�ca que a reta intercepta
a circunferência em dois pontos.
A reta toca a circunferência no ponto D. Logo, é uma reta tangente à circunferência, o que signi�ca que a reta toca a
circunferência em um único ponto.
s ⃗  s ⃗ 
t ⃗  t ⃗ 
Posição relativa entre circunferências
Assim como uma reta pode ser tangente ou secante à uma circunferência, as circunferências podem ser tangentes ou secantes
entre si. Observe, a seguir, o que ocorre entre circunferências secantes entre si.
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Agora, veja a representação da tangência interna e externa entre circunferências.
Atenção
Note que o ponto de tangência T deve estar sempre posicionado em uma reta que liga os centros das circunferências. Essa
condição é necessária para fazer a concordância adequada entre circunferências e entre reta e circunferências, como veremos a
seguir.
Tangência e concordância
No item anterior, vimos que a uma reta tangente toca uma circunferência em um único ponto denominado ponto de tangência. Da
mesma forma, circunferências tangentes tocam uma à outra em um único ponto. Quando o objetivo é o desenho de uma linha
curva sinuosa, utilizando como base vários arcos de circunferência diferentes, é necessário haver concordância adequada entre
os arcos. Isso signi�ca que não pode haver in�exão ou rompimento da linha, ou seja, as condições básicas de tangência devem
ser respeitadas.
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 Circunferência: propriedades e elementos.
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Com a utilização da computação grá�ca, os processos de construção de tangência e concordância com circunferências e retas
com instrumentos de desenho tornaram-se desnecessários. Entretanto, o conhecimento das condições básicas de tangência é
necessário para um desenho adequado à mão livre (esboço) ou mesmo utilizando uma ferramenta de desenho em computador,
como o AutoCAD® .
Veja a seguir os casos mais usuais de tangência e concordância presentes no desenho técnico.
1
 Tangência e concordância entre circunferência e retas.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0036/aula2.html
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 Tangência e concordância entre circunferência.
Saiba mais
Com a observação das condições de tangência apresentadas, faremos um exemplo prático <galeria/aula2/anexo/a2_doc2.pdf> ,
apresentando o passo a passo com as informações necessárias para executar as concordâncias representadas no exemplo,
utilizando o programa.
O uso dos softwares de computação grá�ca será assunto de disciplinas posteriores à essa, mas é possível fazer o primeiro
contato com a computação grá�ca, utilizando o software AutoCAD ® nesse exemplo.
A AutoDesk®, a empresa responsável pela comercialização do programa, disponibiliza versões educacionais gratuitas de seus
softwares a estudantes. Basta acessar a página da empresa <https://www.autodesk.com.br/education/free-educational-
software> , criar uma conta e fazer o download do programa para o seu computador.
Polígonos
Polígono é uma linha fechada formada por um conjunto de segmentos de reta consecutivos, denominados como lados do
polígono.
2
Elementos de um polígono
Em um polígono, os vértices são os pontos coincidentes de cada par de segmentos de reta consecutivos entre si. O número de
lados é igual ao número de vértices e, consequentemente, ao número de ângulos internos.
Veja a �gura a seguir e a descrição dos elementos do polígono apresentado como exemplo.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0036/galeria/aula2/anexo/a2_doc2.pdf
https://www.autodesk.com.br/education/free-educational-software
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0036/aula2.html
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Clique nos botões para ver as informações.
São aqueles cujo vértice é o centro da circunferência circunscrita ao polígono. Os lados do ângulo são segmentos de reta
que interligam o centro da circunferência a dois vértices consecutivos. No exemplo apresentado, o ângulo 𝛼 é de�nido pela
abertura entre os segmentos e e , assim como o ângulo 𝛽 é de�nido pela abertura entre os segmentos e .
Ângulos centrais 
OA¯ ¯¯̄¯ OB¯ ¯¯̄¯ OA¯ ¯¯̄¯ OF¯ ¯¯̄¯
São de�nidos pela abertura entre dois lados consecutivos. No exemplo anterior, uma cota representa o ângulo interno do
vértice A. Os ângulos podem ser designados como e Como visto anteriormente, os ângulos também
podem ser designados pelos seus lados: e .
Ângulos internos 
,   ,   ,   ,  Â B̂ Ĉ D̂ Ê F̂
F B,  A C,  B D,  C E,  D FÂ B̂ Ĉ D̂ Ê E AF̂
São segmentos que interligam o centro do polígono aos pontos médios dos seus lados. Na �gura, duas apótemas estão
sendo representadas: e . O número de apótemas de um polígono é igual ao seu número de lados.
Apótemas 
OM¯ ¯¯̄ ¯̄ AB OM
¯ ¯¯̄ ¯̄
AF
São segmentos de reta que interligam vértices não consecutivos. Na �gura, estão representadas as diagonais cujos
extremos saem do vértice A. São elas: e Para facilitar a visualização, as demais diagonais foram omitidas
na �gura apresentada, mas o polígono possui 9 diagonais. "
Diagonais 
,  AC¯ ¯¯̄¯ AD AE¯ ¯¯̄¯
Os lados do polígono apresentado na �gura são os segmentos de reta e .
Lados 
,   ,   ,   ,    AB¯ ¯¯̄¯ BC¯ ¯¯̄¯ CD¯ ¯¯̄ ¯ DE¯ ¯¯̄ ¯ EF¯ ¯¯̄¯ FA¯ ¯¯̄¯
Como dito anteriormente, o vértice é o ponto coincidente entre os lados do polígono. No exemplo apresentado, o polígono
possui seis vértices designados como A, B, C, D, E e F.
Vértices 
Os polígonos podem ser:
Regulares
Quando todos os seus lados e ângulos são iguais.

Irregulares
Quando pelo menos um dos lados é diferente dos demais.
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Se todos os seus ângulos internos forem menores do que 180º, o polígono é dito convexo. Por outro lado, se, pelo menos, um dos
ângulos for reentrante, o polígono é classi�cado como côncavo (ou não convexo).
As�guras a seguir apresentam exemplos das possibilidades possíveis para os polígonos. Note que os polígonos côncavos
possuem ângulos reentrantes (ângulo 𝛼 para o polígono regular e ângulo 𝛽 para o polígono irregular), o que cria uma concavidade
na geometria do polígono.
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Atividade
1. Classi�que as sentenças em V (verdadeira) ou F (falsa).
a) Segmentos consecutivos sempre são colineares.
b) Segmentos de reta possuem ponto inicial e �nal, tendo, portanto, um comprimento de�nido pela distância entre esses pontos.
c) É possível passar uma única circunferência por dois pontos quaisquer.
d) Todo polígono que possui ângulos iguais tem, por consequência, lados iguais também.
e) Em um quadrado, o apótema é igual à metade do lado do quadrado.
f) Um polígono inscrito em uma circunferência tem os seus lados como as cordas da circunferência inscrita.
g) As diagonais de um polígono são os segmentos que unem dois vértices consecutivos do polígono.
Classi�cação dos polígonos quanto ao número de lados
Em função do número de lados que possui, alguns polígonos recebem denominações especiais, que estão apresentadas na
tabela a seguir:
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Denominação Número de lados
Triângulo 3
Quadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octógono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Undecágono 11
Dodecágono 12
Pentadecágono 15
Icoságono 20
Dica
Para polígonos com número de lados não indicados na tabela, devemos dar nome ao polígono utilizando somente o seu número
de lados. Por exemplo: polígono de 14 lados, polígono de 25 lados etc.
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 Polígonos.
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Desenho de polígonos regulares convexos
Com a utilização da computação grá�ca, os processos de construção de polígonos regulares, utilizando instrumentos de
desenho, tornaram-se desnecessários.
Os sistemas CAD possuem ferramentas automáticas para o desenho de polígonos, que vamos ver no exemplo a seguir.
Exemplo
Os sistemas CAD possuem ferramentas automáticas para o desenho de polígonos: Veja o exemplo
<galeria/aula2/anexo/a2_doc3.pdf> .
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Atividade
2. Analise a representação abaixo e faça a identi�cação completa dos polígonos existentes.
3. Execute a concordância representada abaixo, orientando-se pelas cotas e pelos raios indicados na �gura.
Notas
AutoCAD® 1
O AutoCAD® é um software computacional de grande potencial de uso em áreas como a arquitetura e a engenharia, sendo uma
excelente ferramenta na elaboração de desenhos simples e dos mais complexos modelos tridimensionais.
Polígono 2
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A palavra polígono vem do grego Poli (muitos) e Gono (ângulos), em referência aos ângulos internos formados em cada vértice da
poligonal fechada.
Referências
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; LEITE, Álvaro Emílio. Geometria plana e trigonometria. 1. ed. Curitiba: InterSaberes, 2014.
FRENCH; Thomas E., VIERCK, Charles J. Desenho técnico e tecnologia grá�ca. 7. ed. edição. Rio de Janeiro: Globo, 2006.
ZATTAR; Isabel C. Introdução ao desenho técnico. 1. ed. Curitiba: InterSaberes, 2016.
Próxima aula
Conceito de épura e diedros;
Conceito e classi�cação de projeção;
Formas de representação grá�ca para objetos tridimensionais.
Explore mais
Leia o capítulo 3 do livro Desenho técnico e tecnologia grá�ca e perceba as diferenças entre as técnicas de desenho com
instrumentos e os métodos utilizados nos dias de hoje para desenhar, com softwares computacionais como o AutoCAD.
Leia os capítulos 3 e 8 do livro Geometria plana e trigonometria, de Nelson Pereira Castanheira e Álvaro Emílio Leite, e veja
um pouco mais sobre ângulos e circunferências.
Leia da página 49 a 59 do livro Introdução ao desenho técnico, de Isabel Cristina Zattar, e veja mais informações sobre os
elementos fundamentais do desenho.