Geometria desenho e forma

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Geometria: Desenho e Forma
Geometria Plana
GEOMETRIA: DESENHO E FORMA
GEOMETRIA PLANA
Autor: Drª. Roberta Paye Bara
Revisor: Roberta Paye Bara
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introdução
Introdução
Nesta unidade, será apresentada a disciplina “Geometria: desenho e forma”. Após a apresentação, serão listados alguns softwares livres pertinentes para acompanhar as atividades e aperfeiçoar suas habilidades, e, em seguida, iremos definir os tópicos de geometria plana que serão fundamentais em toda a disciplina.
A parte da geometria plana que será abordada neste capítulo trata dos detalhes de definição e construção dos elementos primitivos (ponto, reta e plano) para, em seguida, utilizá-los na análise de medidas, distâncias, ângulos e na construção de circunferências, bem como de polígonos.
A compreensão das figuras planas, suas definições e o método de construção, seja este manual ou digital, é fundamental na aplicação profissional de engenheiros, arquitetos e designers de produto.
Vamos começar!
Geometria: Desenho e Forma
A palavra geometria vem da união das palavras gregas: terra (geo) e medir (métron). A etimologia da palavra geometria fornece uma hipótese de origem dessa área da matemática. E essa nomenclatura grega se difundiu juntamente com a expansão europeia, por meio das colonizações. Contudo, não se pode afirmar que em outros povos e continentes já não ocorresse o estudo da geometria, com outro nome e outras técnicas. Tales de Mileto (624 a.C.-546 a.C.) é considerado o precursor da geometria na Grécia Antiga, no entanto é impossível não criar a hipótese de que, na África, já existia um profundo conhecimento sobre geometria séculos antes. O fato que reforça isso é a datação da construção das pirâmides, como a pirâmide de Queóps, com data de 2560 a.C. (BOYER; MERZBACH, 2012; MLODNOW, 2004).
Figura 1.1 - Pirâmides Quéops, Quéfren e Miquerinos
Fonte: Maielo / Wikimedia Commons.
O matemático e filósofo grego Pitágoras (aproximadamente 570 a.C.-495 a.C.) passou muitos anos no Egito, estudando e aprendendo antes de publicar seu teorema. Pitágoras disseminava o conhecimento com outras pessoas que, em algumas referências, chamam de pitagóricos ou discípulos de Pitágoras. Outros consideravam os encontros rituais religiosos, talvez por isso tenham sido perseguidos (MLODNOW, 2004).
Euclides estruturou e organizou todo o conhecimento que havia disponível na época sobre geometria e, assim, desenvolveu novas informações que são a base para a geometria euclidiana até hoje. As contribuições de Euclides se deram na demonstração e dedução de toda a base da geometria. Tudo isso foi publicado em sua obra Os elementos, com 13 volumes, sendo os seis primeiros sobre geometria plana e com um rigor de demonstração e dedução que fez com que muitos não acreditassem que havia sido escrito por uma única pessoa.
Além de toda a base da geometria euclidiana, ele desenvolveu a geometria esférica e pesquisas no campo da física. Também é conhecido como “Euclides de Alexandria”, pois foi em Alexandria onde lecionou por anos, embora existam indícios que tenha nascido na Síria. Não há certeza sobre seu nascimento e falecimento, e algumas pessoas ao longo da história não acreditam que ele tenha existido. Estimam que tenha nascido por volta de 330 a. C., e que tenha trabalhado como professor de matemática, em Alexandria, e que sua obra Os elementos tenha sido publicada por volta de 300 a. C. (BOYER; MERZBACH, 2012).
Figura 1.2 - Os elementos, de Euclides, em espanhol, publicado em 1689
Fonte: Kresa / Wikimedia Commons.
Atualmente, a geometria é definida como a área da matemática que estuda o espaço e as formas nele contidas.
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Há construções com arquitetura inspirada em polígonos e poliedros, o que as torna pontos turísticos em suas localidades. Para ver alguns exemplos, assista ao vídeo.
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Quando observamos os detalhes arquitetônicos e estruturais utilizados no passado, a riqueza dos detalhes mostra o uso da geometria para planejar a construção. Assim, o fato de terem resistido ao tempo mostra a qualidade do projeto estrutural. Temos como exemplo a Cisterna Basílica de Istambul, uma obra do império Romano, que acreditam ter sido construída entre 527-564 d.C. A cisterna possui uma área de 140x70m, contando com 336 colunas de mármore. Muitas dessas colunas com uma riqueza de detalhes mostram que o material foi reutilizado de templos de povos dominados pelos romanos, como as colunas que possuem cabeças de medusa.
Figura 1.3 - Cisterna Basílica de Istambul
Fonte: qwesy / Wikimedia Commons.
Além de construções históricas, obras de arte também são fontes de inspiração, contribuindo para a análise de desenhos e formas utilizadas.
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É possível realizar visitas virtuais em museus e construções históricas para poder observar os detalhes arquitetônicos. Por exemplo, visitar on-line pelo Google Maps as pirâmides de Gizé e o Museu Oscar Niemeyer (localizado em Curitiba). Outros locais possuem tour virtual em seus sites próprios, como no site do museu do Louvre, em Paris, e a Capela Sistina no Museu do Vaticano.
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Geometria Dinâmica
A tecnologia permite agilidade na construção de projetos arquitetônicos, na elaboração do design de peças e objetos, e também trouxe agilidade e eficiência na simulação das informações projetadas. A geometria dinâmica é o estudo da geometria por meio de softwares que permitem uma análise dinâmica das figuras construídas, por exemplo: construir um triângulo e, com o mouse, arrastar um dos vértices desse triângulo e assim analisar as mudanças na figura.
Antes da existência de softwares com essa funcionalidade, seria necessário desenhar manualmente cada uma das opções de alteração no triângulo.
Existem diversos softwares que podem ser utilizados no estudo da geometria plana, espacial e na geometria descritiva. A seguir, serão apresentados três softwares livres que você poderá utilizar para treinar os exercícios desta disciplina, de forma dinâmica. Inclusive, as imagens das figuras geométricas utilizadas nesta disciplina foram criadas utilizando esses softwares.
Recomendamos que abra cada um dos softwares, explore as funções, os botões e depois escolha qual sente mais interesse em utilizar. Há softwares pagos que possuem mais funcionalidades que esses, e que você poderá testar por um tempo limitado como estudante ou ter contato no seu futuro ambiente profissional, visto que algumas empresas adquirem a licença de uso para seus funcionários. Os mais utilizados no campo de projetos de objetos e projetos arquitetônicos são o AutoCad e o Revit da Autodesk.
Software Tabulae
O software Tabulae apresenta ferramentas para a construção de figuras planas, como os três primeiros botões da barra da esquerda: criar ponto, criar reta e criar círculo. Em criar ponto, é possível alterar a formatação do ponto, como cor e estilo. Em “criar reta”, usa-se a definição: para definir uma reta, são necessários dois pontos. O mesmo ocorre para criar a reta no Tabular; precisa-se definir dois pontos. Assim como para desenhar uma circunferência, é preciso primeiro clicar no local onde será o centro da circunferência e depois o segundo click define o raio.
Figura 1.4 - Tela inicial do software Tabulae
Fonte: Elaborada pela autora.
Software GeoGebra
No software GeoGebra, há a possibilidade de visualização com eixos cartesianos, grade ou tela em branco. Além disso, existe a possibilidade de “visualizar na janela 3D” para figuras tridimensionais. Os botões possuem várias opções de formatação e também seguem a linha de construção de elementos conforme definição.
Figura 1.5 - Software GeoGebra
Fonte: Elaborada pela autora.
reflita
Reflita
Qual a importância em aprender geometria utilizando instrumentos de desenho geométrico? Os softwares de geometria dinâmica reproduzem as construções que podem ser realizadas com régua, compasso e esquadro. Quando aprende com os instrumentos de desenho, a pessoa acaba tendo mais facilidade em usar o software.
Software Sweet Home 3D
O software Sweet Home 3D possui ferramentasespecíficas para a criação de projetos arquitetônicos. Observe que, no primeiro quadrante à esquerda, há pastas com as seguintes opções: banheiro, cozinha, escadas, iluminação, portas e janelas, quarto, sala de estar e variados.
Figura 1.6 - Tela inicial do software Sweet Home 3D
Fonte: Elaborada pela autora.
Cada uma das pastas possui algumas opções de itens. Além das opções da barra de ferramentas superior, é possível clicar com o botão direito do mouse sobre o objeto e alterar cores, dimensões e importar imagens para estampar os objetos. Para inserir um item no projeto, basta clicar no nome do item na pasta, arrastar para a tela com a grade e posicionar. Na tela a seguir, é possível mudar o ângulo de visualização 3D.
Figura 1.7 - Exemplo de elaboração de projeto no software Sweet Home 3D
Fonte: Elaborada pela autora.
Na visualização 3D, a imagem pode ser rotacionada em diversas direções, utilizando o botão com as setas (no canto superior esquerdo da janela de visualização 3D).
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Vamos Praticar
A palavra geometria tem origem grega, com Tales de Mileto (624 a.C.-546 a.C.), considerado o precursor da geometria na Grécia Antiga, mesmo sendo impossível afirmar a data exata da origem da geometria. Considerando isso, assinale a alternativa correta que explica por que Euclides de Alexandria é considerado o pai da geometria:
Parte superior do formulário
a) Ele não é considerado o pai da Geometria, e alguns nem acreditam que ele existiu.
b) Porque ele organizou, estruturou, deduziu e demonstrou toda a base da geometria.Feedback: alternativa correta, pois Euclides organizou os trabalhos divulgados anteriormente por outros e os deduziu para provar a veracidade, iniciando um processo matemático de rigor na demonstração.
c) Porque, graças às suas contribuições em Os elementos, foi possível construir a pirâmide de Quéops.
d) Porque ele organizou todas as publicações de geometria publicadas até aquele momento.
e) Porque ele estruturou e organizou todas as publicações de geometria publicadas até aquele momento.
Parte inferior do formulário
Geometria Plana
A geometria plana, como o próprio nome indica, trata do estudo das figuras geométricas planas. A compreensão da geometria plana é fundamental para a compreensão futura da geometria espacial.
Elementos Primitivos da Geometria Plana
Os elementos primitivos da geometria plana são: ponto, reta e plano. A partir da combinação desses, será possível construir as demais figuras geométricas planas. Recomendamos que, para cada elemento primitivo de geometria plana e suas combinações que forem apresentadas, recrie a imagem no software livre de geometria dinâmica de sua escolha ou manualmente com instrumentos de desenho no papel.
Ponto
O ponto é um elemento geométrico de dimensão zero, e sua representação em desenho geométrico, quando feita manualmente no papel, é o encontro de duas pequenas semirretas, visto que o encontro de duas retas não congruentes é definido por um único ponto. Nos softwares de geometria, há várias representações, porque não existe o risco da imprecisão que ocorre no desenho geométrico manual. Os pontos são nomeados por letras latinas maiúsculas (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Figura 1.8 - Representação de um ponto
Fonte: Elaborada pela autora.
Reta
A reta possui infinitos pontos, mas, para definir uma reta, bastam dois pontos definidores do sentido da reta e sua posição. A reta é um elemento de dimensão 1 (elemento linear, não possui área e é maior que um ponto). A identificação da reta é feita escrevendo uma letra minúscula (do alfabeto latino), em uma das extremidades de sua representação visível, já que não é possível visualizar em um pequeno espaço os infinitos pontos que a compõem (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Figura 1.9 - Representação de uma reta
Fonte: Elaborada pela autora.
Plano
É um elemento geométrico primitivo com infinitos pontos, dimensão 2 (veja que a área de um plano geralmente corresponde à unidade de medida ao quadrado). É representado por letras minúsculas do alfabeto grego posicionadas em seu interior em um dos cantos de sua representação. Para definir um plano, são necessários três pontos, ou suas combinações (um ponto e uma reta ou duas retas) (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Figura 1.10 - Representação de um plano
Fonte: Elaborada pela autora.
Posição Entre Retas
A posição entre as retas refere-se à direção das retas e à existência de ponto ou pontos em comum. Quando as retas estão no mesmo plano, são denominadas coplanares.
Figura 1.11 - Posição entre retas
Fonte: Elaborada pela autora.
Segue a classificação da posição entre retas:
a. Paralelas: são retas coplanares, com mesma direção e nenhum ponto em comum.
b. Concorrentes: são retas coplanares, com diferente direção e um ponto em comum.
c. Perpendiculares: são retas coplanares, um ponto em comum, diferente direção de tal forma em que o ângulo entre as retas seja 90°.
d. Congruentes: são retas coplanares, com mesma direção e todos os pontos em comum.
e. Reversas: são retas não coplanares, com direções diferentes e nenhum ponto em comum.
f. Ortogonais: são retas não coplanares, nenhum ponto em comum, com direções diferentes formando um ângulo reto (90°) entre as retas.
A posição entre retas na geometria plana não contém a posição reversa e ortogonal, já que são posições entre retas que estão em planos distintos, por isso só ocorrem na geometria espacial.
Resolução de Problemas de Equidistância
Equidistância significa mesma distância. Para verificar se as distâncias são iguais, é necessário calcular a distância. Caso seja entre três pontos, basta traçar segmentos de reta unindo esses pontos (nos softwares já irá aparecer a medida), pois a menor distância entre dois pontos é um segmento de reta que os contém. Para calcular a distância entre um ponto e uma reta, é preciso traçar uma reta que passe por esse ponto e seja perpendicular à reta dada.
Figura 1.12 - Distância entre reta f e o ponto A
Fonte: Elaborada pela autora.
No Geogebra, tendo o ponto A e a reta f, basta ir ao botão de inserir reta, selecionar a opção reta perpendicular e clicar no ponto A e na reta f que a reta g será criada. Deve-se ir ao botão de ângulo e selecionar a opção medição, clicar no ponto A e no ponto de interseção entre as retas g e f.
Resolução de Problemas de Paralelismo
Problemas de paralelismo só vão ocorrer na análise da posição entre retas. Para isso, use a definição: mesma direção e nenhum ponto em comum. Também pode utilizar que a distância entre qualquer ponto de uma das retas em relação à outra reta sempre será a mesma (porque a distância entre retas paralelas é constante). O que cai no problema de distância entre ponto e reta.
Resolução de Problemas de Perpendicularismo
Problemas de perpendicularismo só ocorrem na relação de posição entre duas retas. Para isso, além de analisar que entre as duas retas há um único ponto em comum, é necessário provar que o ângulo formado entre as duas retas é um ângulo reto (90°).
Figura 1.13 - Ângulo entre as retas
Fonte: Elaborada pela autora.
No GeoGebra, basta ir na opção ângulo da barra superior e selecionar as duas retas f e g.
Teorema de Tales
Tales de Mileto observou que as sombras dos objetos eram proporcionais às suas respectivas alturas e, com isso, elaborou seu teorema no qual afirma que: feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por retas transversais formam segmentos de retas proporcionais.
Figura 1.14 - Teorema de Tales: reta f representa o chão e a reta r, o feixe de luz solar em determinado local e hora
Fonte: Elaborada pela autora.
Ângulos
Ângulo é a medida da abertura entre duas retas concorrentes. Essa graduação pode ser definida em graus ou em radianos. Uma volta completa equivale a 360° (em graus) ou 2π (em radianos).
Classificação dos Ângulos
Os ângulos são classificados conforme o seu valor independente da unidade utilizada (graus ou radianos).
· Ângulo reto: quando a medida do ângulo forma 90° (π2π2 radianos).
· Ângulo agudo: quando o ângulo é maior que 0° e menor que 90°.
· Ângulo obtuso: quandoo ângulo é maior que 90° e menor que 180°.
· Ângulo raso: quando o ângulo é 180° (π radianos).
Transporte de Ângulos
No transporte de ângulos e no transporte de medidas, utilizam-se o conceito de circunferência e, manualmente, o compasso. Afinal, a ponta seca do compasso corresponde ao centro da circunferência e a abertura do compasso corresponde ao raio. Também são utilizados os conceitos de lugar geométrico (que será visto a seguir).
Para transferir um ângulo formado por duas retas, deve-se, primeiramente, colocar a ponta seca do compasso no encontro das retas e com uma abertura qualquer riscar uma curva de forma que corte as duas retas (r e s) em dois pontos (1 e 2). Para transferir esse ângulo, desenhe uma reta (r’) e marque um ponto para que este seja o vértice. Com a mesma abertura usada antes (para traçar 1 e 2), risque uma curva com a ponta seca do compasso nesse novo vértice (na reta r’). Em seguida, retorne com o compasso nas retas r e s, ponta seca na intersecção 1 e abertura na interseção 2; transporte essa medida para a nova reta, definindo o segundo ponto da reta s’ (porque para definir uma reta são necessários dois pontos, e o primeiro é o vértice); e finalize marcando a reta s’.
Figura 1.15 - Passo a passo: transporte de ângulo
Fonte: Elaborado pela autora.
Divisão de Ângulos
A divisão de um ângulo remete a definição do lugar geométrico denominado de bissetriz, conforme definição que será exposta a seguir.
Lugares Geométricos
Seja para analisar distâncias, posições ou para construir figuras, os problemas de geometria resumem-se a obter pontos. E, para definir um ponto, é necessário e suficiente encontrar o cruzamento de duas retas que contém esse ponto. Existe o método de lugares geométricos, em que cada lugar geométrico possui uma propriedade. Logo, se o ponto pertencer a esse lugar geométrico, então ele também terá essa propriedade. Assim como vale a recíproca: todo ponto que possui essa propriedade pertencerá a esse lugar geométrico. E isso é utilizado para construir novas figuras e resolver problemas de geometria. A seguir, serão listados alguns lugares geométricos (LEITE; CASTANHEIRA, 2014; PUTNOKI, 1990; PUTNOKI, 2007).
Circunferência
É o lugar geométrico em que todos os pontos são equidistantes de um único ponto denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da circunferência, que manualmente é construída utilizando o compasso, definindo o centro da circunferência onde será inserida a ponta seca do compasso, e a abertura do compasso corresponde ao raio da circunferência. Os softwares de geometria possuem a função circunferência e/ou função compasso.
Mediatriz
É a reta perpendicular a um segmento de reta, passando pelo ponto médio desse segmento de reta. Logo, qualquer ponto da mediatriz é equidistante das extremidades do segmento de reta.
Figura 1.16 - Mediatriz
Fonte: Elaborada pela autora.
No GeoGebra, basta selecionar na opção Reta Mediatriz e clicar no segmento de reta.
Bissetriz
Bissetriz é a reta que divide um ângulo em duas partes iguais e passa pelo vértice desse ângulo. Todo ponto da bissetriz é equidistante das retas que formam o ângulo que ela divide.
Figura 1.17 - Bissetriz
Fonte: Elaborada pela autora.
No GeoGebra, será necessário inserir um ponto no vértice do ângulo (ponto E), selecionar a opção Reta Bissetriz e clicar em uma das retas que forma o ângulo, no ponto do vértice e na outra reta que forma o ângulo.
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Vamos Praticar
A circunferência é o lugar geométrico em que todos os pontos são equidistantes de um único ponto denominado centro da circunferência, e essa distância é denominada raio da circunferência. Com o compasso, é possível construir uma circunferência. Assinale a alternativa correta em relação ao objetivo de definir lugares geométricos:
Parte superior do formulário
a) Para definir e compreender cada figura geométrica no plano.
b) Para suporte na construção de instrumentos de desenho geométrico como o compasso.
c) Somente para caracterizar cada figura geométrica.Feedback: alternativa incorreta, pois o “somente para caracterizar” é falso. Caracteriza-se por identificar propriedades que serão utilizadas para construir novas figuras ou resolver problemas.
c) Somente definir as propriedades que caracterizam cada lugar geométrico.Feedback: alternativa incorreta, pois define propriedades, mas não é somente isso, já que também (principalmente) possuem propriedades (características) que auxiliam na construção de novas figuras.
e) Definir as propriedades que caracterizam cada lugar geométrico para utilizá-las para definir outros ou resolver problemas.Feedback: alternativa correta, pois, a partir da definição de lugar geométrico, é possível construir outras figuras ou resolver problemas de geometria, visto que cada lugar geométrico possui uma propriedade, por exemplo, o lugar geométrico denominado circunferência, que é usado toda vez que se deseja algo que tenha uma distância predeterminada (pois todos os pontos da circunferência são equidistantes do centro da circunferência), por isso usa-se o compasso para marcar todos os pontos equidistantes.
Parte inferior do formulário
Polígonos
As linhas poligonais são figuras planas formadas por pontos e segmentos de reta que podem ou não ser regulares (todos os segmentos de reta com mesma medida). São classificadas conforme a posição entre os pontos e os segmentos de reta: linha poligonal aberta simples, linha poligonal fechada simples, linha poligonal aberta não simples e linha poligonal fechada não simples. Uma linha poligonal é dita aberta quando há pontos que não são interceptados por dois segmentos de reta. E é denominada linha poligonal simples quando os segmentos de reta que a compõem não se interceptam.
Figura 1.18 - Linha poligonal aberta simples (a), aberta não simples (b), fechada simples (c) e fechada não simples (d)
Fonte: Elaborada pela autora.
Polígonos
A palavra polígono vem do grego polloí, que significa muitos, e goníes, que significa ângulos. É composto de uma linha poligonal simples e fechada, ou seja, todos os pontos são interceptados por dois segmentos de reta e nenhum segmento de reta que compõe a linha poligonal intercepta outro segmento de reta. Logo, também é possível defini-lo como uma figura plana que possui o número de lados igual ao número de ângulos.
Polígonos Regulares
Polígonos regulares são figuras planas em que o número de ângulos é igual ao número de lados e a medida dos lados é igual, bem como todos os ângulos possuem a mesma medida. Essa igualdade entre os ângulos e entre os segmentos de reta caracterizam um polígono regular. O nome de cada polígono tem relação com o número de ângulos formados.
Figura 1.19 - Alguns polígonos regulares
Fonte: Elaborada pela autora.
Construção de Polígonos
Para a construção de polígonos regulares, basta dividir uma circunferência em partes iguais. Utilizando o GeoGebra, basta clicar no botão Polígono Regular e definir dois pontos que irão formar um dos lados. Contudo, muitos problemas de geometria partem da construção de um polígono a partir de uma circunferência dada. Nesse caso, é possível realizar a construção exata de polígonos ou a construção de polígonos a partir da divisão de uma circunferência em partes iguais. Recomendo que siga as orientações dos passos descritos e construa os polígonos primeiro manualmente e depois utilizando softwares.
Construção Exata de Polígonos Regulares
A divisão exata de polígonos consiste em processos em que é possível obter a medida do lado de alguns polígonos regulares a partir de uma circunferência dada que, por hipótese, está circunscrita ao polígono que se deseja obter.
Para obter o quadrado, basta traçar uma reta qualquer que corte a circunferência em dois pontos e passe pelo centro da circunferência. Assim, terá um segmento de reta correspondente ao diâmetro, que divide a circunferência em duas partes. Desenhando uma reta perpendicular a esse diâmetro passando pelo centro da circunferência, terá dividido a circunferência em quatro partes (também pode construira mediatriz do diâmetro). E se construir a bissetriz dos quatro quadrantes formados, terá dividido a circunferência em oito partes iguais.
Figura 1.20 - Divisão exata da circunferência para construir quadrado e octógono
Fonte: Elaborada pela autora.
Na imagem, os traços realizados pelo movimento do compasso estão representados em tracejado. No processo exato de construção do pentágono e do decágono, é necessário realizar passos em que no final serão obtidas as medidas do lado do pentágono e do decágono inscritos na circunferência dada. Para construir cada um desses polígonos, basta transportar a medida obtida utilizando o compasso a partir de um vértice, obtendo o vértice seguinte, e sucessivamente transportar a medida para obter o vértice seguinte até obter todos os vértices.
O método consiste em dividir a circunferência dada em quatro partes (como descrito anteriormente), escolher um dos segmentos que representam o raio e obter o ponto médio M e traçar uma circunferência de centro nesse ponto médio e raio igual à distância entre esse ponto médio e o vértice anteriormente definido e que não seja colinear à reta que contém o ponto médio (que não pertence à mesma reta). Dessa forma, terá obtido as medidas do lado do pentágono (L5) e do lado do decágono (L10), conforme a figura a seguir:
Figura 1.21 - Método exato para construção do pentágono e do decágono
Fonte: Elaborada pela autora.
Para construir um hexágono inscrito a uma circunferência dada, basta pegar a medida do raio da circunferência com o compasso (pode partir da divisão da circunferência em duas partes) e usar essa medida para desenhar mais duas circunferências com centro nas extremidades do diâmetro e assim obter os vértices seguintes. Esse processo também serve para construir o triângulo inscrito; basta unir dois vértices não consecutivos obtidos no processo do hexágono.
Figura 1.22 - Método exato para construção do hexágono
Fonte: Elaborada pela autora.
Divisão de Circunferência
Além dos processos exatos da divisão da circunferência, existe um método geral, que se baseia na proporção de segmentos, descrita no teorema de Tales na definição de circunferência como lugar geométrico. Porém, pode ocorrer imprecisão na construção manual, pois depende do transporte de retas e muitos outros passos.
O transporte de retas usando instrumentos de desenho como régua e esquadro consiste em posicionar um dos esquadros na reta que deseja deslocar, de forma que o ângulo de 90° do esquadro esteja com um dos catetos sobre a reta (a que deseja transportar). Em seguida, posicione uma régua ou o outro esquadro encostado na hipotenusa. Tanto faz se será a régua ou o qualquer lado do outro esquadro, porque servirão como apoio para deslocar a reta. Em seguida, deslize o esquadro posicionado sobre a reta para desenhar outra com mesma direção. Assim, é possível deslocar a reta e construir uma reta paralela só utilizando esquadro e régua.
Figura 1.23 - Passo a passo: transporte de reta com régua e esquadro
Fonte: Elaborada pela autora.
O método geral consiste em dividir a circunferência em duas partes, desenhar uma reta concorrente à reta do diâmetro (segmento de reta entre A e B), passando por um dos vértices já definidos. O ângulo que essa reta concorrente forma é livre, abertura qualquer (pois será usada a proporcionalidade). Em seguida, com uma medida qualquer no compasso, divida essa reta concorrente no número de parte em que deseja dividir a circunferência (se deseja um undecágono, divida a reta concorrente em 11 partes iguais). Em seguida, una o último ponto definido na reta concorrente com o vértice (B) da circunferência. Com transporte de retas, você irá dividir o diâmetro em partes iguais (nesse caso 11). Em seguida, obtenha os pontos C e D a partir da construção de duas semicircunferências de raio igual ao diâmetro e centro nos pontos A e B. Considerando o ponto A um dos vértices, trace retas entre o ponto D e os pontos pares obtidos na divisão do segmento AB, de forma a cortar a circunferência no lado oposto à diagonal, pois estes pontos serão os vértices do polígono. Faça o mesmo processo a partir do ponto C para obter os demais vértices do polígono.
Figura 1.24 - Divisão da circunferência em partes iguais para construção de polígonos
Fonte: pena / Wikimedia Commons.
Em desenho geométrico, quando se trata de realizar uma construção geométrica manual utilizando instrumentos de desenho (régua, compasso e esquadro), considera-se que, quanto maior o número de passos para a realização de um desenho, maior será a chance de ocorrer uma imprecisão no final, pois uma pequena imprecisão inicial pode se acumular durante os passos da construção.
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Vamos Praticar
A palavra polígono vem do grego polloí, que significa muitos, e goníes, que significa ângulos. Também é possível definir como uma figura plana que possui o número de lados igual ao número de ângulos. Dessa forma, assinale a afirmativa correta em relação a qual tipo de linha poligonal um polígono regular é composto:
Parte superior do formulário
a) Por uma linha poligonal perfeita e fechada.
b) Por uma linha poligonal não simples aberta.
c) Por uma linha poligonal não simples fechada.
d) Por uma linha poligonal simples e fechada cujos segmentos são congruentes.Feedback: alternativa correta, pois, por ser polígono regular, os segmentos são congruentes. Segmento de reta congruente significa que todos os segmentos de reta possuem a mesma medida. E o polígono é composto de uma linha poligonal simples fechada, por definição.
e) Por uma linha poligonal aberta e simples.
Parte inferior do formulário
Figuras Planas
Figuras planas são todas as figuras geométricas de dimensão 2, em que é possível calcular a área que ocupam no espaço (como são figuras planas, não possuem volume). As figuras planas podem ser triangulares (três lados), quadrangulares (quatro lados) e circulares (não há lados).
A circunferência não tem perímetro (que é a soma dos lados de uma figura plana), pois não tem lado nem vértice. Mas é possível calcular o comprimento da circunferência (2πR ou πD) e a área do círculo (πR2πR2), sendo R o raio e D o diâmetro (pois 2R=D2R=D). Pois o círculo é uma figura plana, formada por todos os pontos (x,y) (x,y) cuja distância até o centro O da circunferência será d(O,(x,y))≤Rd(O,(x,y))≤R (menor ou igual ao raio).
Figuras Triangulares
As figuras triangulares possuem 3 lados e 3 ângulos. Quando os 3 lados são iguais, denomina-se triângulo equilátero. Quando somente dois lados são iguais, denomina-se triângulo isósceles. E quando um dos ângulos internos do triângulo é um ângulo reto (90°) é denominado triângulo retângulo.
A área de um triângulo é igual o lado multiplicado pela altura do triângulo (altura em relação a esse lado), divididos por 2.
Figura 1.25 - Área figuras triangulares
Fonte: Drini / 123RF.
Figuras Quadrangulares
Figuras quadrangulares são figuras planas que possuem quatro lados e quatro ângulos. Quando a figura plana possui quatro lados e quatro ângulos iguais, temos o retângulo. Quando a figura possui quatro ângulos iguais e quatro lados iguais, temos o quadrado. Quando a figura possui os quatro lados iguais, mas não possui os quatro ângulos iguais, temos o losango regular. E existe também o trapézio, que possui dois lados paralelos e dois lados concorrentes.
Figura 1.26 - Área das figuras quadrangulares
Fonte: Elaborada pela autora.
· Área do quadrado é igual a lado vezes lado: l2l2
· Área do retângulo é igual à base vezes a altura: b.hb.h
· Área do losango é igual à diagonal maior vez diagonal menor dividido por dois: D.d2D.d2
· Área do trapézio é igual à base maior mais base menor, vezes a altura, tudo isso dividido por dois: (B+bm).h2(B+bm).h2
Cálculo da Área de Figuras Planas
Para calcular a área de qualquer figura plana, basta dividir em formas de figuras geométricas planas em que é conhecida a forma de obtenção do cálculo da área. Por exemplo, a figura a seguir, que pode ser dividida em quadrado, semicircunferência e triângulo:
Figura 1.27 - Figura planaFonte: Elaborada pela autora.
É possível calcular a área de polígonos regulares, como decágono, octógono e vários outros, dividindo o polígono em triângulos. Basta traçar diagonais que passem pelo centro (centro dos polígonos regulares é o mesmo que o centro da circunferência inscrita ou circunscrita).
praticar
Vamos Praticar
Quando se trata do cálculo da área de qualquer figura plana, basta dividir em formas de figuras geométricas planas onde é conhecida a forma de obtenção do cálculo da área. Considerando isso, assinale a alternativa correta que corresponde à área de uma figura plana.
Parte superior do formulário
a) l2+(B+bm).h22l2+(B+bm).h22
b) l+(B+bm).h22l+(B+bm).h22
c) πR2+(B+bm).h2πR2+(B+bm).h2Feedback: alternativa correta, pois a soma da área de uma circunferência com a área de um trapézio corresponde à área de uma figura plana possível.
d) l3+(B+bm).h22l3+(B+bm).h22Feedback: alternativa incorreta, pois não há nada na terceira potência quando se trata de cálculo de área.
e) 2πR+(B+bm).h22πR+(B+bm).h2Feedback: alternativa incorreta, pois está somando algo linear (comprimento da circunferência) com a área de um trapézio.
Parte inferior do formulário
indicações
Material Complementar
FILME
Euclides como o pai da geometria
Ano: 2011
‍Comentário: o vídeo é disponibilizado pelo canal Khan Academy Brasil e aborda algumas das frases utilizadas por Euclides, entre outros detalhes acerca da obra Os elementos.
TRAILER
LIVRO
A janela de Euclides
Leonard Mlodinow
Editora: Geração
Comentário: é um livro sobre história da Matemática, em específico, sobre história da Geometria. Relata várias curiosidades com leve toque de humor. A leitura é agradável e muito interessante. O autor é PhD em Física e Matemática.
conclusão
Conclusão
O estudo da geometria teve seu início séculos atrás, antes do início do cristianismo. Tinha como objeto de estudo a medição de distâncias, depois a análise de formas e teve como consolidador de todo o processo de definição e demonstração dos elementos geométricos Euclides de Alexandria, que é considerado o pai da geometria. As características das figuras geométricas contribuem para a definição das propriedades dos lugares geométricos, que possibilitam a construção e a demonstração de outras figuras e propriedades.
referências
Referências Bibliográficas
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba: InterSaberes, 2014.
MLODNOW, L. A janela de Euclides: a história da geometria, das linhas paralelas ao hiperespaço. São Pauo: Geração Editorial, 2004.
PUTNOKI, J. C. Elementos de geometria e desenho geométrico. São Paulo: Scipione, 1990. v. 1.
PUTNOKI, J. C. Elementos de geometria e desenho geométrico.São Paulo: Scipione,  2007. v. 2.
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