Equilíbrio Estático de Corpos

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Disciplina: Mecânica dos Sólidos
Aula 2: Equilíbrio de um corpo
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Apresentação
Na primeira aula, foram estudados os conceitos de força e momento que serão vitais para o entendimento do equilíbrio
estático, seja de uma partícula (dimensões desprezíveis), seja do corpo extenso (dimensões relevantes). No estudo do
equilíbrio, consideraremos duas situações: a não translação e a não rotação.
Na Engenharia Civil, é fundamental o estudo do equilíbrio dos corpos, pois é a partir destas ideias iniciais que parte de sua
teoria é construída. Porém, veremos que as condições de equilíbrio podem ser aplicadas também em situações estáticas na
Engenharia Mecânica.
Nesta aula, faremos o estudo inicial considerando o corpo extenso e, ao �nal, particularizaremos para a situação de uma
partícula. No primeiro caso, estudaremos as condições para os equilíbrios translacional e rotacional. No segundo, na
partícula, apenas identi�caremos as condições para o equilíbrio translacional.
Objetivos
Identi�car os conceitos de partícula e corpo extenso;
Determinar as condições de equilíbrio translacional;
Explicar as condições de equilíbrio rotacional.
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Partícula x Corpo extenso
Para identi�car quais equações do equilíbrio estático devemos utilizar, é necessário compreender perfeitamente dois conceitos
básicos da Física: o de partícula e o de corpo extenso.
Em linhas gerais, uma partícula não apresenta dimensões (na verdade, são
desprezíveis). Já no corpo extenso devemos considerar as dimensões.
Obviamente, estes conceitos devem ser avaliados no contexto em que o fenômeno está ocorrendo.
Exemplo
Por exemplo, na situação em que um carro manobra para estacionar em uma vaga, certamente, as dimensões envolvidas são
relevantes. Nesse caso, trata-se de um corpo extenso.
Esse mesmo carro, ao viajar para uma cidade distante 1000Km, pode ter suas dimensões desprezadas em um exercício de
cinemática. Assim, nessa situação, o mesmo carro é uma partícula.
Note, portanto, que os conceitos apresentados neste tópico não são absolutos, eles dependem do contexto em que o fenômeno
estudado está inserido.
Atenção
Inicialmente, devemos saber quais corpos ou estruturas podem ser hipoestáticas, isostática ou hiperestáticas.
A primeira é de pouca aplicabilidade na Engenharia. Em nosso estudo, as estruturas serão todas isostáticas.
Em linhas gerais, a estrutura isostática apresenta igual número de incógnitas (reações nos apoios) e equações do equilíbrio.
A nossa aula tratará exclusivamente do equilíbrio estático. Uma partícula que descreve um
movimento retilíneo uniforme (MRU) encontra-se em equilíbrio, contudo esse recebe a
denominação de dinâmico, visto que a aceleração é nula (resultante das forças zero) e
velocidade constante não nula.
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 (Fonte: niroworld / Shutterstock).
Equilíbrio estático de um corpo em duas dimensões
Considere um corpo extenso sob a ação de várias cargas (forças e / ou momentos). As forças estão no plano xy, por exemplo, e
as cargas-momento atuando no eixo perpendicular ao plano xy.
Diz-se que esse corpo se encontra em equilíbrio estático quando não existem os movimentos de translação e de rotação. Para
que essas condições sejam alcançadas, algumas equações devem ser satisfeitas.
Genericamente, dizemos que a não ocorrência de translação é pela ausência da
resultante das forças e, no caso do movimento de rotação, sua inexistência está ligada
ao momento resultante (soma dos momentos) ser nulo.
Observe a �gura 1 e veja a substituição do conjunto de forças/momentos por uma resultante de forças e um momento resultante.
Quando estes dois vetores são nulos, portanto, o corpo está em equilíbrio estático.
 Figura 1 – Corpo sob a ação de cargas força e momento e a substituição pela
resultante e pelo momento resultante.
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Em termos matemáticos, a resultante nula R e o momento resultante nulo M podem ser escritos como função de suas
componentes retangulares e seus módulos determinados, conforme as equações 1 e 2.
(Equação 1)
  =  (∑     +   (∑     =  0R2 Fx)
2
Fy)
2
Como temos dois números reais elevados ao quadrado e que somados levam ao valor zero, só é possível para a situação em que 
     e      .∑ = 0Fx ∑ = 0Fy
  =  (∑   =  0M 2 Mz)2
Resolvendo a equação, temos que:
(Equação 2)
∑ = 0Mz
Portanto, as condições necessárias e su�cientes para o equilíbrio no plano de corpo extenso são:
∑ = 0Fx ∑ = 0Fy ∑ = 0Mz
Principais tipos de apoios no plano
Nas situações de estudo do equilíbrio estático do corpo no plano, três apoios são principais.
Suas denominações remetem diretamente ao número de restrições que eles impõem ao movimento de translação ou rotação.
São os seguintes apoios:
Primeiro gênero
Existe restrição (força) em uma única direção, impedindo, portanto, a translação nesse eixo.
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Clique e arraste nas setas para ver a força agindo no eixo.
 
Segundo gênero
Duas restrições perpendiculares (forças) são impostas, impedindo translações dos eixos.
Clique e arraste nas setas para ver a força agindo no eixo.
 
Terceiro gênero (ou engaste)
Há duas restrições perpendiculares (forças) e uma restrição à rotação (momento).
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Clique e arraste nas setas para ver a força agindo no eixo.
 
Quando esses apoios aparecem nos problemas, devemos substituí-los pelas restrições que
eles impõem, sejam elas de translação ou de rotação.
Suponha uma barra homogênea disposta horizontalmente e de peso 500N apoiada sobre dois apoios e com comprimento 6m.
Seja F uma força aplicada verticalmente para baixo, no ponto C dessa barra, conforme a �gura.
Determine as reações nos apoios A (2º gênero) e B (1º gênero).
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 (Fonte: Billion Photos / Shutterstock).
Condições de equilíbrio
∑ = 0Fx
(Considere valores horizontais para a direita como positivos).
= 0Ax
∑ = 0Fy
(Considere valores verticais para cima como positivos).
A + B – 200 – 500 = 0 → A + B = 700 (*)y y y y
∑ = 0Mz
(Considere momentos no sentido anti-horário como positivos).
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Momento das forças em relação ao ponto B: como a força B está no ponto B, seu momento é nulo. Assim:y
- A . 6 + 500 . 3 + 200 . 5 = 0 A . 6 = 2500 A = 416,67 Ny → y → y
Da equação (*):
A + B = 700 416,67 + B = 700 B = 283,33 Ny y → y → y
Atividade1. Considere uma viga de 4m de comprimento engastada em uma parede com peso de 600N, conforme �gura. Determine as
reações no engaste.
2. Considere uma viga de 6m de comprimento engastada em uma parede com peso de 1000N, conforme �gura.
Uma força F de módulo 500N é aplicada na extremidade da viga formando um ângulo com a horizontal tal que sen = 0,6 e cos
 = 0,8.
Determine as reações no engaste.
θ θ
θ
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NOTA 1
Suponha um corpo em equilíbrio sob a ação de 3 forças coplanares.
Existem duas condições geométricas possíveis para essas três forças: serem concorrentes ou paralelas. Observe a �gura 4.
 Figura 4 – Corpo em equilíbrio soba a ação de apenas três forças.
Suponha uma escada AB homogênea apoiada em uma parede lisa (sem atrito) em equilíbrio conforme a �gura.
Determine, geometricamente o vetor que representa a força que o chão exerce sobre a escada.
Até este ponto de nossa disciplina, trabalhamos sempre com forças concentradas (pontuais). Contudo, existe a possibilidade de
as forças serem distribuídas ao longo do comprimento.
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NOTA 2
Suponha uma parede construída sobre uma viga de um prédio. Este é um exemplo real de uma carga distribuída ao longo de um
comprimento.
Para trabalharmos com forças distribuídas, é importante fazer a troca desta por uma concentrada equivalente.
O módulo dessa força concentrada será igual à área sob a curva que descreve esta carga distribuída e o ponto de aplicação no
centroide da área.
Observe um exemplo de uma carga uniformemente distribuída na �gura 5.
 Figura 5 – Força distribuída – substituição por uma força concentrada equivalente.
Suponha uma partícula de peso 280N, suspensa por dois cabos ideais AB (na horizontal) e AC, conforme a �gura.
O ângulo que AC forma com a horizontal é tal que sen = 7/25 e cos = 24/25.
Determine os módulos das trações que atuam nos cabos AB, AC e AD. Resolva analítica e geometricamente.
θ θ θ
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Atividade
3. Considere uma pedra de peso 40N presa, conforme a �gura. Os cabos são ideais.
Determine os módulos das trações nos três cabos, sendo os três ângulos iguais a 120º.
4. Considere o arranjo em que as partículas A e B têm pesos 100N e 200N, respectivamente.
Supondo que o sistema está em equilíbrio, determine o módulo das trações nos cabos 1, 2 e 3. Considere os cabos e as polias
ideais.
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Equilíbrio estático de uma partícula em duas dimensões
Nas situações de estudo do equilíbrio do corpo extenso no plano, três equações devem ser satisfeitas: duas referem-se a não
translação e uma, a não rotação.
No caso da partícula, como as dimensões são desprezíveis, não há que se falar na equação da soma dos momentos para
satisfazer a não rotação. Sendo assim, o equilíbrio de uma partícula no plano é um caso particular do equilíbrio do corpo extenso
do plano (estudado nos tópicos anteriores) em que uma das equações já está satisfeita ( ).∑ = 0Mz
Assim, para o equilíbrio estático da partícula, basta que a resultante das forças seja zero, ou, em outras palavras, que a equação 3
seja satisfeita.
(Equação 3)
    e    ∑ = 0Fx ∑ = 0Fy
Equilíbrio estático de um corpo extenso em três dimensões
Neste ponto de nossa aula, faremos uma generalização do que já foi estudado.
Um corpo, na vida real, apresenta as três dimensões (x, y e z).
Como foi visto anteriormente, para garantir o equilíbrio estático de um corpo extenso, devemos garantir que não ocorrem
translação e rotação.
No caso tridimensional, devemos a�rmar a ausência de translação nas três direções x, y e z. Da mesma forma, a rotação do corpo
deve ser impedida pelas forças/momentos externos em torno dos três eixos.
Matematicamente, devemos ter os vetores resultantes das forças e resultantes dos
momentos iguais a zero, ou seja, translação e rotação nulas.
Assim, podemos escrever as equações 4 e 5.
(Equação 4)
= ∑ =R⃗  F ⃗ i 0⃗ 
(Equação 5)
= ∑ =M⃗  M⃗ i 0⃗ 
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É possível escrever tanto o vetor resultante como o vetor momento resultante, em função de suas componentes retangulares.
A partir daí, determinar o módulo de cada vetor e igualar a zero (corpo encontra-se em equilíbrio estático).
Observe as equações 6 e 7.
(Equação 6)
|R| =   = 0(∑ + (∑ + (∑  Fx)2 Fy)2 Fz)2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
(Equação 7)
|M| =   = 0(∑ + (∑ + (∑  Mx)2 My)2 Mz)2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
Na equação 6, como os números envolvidos são reais, a relação R = 0 só é satisfeita quando cada uma das três componentes
retangulares for igual a zero, ou seja:
∑ = 0Fx ∑ = 0Fy ∑ = 0Fz
Da mesma forma, a equação 7 só será satisfeita quando as seguintes condições forem satisfeitas:
∑ = 0;      ∑ = 0     e     ∑ = 0Mx My Mz
Assim, para um corpo extenso em equilíbrio são seis as equações do equilíbrio
necessárias e su�cientes. Três delas tratam da não translação do corpo e as demais
da não rotação.
Veja o resumo:
∑ = 0Fx ∑ = 0Fy ∑ = 0Fz
∑ = 0Mx ∑ = 0My ∑ = 0Mz
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Suponha um poste preso verticalmente no chão e ancorado por quatro cabos ideais. Suponha também que em cada cabo atue
uma força de módulo 500N.
Determine a reação na base do poste.
Atividade
5. Seja uma barra cilíndrica de 2m de comprimento engastada em uma parede, tal que a força que atua em sua extremidade seja
dada por 200i – 300j + 400k (N).
Supondo o peso da barra igual a 150N, determine as reações no apoio de terceiro gênero (engaste).
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Equilíbrio estático da partícula em três dimensões
Quando estudamos no item anterior o equilíbrio do corpo extenso no espaço, seis equações deviam ser satisfeitas: três relativas
a garantir a não translação e três referentes a não rotação do corpo extenso.
No caso da partícula, como as dimensões são desprezíveis, não há necessidade de se garantir a não rotação (equações do
momento).
Sendo assim, o equilíbrio de uma partícula no espaço é um caso particular do
equilíbrio do corpo extenso do espaço, em que apenas três equações são necessárias
e su�cientes, visto que as demais (do momento) estão previamente satisfeitas, ou
seja:
∑ = 0Fx ∑ = 0Fy ∑ = 0Fz
Suponha uma partícula de peso desprezível em equilíbrio estático, sob a ação de cinco forças, sendo uma vertical, conforme o
desenho. As demais forças têm módulo 200N.
Determine: 
a) A forma vetorial de cada uma das quatro forças não verticais; 
b) O valor da força vertical para que o equilíbrio seja satisfeito.
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Atividade
6. Assinale verdadeiro ou falso para cada a�rmação a seguir:
a) Para a�rmar que uma partículase encontra em equilíbrio estático, devemos garantir que estejam ocorrendo os equilíbrios translacional e
rotacional.
b) Existe a possibilidade de uma partícula em movimento estar em equilíbrio.
c) Uma estrutura isostática no espaço, genericamente, pode apresentar seis incógnitas a serem calculadas, visto que são seis as equações do
equilíbrio estático.
d) Nas estruturas hiperestáticas, nunca é possível determinar todas as incógnitas, visto que existem sempre menos equações do que
incógnitas.
e) Para a�rmar que um corpo extenso se encontra em equilíbrio estático, devemos garantir que ocorram os equilíbrios translacional e
rotacional.
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Jr.; EISENBERG, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática. Vol. I. 7. ed. São Paulo:
McGraw Hill - Artmed, 2006.
HIBELLER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
______. Mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2011.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
Próxima aula
Introdução ao estudo das treliças planas;
Método dos nós e método das seções para a resolução de treliças planícies;
Estudo dos pórticos planos.
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Assista aos vídeos:
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Assista aos vídeos:
Momento de uma força no equilíbrio rotacional <https://www.youtube.com/watch?v=T6q4tVgM_W4> ;
Roldanas simples e suas aplicações <http://www.galvaminas.com.br/blog/conheca-os-tipos-de-roldanas-e-saiba-para-que-
servem/> ;
Máquinas simples – alavancas <http://www.�sica.net/mecanicaclassica/maquinas_simples_alavancas.php> ;
Principais apoios e suas reações <https://www.youtube.com/watch?v=MvjT9NiXSuM&app=desktop> .
https://www.youtube.com/watch?v=T6q4tVgM_W4
http://www.galvaminas.com.br/blog/conheca-os-tipos-de-roldanas-e-saiba-para-que-servem/
http://www.fisica.net/mecanicaclassica/maquinas_simples_alavancas.php
https://www.youtube.com/watch?v=MvjT9NiXSuM&app=desktop