Tema 1

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MÓDULO 1 
 Identificar os principais vínculos de uma estrutura bidimensional 
INTRODUÇÃO 
Boas-vindas ao estudo do equilíbrio dos corpos rígidos. 
No estudo do equilíbrio dos corpos rígidos, a primeira fase consiste em reconhecer os vínculos 
da estrutura. As estruturas bidimensionais ou tridimensionais em equilíbrio estático sempre 
estão presas a apoios que restringem um ou mais tipos de movimentos (translação ou rotação): 
são os vínculos. Por exemplo, um vínculo pode restringir os movimentos de translação nas 
direções x e y e permitir a rotação em torno do eixo z (grau de liberdade). Observe nas figuras 
1 e 2 um vínculo (apoio) do tipo engaste em que três restrições são impostas à estrutura: as 
translações vertical e horizontal e a rotação. 
 
 
VÍNCULOS EM ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS 
Estudo qualitativo dos vínculos 
Toda estrutura em equilíbrio estático apresenta-se “presa” a apoios ou vínculos. Dessa forma, 
restrições são impostas ao seu movimento. Imagine uma mesa no jardim de uma pequena 
cidade. Ela encontra-se em equilíbrio estático e impedida de realizar qualquer movimento de 
translação ou de rotação em virtude de estar “presa” por intermédio de vínculos. Inicialmente, a 
abordagem do tema será para estruturas bidimensionais, por exemplo, localizadas no 
plano xy do papel, com carregamento também nesse plano. 
Quando se é realizado o estudo do equilíbrio estático de uma estrutura bidimensional, surgem 
três classes de apoios cujas denominações remetem-se diretamente ao número de restrições 
que elas impõem ao movimento, seja o de translação ou o de rotação. No plano, três são as 
possibilidades de restrição: 
 Uma translação  Duas translações  Duas translações e uma rotação 
Sendo assim, naturalmente surgem os nomes para os apoios (vínculos): 1º, 2º ou 3º gêneros. 
APOIO (VÍNCULO) DE PRIMEIRO GÊNERO 
Quando a estrutura se encontra presa a um apoio de primeiro gênero, ela é impedida 
(restrição) de transladar em única direção (eixo). A esse vínculo, associa-se uma força de 
reação na direção desse eixo. 
 
2 
APOIO (VÍNCULO) DE SEGUNDO GÊNERO Quando o apoio que suporta a estrutura é do segundo gênero, duas restrições perpendiculares são impostas, impedindo translações nos dois eixos. Da mesma maneira que no vínculo de primeiro gênero, são utilizadas forças para representar as restrições impostas. Nesse caso, também é possível supor o mesmo número de incógnitas (duas): a direção e o módulo da força de reação sobre o vínculo. 
 
APOIO (VÍNCULO) DE TERCEIRO GÊNERO No apoio denominado de terceiro gênero, também popularmente conhecido como “engaste” ou “engastamento”, são impostas duas restrições à translação e uma à rotação. Fisicamente, essas restrições são representadas por forças (translação) e momento (rotação). As três incógnitas que surgem no engaste podem ser observadas sobre outro prisma, um momento e uma força (direção e módulo desconhecidos). 
 
A figura 3 ilustra a representação mais comum para os três apoios citados. Observe que 
existem rótulas na parte superior dos apoios de primeiro e segundo gênero, não restringindo 
movimentos de rotação. Observe, ainda, na figura 3, as representações desses vínculos. 
 
Reações nos vínculos de estruturas bidimensionais 
Na análise dos problemas de estática, um dos primeiros passos é o desenho do diagrama do 
corpo livre (DCL), a ser estudado com detalhes ainda neste módulo. Nesse desenho, todos os 
carregamentos ou forças devem ser representados. O acréscimo ou a falta de algum 
comprometerá o estudo do equilíbrio do corpo rígido. Seguindo essa linha de raciocínio, no 
desenho do DCL, todos os apoios que estão na estrutura devem ser substituídos por forças ou 
momentos, dependendo do tipo de restrição que cada um impõe (translação ou rotação). 
Faremos uma análise simples dessa troca de forças/momentos. 
Na figura 4, os três principais apoios estudados anteriormente estão dispostos com as 
respectivas substituições por força ou momento, concernentes às restrições impostas. Como os 
apoios de primeiro e segundo gêneros restringem translação, os entes físicos utilizados nessa 
substituição são forças e, no caso do apoio de terceiro gênero, ocorrem restrições a 
translações e à rotação. Nesse vínculo, os entes físicos utilizados na substituição são forças e 
momento. É comum denominar as forças e os momentos associados aos vínculos de reações 
nos apoios. 
 
 
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Saiba mais 
Os apoios de terceiro gênero também são conhecidos por permitirem que a estrutura se 
mantenha “em balanço”, ou seja, uma das extremidades livre e a outra engastada numa 
parede, por exemplo. Possivelmente, o exemplo mais presente em nosso dia a dia seja a 
marquise, em que uma pequena laje apresenta uma extremidade presa (engastada) à estrutura 
de um prédio e a outra extremidade livre, remetendo diretamente à ideia que a denomina “em 
balanço”. 
A figura 5 apresenta uma representação esquemática de uma marquise. Note que uma de suas 
extremidades apresenta-se presa à estrutura, com restrições à translação e à rotação, 
enquanto a outra extremidade encontra-se livre. A ideia do balanço fica bem explícita nesse 
elemento. 
 
Graus de liberdade 
Em sua obra, Curso de Mecânica, o autor Adhemar Fonseca apresenta o conceito de grau de 
liberdade que será, de forma sucinta, abordado neste tópico. 
Exemplo 
Supondo um sistema com resultante das forças igual a R→, ela tende a provocar a translação 
ao longo de um eixo e, similarmente, uma rotação em torno de um eixo, o vetor momento 
resultante M→. Tratando os vetores R→ e M→ no espaço xyz, é possível a decomposição de 
cada um deles em até três componentes. Assim, no espaço, a estrutura tem até 6 graus de 
liberdade (não restrição), sendo 3 translações e 3 rotações. Para estruturas no plano, a 
resultante terá duas componentes e o momento apenas uma, num eixo perpendicular ao plano 
das forças. Em consequência, são 3 os graus de liberdade possíveis. 
 
A função do vínculo é restringir alguns graus de liberdade. Portanto, os vínculos em 
estruturas (em equilíbrio estático) podem ser classificados em função do número de 
graus de liberdade existentes. 
 
No caso espacial, de 0 a 5 graus de liberdade e, na situação do plano, de 0 a 2 graus de 
liberdade. Como exemplo, é possível citar o vínculo denominado junta universal apresentado 
na figura 6. Observe que é um vínculo com dois graus de liberdade (rotações em torno 
de y e z) ou ainda, quatro restrições (três translações em x, y e z e uma rotação em torno 
de x). 
 
 
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Teoria na Prática 
Na Engenharia, a presença de estruturas equilibradas e com diversos tipos de apoios está 
muito presente no dia a dia. Como foi visto neste módulo, três classes são possíveis para os 
vínculos. Para que você possa perceber isso na prática, alguns exemplos de situações reais 
serão apresentados neste tópico. 
Inicialmente, imagine um carrinho de compras. As rodinhas traseiras (com seu sistema de 
fixação ao carrinho) comportam-se como um apoio de primeiro gênero. Uma restrição é 
imposta, a da translação no eixo y, ou seja, ∆y = 0. Contudo, não há impedimento de outros 
dois movimentos: translação no eixo x (∆x ≠ 0) e rotação em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). Observe a figura a seguir de um esboço de um carrinho de compras. 
 
Outra possibilidade de vínculo estudado e com aplicação na prática é o apoio de segundo 
gênero, cujas translações nos eixos x e y são impedidas (∆x = 0 e ∆y = 0), mas não a rotação 
em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). Veja na figura seguinte o exemplo de uma estrutura composta por 
uma viga presa em uma das extremidades pelo apoio de segundo gênero e na outra 
extremidade por um cabo de aço. A extremidade unida ao vínculo apresenta restrição aos 
movimentos vertical e horizontal da viga, mas a rotação é possível. Observe o esquema da 
figura. 
 
Neste módulo, foivisto o apoio de terceiro gênero, o que impõe as três restrições, as duas 
translações nos eixos x e y (∆x = 0 e ∆y = 0) e, também, a rotação em torno do eixo z (∆θz = 0). 
Exemplos clássicos são as varandas e as marquises. Na figura seguinte, uma estrutura em 
balanço é apresentada na forma de uma pequena varanda. 
 
 
Mão na Massa 
1. Em muitas estruturas de pontes, é comum a utilização das vigas Gerber (dentes de Gerber), 
que permitem a “transmissão” do momento de uma região da estrutura para outra. Na figura a 
seguir, tem-se um esquema da viga Gerber em destaque. 
 
 
5 
Considerando apenas a viga Gerber (em verde), o apoio destacado pode ser classificado como 
um apoio de que gênero? 
A) Apoio de segundo gênero. 
B) Apoio de terceiro gênero. 
C) Um misto de apoios de segundo e terceiro gêneros. 
D) Um misto de apoios de primeiro e terceiro gêneros. 
 
2. Um estudante, refletindo sobre os vínculos de uma estrutura, pensou sobre a definição do grau de liberdade desse vínculo na estrutura em questão. Suponha que “n” seja o número de restrições impostas por um vínculo de uma estrutura tridimensional, em que “n” é um 
número natural e “g” o grau de liberdade do vínculo. É correto afirmar que: 
 
A) 2 ≤ n + g ≤ 6 
B) 0 ≤ g ≤ 3 e 0 ≤ n ≤ 3 
C) Para alguns vínculos, n = g = 3. 
D) É possível que a relação entre n e g seja dada por 
3. No estudo dos vínculos de uma estrutura, é possível compreender perfeitamente suas atuações fazendo uma análise dos graus de liberdade. Suponha que o vínculo da figura a seguir (um mancal com atrito) pertença a uma estrutura tridimensional em equilíbrio estático. Avalie as restrições possíveis e responda o grau de liberdade do vínculo. 
 
 
A) 1 grau de liberdade. 
B) 2 graus de liberdade. 
C) 3 graus de liberdade. 
D) 4 graus de liberdade. 
 4. Considere uma estrutura em equilíbrio estático sob um carregamento plano. Na ilustração a seguir, parte dessa estrutura é representada com um de seus vínculos. 
 
 
A respeito do apoio, é correto afirmar que: 
 
A) É do primeiro gênero e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo 
vetor ↗ 
 
6 
B) É do primeiro gênero e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo 
vetor ↙ 
C) É do primeiro gênero e a reação na estrutura poderá ser representada pelo vetor ↗ 
D) É do primeiro gênero e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo 
vetor ⟶ 
 5. A definição de um vínculo pode ser realizada a partir do grau de liberdade ou das restrições impostas por ele. Suponha um vínculo numa estrutura tridimensional com carregamento genérico. Sejam p e q, respectivamente, o grau de liberdade do vínculo e o número de restrições que ele impõe à estrutura a que pertence. É correto afirmar que: 
A) p e q são números naturais, sendo que p – q = 6 B) É possível que os valores de p e q sejam tais que p = 4.q C) p e q são números naturais e p + q = 6 D) Nunca p e q serão números naturais iguais. 
6. Um apoio de primeiro gênero é aquele que restringe uma translação em um eixo, por exemplo y, permitindo a translação no outro eixo, o x. Em sua parte superior existe uma rótula que não restringe a rotação. Suponha que uma estrutura tenha alguns apoios metálicos desse tipo e que ela esteja localizada próximo a um ambiente de atmosfera corrosiva. Em virtude disso, um desses vínculos é afetado pela oxidação e a rótula fica emperrada. Dessa forma, é possível afirmar que esse vínculo: 
 
A) Continuará a apresentar apenas 1 restrição, no eixo y. 
B) Passará a ter 2 restrições, pois também impedirá a translação no eixo x. 
C) Passará a ter 2 restrições, pois também impedirá a translação no eixo x. 
D) Passará a impedir apenas a rotação. 
 
 
Verificando o Aprendizado 
 
1. Considere parte de uma estrutura indicada na figura e suponha um carregamento sobre ela. 
As hastes que compõem a estrutura estão vinculadas entre si por meio de parafusos 
(equivalente a soldas) e a uma grande chapa de aço, de tal forma que é possível associar cada 
união feita pelos parafusos ao tipo de apoio: 
 
A respeito do apoio, é correto afirmar que: 
A) Do primeiro gênero, uma vez que impede apenas uma translação 
B) Do segundo gênero, uma vez que impede duas translações 
 
7 
C) Do terceiro gênero, uma que impede duas translações e uma rotação 
D) Dependendo do carregamento, de qualquer um dos três gêneros podendo 
assumir quaisquer valores). 
 
2. Parte de um sistema mecânico em equilíbrio encontra-se representado na figura, onde é 
possível visualizar dois vínculos: A e B. Em relação a esses vínculos, é correto afirmar que: 
 
 
A) Nos dois apoios, translações verticais e horizontais são impedidas. 
B) Nos dois apoios, apenas translações verticais são impedidas. 
C) No apoio A, translações verticais e horizontais são impedidas e, no apoio B, 
translações horizontais. 
D) No apoio A, translações verticais e horizontais são impedidas e, no apoio B, 
translações verticais. 
 
 
 
 
MÓDULO 2 
 
Reconhecer os sistemas de forças e as condições de equilíbrio de um corpo rígido 
INTRODUÇÃO 
No estudo do equilíbrio de um corpo rígido, os dois entes físicos que caracterizam esse estado 
são a resultante das forças R→ e a soma dos momentos M→ aplicados por elas. 
Quando R→ e M→ são simultaneamente nulos, está garantido o equilíbrio, que é dividido em 
estático e dinâmico. No primeiro, além das condições para R→ e M→, sua velocidade é zero. 
No equilíbrio dinâmico, a diferença é que o sistema apresenta movimento retilíneo uniforme 
(MRU), ou seja, velocidade constante. 
 
CONCEITOS DE FORÇA E DE MOMENTO DE UMA FORÇA 
No módulo 1, foram citados dois conceitos: o de força e o de momento de uma força. No dia a 
dia, esses dois entes físicos apresentam-se com bastante frequência, mas é fundamental para 
o futuro engenheiro conhecê-los com profundidade. Inicialmente, a abordagem será qualitativa. 
Veja as duas situações a seguir: 
 
8 
 Solução 1: Suponha a situação em que uma pessoa movimente a cadeira para sentar-
se à mesa. Mesmo não conhecendo o conceito oficial de força, é bastante intuitiva a 
ideia de que foi necessário atuar na cadeira para que ela se movimentasse. 
Relacionado a essa situação, surge o juízo popular do ente físico força. 
 Solução 2: Se a situação imaginada for a de trocar o pneu furado de um carro, será 
preciso atuar de tal forma na retirada dos parafusos que ocorra uma rotação deles. 
Surge a ideia do momento provocado por uma força, associando-o à rotação 
provocada por esta. 
É claro que os conceitos de força e de momento se conservam mesmo em situações 
complexas da Engenharia. A ponte que liga o Rio de Janeiro a Niterói apresenta uma 
série de exemplos em que forças atuam em sua estrutura e que provocam momentos. 
Uma diferença bastante perceptível é a quantidade desses elementos nessas 
estruturas complexas. 
CONCEITO MATEMÁTICO DE FORÇA 
A força é uma grandeza vetorial (representada por um vetor) e, por isso, apresenta as 
seguintes características: módulo (ou intensidade), direção (linha de ação da força) e sentido. 
Associada a esses atributos, segue-se uma unidade que pode ser kgf (quilograma-força), N 
(newton), dyn (dina) etc. A figura 6 mostra a representação de uma força F→ e seus atributos. 
 
Você sabia 
No Sistema Internacional de Unidades (S.I.), a força é apresentada em newtons (N), em 
homenagem aos brilhantes trabalhos do físico Isaac Newton (1642-1727) na Mecânica 
Clássica. 
FORÇAS (CARGAS) CONCENTRADA E DISTRIBUÍDA 
Na Engenharia, é importante salientar a diferença entre os conceitos de força concentrada e 
força distribuída. 
No caso da força concentrada, existe um único ponto de aplicação sobre a estrutura. Para 
exemplificar, suponha uma pessoa de pé em um apartamento. A força que ela faz sobre a laje 
é considerada uma força concentrada. Observe a figura 7 que, de maneira esquemática, 
apresenta a situação descrita. 
 
 
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A força ou carga distribuída apresenta atuação ao longo de um comprimento. Um exemplo 
clássico na Engenhariade força distribuída é a parede de um apartamento. Observe o 
esquema apresentado na figura 8 em que a representação gráfica de uma carga distribuída é 
mostrada. 
 
Atenção 
É importante ressaltar que, no S.I., a força concentrada é apresentada em N e a força (carga) 
distribuída, em N/m. 
FORÇA ESCRITA EM FUNÇÃO DE SUAS COMPONENTES RETANGULARES 
A força é uma grandeza vetorial e, por isso, pode ser representada por suas componentes 
retangulares x, y e z. 
Para uma compreensão gradual do tema, abordaremos uma força localizada no plano xy e, 
depois, a situação em que a força se encontra no espaço xyz. 
Força no plano escrita em função de suas componentes retangulares 
Suponha o plano xy do papel e considere um sistema submetido a uma força oblíqua F→ , 
conforme a representação da figura 9. 
 
Tomando-se como referência o par de eixos cartesianos x e y, qualquer vetor no plano pode 
ser escrito a partir de suas componentes retangulares Fx e Fy, que representam seus módulos 
nas direções x e y, respectivamente. Além disso, são utilizados os vetores unitários i (1,0) 
e j (0,1). No caso do vetor que representa a força F→, pode-se escrevê-lo conforme a equação 
1: 
Equação 1: 
A figura 10 mostra a representação geométrica da decomposição da força F→ em suas 
componentes retangulares Fx e Fy. 
 
 
10 
A partir das relações trigonométricas no triângulo retângulo, é possível escrever as equações 
matemáticas 2 e 3 para as componentes retangulares da força F→ e sua direção θ : 
 Equação 2: 
 Equação 3: 
A partir das equações 1 e 2 e utilizando os vetores unitários i e j, é possível reescrever a 
força F→ conforme a equação 4. 
 Equação 4: 
Ainda utilizando as ferramentas matemáticas da geometria plana, é possível perceber, na 
figura 10, um triângulo retângulo cujos catetos são as componentes Fx e Fy e a hipotenusa F. A 
partir da relação matemática conhecida como teorema de Pitágoras, é verdade a relação entre 
os módulos de Fx, Fy e F, mostrados na equação 5. 
Equação 5: 
Atividade 
Seja a força apresentada na figura e o par de eixos xy. O módulo da força é 100N e o ângulo θ que o 
vetor força forma com o eixo x é tal que o seno vale 0,6 e o cosseno, 0,8. Escreva a força F em 
coordenadas retangulares. 
 
 
 
 
 
 
Força no espaço escrita em função de suas componentes retangulares 
Generalizando uma força F→ como um vetor no R3, além dos eixos x e y, deve-se utilizar o 
eixo z para a decomposição da força em coordenadas retangulares. Além disso, os vetores 
unitários serão i (1, 0, 0), j (0, 1, 0) e k (0, 0, 1) que representam, respectivamente, os sentidos 
dos eixos x, y e z. 
 
11 
A figura 11 representa esquematicamente a força F→ no espaço e os eixos x, y e z. Além 
disso, são mostrados os ângulos θx,θy e θz que a força F→ forma com os eixos. Ainda é possível perceber as projeções da força nos eixos x, y e z, ou seja, Fx, Fy e Fz. 
 
A partir da figura 11, observando triângulos retângulos e utilizando a definição da função 
trigonométrica cosseno, é possível escrever as relações matemáticas descritas nas equações 
6, 7 e 8. 
Equação 6: 
Equação 7: 
Equação 8: 
 
Onde cosθx, cosθy e cosθz são denominados cossenos diretores. 
 
 
A partir das equações anteriores, é possível reescrever a força F→, em termos de suas 
coordenadas retangulares, e os vetores unitários i, j e k, conforme a equação 9: 
Equação 9: 
Atividade 
Suponha que uma força de intensidade 10kN atue de tal forma em uma estrutura que seus 
cossenos diretores valham . O engenheiro precisa escrever essa força em 
coordenadas retangulares e solicita que seu estagiário resolva 
 
 
12 
 
 
RESULTANTE DE FORÇAS 
Seja uma estrutura em que atue um conjunto com “n” forças. Por razões simplificadoras 
matemáticas, é possível fazer a substituição desse conjunto de forças por uma única, 
denominada resultante das forças ou, simplesmente, resultante. Essa substituição 
matemática não altera a consequência física. A figura 12 apresenta uma estrutura em que 
agem quatro forças coplanares e a substituição delas pela força resultante. 
 
A resultante das forças que agem sobre um corpo é a soma vetorial dessas forças. É possível 
fazer a decomposição retangular das várias forças e agrupar “os termos semelhantes” (em i, 
em j e em k). A equação 10 mostra essa descrição. 
Equação 10: 
 
Atividade 
Suponha que um corpo esteja sob a ação de várias forças nas direções dos eixos ortogonais x, y e z, 
conforme a figura. Determine a resultante das forças. 
 
 
 
 
 
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MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO 
Considere um sistema e uma força F→ atuando sobre ele no ponto A, conforme a figura 13. 
Suponha que no ponto O exista um vínculo de segundo gênero. O vetor que liga os pontos O e 
A é denominado vetor posição r→ = OA→ (ver figura 13). Nas condições anteriormente 
apresentadas, é intuitivo imaginar que a força F→ fará o corpo girar. Essa rotação do corpo é o 
momento provocado pela força em relação ao ponto O. 
Observando a figura 13, é possível perceber que o vetor momento M→ é perpendicular ao 
plano formado pela força F→ e o vetor posição r→. Além disso, é possível observar que ele 
apresenta um sentido de rotação. 
 
O momento de uma força em relação a um ponto é dado por um produto vetorial, conforme 
mostra a equação 11. 
Equação 11: 
Escrevendo os vetores posição r→ (rx, ry e rz) e a força F→ (Fx, Fy e Fz) em coordenadas 
retangulares, obtém-se o vetor momento M→ a partir do determinante a seguir. 
 
Atenção 
O vetor momento estará escrito em função das coordenadas retangulares. 
 O QUE ACONTECE QUANDO A FORÇA E O VETOR POSIÇÃO SÃO 
COPLANARES? O módulo do momento aplicado por essa força, em relação a um ponto, pode ser determinado 
pelo produto da força pela distância do ponto à linha de ação da força (M = F . d). Observe 
o esquema a seguir. 
 
Na primeira figura, a força faz a barra girar em torno do ponto O no sentido anti-horário, então o 
momento é positivo. Na segunda, o sentido é horário, logo, o momento é negativo. 
 
 
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Atividade 
Suponha que uma força F (10, 20, 30), em N, seja aplicada num ponto A de coordenadas (1, 2, 5). 
Determine o momento dessa força em relação à origem O (0, 0, 0) dos eixos x, y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUILÍBRIO ESTÁTICO DE UM CORPO RÍGIDO 
Suponha um corpo rígido tridimensional com carregamento genérico (várias forças 
concentradas/distribuídas e momentos). Para garantir o equilíbrio estático de um corpo 
rígido, os movimentos de translação e rotação não devem existir. Assim, estarão restritas 
as translações e as rotações concernentes aos três eixos cartesianos x, y e z. A fim de garantir 
que a translação e a rotação de um sistema sejam nulas, a resultante das forças e a resultante 
dos momentos devem ser iguais a zero. A equação 12 traduz o descrito de maneira 
matemática. 
Equação 12: 
 
Como foi visto nos itens anteriores, é possível escrever a resultante das forças, assim como o 
momento resultante, em função de suas componentes retangulares. Para garantir o equilíbrio 
estático do sistema, basta que cada uma das componentes retangulares seja igual a zero. 
Surgem, dessa maneira, seis equações para o equilíbrio: 
 
Portanto, as seis equações supracitadas são necessárias e suficientes para garantir o equilíbrio 
estático do corpo rígido. 
Quais equações de equilíbrio estático utilizar em diferentes situações? 
 Para garantir a não translação 
 
15 
 Para garantir a não rotação 
 Quando o carregamento for no plano 
Obs.: Para escrever uma força a partir de dois pontos A (xA, yA, zA) e B (xB, yB, zB) de sua linha 
de ação, deve-se inicialmente escrever o vetor unitário e depois multiplicá-lo pelo módulo 
dessa força. Segue a sequência desses passos: 
 
 DETERMINAÇÃO DO VETOR UNITÁRIO NA DIREÇÃO 
 
 
Onde: 
 
 
 MULTIPLICAÇÃO DO MÓDULO DE F→ PELO VETOR UNITÁRIO. ASSIM, 
Exemplo: Considere uma força F de intensidade 100N que passe pelos pontos A (1, 3, 5) e B 
(4,3, 9), tal que seu sentido seja do vetor AB→. Determine a força em coordenadas 
retangulares. 
Solução: Determinação do vetor unitário na direção do vetor AB→. 
 
Mas, 
= 
 
16 
Assim, 
 
Para determinar o vetor F, basta utilizar a equação a seguir: 
 
 
Teoria na Prática 
 
Na Engenharia, o equilíbrio das estruturas é muito presente. Não faltam exemplos práticos, como torres de transmissão, estruturas treliçadas (Linha Vermelha no Rio de Janeiro, por exemplo), dentre tantos outros. Em linhas gerais, o equilíbrio translacional e o rotacional devem ser garantidos nessas estruturas. Um exemplo simplificado, porém, que não deixa de auxiliar na aplicação das equações do equilíbrio em casos práticos, será realizado. A seguir, tem-se uma questão apresentada em um concurso. (FCM-PB – 2015) O guindaste (também chamado de grua e, nos navios, pau de carga) é um equipamento utilizado para a elevação e a movimentação de cargas e materiais pesados, assim como a ponte rolante a partir do princípio da Física, segundo o qual uma ou mais máquinas simples criam vantagem mecânica para mover cargas além da capacidade humana. São comumente empregados nas indústrias, terminais portuários e aeroportuários, onde se exige grande mobilidade no manuseio de cargas e transporte de uma fonte primária (embarcação, trem ou elemento de transporte primário, ou mesmo avião) para uma fonte secundária (um veículo de transporte ou depósitos locais). Podem descarregar e carregar contêineres, organizar material pesado em grandes depósitos, efetuar a movimentação de cargas pesadas na construção civil, e as conhecidas pontes rolantes, ou guindastes móveis, são muito utilizadas nas indústrias de laminação e de motores pesados. 
 
Um aluno, de posse de um simulador, projeta a grua acima com as seguintes características: o braço maior da grua tem comprimento de 16m, o braço menor, 4m; o contrapeso na extremidade do braço menor tem uma massa equivalente a 0,5 toneladas, e o centro de massa coincide com a extremidade do braço menor. A barra horizontal possui massa de 200kg, uniformemente distribuída, e a barra vertical está rigidamente fixada. De acordo com o projeto descrito, qual o peso máximo que essa grua poderá levantar sem tombar? 
 
 
 
 
 
 
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Mão na Massa 
1. Em muitas situações da Engenharia, há a necessidade de se calcular a resultante de algumas 
forças concentradas que atuam num sistema. Para simplificar, suponha que duas 
forças F1→ = 500N e F2→ = 600N atuem em um ponto. Dos valores abaixo, assinale o único 
que não é possível para o módulo da resultante R entre F1→ e F2→. 
 
A) R=100N 
B) R=400N 
C) R=800N 
D) R=1200N 
 
 
 
2. Seja uma viga AB homogênea de massa linear de μ kg/m engastada a uma parede e presa a 
um cabo de aço considerado ideal (inextensível e sem massa), conforme a figura. O cabo de 
aço forma um ângulo θ com a viga, disposta horizontalmente. Supondo o equilíbrio, 
determine a tração (em N) no cabo de aço em termos de componentes retangulares, sendo o 
módulo da tração 13kN. 
 
A) T = - 5000i + 12000j 
B) T = 12000i + 5000j 
C) T = - 12000i – 5000j 
D) T = -12000i + 5000j 
 
 
 
3. Considere uma estrutura em equilíbrio estático. Uma das forças que age na estrutura é dada 
por F→ = 200i + 400j - 500k . Seja um ponto A da estrutura com coordenadas (1,0,1). 
Determine o vetor do momento da força F→ em relação à origem dos eixos (0, 0, 0). 
 
A) M = 400i + 700j + 400k 
B) M = 400i – 700j + 400k 
C) M = - 400i + 700j + 400k 
D) M = - 400i – 700j + 400k 
 
 
18 
4. Seja uma viga de 4m que faz parte de uma estrutura maior em equilíbrio estático. Sendo a 
viga de seção retangular homogênea, disposta horizontalmente, de peso 1200N e apoiada 
sobre dois apoios (um do 1º gênero e outro do 2º gênero). Supondo uma força F→ de módulo 
400N, aplicada verticalmente, conforme a figura, determine as reações nos apoios A e B 
escritas em coordenadas retangulares. 
 
 
5. Seja uma antena de transmissão cujo peso é 3000N presa verticalmente no chão e ancorada 
por quatro cabos de aço ideais, conforme a figura. Suponha que em cada cabo atue uma força 
de tração cujo módulo valha 1000N. Qual o valor da reação na base da antena? 
 
A) F = 4500j 
B) F = 5400j 
C) F = 2400j 
D) F = 5000j 
 
6. Considere a viga biapoiada em A e B, apoios de segundo e primeiro gêneros, 
respectivamente. Determine os módulos das reações em A e B, considerando que o peso da 
viga seja desprezível e ela encontre-se em equilíbrio estático. 
 
 
19 
A) 600N e 600N 
B) 650N e 550N 
C) 900N e 700N 
D) 1000N e 200N 
 
Verificando o Aprendizado 
 
1. (VUNESP – 2015 – adaptada) Em uma academia de ginástica, há um equipamento de 
musculação como o esquematizado na figura. 
 
Um peso P é atado à extremidade de um cabo flexível, inextensível e de peso desprezível, que 
passa pelo sulco de uma roldana presa a uma base superior. A outra extremidade do cabo é 
atada ao ponto B de uma alavanca rígida AC, de peso desprezível, articulada na extremidade C; 
o ponto C é fixado em um suporte preso à base inferior do aparelho. A pessoa praticante deve 
exercer uma força vertical aplicada em A. São dados os valores: P = 400N, CB = 20cm e AB = 
60cm. A intensidade da força vertical aplicada pelo praticante em A para manter o sistema em 
equilíbrio na posição mostrada deve ser de: 
A) 100N, dirigida para cima 
B) 100N, dirigida para baixo 
C) 200N, dirigida para cima 
D) 200N, dirigida para baixo 
 
 
2. (CESGRANRIO – Petrobras – 2017) A viga ABC, mostrada na figura, está sob a ação de uma 
força F, conforme indicado. 
 
Pela ação da força F, a força reativa no apoio B tem o sentido do eixo y, enquanto as duas 
componentes da força reativa no apoio A têm direções paralelas aos eixos x e y, sendo uma no 
sentido do eixo: 
A) X positivo e outra no sentido do eixo Y negativa 
B) X negativo e outra no sentido do eixo Y negativa 
C) X positivo e outra no sentido do eixo Y positivo 
D) Y negativo e outra nula, relativa ao eixo 
 
20 
MÓDULO 3 
 Esquematizar o diagrama do corpo livre (DCL) 
 
INTRODUÇÃO 
As estruturas bidimensionais ou tridimensionais em equilíbrio estático sempre estão presas a 
apoios (vínculos) que restringem um ou mais tipos de movimentos (translação ou rotação). 
Para realizar o estudo do equilíbrio do corpo rígido, há a necessidade de substituir os apoios 
pelas reações que eles provocam, além dos carregamentos externos. Esse desenho 
representa o diagrama do corpo livre (DCL). 
 
 SISTEMA DE CORPOS RÍGIDOS 
No estudo da Mecânica Clássica, um sistema pode ser composto por um ou mais corpos 
rígidos que estão unidos por meio de vínculos, transmissões, contato, campos etc. A análise 
matemática pode ser realizada considerando o conjunto ou parte dele. Neste módulo, não 
abordaremos a parte dinâmica da Mecânica, apenas a parte estática, ou seja, os equilíbrios 
translacional e rotacional. 
 DIAGRAMA DO CORPO LIVRE (DCL) 
Na resolução dos problemas de Mecânica (estática), dois aspectos igualmente importantes 
devem ser utilizados: 
 
Qualquer dúvida a respeito do desenho do DCL implicará equações incorretas e, 
consequentemente, erros na solução de um problema. Sem hierarquizar a importância de um 
ou de outro aspecto, é fundamental compreender perfeitamente o DCL para, depois, escrever 
as equações do equilíbrio e, por fim, resolver o problema proposto 
Muitos autores denominam o diagrama do corpo livre como “isolar” o corpo do sistema. 
Independentemente da nomenclatura, é importante que, ao desenhar o diagrama (ou 
isolar o corpo), você consiga representar por meio de forças ou momentos os vínculos 
que são retirados nesse isolamento do corpo. 
 
 
21 
Nesse ponto, é ratificada a importância do estudo inicial dos vínculos e das reações 
associadas. Mais um aspecto relevante é a terceira lei de Newton, presente na separação dos 
corpos no sistema. Para que você relembre o conceito da terceira lei de Newton, o próximotópico fará uma rápida abordagem do tema. 
 TERCEIRA LEI DE NEWTON 
A terceira lei de Newton, também conhecida como lei da ação e reação, afirma que, 
quando dois corpos interagem, eles “trocam” forças. Essas forças apresentam a mesma 
direção, o mesmo módulo (intensidade) e sentidos opostos. As forças de ação e de 
reação atuam em corpos distintos, portanto, não se anulam. 
 
A figura 14 representa a descrição anterior. 
 
As forças fAB→ e fBA→ constituem um par ação e reação e, portanto, apresentam mesma 
direção, mesma intensidade e sentidos opostos. A nomenclatura fAB→ indica a força que o 
corpo A faz no corpo B. 
 DESENHANDO O DCL 
Para entender como desenhar o diagrama do corpo livre é fundamental perceber como os 
corpos ligados ao que será separado interagem com ele e de que maneira as forças reativas 
(dos vínculos) atuam sobre esse corpo. Essa é a “fase física” do problema. Esse estudo deve 
ser extremamente cuidadoso e talvez valha a pena “gastar” parte do tempo nessa análise para 
que eventuais erros não se propaguem na “fase matemática” da solução. A figura 15 apresenta 
um sistema simples, mas que ajudará no início do entendimento do desenho do DCL. 
A figura 15 é um sistema composto por uma alavanca homogênea de peso P→, um cabo de 
aço suposto ideal (inextensível e sem massa) e dois vínculos denominados B e O. O objetivo é 
isolar a alavanca do sistema, ou seja, enxergá-la isoladamente de forma abstrata. Em outras 
palavras, desenhar seu diagrama do corpo livre. Inicialmente, deve-se perceber que a barra 
está “interagindo” com o cabo de aço e com o apoio O, de segundo gênero. Além disso, existe 
a força exercida pelo campo gravitacional da Terra, o peso. Observe o diagrama do corpo livre 
dessa alavanca na figura 16. 
 
 
22 
Analisando o DCL da figura 16 é possível perceber a presença de três forças: 
 
Atenção 
Nesse momento do estudo, cabem duas observações importantes. A primeira é que a 
força F→ pode ser decomposta em duas componentes, sendo uma vertical e a outra horizontal 
(restrições de translações nesses eixos). A segunda é que, se um corpo está em equilíbrio sob 
a ação de 3 forças coplanares, ou essas forças são concorrentes (figura 16) ou são paralelas. 
Observe a figura 17 em que um braço treliçado mantém em equilíbrio um corpo suspenso. Note 
que G é o centro de massa do braço, e A e B os vínculos de primeiro e segundo gêneros, 
respectivamente. 
 
Analisando o DCL da figura 17, é possível perceber a presença de algumas forças: 
 A força peso do braço treliçado (P→treliça) exercida pelo campo gravitacional da Terra.  A força de tração (T→) exercida pelo cabo de aço. 
 O peso (P→) e as reações nos apoios A e B. 
Atenção 
O braço treliçado está vinculado nos apoios A e B e sua extremidade C sustenta um corpo 
suspenso. 
 
Para facilitar a análise do DCL do braço, será feito simultaneamente o DCL do corpo suspenso. 
Observe a figura 18, em que são desenhados os DCLs do braço treliçado e do corpo suspenso. 
 
 
23 
Analisando a figura 18, perceba que o corpo suspenso está sob a ação de duas forças 
indicadas: 
 
E em relação aos DCLs? 
 As duas forças em destaque (T→) cons tuem um par ação-reação. 
 O peso do braço treliçado P→treliça atua em seu centro de massa (G) e surgem as reações nos vínculos A e B. 
 A força de tração (T→) atua na extremidade C do braço treliçado. 
 Uma vez que o vínculo B é do segundo gênero, ele impõe duas restrições, representadas pelas forças Bx e By.  O vínculo A, de primeiro gênero, só impõe uma restrição, por isso apenas a força Ax é indicada no DCL. 
Quando você estiver dominando o desenho do diagrama do corpo livre, poderá avançar para a 
próxima etapa, as equações do equilíbrio e, assim, determinar as incógnitas que aparecem no 
DCL. No último exemplo, são elas: Ax, Bx e By. 
 
Teoria na Prática 
Nos projetos de engenharia, várias são as fases até a concepção final de um produto. Neste 
tópico, veremos uma etapa importante em qualquer projeto de engenharia, do mais simples 
ao mais complexo: o diagrama do corpo livre. Qualquer imperfeição no DCL acarretará 
equações de equilíbrio erradas, o que levará a resultados diferentes dos reais. 
Em qualquer situação na Engenharia, as estruturas estarão sob ação de efeitos diversos que se 
resumirão a dois entes físicos principais: forças e momentos. Para a determinação dessas 
forças e desses momentos, dois importantes aspectos deverão ser considerados: o desenho do 
diagrama do corpo livre (DCL) e as equações do equilíbrio bidimensional 
 
OU tridimensional: 
 
Para efeito de simplicidade no entendimento inicial do tópico, utilizaremos uma estrutura 
bidimensional para a análise de seu DLC. Considere o pórtico da figura a seguir que sustenta 
uma carga de peso P. Os pesos das barras que constituem o pórtico serão desprezados e os 
pontos A, B, C, D, e F apresentam pinos. Ratificando o que já foi estudado no módulo 1, 
perceba a presença de dois vínculos. Em A um apoio de segundo gênero e, em D, um apoio de 
primeiro gênero. 
 
24 
 
Na análise inicial do DCL será considerado o pórtico integralmente. As forças que agem são a 
tração no cabo ideal (em módulo, equivale ao peso do corpo suspenso) e as forças reativas nos 
apoios A e D. 
No apoio de segundo gênero, as translações nos eixos x e y são impedidas (∆x= 0 e ∆y= 0), mas 
não a rotação em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). Dessa forma, as forças Ax e Ay são marcadas no 
DCL. No apoio de primeiro gênero D, apenas a translação horizontal é impedida, sendo 
permitidas a translação em y e a rotação em z. Matematicamente, ∆x = 0, ∆y ≠ 0 e ∆θz ≠ 0. Em 
termos de reações, apenas a força horizontal Dx aparece no DCL. 
 
No segundo momento, as hastes que compõem o pórtico são separadas e seus DCLs são 
traçados. Os valores associados não são o objetivo desta análise, apenas as forças de maneira 
genérica (os sentidos são arbitrários nesse primeiro momento). Vale a pena ressaltar a 
presença da terceira lei de Newton (ação e reação). Observe o ponto B, que é a união de duas 
barras. Em um dos DCLs (na barra vertical), as forças que atuam são: uma vertical para cima e 
uma horizontal para a direita. De acordo com a terceira lei de Newton, na barra oblíqua, as 
forças terão sentidos opostos (mantendo constantes os módulos e as direções). Essa mesma 
análise pode ser observada em vários outros pontos de união das barras. Observe a figura a 
seguir. 
 
 
 
 
25 
Mão na Massa 
 
1. Considere um corpo rígido em equilíbrio estático sob a ação de apenas três forças 
coplanares. Desenhando-se o DCL desse corpo, é possível afirmar que: 
 
A) Apresentam o mesmo módulo e formam, duas a duas, ângulos de 120°. 
B) São forças concorrentes em que os módulos devem ser diferentes. 
C) Podem ser forças concorrentes com módulos de valores distintos ou não. 
D) São forças paralelas em que os módulos de duas somados devem ser iguais ao 
módulo da terceira. 
 
2. Considere uma torre viga treliçada apoiada em dois apoios A e B e com massa de 120kg. 
Suponha que o peso da torre se concentre no ponto G e a aceleração da gravidade local g = 
10m/s2. Além disso, o ponto G encontra-se na linha vertical que passa pelo ponto médio da 
distância entre os apoios. Quanto aos apoios A e B, é correto afirmar que: 
 
A) Ambos os apoios são de primeirogênero, e as forças que atuam sobre eles são 
verticais e iguais a 600N. 
B) Ambos os apoios são de segundo gênero, e as forças que atuam sobre eles são 
verticais e iguais a 600N. 
C) O apoio A é de primeiro gênero e o apoio B de segundo gênero, e as forças que atuam 
sobre eles são verticais e iguais a 600N. 
D) O apoio A é de segundo gênero e o apoio B de primeiro gênero, e as forças que atuam 
sobre eles são verticais e iguais a 600N. 
3. (CESGRANRIO – 2011 – Petrobras – adaptada) 
 
 
 
26 
Uma chapa triangular plana, de peso desprezível, é fixada a uma estrutura por meio de três 
pinos posicionados em P, Q e R, conforme a figura. Se as forças dos pinos P e Q sobre a chapa 
são, respectivamente, paralela a PQ e perpendicular a QR, uma das condições que garantem o 
equilíbrio estático da chapa é o fato de a força do pino R ter a direção: 
A) Perpendicular ao segmento PR. 
B) Perpendicular ao segmento PQ. 
C) Paralela ao segmento PR. 
D) Paralela ao segmento QR. 
 
4. Considere uma viga homogênea de peso 1,2kN engastada em uma parede. Seu 
comprimento é de 4m e em sua extremidade livre existe uma força vertical F de 300N dirigida 
para baixo, de maneira que a viga se encontra em equilíbrio estático. Observe a figura a seguir. 
A respeito das reações que ocorrem no vínculo que prende a viga à parede, é correto afirmar 
que: 
 
 
A) Existem duas reações que impedem a translação (forças) e uma que impede a rotação 
(momento). As forças são horizontal e vertical e apresentam módulo igual a 1500N. 
B) Existe uma reação que impede a translação (força) e uma que impede a rotação 
(momento). A força é vertical e apresenta módulo igual a 1500N. 
C) Existe uma reação que impede a translação (força) e uma que impede a rotação 
(momento). A força é horizontal e apresenta módulo igual a 1500N. 
D) Existem duas reações que impedem a translação (forças) e uma que impede a rotação 
(momento). As forças são horizontal e vertical e apresentam módulo igual a 750N. 
 
5. Considere uma viga AC engastada em uma de suas extremidades (A) e com o carregamento 
distribuído triangular que varia de 10 kN/m até 0, conforme mostrado na figura. Suponha que 
essa viga tenha peso desprezível e que AC = 6m e BC = 4m. 
 
Ao se desenhar o diagrama de corpo livre dessa viga, é correto afirmar que: 
 
 
 
27 
A) No ponto A, atuarão duas forças (uma vertical e outra horizontal). A carga distribuída 
será trocada por uma força concentrada de módulo 60kN no ponto médio da viga, ou 
seja, a 3m do ponto A. 
B) No ponto A, atuará apenas uma força (vertical). A carga distribuída será trocada por 
uma força concentrada de módulo 60kN localizada no ponto B, ou seja, a 2m do ponto 
A. 
C) No ponto A, atuarão uma força (vertical) e um momento. A carga distribuída será 
trocada por uma força concentrada de módulo 30kN no ponto médio da viga, ou seja, a 
3m do ponto A. 
D) No ponto A, atuarão uma força (vertical) e um momento. A carga distribuída será 
trocada por uma força concentrada de módulo 30kN no ponto B da viga, ou seja, a 2m 
do ponto A. 
 
6. (CESGRANRIO – 2010 – Petrobras – adaptada) 
 
A figura acima ilustra uma barra homogênea articulada em A, que está mantida em equilíbrio, 
na horizontal, sustentada por um cabo inextensível e de massa desprezível. Considere que a 
barra tenha peso 200N e o ângulo θ valha 30o. Fazendo o desenho do corpo livre, é possível 
afirmar que: 
A) As forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) são 
necessariamente concorrentes e seus módulos são todos iguais a 200N. 
B) As forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) não são 
necessariamente concorrentes e seus módulos são todos iguais a 200N. 
C) As forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) são 
necessariamente concorrentes e os módulos de T e F somam 200N. 
D) As forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) não são 
necessariamente concorrentes e os módulos de T e F somam 200N. 
 
Verificando o Aprendizado 
 
1. Considere uma semiesfera de raio R e centro O apoiada em um plano horizontal e uma barra 
AB de comprimento L < 2R. A configuração de equilíbrio é mostrada na figura. 
Desconsiderando o atrito entre a barra e a semiesfera, é correto afirmar sobre a barra que: 
 
 
 
28 
A) A força exercida na barra, no ponto A, nunca terá linha de ação passando pelo centro O. 
B) A força exercida na barra, no ponto B, nunca terá linha de ação passando pelo centro O. 
C) A barra deverá ser homogênea para o equilíbrio mostrado na figura. 
D) A barra nunca poderá ser homogênea para o equilíbrio mostrado na figura. 
 
2. Considere a figura abaixo em que o sistema é formado por uma barra AO, dois apoios O e B 
e um cabo ideal. As projeções das forças que agem na barra, no ponto O, têm módulos 15N (na 
horizontal) e 20N (na vertical). 
 
A partir do DCL da barra, é verdade que no apoio O as forças que agem são: 
 
A) Uma vertical para cima, de módulo 20N, e uma horizontal para a direita, de módulo 15N. B) Uma vertical para baixo, de módulo 20N, e uma horizontal para a esquerda, de módulo 15N. C) Apenas uma força vertical para cima, de módulo 20N. 
D) Apenas uma força horizontal para a direita, de módulo 15N. 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 4 
Reconhecer as reações nos vínculos de uma estrutura 
bidimensional 
 
 VÍNCULOS 
Quando se imagina uma estrutura em equilíbrio estático, deve-se fazer uma associação a 
vínculos que a mantêm “presa”. De forma mais técnica, apoios restringem movimentos de um 
corpo rígido ou de um sistema de corpos rígidos. São seis possibilidades, portanto. O 
impedimento de translações nas direções dos eixos cartesianos x, y e z e o impedimento de 
rotações em torno desses mesmos eixos. A situação ora exposta é a mais genérica possível e 
pode ocorrer para corpos com carregamentos tridimensionais. Uma abordagem mais simples, 
 
29 
porém não menos importante e muito frequente na Engenharia, é o carregamento 
bidimensional. Dessa forma, faremos a releitura de alguns tópicos já apresentados, mas 
acrescentando novos conceitos. 
Relembrando 
No estudo do equilíbrio estático de uma estrutura com carregamento no plano que vimos no 
módulo 1, é possível classificar os apoios em três classes. Antes de continuar o estudo, é 
importante relembrar que, sendo o carregamento das forças no plano xy, os momentos 
gerados por elas serão vetores com a direção do eixo z (perpendicular ao plano xy). A 
explicação surge da definição de momento de uma força, que é o produto vetorial entre os 
vetores posição e força. 
 
Resumindo 
Em resumo, para o carregamento bidimensional, as forças reativas estarão no plano xy 
(podendo ser decompostas em suas projeções Fx e Fy) e os momentos estarão perpendiculares 
ao plano xy, podendo o vetor estar “entrando” ou “saindo” desse plano. 
 
A partir dos aspectos descritos, faremos uma classificação dos apoios em estruturas 
bidimensionais e associação das reações (forças/momentos). A classificação é apenas uma 
ferramenta didática. O importante é que você reconheça o tipo de vínculo e saiba substituí-lo 
pelas restrições que ele promove à estrutura. 
 OS VÍNCULOS E SUAS REAÇÕES 
Com as premissas impostas no estudo de estruturas com carregamento bidimensional, é fácil 
concluir que três são os graus de liberdade dessa estrutura quando desconectada de um ou 
mais vínculos: translação no eixo x, translação no eixo y e rotação em torno do eixo z. 
APOIO DE PRIMEIRO GÊNERO 
 Neste vínculo, a ação da força é previamente conhecida. Contudo, o seu módulo é uma incógnita a ser descoberta. Em sua obra, os autores Beer e Johnston (1976) citam alguns exemplos desse tipo de apoio: roletes, balancins, superfícies lisas, cabos curtos, bielas, cursores e pinos deslizantes. 
Obs.: Você pode encontrar os apoios citados nas obras indicadas no Explore +. A figura 19 mostra alguns desses vínculos e a reação que determina a restrição, com sua linha de ação. Como regra, o sentido da força reativaé indefinido. Após o cálculo, valores positivos ratificam a escolha do sentido desenhado no DLC e valores negativos informam que o sentido arbitrado inicialmente é oposto ao real. Observando a figura 19, perceba a transição entre a estrutura e o desenho do diagrama do corpo livre. Por exemplo, uma estrutura que possua um vínculo do tipo balancim, quando seu DCL for desenhado, deverá ser feita a troca por uma força única perpendicular à superfície. De maneira análoga, o procedimento é repetido para os demais vínculos. Fica explícita a importância de identificar o vínculo por sua representação geométrica e saber efetuar a troca pela reação correta no desenho do diagrama do corpo livre. 
 
30 
 
APOIO DE SEGUNDO GÊNERO 
 
Neste vínculo, tanto a linha de ação da força como o seu módulo são desconhecidos. São duas 
incógnitas a serem descobertas. Muitas vezes, faz-se a opção de substituir essa força com 
linha de ação desconhecida por suas projeções ortogonais. Em sua obra, os autores Beer e 
Johnston (1976) citam alguns exemplos desse apoio: os pinos regulares em orifícios ajustados, 
rótulas e superfícies rugosas 
. 
Obs.: Você pode encontrar os apoios citados nas obras indicadas no Explore +. 
 
A figura 20 mostra esses vínculos e as reações que impõem à restrição. Da mesma maneira 
que explicado no item (a), o sentido das forças reativas é indefinido. Após o cálculo, valores 
ratificam ou não a escolha do sentido desenhado no DLC. Valores positivos confirmam a 
escolha inicial e valores negativos informam que o sentido arbitrado inicialmente é oposto ao 
real. 
 
 
APOIO DE TERCEIRO GÊNERO 
 
31 
Neste vínculo, as restrições impostas não são apenas de translação como nos dois primeiros 
tipos de vínculos. Soma-se uma restrição, a rotação. Sendo assim, a ação da força, seu 
módulo e o momento são desconhecidos. São três incógnitas a serem descobertas. É comum 
utilizar as duas projeções ortogonais da força reativa e o momento na troca do vínculo ao se 
desenhar o diagrama do corpo livre. Assim como explicado nos itens (a) e (b), os sentidos são 
inicialmente arbitrados e depois ratificados ou não pelos valores positivo ou negativo 
encontrados. O exemplo clássico desse apoio é o engaste, mostrado na figura 21. Observe o 
DCL e o número de restrições. 
 
 
 
 
Teoria na Prática 
 
As estruturas em equilíbrio estático na Engenharia apresentam-se vinculadas. Considerando 
um carregamento bidimensional, vimos as possibilidades de apoios. Um exemplo que reflete 
uma tendência atual na engenharia civil é o das pontes estaiadas, cuja beleza é incontestável. 
Vários são os exemplos pelo mundo. A de Millau, na França, as das cidades do Rio de Janeiro 
e de São Paulo etc. 
Esquematicamente, a figura seguinte representa uma ponte estaiada e seus vários apoios, 
evidenciando algumas reações nos vínculos. É possível perceber os três gêneros de apoios. 
Além disso, os cabos apresentam papel estrutural na fixação dos tabuleiros das pontes 
estaiadas. 
 
Na figura, são colocadas de maneira genérica (os sentidos das forças e dos momentos são meramente ilustrativos) as reações que podem surgir nos diversos apoios, todas em função do grau de liberdade que cada apoio proporciona, ou ainda, das restrições impostas por eles. Genericamente, após o desenho do DCL, devem ser aplicadas as equações do equilíbrio, ou seja, 
 para garantir que não existe translação nem rotação da estrutura. 
 
32 
Mão na Massa 
1. Seja uma manivela AOB em forma de L com peso desprezível que se encontra vinculada a um apoio de segundo gênero em O. No ponto B, é aplicada uma força vertical F de 150N de intensidade; no ponto A, existe um cabo de aço ideal, que atua com força de tração igual a 250N, cuja projeção horizontal equivale a 200N. 
 
Ao se desenhar o DCL dessa manivela, que vetor representa a força exercida pelo apoio O na 
barra e a intensidade de sua componente vertical? 
A) B) C) D) 
 
2. Suponha o cilindro homogêneo mostrado na figura. A situação é de equilíbrio em que o 
cilindro homogêneo de peso 300N está na iminência de subir o pequeno degrau, existindo 
atrito entre essas superfícies (cilindro e degrau). 
 
O canto A do degrau é um vínculo de que tipo? Que reação(ões) ele impõe? E qual o módulo 
da projeção vertical no vínculo A? 
A) Primeiro gênero / → / V = 150N 
B) Segundo gênero / ↗ / V = 300N 
C) Terceiro gênero / / V = 150N 
D) Não pode ser considerado um vínculo. 
 
3. A situação apresentada a seguir é a mesma da questão (2), ou seja, um cilindro homogêneo 
de peso 300N, na iminência de subir o pequeno degrau de 0,4m, existindo atrito entre essas 
superfícies. 
 
 
33 
 
No desenho do DCL do cilindro, o vínculo representado pelo canto A será substituído por uma 
força reativa. Sobre essa força, é verdade que: 
A) Uma força comprimindo o cilindro no ponto A e tendo sua linha de ação passando pelo 
ponto mais alto do cilindro, cuja projeção vertical tem módulo 300N. 
B) Uma força comprimindo o cilindro no ponto A e tendo sua linha de ação passando pelo 
centro O do cilindro, cuja projeção vertical tem módulo 120N. 
C) Uma força comprimindo o cilindro no ponto A e tendo sua linha de ação vertical, cuja 
projeção vertical tem módulo 300N. 
D) Uma força comprimindo o cilindro no ponto A e tendo sua linha de ação horizontal, cuja 
projeção vertical tem módulo 750N. 
 
4. (CESGRANRIO – 2018 – Transpetro – adaptada) Considere o croqui de uma estrutura e os 
dados a seguir para responder a questão. 
 
Despreze o peso da estrutura e considere que os círculos representem tubos apoiados na 
estrutura e sejam considerados como cargas pontuais de 10kN no eixo, aplicadas sobre sua 
geratriz inferior que se apoia nas barras da estrutura. Observando a estrutura, existem dois 
apoios denominados A e B. A respeito desses apoios, é correto afirmar que: 
 
A) Ambos são do segundo gênero e, por isso, impedem as translações horizontal e vertical 
nos dois. 
B) Ambos são do primeiro gênero e, por isso, impedem apenas translações na vertical nos 
dois. 
C) O apoio A é do segundo gênero e impede as translações horizontal e vertical, enquanto o 
apoio B é do primeiro gênero, impedindo apenas a translação vertical. 
D) O apoio B é do segundo gênero e impede as translações horizontal e vertical, enquanto o 
apoio A é do primeiro gênero, impedindo apenas a translação vertical. 
 
5. (CESPE – 2016 – POLÍCIA CIENTÍFICA – adaptada) Na formulação do equacionamento do 
equilíbrio para a solução de problemas da estática de corpos rígidos, a utilização do diagrama 
de corpo livre exige a determinação do número de reações decompostas nos eixos x, y e z, do 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com base nos tipos de apoio que caracterizam 
os graus de liberdade. Nesse sentido, o número de reações que os apoios articulado fixo e 
móvel apresentam nos eixos x e y são iguais, respectivamente, a: 
A) 2 e 1 C) 0 e 1 B) 1 e 0 D) 1 e 2 
 
 
34 
6. Suponha os sistemas 1 e 2, ilustrados pelas figuras a seguir, formados por uma barra e um 
cabo de aço preso a uma parede. No sistema 1, não existe atrito entre a barra e o chão (ponto 
B) enquanto, no segundo, o atrito existe (ponto D). 
 
Sobre os sistemas representados nas figuras 1 e 2, é correto afirmar que: 
A) Os dois sistemas sempre estarão em equilíbrio. 
B) O sistema 1 pode estar em equilíbrio. 
C) O sistema 2 pode estar em equilíbrio. 
D) Os dois sistemas nunca estarão em equilíbrio. 
 
 
Verificando o Aprendizado 
 
1. (FUNIVERSA – 2012 – adaptada) 
 
A figura representa uma treliça metálica plana submetida a dois carregamentos aplicados 
sobre o nó B. Os encontros das barras são rotulados. As barras CH e GD não se interceptam; 
portanto, o cruzamento dessas duas barras representado no desenho não constitui um nó. O 
mesmo pode ser dito em relação aos pares de barras DI-EH e EJ-IF. Com relação à treliça 
metálica apresentada, assinale a alternativa correta. 
A) No apoio G, existem duas reações (vertical e horizontal)e o módulo da reação horizontal é 15kN. B) No apoio G, existem duas reações (vertical e horizontal) e o módulo da reação vertical é 20kN. C) No apoio J, existe apenas a reação vertical cujo módulo é 20kN. D) No apoio G, existe uma reação representada por um momento que equivale a 40.L kN.m. 
 
 
 
 
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2. (IF – SP – 2011 – adaptada) Uma treliça é uma estrutura reticulada composta de elementos 
unidos nas suas extremidades, de modo a formar uma estrutura rígida. Na figura, existem três 
treliças distintas apoiadas sobre dois vínculos. As reações possíveis nesses apoios são: 
 
 
 
A) Nas três treliças, podem surgir seis reações nos apoios, independentemente do 
carregamento. 
B) Em todos os seis apoios (dois de cada treliça), sempre surgirão duas reações, 
independentemente do carregamento. 
C) Nas três treliças, podem surgir nove reações nos apoios (três reações de apoio em cada 
treliça), dependo do carregamento. 
D) Nos apoios da direita de cada treliça, podem surgir duas reações, independentemente do 
carregamento. 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Neste tema, foram abordados os principais aspectos do equilíbrio dos corpos rígidos. Inicialmente, 
identificamos os vínculos que mantêm a estrutura em equilíbrio. Apresentamos os tipos mais utilizados 
na Engenharia e suas atuações no equilíbrio da estrutura, seja restringindo a translação ou a rotação. 
Nessa fase do estudo, as restrições impostas pelos vínculos foram substituídas por entes físicos 
(forças/momentos) e, portanto, uma fase importante do objetivo do tema foi alcançada: o desenho do 
diagrama do corpo livre de um corpo rígido em equilíbrio. Em seguida foi observado, qualitativamente, 
que o equilíbrio de um corpo se refere, ao mesmo tempo, à não translação e à não rotação. 
Matematicamente, a resultante das forças e dos momentos devem ser nulos. Surgem, portanto, as 
equações do equilíbrio para um corpo bidimensional: 
 
REFERÊNCIAS 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Mecânica vetorial para engenheiros – Estática. 2. ed. v. 1. São 
Paulo: McGraw-Hill, 1976. 
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Estática. 3. ed. v.1. Rio de Janeiro: LTC, 1976. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática. 7. ed. v.1. Rio de 
Janeiro: LTC, 2016.