Atuária - Esperança Matemática

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ATUÁRIA
Esperança matemática
( É o preço puro, ou seja, um valor que cobre única e exclusivamente o custo de um processo.
( É calculada: 
			E = Q x p x v t
Onde,
 v t = . 1 .
 ( 1 + i )t 
Sendo,
E = Esperança Matemática = preço puro (custo matemático)
Q = Ganho pretendido
p = Probabilidade de ganho
v = fator de desconto
t = prazo
( Lembrando cálculo da Capitalização Composta: M = C x ( 1 + i ) n 
 	( Exemplo 1:
Um investidor aplicou R$ 1.000,00 a juros compostos durante 5 meses à taxa de 15% a.m. Vamos analisar os resultados obtidos pelo investidor ao longo da aplicação
Dados:
C = 1.000,00
n = 5 meses
i = 15 % am
Representação Gráfica:
 1.150,00 1.322,50 1.520,88 1.749,01 2.011,36
 __________________________________________________
	 mês1 mês2 mês3 mês4 mês5
1.000,00
 
	Mês
	Juros do Mês
	Montante
	0
	-
	1.000,00
	1
	1.000,00 (0,15) = 150,00
	1.150,00
	2
	1.150,00 (0,15) = 172,50
	1.322,50
	3
	1.322,50 (0,15) = 198,38
	1.520,88
	4
	1.520,88 (0,15) = 228,13
	1.749,01
	5
	1.749,01 (0,15) = 262,35
	2.011,36
 
Exemplo 2: 
Sabendo que uma sociedade beneficente está organizando uma rifa de um automóvel no valor de R$ 12.000,00 e que serão vendidos 10.000 bilhetes, qual será a esperança matemática se desprezarmos o fator desconto?
E = Q x p x Vt 
		Q = 12.000,00
		P = 1 .
 10.000
	E = 12.000,00 x 0,0001 ( E = R$ 1,20
R = R$ 1,20 representa o preço matemático, sem despesa e sem lucro.
 Nesse caso a transação foi praticada sem juros.
Receita = Despesa = R$ 12.000,00
Exemplo 3: 
Uma rifa que levará 2 anos para ser sorteada, apresenta como prêmio uma moto no valor de R$ 8.820,00 na data do sorteio. Qual será o valor de venda da cartela hoje, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao ano e que serão vendidas 10.000 cartelas?
E = Q x p x Vt 
		Q = 8.820,00
		p = 1 .= 0,0001
 10.000
		t = 2 anos
		i = 5% = 0,05
Onde,
		 Vt = . 1 .= 0,90703
 (1 + 0,05) 2
	E = 8.820,00 x 0,0001 x 0,90703 ( E = R$ 0,80
R = R$ 0,80 x 10.000 = R$ 8.000,00 x (1 + 0,05) 2 = R$ 8.820,00
	Onde, 8.820,00 – 8.000,00 = 820,00 / 10.000 = 0,082
		 E = 0,80 + 0,082 = 0,882
Prêmio / Preço Comercial
( Em seguro tem-se preço matemático = prêmio puro, mas na prática as seguradoras cobram o preço comercial.
( Preço Comercial = Prêmio comercial ( é o preço matemático (= prêmio puro) mais sobrecarga (ou carregamento) para cobrir despesas e uma parcela correspondente ao lucro ou margem de segurança.
Cálculo do Preço Comercial:
Sendo, 
E= preço matemático (=prêmio puro)
π = preço comercial (=prêmio comercial ou preço de venda)
S = carregamento ou sobrecarga
( Sobrecarga ou carregamento ( corresponde a parcela que cobre as despesas, o lucro ou margem de segurança em se tratando de seguridade
Utilização da sobrecarga
 	- Administração
Seguro	- Cobrança
		- Lucro
Métodos para cálculo do Preço Comercial
Incidência da taxa sobre o preço de custo (E):
( neste caso aplica-se uma taxa percentual “i” sobre o preço de custo.
	Sendo,
π = E + S
S = E . i então, 
π = E + (E . i)	
			
 S
π = E (1 + i)
2. Incidência da taxa sobre o preço de venda (π):
( neste caso aplica-se uma taxa percentual “i” sobre o preço de venda.
OBS.: Esta prática é adotada por qualquer tipo de seguro ou operação.
	Sendo,
π = E + S
S = E . i então, 
π = E + (π . i)
		 
 S
π = E .
 (1 - i)
Exemplo 1:
Vamos considerar R$ 100,00 o preço puro (matemático), uma taxa i=20% e calcular o preço comercial pelas duas maneiras possíveis apresentadas:
	Taxa sobre o preço de custo
	Taxa sobre o preço de venda
	π = E (1 + i)
π = 100,00 (1 + 0,20)
π = R$ 120,00
	π = E .
 (1 - i)
π = 100 .
 (1 – 0,20)
π = 125,00
Exemplo 2:
O preço matemático unitário de um bilhete de extração federal é R$ 100,00. Calcule o preço comercial incluindo uma sobrecarga ou carregamento de 27 %:
	Taxa sobre o preço de custo
	Taxa sobre o preço de venda
	π = E (1 + i)
π = 100,00 (1 + 0,27)
π = R$ 127,00
	π = E .
 (1 - i)
π = 100 .
 (1 – 0,27)
π = R$ 136,99
Exemplo 3:
Uma rifa levará 4 anos para ser sorteada, tem como prêmio um automóvel no valor de R$ 29.000,00. O instituidor da rifa deseja obter lucro de 10% sobre cada bilhete. Calcular o valor que deve ser vendido cada bilhete pelos 2 métodos (preço de custo e preço de venda) utilizando uma taxa de juros de 8% ao ano, sabendo-se que serão comercializados 10.000 bilhetes e considerando o cálculo no valor futuro:
E = Q x p x Vt 
Vt = 1 = 0,73503 E = 29.000 x 0,0001 x 0,73503 ( E =R$ 2,13 
 (1 + 0,08)4
E = 2,13159 x 10.000,00 21.315,87 x (1 + 0,08)4 21.315,87 x 1,36049 
E = 29.000,00
E = 29.000,00 = 2,90
 10.000
	Taxa sobre o preço de custo
	Taxa sobre o preço de venda
	π = E (1 + i)
π = 2,90 (1+ 0,10)
π = R$ 3,19
	π = E .
 (1 - i)
π = 2,90 .
 (1 – 0,10)
π = R$ 3,22
π = E + S