Questão resolvida - Indique dentre as alternativas abaixo contém a solução da equação diferencial ty'4ye^t^4

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
Indique dentre as alternativas abaixo contém a solução da equação diferencial
ty' + 4y = et
4
Escolha uma opção:
 
 a. ⬛ y t = e + kt , k ∈ R( )
t
4
-4
t4 -4
 b. □ y t = - e + kt , k ∈ R( )
t
4
-4
t4 -4
 c. □ y t = e + kt , k ∈ R( )
t
4
-4
t- 4 -4
 d. □ y t = e + kt , k ∈ R( )
t
4
4
t4 -4
 e. □ y t = e + kt , k ∈ R( )
t
4
-4
t4 4
 
Resolução:
 
Primeiro, é necessário reescrever a EDO para o formato;
 
+ P t y = Q t
dy
dx
( ) ( )
 
Para isso, vamos dividir os 2 membros da EDO por t;
 
+ = y' + y =
ty'
t
4y
t
e
t
t4
→
4
t
e
t
t4
 
+ y =
dy
dx
4
t
e
t
t4
 
Comparando as equações 1 e 2, temos que;
 
P t = e Q t =( )
4
t
( )
e
t
t4
Devemos, agora, achar o valor de , dado por;𝜇
 
 
(1)
(2)
 
𝜇 t = e 𝜇 t = e( ) P t dt∫ ( ) → ( )
dt∫
4
t
Resolvendo;
𝜇 t = e 𝜇 t = e = e = e = t( )
dt∫
4
t → ( )
4 dt∫
1
t 4ln|t| ln|t |
4 4
 
A solução desse tipo de EDO é dada por;
 
𝜇 t y = 𝜇 t Q t dt( ) ∫ ( ) ( )
 
Substituindo os valores de e na equação 3, fica;𝜇 Q t( )
 
t y = t dt t y = t e dt4 ∫ 4 e
t
t4
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪no segundo membro
4 ∫ 3 t4
 
Vamos resolver a integral do 2° membro separadmente;
 
t e dt = e t dt; u = t du = 4t dt 4t dt = du t dt =∫ 3 t4 ∫ t4 3 4 → 3 → 3 → 3 du
4
 
e t dt = e e du = e + k = e + k∫ t4 3 ∫ u du
4
→
1
4
∫ u 1
4
u 1
4
t4
 
Substituindo o resultado da integral na expressão 4, temos;
 
t y = t e dt t y = e + k4 ∫ 3 t4 → 4 1
4
t4
Finalmente, isolando ;y
 
t y = e + k y = e +4
1
4
t4
→
1
4t4
t4 k
t4
 
y = e + kt
t
4
-4
t4 -4
 
 
simplificando t
(3)
(4)
(Resposta )